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全等三角形模型——三垂直与三等角
三垂直模型
如右图已知：∠ D=∠ E=∠ BCA=90，BC=BA；
求证：△BCD≌△CAE.
∵∠D+∠ DCB+∠ B=180°，∠BCA+∠ DCB+∠ ACE=180°，且∠ D=∠BCA.
∴∠ B=∠ ACE.
又 ∵∠ D=∠ E，BC=BA.
∴△BCD≌△CAE.
常见的三垂直模型:
1. 如图， 是等腰直角三角形， 过直角顶点 ， ，则下列结论正确的个数有
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. （2022秋•文登区期中）在 中， ， ．
（1）如图①， 是过点 的一条直线，且 ， 在 的同侧， 于 ， 于 ．写出
， ， 间的数量关系，并写明理由；
（2）如图②， 是过点 的一条直线，且 ， 在 的两侧， 于 ， 于 ．写出
， ， 间的数量关系，并写明理由．3. （2020秋•通河县期末）综合与实践．
积累经验
（1）我们在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在一些探究题中经常用以上知
识转化角和边，进而解决问题．例如：我们在解决：“如图1，在 中， ， ，线
段 经过点 ，且 于点 ， 于点 ．求证： ， ”这个问题时，只
要证明 ，即可得到解决，请写出证明过程；
类比应用
（2）如图2，在平面直角坐标系中， 中， ， ，点 的坐标为 ，点 的坐
标为 ，求点 的坐标．
拓展提升
（3）如图3， 在平面直角坐标系中， ， ，点 的坐标为 ，点 的坐标为
，则点 的坐标为 ．
4. （2021秋•临沂期末）如图， ， ， ， ，垂足分别为 ， ，， ，求 的长．
5. （2020秋•赫山区期末）如图所示，直线 一侧有一个等腰 ，其中 ， ．
直线 过顶点 ，分别过点 ， 作 ， ，垂足分别为点 ， ， 的角
平分线 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，恰好满足 ．延长 ， 交于点 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
6. （2022春•清苑区期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
【模型呈现】
（1）如图 1， ， ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．由
，得 ．又 ，可以推理得到 ．进而得到
， ．我们把这个数学模型称为“ 字”模型或“一线三等角”模型；
【模型应用】
（2）①如图2， ， ， ，连接 ， ，且 于点 ，
与直线 交于点 ．求证：点 是 的中点；②如图3，在平面直角坐标系 中，点 的坐标为 ，点 为平面内任一点．若 是以 为斜
边的等腰直角三角形，请直接写出点 的坐标．
7. 如图， ．
（1）如图①，在平面直角坐标系中，以 为顶点， 为腰在第三象限作等腰 ，若 ，求
点的坐标；
（2）如图②， 为 轴负半轴上一个动点，以 为顶点， 为腰作等腰 ，过 作 轴于
点，当 点沿 轴负半轴向下运动时，试问 的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请
说明理由．
（3）如图③，已知点 坐标为 ， 是 轴负半轴上一点，以 为直角边作等腰 ， 点
在 轴上， ，设 ， ，当 点在 轴的负半轴上沿负方向运动时， 的和是
否变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．
三等角模型
“一线三等角”是一个常见的全等模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的全等模型，这
个角可以是直角，也可以是锐角或钝角.
三等角的推导过程：
已知：∠ A=∠ B=∠ CPD，AC=PB；
求证：△ACP≌△BPD.
∵∠A+∠ APC+∠ C=180°，∠CPD+∠ APC+∠ DPB=180°，且∠ A=∠CPD.
∴∠ C=∠ DPB.
又∵∠ A=∠ B，AC=PB.∴△ACP≌△BPD.
常见的一线三等角模型：
8. 如图，点 ， ， 在一条直线上， ， ，试探究 ， 与
之间的数量关系．
9. （2022•鹿城区二模）如图，在 中， ，点 在 边上，点 在 边上，连接 ，
．已知 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
10. 如图， ， ， 三点都在一条直线上，且 ， ，试探究 ， 与
之间的数量关系．
11. （2021秋•东至县期末）如图，在 中， ， 、 、 三点都在直线 上，并且有
，若 ， ，求 的长．12. （2020秋•江津区期末）问题 1：如图①，在四边形 中， ， 是 上一点，
， ．
求证： ；
问题2：如图②，在三角形 中， ， 是 上一点， ，且 ．
求 的值．
13. 如图①，点 、 在 的边 、 上，点 ， 在 内部的射线 上， 、 分
别是 、 的外角．已知 ， ．求证： ．
应用：如图②，在 中， ， ，点 在边 上，且 ，点 ， 在线段
上． ，若 的面积为15，求 与 的面积之和．
14. 如图，在等腰三角形 中， ， ， 分别为 ， 上一点， ．
（1）如图1，若 ，求证： ；
（2）如图2，过点 作 ，垂足为 ，若 ， ，求 的值．15. （2021春•榆次区校级期末）综合与实践
（1）观察理解：如图1， 中， ， ，直线 过点 ，点 ， 在直线 同侧，
， ，垂足分别为 ， ，由此可得： ，所以 ，又
因 为 ， 所 以 ， 所 以 ， 又 因 为 ， 所 以
；（请填写全等判定的方法）
（2）理解应用：如图2， ，且 ， ，且 ，利用（1）中的结论，请按照
图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积 ；
（3）类比探究：如图3， 中， ， ，将斜边 绕点 逆时针旋转 至 ，
连接 ，求△ 的面积．
（4）拓展提升：如图4，点 ， 在 的边 、 上，点 ， 在 内部的射线 上，
、 分别是 、 的外角．已知 ， ．求证： ；
（5）拓展应用：如图5，在 中， ， ．点 在边 上， ，点 、 在
线段 上， ．若 的面积为15，则 与 的面积之和为 ．
