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全等三角形模型——截长补短与倍长中线
截长补短
截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段
截长补短法是几何证明题中十分重要的
A
方法，通常来证明几条线段的数量关系，
常见做辅助线方法有：
D 截长法：
⑴过某一点作长边的垂线；
B C ⑵在长边上截取一条与某一短边相同的
线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短法：
在线段 上截取 ⑴延长短边。
补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 ⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，
证与长边相等。
A
B C
D
延长 ，使得
1. 中， 是 的平分线，且 ．若 ，则 的大小为
A． B． C． D．
【分析】可在 上取 ，则由题中条件可得 ，即 ，再由三角形的
外角性质即可求得 的大小．
【解答】解：如图，在 上取 ，
是角平分线，
，
△ ，
，
又 ， ，，
，
．
故选： ．
2. 阅读：探究线段的和．差．倍．分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用截长法或补短法
具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等
再利用三角形全等的有关性质加以说明．
（1）请完成下题的证明过程：如图1，在 中， ， 平分 ．求证： ．
证明：在 上截取 ，连接
（2）如图2， ， ， 分别平分 ， ， 过点 ，求证： ．
【分析】（1）在 上截取 ，连接 ，证明 ，得到 ，再证明
即可；
（2）由等腰三角形的性质知 ，再证明 即可解决本题．
【解答】证明：在 上截取 ，连接 ，如图
平分 ，，
在 和 中，
，
，
， ，又 ，
，
而 ，
，
，
；
（2）延长 、 交于 ，
， 平分 ，
，
在 和 中，
，
，
，
．
3. 如图，在 中， 平分 交 于 ，在 上截取 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ， ，求 的周长．【分析】（1）根据 证明 即可；
（2）根据全等三角形的性质和线段之间的关系进行解答即可．
【解答】证明：（1） 平分 ，
，
在 与 中，
，
，
（2） ，
，
的周长
4. （2020秋•武昌区期中）如图， 中， ， 、 分别平分 、 ， 、
相交于点
（1）求 的度数；
（2）若 ， ，求线段 的长．
【分析】（1）利用 ， 、 分别平分 ， ，即可得出答案；
（2）由题中条件可得 ，进而得出 ，通过角之间的转化可得出 ，
进而可得出线段之间的关系，即可得出结论．
【解答】解：（1） ， 、 分别平分 ， ，， ，
，
．
（2）如图，在 上截取 ，连接 ．
平分 ，
，
在 和 中
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
5. 如图，在 中， ， 是 的平分线，且 ，求 的度数．【分析】在 上截取 ，根据角平分线的定义可得 ，然后利用“边角边”证明
和 全等，根据全等三角形对应边相等可得 ，全等三角形对应角相等可得
，再求出 ，从而得到 ，根据等边对等角可得 ，根据三角形的一
个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ，然后根据三角形的内角和定理列方程求出 ，
即可得解．
【解答】解：如图，在 上截取 ，
平分 ，
，
在 和 中， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
即 ，
在 中， ，
，
解得 ，
．6. 如 图 ， 五 边 形 中 ， ， ， ，
，连接 ．求证： 平分 ．
【分析】连接 ，将 绕 点旋转 到 ，由 ， ，得到 与 重合，
并且 ，又由 ，得到 ，即 ， ， 在一条直线上，
而 ，得 ，则易证 ，于是 ．
【解答】证明：如图，连接 ，将 绕 点旋转 到 ，
， ，
与 重合，并且 ，
又 ，
而 ，
，
， ， 在一条直线上，
而 ， ，
，
又 ，
，
，
即 平分 ．7. 已知：如图，在 中， 是 延长线上一点， 是 的平分线， 是 上的一点（点
不与点 重合），连接 ， ．通过观察，测量，猜想 与 之间的大小关系，
并加以证明．
【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得 ，根据三角形的两边之和大于第三边，可得答案．
【解答】解： ，理由如下：
在 的延长线上截取 ，连接 ，
在 和 中，
，
，
．
在 中， ，
即 ．
8. 已知 中， ， 平分 交边 于 ．
（1）如图（1），当 时，证明： ；
（2）如图（2），当 时，（1）中的结论还成立吗？若不成立，是否有其他两条线段之和等于
，若有请写出结论并完成证明．【分析】（1）如图1中，在 上截取 ．只要证明 ， 即可解决问题；
（2）结论： ．如图2中，在 、 上分别截取 ， ．则 ，
再证明 即可解决问题；
【解答】解：（1）如图1中，在 上截取 ．
， ， ，
，
， ，
，
， ，
，
，
．
（2）结论： ．
理由：如图2中，在 、 上分别截取 ， ．则 ，
，
， ，
，
，
，，
，
，
，
．
9. （2020秋•建华区期末）阅读下面文字并填空：
数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图 1，在 中， 平分 ， ．求证：
．”
李老师给出了如下简要分析：要证 ，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：
方法一：“截长法”．如图2，在 上截取 ，连接 ，只要证 即可，这就将证
明线段和差问题 为证明线段相等问题，只要证出△ △ ，得出 及 ，再
证出 ，进而得出 ，则结论成立．此种证法的基础是“已知 平分 ，将
沿直线 对折，使点 落在 边上的点 处”成为可能．
方法二：“补短法”．如图3，延长 至点 ，使 ．只要证 即可，此时先证
，再证出△ △ ，则结论成立．
“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．
【分析】方法一、如图2，在 上截取 ，由“ ”可证 ，可得 ，
，由角的数量关系可求 ，即可求解；
方法二、如图3，延长 至点 ，使 ，由“ ”可证 ，可得 ，可得
结论．
【解答】解：方法一、在 上截取 ，连接 ，如图
平分 ，
，
在 和 中，
，，
， ，
又 ，
，
而 ，
，
，
，
故答案为： ，转化， ， ， ， ， ；
方法二、如图3，延长 至点 ，使 ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
故答案为 ， ， ．
倍长中线
倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．
其目的是构造一对对顶的全等三角形；
其本质是转移边和角．A
倍长中线常见题型：
已知角平分线+中线证等腰三角形，
已知角平分线+高证等腰三角形，
已知中线+高证等腰三角形．
B C
D
E
其中 ，延长 使得 ，则 ．
10. 三角形 中， 是中线，且 ， ，求 的取值范围是 ．
【分析】延长 到 ，使 ，连接 ，证 ，推出 ，在 中，根
据三角形三边关系定理得出 ，代入求出即可．
【解答】解：延长 到 ，使 ，连接 ，
是 边上的中线，
，
在 和 中，
，
，
，
在 中， ，
，
，
故答案为： ．
11. （2021春•碑林区校级期中）问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下
的解决方法：延长 到点 ，使 ，则得到 ，小明证明 用到的
判定定理是： （用字母表示）；
问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，
把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；
拓 展 应 用 ： 以 的 边 ， 为 边 向 外 作 和 ， ， ，
， 是 中点，连接 ， ．当 时，求 的长．
【分析】问题背景：先判断出 ，由对顶角相等 ，进而得出 ；
问题解决：先证明 ，得出 ，最后用三角形三边关系即可得出结论；
拓展应用：如图2，延长 到 ，使得 ，连接 ，同（1）的方法得出 ，
则 ，进而判断出 ，进而判断出 ，得出 ，即可求解．
【解答】解：问题背景：如图1，延长 到点 ，使 ，连接 ，
是 的中线，
，
在 和 中，，
，
故答案为： ；
问题解决：如图1，延长 到点 ，使 ，连接 ，
是 的中线，
，
在 中，
，
，
，
在 中， ，
， ，
，即 ，
，
，
；
拓展应用：如图2，延长 到 ，使得 ，连接 ，由问题背景知， ，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
，
．
12. 如图， 中， 为 的中点．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的取值范围．
【分析】（1）再延长 至 ，使 ，构造 ，再根据三角形的三边关系可得
；
（2）直接利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得，再计算即可．
【解答】（1）证明：由 ，再延长 至 ，使 ，
为 的中点，
，
在 和 中 ，
，
，
在 中， ，
；
（2） ， ，
，
．
13. 如图，平面直角坐标系中， 为 轴正半轴上一点， 、 分别为 轴负半轴， 轴正半轴上的点，
， ， ，连 ．如图， 为 的中点，求证： ．【分析】延长 至点 ，使 ，连接 ，证明 ，根据全等三角形的性质得到
， ，证明 ，根据全等三角形的性质证明；
【解答】证明：延长 至点 ，使 ，连接 ，
在 和 中， ，
，
， ，
， ，
在 和 中， ，
，
，
．14. 如图， 是 的边 上的中线， ， 是 的边 上的中线．求证：
．
【分析】延长 至点 ，使 ，连接 ，由 证得 ，得出 ，
，易证 ，得出 ，证明 ，由 证得 ，
即可得出结论．
【解答】证明：延长 至点 ，使 ，连接 ，如图所示：
是 的边 上的中线，
，
在 与 中， ，
，
， ，
是 的边 上的中线， ，
，
，
，在 与 中， ，
，
．
15. 如图，在 中， ， 是 边上的两点， ， 是 边上的中线，则求证
．
【分析】如图，延长 至 ，使 ，连接 ， ，延长 交 于点 ，通过证明
， ，可得 ， ，利用三角形的三边关系可求解．
【解答】证明：如图，延长 至 ，使 ，连接 ， ，延长 交 于点 ，是 边上的中线，
，且 ， ，
， ，且 ，
，
在 中， ，
在 中， ，
，
，
．
16. 如图1， 中， 为 的中线，点 在 上，且 ．
（1）求证： ．
（2）如图2，连接 ，若 ， ，则 的度数为 （直接写出结果），
【分析】（1）如图1，延长 到 ，使 ，连接 ，由“ ”可证 ，可得
， ，由等腰三角形的性质可得结论；（2）由等腰三角形的性质可得 ，可得 ， ，
即可求解．
【解答】证明：（1）如图1，延长 到 ，使 ，连接 ，
为 的中线，
，且 ，且 ，
，
， ，
，
，
，
；
（2） ， 为 的中线，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
17. 如图， 中，点 是 中点，连接 并延长到点 ，连接 ．（1）若要使 ，应添上条件： ；
（2）证明上题：
（3）在 中，若 ． ，可以求得 边上的中线 的取值范围 ．请看解题过程：
由 得： ， ，因此 ，即 ，而 ，则
请参考上述解题方法，可求得 ，则 的值为 ．
（4）证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（提示：画出图形，写出已知，求证，并加以证
明）
【分析】（1）根据“边角边”求证三角形全等的方法可以添加条件 ；
（2）易证 ，根据“边角边”求证三角形全等的方法即可解题；
（3）根据三角形三边关系即可解题；
（4）已知 中 ， 是斜边中线，求证 ；证明：延长 到点 使得
，连接 ，易证 ，可得 ， ，即可证明 ，
可得 ，即可解题．
【解答】解：（1）应添上条件： ，
故答案为 ；
（2） 点 是 中点，
，
在 和 中， ，
；
（3） 三角形两边之差小于第三边，
，即 ，，
，
故答案为 1；
（4）已知 中 ， 是斜边中线，求证 ，
证明：延长 到点 使得 ，连接 ，
点 是 中点， ，
在 和 中， ，
；
， ，
， ，即 ，
在 和 中， ，
；
，
．
