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全等三角形模型——三垂直与三等角
三垂直模型
如右图已知：∠ D=∠ E=∠ BCA=90，BC=BA；
求证：△BCD≌△CAE.
∵∠D+∠ DCB+∠ B=180°，∠BCA+∠ DCB+∠ ACE=180°，且∠ D=∠BCA.
∴∠ B=∠ ACE.
又 ∵∠ D=∠ E，BC=BA.
∴△BCD≌△CAE.
常见的三垂直模型:
1. 如图， 是等腰直角三角形， 过直角顶点 ， ，则下列结论正确的个数有
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据直角三角形的性质推出 ，然后利用 证明 和 全等，根据全等三角
形对应边相等，全等三角形对应角相等即可对各小题进行判断．
【解答】解： ，
，
是等腰直角三角形， 为直角顶点，
， ，，
在 和 中，
，
，
， ， ，
故①小题正确，②小题错误，③小题错误，④小题正确，
所以结论正确的有①④共2个．
故选： ．
2. （2022秋•文登区期中）在 中， ， ．
（1）如图①， 是过点 的一条直线，且 ， 在 的同侧， 于 ， 于 ．写出
， ， 间的数量关系，并写明理由；
（2）如图②， 是过点 的一条直线，且 ， 在 的两侧， 于 ， 于 ．写出
， ， 间的数量关系，并写明理由．
【分析】（1）由“ ”可证 ，可得 ， ，可求 ；
（2）由“ ”可证 ，可得 ， ，可求 ．
【解答】解：（1） ．
理由如下： ， ，
，
，
，
，
，，
， ，
．
（2） ．
， ，
，
，
，
，
，
，
， ，
．
3. （2020秋•通河县期末）综合与实践．
积累经验
（1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知
识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在 中， ， ，线
段 经过点 ，且 于点 ， 于点 ．求证： ， ”这个问题时，只
要证明 ，即可得到解决，请写出证明过程；
类比应用
（2）如图2，在平面直角坐标系中， 中， ， ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，求点 的坐标．
拓展提升
（3）如图3， 在平面直角坐标系中， ， ，点 的坐标为 ，点 的坐标为
，则点 的坐标为 ．
【分析】（1）证明 ，由全等三角形的性质可得出答案；
（2）过 作 轴于 ，先证 ，再证明 ，可得 ，
，即可解决问题；
（3）过点 作 轴于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作 于点 ，
由全等三角形的性质得出 ， ，则可得出答案．
【解答】（1）证明： ，
，而 于 ， 于 ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ；
（2）解：过 作 轴于 ，如图2所示：， ，
， ，
， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
点 的坐标为 ．
（3）解：如图 3，过点 作 轴于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，过点 作
于点 ，
同（1）（2）可得 ，
， ，
， ，
， ，
，
点 的纵坐标为 ，横坐标为 ，．
故答案为： ．
4. （2021秋•临沂期末）如图， ， ， ， ，垂足分别为 ， ，
， ，求 的长．
【分析】先证明 ，得 ， ，然后根据线段和差定义即可解决．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
．
5. （2020秋•赫山区期末）如图所示，直线 一侧有一个等腰 ，其中 ， ．
直线 过顶点 ，分别过点 ， 作 ， ，垂足分别为点 ， ， 的角
平分线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，恰好满足 ．延长 ， 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．【分析】（1）证得 ，根据 证明 即可．
（2）证明 ，由全等三角形的性质得出 ．证得 ，则可得出结论．
【解答】证明：（1） ， ，
又 ，
．
．
在 和 中，
，
，
；
（2） ， ，
．
在 和 中，
，
，
．
．
平分 ， ，
．
．
综上， ．6. （2022春•清苑区期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图 1， ， ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．由
，得 ．又 ，可以推理得到 ．进而得到
， ．我们把这个数学模型称为“ 字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）①如图2， ， ， ，连接 ， ，且 于点 ，
与直线 交于点 ．求证：点 是 的中点；
②如图3，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 为平面内任一点．若 是以 为斜
边的等腰直角三角形，请直接写出点 的坐标．
【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等解答；
（2）①作 于 ， 于 ，证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，
再证明 ，根据全等三角形的性质证明结论；
②过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，仿照①的证明过程解答．
【解答】解：（1） ，
，
在 和 中，
，
， ，
故答案为： ； ；（2）①如图2，作 于 ， 于 ，
，
，
，
，
，
在 与 中， ，
，
，
，
同理， ，
，
， ，
，
在 与 中，
，
，即点 是 的中点；
②如图3， 和△ 是以 为斜边的等腰直角三角形，
过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，两直线交于点 ，
则四边形 为矩形，
， ，
由①可知， ，
， ，
，，
解得， ， ，
点 的坐标为 ，
同理，点 的坐标为 ，
综上所述， 是以 为斜边的等腰直角三角形，点 的坐标为 或 ．
7. 如图， ．
（1）如图①，在平面直角坐标系中，以 为顶点， 为腰在第三象限作等腰 ，若 ，求
点的坐标；
（2）如图②， 为 轴负半轴上一个动点，以 为顶点， 为腰作等腰 ，过 作 轴于
点，当 点沿 轴负半轴向下运动时，试问 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请
说明理由．
（3）如图③，已知点 坐标为 ， 是 轴负半轴上一点，以 为直角边作等腰 ， 点
在 轴上， ，设 ， ，当 点在 轴的负半轴上沿负方向运动时， 的和是否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）作 轴于 ，证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，
，计算即可；
（2）作 轴于 ，证明 ，得到 ， ，结合图形计算；
（3）作 轴于 ， 轴于 ，仿照（2）的证明过程解答．
【解答】解：（1）作 轴于 ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
点的坐标为 ；
（2） 的值不变，值为2，
理由如下：作 轴于 ，
，
，，
，
在 和 中，
，
，
， ，
；
（3） 的和不变，值为 ，
理由如下：作 轴于 ， 轴于 ，
由（2）可知， ，
， ，
．
三等角模型
“一线三等角”是一个常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等模型，这
个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.
三等角的推导过程：
已知：∠ A=∠ B=∠ CPD，AC=PB；
求证：△ACP≌△BPD.
∵∠A+∠ APC+∠ C=180°，∠CPD+∠ APC+∠ DPB=180°，且∠ A=∠CPD.
∴∠ C=∠ DPB.
又∵∠ A=∠ B，AC=PB.∴△ACP≌△BPD.
常见的一线三等角模型：
8. 如图，点 ， ， 在一条直线上， ， ，试探究 ， 与
之间的数量关系．
【分析】由题意可证 ， ，且 ，可证 ，可得 ，
，即可求 ， 与 之间的数量关系．
【解答】解：
理由如下：
，且 ，
，且 ，
，且 ，
，
9. （2022•鹿城区二模）如图，在 中， ，点 在 边上，点 在 边上，连接 ，
．已知 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．【分析】（1）根据 可证明 ；
（2）得出 ， ，求出 ，则 可求出．
【解答】（1）证明： ，
，
在 与 中，
，
；
（2）解： ，
， ，
，
，
．
10. 如图， ， ， 三点都在一条直线上，且 ， ，试探究 ， 与
之间的数量关系．
【分析】由“ ”可证 ，可得 ， ，可得结论．
【解答】解： ，
理由如下：
，且 ，
，
在 和 中，，
，
， ，
，
．
11. （2021秋•东至县期末）如图，在 中， ， 、 、 三点都在直线 上，并且有
，若 ， ，求 的长．
【分析】由 ，推出 ，再根据 证明 得 ，
，即可得出结果．
【解答】解： ，
，
，
，
在 与 中，
，
，
， ，
，
．
．12. （2020秋•江津区期末）问题 1：如图①，在四边形 中， ， 是 上一点，
， ．
求证： ；
问题2：如图②，在三角形 中， ， 是 上一点， ，且 ．
求 的值．
【分析】问题1：证明 ，由全等三角形的性质得出 ，则可得出结论；
问题2：过 点作 于点 ，证明 ，由全等三角形的性质得出 ，
，证出 ，则可得出答案．
【解答】问题1：证明： ， ，
，
在 与 中，
，
，
，
；
问题2：过 点作 于点 ，在 中， ，
，
，
，
在 与 中，
，
，
， ，
在 中， ，
，
，
，
．
13. 如图①，点 、 在 的边 、 上，点 ， 在 内部的射线 上， 、 分
别是 、 的外角．已知 ， ．求证： ．
应用：如图②，在 中， ， ，点 在边 上，且 ，点 ， 在线段
上． ，若 的面积为15，求 与 的面积之和．【分析】（1）由“ ”可证 ；
（2）由“ ”可证 ，由全等三角形的性质可得 ，由三角形的面积关系可求
解．
【 解 答 】 证 明 ： （ 1 ） ， 且 ， ，
，
， ，且 ，
（2） ，且 ， ， ，
， ，且 ，
，
， 的面积为15，
．
14. 如图，在等腰三角形 中， ， ， 分别为 ， 上一点， ．
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，过点 作 ，垂足为 ，若 ， ，求 的值．
【分析】（1）根据 判定 ，即可得到 ；
（ 2 ） 先 证 ， 得 ， 再 在 上 取 点 ， 使 得 ， 进 而 判 定，得 ，然后由等腰三角形性质得 ，即可求解．
【解答】解：（1） ， ，
，
，
又 ，
，
在 和 中，
，
，
；
（2）解： ，
，
又 ，
，
，
如图2，在 上取点 ，使得 ，
在 和 中，
，
，
，
又 ，
，
．15. （2021春•榆次区校级期末）综合与实践
（1）观察理解：如图1， 中， ， ，直线 过点 ，点 ， 在直线 同侧，
， ，垂足分别为 ， ，由此可得： ，所以 ，又
因 为 ， 所 以 ， 所 以 ， 又 因 为 ， 所 以
；（请填写全等判定的方法）
（2）理解应用：如图2， ，且 ， ，且 ，利用（1）中的结论，请按照
图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 ；
（3）类比探究：如图3， 中， ， ，将斜边 绕点 逆时针旋转 至 ，
连接 ，求△ 的面积．
（4）拓展提升：如图4，点 ， 在 的边 、 上，点 ， 在 内部的射线 上，
、 分别是 、 的外角．已知 ， ．求证： ；
（5）拓展应用：如图5，在 中， ， ．点 在边 上， ，点 、 在
线段 上， ．若 的面积为15，则 与 的面积之和为 ．【分析】（1）根据 证明三角形全等即可．
（2）利用“三垂模型”证明三角形全等，利用全等三角形的性质，解决问题即可．
（3）如图3，过 作 于 ，构造全等三角形解决问题即可．
（4）证明 ，可得结论．
（5）利用（4）中结论，解决问题即可．
【解答】解：（1）如图1中，
， ，
，
，
又 ，
，，
在 和 中，
，
故答案为： ．
（2）如图2中，
， ， ， ，
由（1）得： ， ，
， ， ， ，
．
故答案为50．
（3）如图3，过 作 于 ，
由旋转得： ，
，
由（1）可知 ，，
．
（4）如图4中，
， ， ， ，
， ，
在 和 中，
，
，
， ，
．
（5）如图5中，
的面积为15， ，
的面积是： ，
由图4中证出 ，与 的面积之和等于 与 的面积之和，即等于 的面积，是5，
故答案为：5．
