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（北师大版）七年级上册数学《第 5 章 一元一次方程》
专题 一元一次方程的同解、错解、参数等问题
题型一 直接代入解，解决字母参数的问题
5
1．（2024秋•香坊区校级月考）已知 x＝2是关于x的方程 x﹣2a＝0的解，则代数式 2a﹣1的值是
2
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5
【分析】根据x＝2是关于x的方程 x﹣2a＝0的解，所以将解代入方程即可得出a的值；已知a的值，
2
将a代入代数式2a﹣1中计算，即可求出答案．
5
【解答】解：∵x＝2是关于x的方程 x﹣2a＝0的解，
2
1∴5﹣2a＝0，
5
∴a= ，
2
5
∴2a﹣1＝2× −1＝5﹣1＝4．
2
故选：B．
【点评】本题考查了一元一次方程的解和求代数式的值，关键是明确方程的解满足原方程．
2．（2023秋•张家港市期中）已知x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，则3a3﹣2a2+a﹣4的值
是（ ）
A．1 B．﹣1 C．16 D．14
【分析】把x＝1代入关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0可以求得a的值，然后把x＝2代入所求的代数
式进行求值．
【解答】解：∵x＝1是关于x的方程3x3﹣2x2+x﹣4+a＝0的解，
∴3﹣2+1﹣4+a＝0，
解得，a＝2，
∴3a3﹣2a2+a﹣4＝3×23﹣2×22+2﹣4＝14．
故选：D．
【点评】本题主要考查了方程解的定义，解决本题的关键在于根据方程的解的定义将 x＝1代入，从而
转化为关于a的一元一次方程．
1
3．若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x− |＝1，则m的值是（ ）
2
1 13 1 5 1 5
A． 或 B． C． D．− 或
4 4 4 4 2 4
【分析】解含绝对值符号的一元一次方程要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论，
即去掉绝对值符号得到一般形式的一元一次方程，再求解．
1
【解答】解：因为方程|x− |＝1，
2
1
所以x− =±1，
2
3 1
解得x= 或x=− ，
2 2
1
因为关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x− |＝1，
2
2所以解方程x+2＝2（m﹣x）得，
3x+2
m= ，
2
3 13
当x= 时，m= ，
2 4
1 1
当x=− 时，m= ．
2 4
13 1
所以m的值为： 或 ．
4 4
故选：A．
【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，解决本题的关键是解含绝对值符号的一元一次方程
要根据绝对值的性质和绝对值符号内代数式的值分情况讨论．
4．（2023秋•通州区期末）已知关于x的一元一次方程m（x+1）+4n＝6的解是x＝1，则m+2n﹣3的值为
．
【分析】根据一元一次方程的解的定义把x＝1代入方程即可得到m+2n＝3，然后代入代数式m+2n﹣3
中即可求值．
【解答】解：把x＝1代入方程m（x+1）+4n＝6中得，2m+4n＝6，
即m+2n＝3，
所以m+2n﹣3＝3﹣3＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义以及整体思想，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．
x
5． （2023秋•奎屯市校级月考）已知x＝4是关于x的一元一次方程﹣3m﹣x= +3m的解，则m2020+1的
2
值是 ．
【分析】根据一元一元一次方程的解的定义求得m，再解决此题．
4
【解答】解：由题意得，﹣3m﹣4= +3m．
2
∴﹣3m﹣4＝2+3m．
∴﹣6m＝6．
∴m＝﹣1．
∴m2020+1＝（﹣1）2020+1＝1+1＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查一元一次方程的解、有理数的乘方，熟练掌握一元一次方程的解的定义、有理数
3的乘方是解决本题的关键．
1
6．（2023•成都模拟）若关于x的方程x+2＝2（m﹣x）的解满足方程|x− |＝1，则m的值是 ．
2
【分析】先解得x的值，再代入方程x+2＝2（m﹣x）解得此题结果．
1 1
【解答】解：由题意得，x− =1或x− =−1，
2 2
3 1
解得x= 或x=− ，
2 2
3
当x= 时，
2
3 3
原方程为 + 2＝2（m− ），
2 2
13
∴2m= ，
2
13
解得m= ；
4
1
当x=− 时，
2
1 1
原方程为− +2＝2（m+ ），
2 2
1
∴2m= ，
4
1
解得m= ，
4
1 13
故答案为： 或 ．
4 4
【点评】此题考查了含绝对值的一元一次方程的解决能力，关键是能分类讨论正确求解．
7．（2023秋•烟台期末）已知 x＝﹣1是关于x的方程2a+2＝﹣1﹣bx的解．求代数式5（2a﹣b）﹣
2a+b+2的值．
【分析】根据方程解的定义，把x＝﹣1代入关于x的方程2a+2＝﹣1﹣bx，即可得出代数式5（2a﹣b）
﹣2a+b+2的值．
【解答】解：当x＝﹣1时，2a+2＝﹣1+b，
即2a﹣b＝﹣3，
∴5（2a﹣b）﹣2a+b+2
＝5（2a﹣b）﹣（2a﹣b）+2
4＝﹣15+3+2
＝﹣10．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，以及整式的加减，把2a﹣b作为整体，是数学中常用的整体思
想．
3
8．（2023春•长春期中）已知关于x的方程4x+2m＝3x+1的解是x＝0，试求(−2m) 2021−(m− ) 2020 的值．
2
【分析】将x＝0代入原方程，可求出m的值，再将m的值代入原式，即可求出结论．
【解答】解：将x＝0代入原方程得：2m＝1，
1
解得：m= ，
2
1 1 3
∴原式＝（﹣2× ）2021﹣（ − ）2020，
2 2 2
＝（﹣1）2021﹣（﹣1）2020
＝﹣1﹣1
＝﹣2．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的
关键．
x m(x−1)
9．（2024秋•南岗区校级月考）已知x＝3是关于x的方程3[( +1)+ ]=2的解，n满足关系式|
3 4
2n+3m|＝0，求m+n的值．
【分析】把x＝3代入方程求出m的值，再代入关系式求出n，进而把m、n的值代入代数式计算即可求
解．
x m(x−1)
【解答】解：将x＝3代入方程3[( +1)+ ]=2中得，
3 4
3 m×(3−1)
3[ +1+ ]=2，
3 4
8
解得m=− ，
3
8 8
将m=− 代入关系式|2n+3m|＝0中得，|2n−3× |=0，
3 3
∴2n﹣8＝0，
解得n＝4，
8 4
∴m+n=− +4= ．
3 3
5【点评】本题考查了方程的解，代数式求值，掌握方程解的定义是解题的关键．
题型二 一元一次方程同解问题
1．（2023秋•平凉期末）若关于x的方程2﹣a﹣x＝0的解和方程2x+1＝3的解相同，则a的值为（ ）
A．7 B．2 C．1 D．﹣1
【分析】先求出第一个方程的解，再把x＝1代入第二个方程得出2﹣a﹣1＝0，再求出a即可．
【解答】解：解方程2x+1＝3得：x＝1，
把x＝1代入2﹣a﹣x＝0得：2﹣a﹣1＝0，
解得：a＝1．
故选：C．
【点评】本题考查了同解方程，能得出关于a的方程2﹣a﹣1＝0是解此题的关键．
2．（2024春•商水县期中）若关于x的方程3﹣m+x＝0的解和方程2（x+1）﹣1＝3的解相同，则m的值
为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】解方程2（x+1）﹣1＝3，将其解代入关于x的方程3﹣m+x＝0，得到关于m的一元一次方程并
求解即可．
【解答】解：解方程2（x+1）﹣1＝3，得x＝1，
将x＝1代入关于x的方程3﹣m+x＝0，得4﹣m＝0，
解得m＝4．
故选：B．
【点评】本题考查同解方程，掌握一元一次方程的解法是本题的关键．
2−3|k|
3．（2024春•麦积区期末）已知关于x的方程2x＝8与x+2＝﹣k的解相同，则代数式 的值是（
k2
）
9 4 4 4
A．− B． C．− D．±
4 9 9 9
【分析】先通过解方程求得，x与k的值，再代入代数式求值．
【解答】解：解方程2x＝8，
得：x＝4，
把x＝4代入x+2＝﹣k，
得：4+2＝﹣k，
解得：k＝﹣6，
62−3|k|
把k＝﹣6代入 ，
k2
2−3|k| 2−3|−6| 4
原式
= = =−
．
k2 (−6) 2 9
故选：C．
【点评】本题是求代数式的值，但需要先解两个方程，解方程时一定要保证每一步都正确，否则代数式
的值也会求错．
2a+x
4．（2024春•鲤城区期末）如果关于x的方程3x﹣2＝4和方程3− =1的解相同，那么a的值为
4
．
2a+x
【分析】先求出方程3x﹣2＝4的解，代入方程3− =1中得关于a的一元一次方程，求解即可．
4
【解答】解：解方程3x﹣2＝4，得x＝2．
2a+x
把x＝2代入方程3− =1，
4
2a+2
得3− =1．
4
去分母，得12﹣2a﹣2＝4，
整理，得2a＝6，
∴a＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解决本题的关键．
x−4 x+2
5．（2023秋•东台市期中）如果关于x的方程 =8− 的解与方程4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解相
3 2
同，求a的值．
【分析】先求出第一个方程的解，然后代入第二个方程得到关于a的一元一次方程，再根据一元一次方
程的解法进行求解即可．
x−4 x+2
【解答】解：解方程 =8− 得：x＝10，
3 2
由题意：4x﹣（3a+1）＝6x+2a﹣1的解为x＝10，
代入得：4×10﹣（3a+1）＝6×10+2a﹣1，
解得：a＝﹣4．
7【点评】本题考查了同解方程，同解方程就是解相同的方程，本题先求出第一个方程的解是解题的关键．
x−4 1
6．（2024秋•南岗区校级月考）若关于 x的方程2x+5＝a的解和关于x的方程与 −2= 的解相同，
3 2
求字母a的值．
【分析】先分别解出两个一元一次方程，再令其解相等得到关于a的方程，求解即可．
【解答】解：解方程2x+5＝a，
a−5
解得x= ，
2
x−4 1
解方程 −2= ，
3 2
23
解得x= ，
2
由题意得：
a−5 23
= ，
2 2
解得：a＝28．
【点评】本题考查了同解方程，掌握同解方程的意义及一元一次方程的解法是解题关键．
2x−3 2 1
7．（2023秋•仙游县校级期末）如果方程 = x﹣2与3a− =3（x+a）﹣2a的解相同，求（a﹣3）2
5 3 4
的值．
2x−3 2 1
【分析】通过解关于x的方程 = x﹣2求得x的值，然后将x的值代入3a− =3（x+a）﹣2a列
5 3 4
出关于a的新方程，通过解该新方程即可求得a的值，再代入计算即可求解．
2x−3 2
【解答】解：由关于x的方程 = x﹣2，解得x＝5.25
5 3
2x−3 2 1
∵关于x的方程 = x﹣2与3a− =3（x+a）﹣2a的解相同，
5 3 4
1
∴3a− =3（5.25+a）﹣2a，
4
解得a＝8．
∴（a﹣3）2＝（8﹣3）2＝25．
【点评】本题考查了同解方程的定义．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的
值．
82x+1 5x−1
8．（2023春•安岳县校级期中）已知关于x的一元一次方程 − =1．
3 6
（1）求这个方程的解；
（2）若这个方程的解与关于x的方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解相同，求m的值．
【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）根据题意可知x＝﹣3是方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解，把x＝﹣3代入方程3（x+m）＝﹣（x
﹣1）中得到关于m的方程，解方程即可．
2x+1 5x−1
【解答】解：（1） − =1
3 6
去分母得：2（2x+1）﹣（5x﹣1）＝6，
去括号得：4x+2﹣5x+1＝6，
移项得：4x﹣5x＝6﹣1﹣2，
合并同类项得：﹣x＝3，
系数化为1得：x＝﹣3；
（2）由题意得x＝﹣3是方程3（x+m）＝﹣（x﹣1）的解，
∴3（﹣3+m）＝﹣（﹣3﹣1），
∴3m﹣9＝4，
13
解得m= ．
3
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
9．（2023秋•萧县期末）已知关于x的方程（|k|﹣3）x2﹣（k﹣3）x+2m+1＝0是一元一次方程．
（1）求k的值；
（2）若已知方程与方程3x＝4﹣5x的解相同，求m的值．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义进行解答．
（2）先解方程3x＝4﹣5x，再把方程的解代入原方程可得m的值．
【解答】解：（1）由题意得|k|﹣3＝0，k﹣3≠0，
∴k＝﹣3；
（2）3x＝4﹣5x，
3x+5x＝4，
1
x= ，
2
原方程为：6x+2m+1＝0，
91
把x= 代入：3+2m+1＝0，
2
m＝﹣2．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的一般形式和解一元一次方程，明确一元一次方程只含有一个未
知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
10．（2023秋•利州区校级期末）已知方程4x+2m＝3x+1和方程3x+2m＝6x+1的解相同．
（1）求m的值；
3
（2）求代数式（﹣2m）2022−(m− ) 2021 的值．
2
【分析】（1）分别解出两个方程的解，根据解相同列出方程，解方程即可；
（2）代入求值即可．
【解答】解：（1）由4x+2m＝3x+1解得：x＝1﹣2m，
2m−1
由3x+2m＝6x+1解得：x= ，
3
2m−1
由题知：1﹣2m= ，
3
1
解得：m= ；
2
1
（2）当m= 时，
2
3
（﹣2m）2022﹣（m− ）2021
2
1 1 3
＝（﹣2× ）2022﹣（ − ）2021
2 2 2
＝1+1
＝2．
【点评】本题考查了同解方程，解一元一次方程，列出关于m的方程是解题的关键．
题型三 利用两个方程的解的关系求值
k+x
1．（2023秋•沂源县期末）方程2﹣3（x+1）＝0的解与关于x的方程 −3k﹣2＝2x的解互为相反数，
2
求k的值
1 k+x
【分析】直接解方程得出x=− ，进而得出关于x的方程 −3k﹣2＝2x的解，求出答案即可．
3 2
10【解答】解：∵2﹣3（x+1）＝0，
1
∴解得：x=− ，
3
k+x
∵方程2﹣3（x+1）＝0的解与关于x的方程 −3k﹣2＝2x的解互为相反数，
2
k+x 1
∴关于x的方程 −3k﹣2＝2x的解x= ，
2 3
1
k+ 2
∴ 3 3k﹣2 = ，
− 3
2
解得：k＝﹣1．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，正确得出x的值是解题关键．
2．（2024春•宛城区校级月考）已知关于x的方程2x+3＝x+k与x﹣3＝5k，如果这两个方程的解的和为
6，请你求出k的值．
【分析】分别计算出两个方程的解，根据两个方程的解的和为6列出方程，即可解答．
【解答】解：解方程2x+3＝x+k，得x＝k﹣3，
解方程x﹣3＝5k，得x＝5k+3，
∵这两个方程的解的和为6，
∴k﹣3+5k+3＝6，
解得：k＝1．
【点评】本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是先求出两个方程的根，根据两个方程的解的和
列出关于k的方程．
3．（2023 秋•高港区校级月考）已知关于 x 的方程①：x+1﹣2m＝﹣m 的解比方程②：
3 5
(m−x)−2= x的解大2．求m的值以及方程②的解．
2 4
【分析】用含m的式子分别表示出方程①和方程②的解，根据方程①的解比方程②的解大2列出关
于m的方程，求解可得m的值，将m的值代入方程②中即可解得x的值．
【解答】解：解x+1﹣2m＝﹣m得：x＝m﹣1，
3 5 6 8
解 (m−x)−2= x得：x= m− ，
2 4 11 11
∵方程①的解比方程②的解大2，
6 8
∴m−1−( m− )=2，
11 11
11解得：m＝5，
3 5
将m＝5代入方程②中得： (5−x)−2= x，
2 4
解得：x＝2．
【点评】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
4．（2023秋•石景山区校级期末）已知关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1，求a的
值．
【分析】分别解出关于x的方程12x﹣a＝0的解和方程a+8x＝2+4x的解，然后根据已知条件“关于x的
方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1”列出关于a的一元一次方程，解方程即可．
a
【解答】解：由方程12x﹣a＝0，得x= ，
12
2−a
由方程a+8x＝2+4x，得x= ，
4
又∵关于x的方程中，12x﹣a＝0的解比a+8x＝2+4x的解大1，
a 2−a
∴ − =1，
12 4
去分母，得a﹣3（2﹣a）＝12，
去括号，得a﹣6+3a＝12，
移项，得a+3a＝6+12，
合并同类项，得4a＝18，
化系数为1，得a＝4.5．
【点评】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类
项、化系数为1．注意移项要变号．
5．（2023秋•太仓市期末）已知关于 x的一元一次方程 2x+10﹣3m＝0的解与关于 x的一元一次方程
x+1 2(n+1) 9
+ =1的解互为相反数，求代数式 m﹣4n﹣1的值．
2 3 2
【分析】分别解方程，进而用m，n分别表示出x，再结合相反数的定义得出等式，将原式变形求出答
案．
【解答】解：2x+10﹣3m＝0，
则2x＝3m﹣10，
3m−10
解得：x= ，
2
12x+1 2(n+1)
+ =1，
2 3
则3（x+1）+4（n+1）＝6，
故3x+3+4n+4＝6，
3x＝﹣1﹣4n，
1+4n
解得：x=− ，
3
x+1 2(n+1)
∵关于x的一元一次方程2x+10﹣3m＝0的解与关于x的一元一次方程 + =1的解互为相反
2 3
数，
3m−10 1+4n
∴ − = 0，
2 3
去分母得：3（3m﹣10）﹣2（1+4n）＝0，
则9m﹣30﹣2﹣8n＝0，
故9m﹣8n＝32，
9 1
则 m﹣4n﹣1= （9m﹣8n）﹣1
2 2
1
= ×32﹣1
2
＝16﹣1
＝15．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题关键．
3
6．（2024春•桐柏县校级月考）当k为何值时，关于x的方程 +8x＝7k+6x的解比关于x的方程k（2+x）
4
＝x（k+2）的解大6．
3
【分析】通过解关于x的方程 +8x＝7k+6x、k（2+x）＝x（k+2），分别求得它们的解，然后依题意列
4
出关于k的方程，求出k的值即可．
3 28k−3
【解答】解方程 +8x＝7k+6x的解是：x= ；
4 8
方程k（2+x）＝x（k+2）的解是：x＝k，
28k−3
依题意，得 −k＝6，
8
1351
解得，k= ．
20
【点评】本题考查了一元一次方程的解的定义．定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做
一元一次方程的解．
x+a 2x−a 5
7．（2023秋•亭湖区校级月考）已知关于x的方程3（x﹣2）＝x﹣a的解比 = 的解小 ，求2a
2 3 2
﹣3的值．
【分析】先分别求出两个方程的解，根据题意得出关于a的一元一次方程，再求出方程的解，最后求出
答案即可．
6−a
【解答】解：解方程3（x﹣2）＝x﹣a得：x= ，
2
x+a 2x−a
解方程 = 得：x＝5a，
2 3
x+a 2x−a 5
∵关于x的方程3（x﹣2）＝x﹣a的解比 = 的解小 ，
2 3 2
6−a 5
∴ =5a− ，
2 2
解得：a＝1，
∴2a﹣3＝2×1﹣3＝﹣1．
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
x+1 x−m m
8．（2023秋•常州期中）已知关于x的方程 =3x﹣2与 =x+ 的解互为倒数，求m的值．
2 2 3
【分析】先求出两方程的解，再由倒数的定义即可得出结论．
x+1
【解答】解：解方程 = 3x﹣2得，x＝1，
2
x−m m 5m
解方程 =x+ 得，x=− ，
2 3 3
x+1 x−m m
∵关于x的方程 =3x﹣2与 =x+ 的解互为倒数，
2 2 3
5m
− ×1＝1，
3
3
解得m=− ．
5
【点评】本题考查的是一元一次方程的解，熟知使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一
14次方程的解是解答此题的关键．
9．（2024春•朝阳区校级月考）已知关于x的方程（5﹣|m|）x2+（5﹣m）x+n﹣2＝0是一元一次方程．
（1）求m的值；
（2）若此方程的解与方程5x﹣7＝8的解互为倒数，求n的值．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义得出5﹣|m|＝0，5﹣m≠0，即可求出m的值；
（2）先求出方程5x﹣7＝8的解，然后代入方程10x+n﹣2＝0中即可求出n的值．
【解答】解：（1）∵关于x的方程（5﹣|m|）x2+（5﹣m）x+n﹣2＝0是一元一次方程，
∴5﹣|m|＝0，5﹣m≠0，
∴m＝﹣5；
（2）当m＝﹣5时，方程为10x+n﹣2＝0，
解方程5x﹣7＝8得x＝3，
1
∴方程10x+n﹣2＝0的解是x= ，
3
1
∴10× +n﹣2＝0，
3
4
解得n=− ．
3
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程，熟知一元一次方程的定义及解一元一次方
程的步骤是解题的关键．
题型四 利用一元一次方程解决错解问题
1．（2023•平桥区校级开学）王涵同学在解关于x的一元一次方程7a+x＝18时，误将+x看作﹣x，得方程
的解为x＝﹣4，那么原方程的解为（ ）
A．x＝4 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝﹣2
【分析】把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18，得出方程7a+4＝18，求出a的值，再代入方程，求出方程的
解即可．
【解答】解：把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18得：7a+4＝18，
解得：a＝2，
即原方程为14+x＝18，
解得：x＝4．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解的应用，能得出关于a的一元一次方程是解此
15题的关键．
2．（2024春•镇平县月考）小李在解关于 x的方程5a﹣x＝13时（其中a为已知数），误将“﹣x”中的
“﹣”号看成“+”号，得方程的解为x＝﹣2，则原方程的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝1
【分析】将x＝﹣2代入方程5a+x＝13，可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值，再将其
代入原方程，解之即可得出结论．（亦可根据两个方程的解互为相反数直接得出结论）
【解答】解：将x＝﹣2代入方程5a+x＝13得：5a﹣2＝13，
解得：a＝3，
∴原方程为5×3﹣x＝13，
解得：x＝2，
∴原方程的解为x＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的
关键．
2x−1 x+a
3．（2023秋•椒江区校级期中）小明解方程 +1= ，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1
5 2
没有乘10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并求出方程的正确解．
【分析】把x＝4代入小明粗心得出的方程，求出a的值，代入方程求出解即可．
【解答】解：由题意可知：（在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4），
2（2x﹣1）+1＝5（x+a），
把x＝4代入得：a＝﹣1，
2x−1 x−1
将a＝﹣1代入原方程得： +1= ，
5 2
去分母得：4x﹣2+10＝5x﹣5，
移项合并得：﹣x＝﹣13，
解得x＝13．
【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．
x−a x+1
4．（2023秋•西安期末）小芳同学在解关于x的一元一次方程 −1= 时，误将x﹣a抄成x+a，求
2 3
得方程的解为x＝2，请帮小芳求出原方程正确的解．
x+a x+1
【分析】依题意得方程 −1= 的解为x＝2，根据一元一次方程根的定义可求出a＝2，进而得
2 3
16x−2 x+1
原方程为 −1= ，然后再解原方程求出x即可．
2 3
x+a x+1
【解答】解：依题意得：方程 −1= 的解为x＝2，
2 3
2+a 2+1
∴ −1= ，
2 3
2+a
∴ =2，
2
∴2+a＝4，
∴a＝2，
x−2 x+1
∴原方程为 −1= ，
2 3
去分母，方程两边同时乘以6，得：3（x﹣2）﹣6＝2（x+1），
去括号，得：3x﹣6﹣6＝2x+2，
移项，得：3x﹣2x＝2+6+6，
合并同类项，得：x＝14．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，理解一元一次方程的解，熟练掌握解一
元一次方程的方法是解决问题的关键．
3 y−a 5 y−7a
5．（2023秋•前郭县期末）某同学在解关于y的方程 − =1去分母时，忘记将方程右边的
4 6
1乘以12，从而求得方程的解为y＝10．
（1）求a的值；
（2）求方程正确的解．
【分析】（1）根据题意得3（3y﹣a）﹣2（5y﹣7a）＝1，将y＝10代入方程即可求a的值；
（2）当a＝1代入原方程再求解即可．
【解答】解：（1）该同学去分母时方程右边的1忘记乘12，
则原方程变为3（3y﹣a）﹣2（5y﹣7a）＝1，
∵方程的解为y＝10，
代入得3（30﹣a）﹣2（50﹣7a）＝1．
解得a＝1．
3 y−a 5 y−7a 3 y−1 5 y−7
（2）将a＝1代入方程 − =1，得 − =1，
4 6 4 6
解得y＝﹣1，
17即原方程的解为y＝﹣1．
【点评】本题考查一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键．
2x−1 x+a
6．（2023秋•乳山市期末）小明在解关于x的方程 = −1，由于在去分母的过程中等号右边的
3 2
﹣1漏乘6，所以得到方程的解为x＝﹣2．求a的值及方程的正确解．
【分析】先按照小明的解法可得去分母后为：2×（﹣2×2﹣1）＝3（﹣2+a）﹣1，从而可得a的值，再
把a＝﹣1代入原方程，再解方程即可．
【解答】解：按照小明的解法可得去分母后为：
2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1，
将x＝﹣2代入方程后，
2×（﹣2×2﹣1）＝3（﹣2+a）﹣1，
∴﹣10＝﹣7+3a，
解得a＝﹣1．
将a＝﹣1代入方程，
2x−1 x−1
= −1，
3 2
去分母得：2（2x﹣1）＝3（x﹣1）﹣6，
整理得：4x﹣3x＝﹣9+2，
解得：x＝﹣7．
【点评】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解方程的步骤与方法是解本题的关键．
2x−1 x+a
7．（2024春•市中区校级期中）小明解方程 +1= ，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1
5 2
没有乘10，由此求得的解为x＝4，试求a的值，并求出方程的正确解．
【分析】把x＝4代入小明粗心得出的方程，求出a的值，代入方程求出解即可．
【解答】解：由题意可知：（在去分母时，方程左边的1没有乘10，由此求得的解为x＝4），
2（2x﹣1）+1＝5（x+a），
把x＝4代入得：a＝﹣1，
2x−1 x−1
将a＝﹣1代入原方程得： +1= ，
5 2
去分母得：4x﹣2+10＝5x﹣5，
移项合并得：﹣x＝﹣13，
解得x＝13．
18【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意各项都乘以各分母的最小公倍数．
8．小王在解关于x的方程3a﹣2x＝15时，误将﹣2x看作2x，得方程的解x＝3，
（1）求a的值；
（2）求此方程正确的解；
（3）若当y＝a时，代数式my3+ny+1的值为5，求当y＝﹣a时，代数式my3+ny+1的值．
【分析】（1）把x＝3代入方程即可得到关于a的方程，求得a的值；
（2）把a的值代入方程，然后解方程求解；
（3）把y＝a代入my3+ny+1得到m和n的式子，然后把y＝﹣a代入my3+ny+1，利用前边的式子即可代
入求解．
【解答】解：（1）把x＝3代入3a+2x＝15得3a+6＝15，
解得：a＝3；
（2）把a＝3代入方程得：9﹣2x＝15，
解得：x＝﹣3；
（3）把y＝a代入my3+ny+1得27m+3n+1＝5，
则27m+3n＝4，
当y＝﹣a时，my3+ny+1＝﹣27m﹣3n+1＝﹣（27m+3n）+1＝﹣4+1＝﹣3．
【点评】本题考查了方程的解的定义，以及代数式的求值，正确理解方程的解的定义，方程的解就是能
使方程左右两边相等的未知数的值，是关键．
2x−1 x+a
9．（2024春•农安县期中）小红解方程 = −1时，在去分母的过程中，右边的﹣1漏乘公分母
3 2
6，因而求得方程的解为x＝2．
（1）求a的值；
（2）求出方程的正确解；
（3）根据你的学习经验，给同学们提一条关于解一元一次方程的注意事项．
【分析】（1）把x＝2代入方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1得到关于a的方程，求解得到a的值；
2x−1 x+a
（2）把a的值代入方程 = −1，得到关于x的方程，求解即可；
3 2
（3）根据解题经验提一条合理化建议即可．
【解答】解：（1）由题意得x＝2是方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1的解，
把x＝2代入方程2（2x﹣1）＝3（x+a）﹣1得
2[2×2﹣1]＝3×（2+a）﹣1，
191
解得a= ，
3
1
x+
（2）2x−1 3
= −1
3 2
1
去分母，得2（2x﹣1）＝3（x+ ）﹣6，
3
去括号，得4x﹣2＝3x+1﹣6，
移项，得4x﹣3x＝2+1﹣6，
合并同类项，得x＝﹣3，
∴原方程正确的解为x＝﹣3．
（3）去分母时，不要漏乘没有分母的项（答案不唯一）．
【点评】本题考查方程的解和解方程，理解方程的解和熟练掌握解一元一次方程是解题的关键．
题型五（拓展）一元一次方程的正整数解问题
1．（2023秋•兴隆县期末）方程mx+2x﹣12＝0是关于x的一元一次方程，若此方程的解为正整数，则正
整数m的值有几个？（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据方程的解是正整数，可得（m+2）是12的约数，根据12的约数，可得关于m的方程，根
据解方程，可得答案．
【解答】解：由mx+2x﹣12＝0，
12
得x= ，
m+2
∵方程mx+2x﹣12＝0是关于x的一元一次方程，此方程的解为正整数，m是正整数，
∴m+2＝3或4或6或12，
解得m＝1或2或4或10，
∴正整数m的值有4个．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确理解m+2＝3或4或6或12是关键．
2．若关于x的方程5x﹣3＝kx+4有整数解，那么满足条件的所有整数k的和为（ ）
A．20 B．6 C．4 D．2
【分析】先求得x的值，再根据题意得出整数k的值．
【解答】解：由5x﹣3＝kx+4，得（5﹣k）x＝7，
207
解得x= ，
5−k
∵关于x的方程5x﹣3＝kx+4有整数解，
∴5﹣k＝﹣7或﹣1或1或7，
∴k＝12或6或4或﹣2，
12+6+4+（﹣2）＝20．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
2−mx x+1
3．（2023秋•九龙坡区校级期末）若关于x的方程x− = 的解是整数解，m是整数，则所有m
6 3
的值加起来为（ ）
A．﹣5 B．﹣16 C．﹣24 D．18
【分析】根据解一元一次方程的一般步骤表示出x的代数式，分析解答即可．
2−mx x+1
【解答】解：解方程x− = ，
6 3
4
得：x= ，
4+m
4
根据题意可知x= 为整数，m是整数，
4+m
4
当m的值为0，﹣2，﹣3，﹣5，﹣6，﹣8时， 为整数，
4+m
∴0+（﹣2）+（﹣3）+（﹣5）+（﹣6）+（﹣8）＝﹣24，
故选：C．
【点评】本题考查了根据一元一次方程解的情况求参数，熟练掌握解一元一次方程的一半步骤是解本题
的关键．
4．已知关于x的方程kx＝5﹣x，有正整数解，则整数k的值为 ．
【分析】根据方程的解是正整数，可得5的约数．
【解答】解：由kx＝5﹣x，得
5
x= ．
k+1
由关于x的方程kx＝5﹣x，有正整数解，得
5是（k+1）的倍数，
得k+1＝1或k+1＝5．
21解得k＝0或k＝4，
故答案为：0或4．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是正整数得出关于k的方程是解题关键．
3
5．已知关于x的一元一次方程mx﹣1＝2（x+ ）的解是正整数，则整数m的值为 ．
2
【分析】根据方程的解是正整数，可得4的约数，根据4的约数，可得关于m的方程，根据解方程，可
得答案．
3
【解答】解：由mx﹣1＝2（x+ ），得
2
4
x= ，
m−2
3
因为关于x的方程mx﹣1＝2（x+ ）的解是正整数，得
2
m﹣2＝1，m﹣2＝2，或m﹣2＝4．
解得m＝3，m＝4，或m＝6．
故答案为：3或4或6．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，利用方程的解是正整数得出关于m的方程是解题关键．
6．（2023秋•邗江区校级期末）若关于x的方程2ax＝（a+1）x+6的解为正整数，求整数a的值．
【分析】首先解方程表示出x的值，然后根据解为正整数求解即可．
【解答】解：2ax＝（a+1）x+6，
移项得：2ax﹣（a+1）x＝6，
合并同类项得：（a﹣1）x＝6，
6
系数化为1得：x= ，
a−1
∵关于x的方程2ax＝（a+1）x+6的解为正整数，
6
∴x= 为正整数，
a−1
∴a﹣1＝1或a﹣1＝2或a﹣1＝3或a﹣1＝6∴a＝2或a＝3或a＝4或a＝7．
【点评】本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去
分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
7．设m为整数，且关于x的一元一次方程（m﹣5）x+m﹣3＝0．
（1）当m＝2时，求方程的解；
（2）若该方程有整数解，求m的值．
22【分析】（1）把m＝2代入原方程，得到关于x得一元一次方程，解之即可，
（2）根据“m≠5，该方程有整数解，且m是整数”，结合一元一次方程的解题步骤，得到关于 m的几
个一元一次方程，解之即可．
【解答】解：（1）当m＝2时，原方程为﹣3x﹣1＝0，
1
解得，x=− ，
3
（2）当m≠5时，方程有解，
3−m 2
x= =−1− ，
m−5 m−5
∵方程有整数解，且m是整数，
∴m﹣5＝±1，m﹣5＝±2，
解得，m＝6或m＝4或m＝7或m＝3．
【点评】本题考查了一元一次方程的解和一元一次方程的定义，解题的关键：（1）正确掌握一元一次
方程的解题步骤，（2）正确掌握一元一次方程的定义和一元一次方程的解题步骤．
2−ax x
8．（2023秋•西城区校级期中）已知关于x的方程x− = −2有非负整数解，求整数a的所有可能
6 3
的取值．
【分析】直接解方程进而利用非负整数的定义进行分情况讨论，分别为 4+a＝﹣10或4+a＝﹣5或4+a
＝﹣2或4+a＝﹣1，进而得出满满足条件的a的值．
2−ax x
【解答】解：x− = −2，
6 3
则6x﹣（2﹣ax）＝2x﹣12，
故6x﹣2+ax＝2x﹣12，
（4+a）x＝﹣10，
10
解得：x=− ，
4+a
10
∵− 是非负整数，
4+a
∴a＝﹣5或﹣6，﹣9，﹣14时，x的解都是非负整数．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的解，正确掌握相关定义是解题关键．
9．（2023秋•城厢区校级月考）已知关于x的一元一次方程（m﹣5）xn﹣1+m﹣3＝0，其中m为整数．
（1）求n的值；
（2）若该方程与方程2x﹣5＝3（x﹣1）同解，求m的值；
23（3）若该方程有整数解，求m的值．
【分析】（1）一元一次方程指只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的方程，据
此即可获得答案；
（2）首先解方程2x﹣5＝3（x﹣1）可得x＝﹣2，然后将x＝﹣2代入方程（m﹣5）x+m﹣3＝0并求解，
即可获得答案；
2
（3）根据题意，当m﹣5≠0时，x=−1+ ，易知当（m﹣5）取±1、±2时才能使该方程有整数解
m−5
m−3
x=− 为整数，然后求解即可．
m−5
【解答】解：（1）根据题意，方程（m﹣5）xn﹣1+m﹣3＝0为关于x的一元一次方程，
∴m﹣5≠0，n﹣1＝1，
解得m≠5，n＝2，
∴n的值为2；
（2）解方程2x﹣5＝3（x﹣1），可得x＝﹣2，
依题意得，方程（m﹣5）x+m﹣3＝0的解为x＝﹣2，
将x＝﹣2代入方程（m﹣5）x+m﹣3＝0，
可得（m﹣5）×（﹣2）+m﹣3＝0，
解得m＝7，
∴m的值为7；
（3）∵关于x的一元一次方程（m﹣5）x+m﹣3＝0有整数解，
m−3 2
∴当m﹣5≠0时，x=− =−1+ ，
m−5 m−5
m−3
∵当（m﹣5）取±1、±2时才能使该方程有整数解x=− 为整数，
m−5
当m﹣5＝﹣1时，m＝4，
当m﹣5＝1时，m＝6，
当m﹣5＝﹣2时，m＝3，
当m﹣5＝2时，m＝7，
综上所述，m＝3或m＝4或m＝6或m＝7．
【点评】本题主要考查了一元一次方程的定义、解一元一次方程、一元一次方程的解等知识，熟练掌握
一元一次方程的定义是解题关键．
2425
