文档内容
（北师大版）七年级上册数学《第 4 章 基本平面图形》
专题 与角度有关的计算问题（解答题 35 题）
（ 基础题＆提升题＆压轴题 ）
题型一 基础题
1．（2023秋•同安区期末）如图，点O在直线AB上，∠BOC＝20°，∠COD＝90°，OE是∠BOD的角平
分线，求∠COE的度数．
【分析】先根据角的和差求出∠BOD的度数，在根据角的平分线定义求出∠BOE的度数，最后根据角
的和差求解即可．
【解答】解：∵∠BOC＝20°，∠COD＝90°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝110°，
又OE是∠BOD的角平分线，
1
∴∠BOE＝ ∠BOD＝55°，
2
∴∠COE＝∠BOE﹣∠BOC＝35°．
【点评】本题考查了角平分线的有关计算，正确求出∠BOE的度数是解题的关键．
2．（2023秋•吉安期末）如图，已知∠1：∠3：∠4＝1：2：4，∠2＝80°，求∠1、∠3、∠4的度数．
【分析】设∠1＝x，∠3＝2x，∠4＝4x，根据∠2＝80°，列出∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，即可求解．
1【解答】解：设∠1＝x，∠3＝2x，∠4＝4x，
根据∠2＝80°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝360°，
代入即得：x+80°+2x+4x＝360°，解得：x＝40°，
故∠1＝40°，∠3＝80°，∠4＝160°
【点评】本题考查了角的计算，属于基础题，关键是根据题意正确列出方程进而求解．
3．（2023秋•西峡县期末）如图，∠AOB＝∠COD＝90°，OC平分∠AOB，∠BOD＝3∠DOE．试求
∠COE的度数．
【分析】先根据角平分线定义求出∠COB的度数，再求出∠BOD的度数，求出∠BOE的度数，即可得
出答案．
【解答】解：∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，
1
∴∠COB= ∠AOB＝45°，
2
∵∠COD＝90°，
∴∠BOD＝45°，
∵∠BOD＝3∠DOE，
∴∠DOE＝15°，
∴∠BOE＝30°，
∴∠COE＝∠COB+∠BOE＝45°+30°＝75°．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，能求出∠DOE的度数是解此题的关键．
4．（2023 秋•天心区期末）如图，O 为直线 AB 上一点，OC 平分∠AOD，∠AOC＝60°，∠BOD＝
3∠DOE，求∠DOE的度数．
2【分析】根据OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，得出∠AOD＝120°，再根据平角的定义得出∠BOD＝
60°，然后根据∠BOD＝3∠DOE，即可得出∠DOE的度数．
【解答】解：∵OC平分∠AOD，∠AOC＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠BOD＝60°，
∵∠BOD＝3∠DOE，
1
∴∠DOE= ×60°＝20°．
3
【点评】本题主要考查角的计算的知识点，运用好角的平分线这一知识点是解答的关键．
1
5．（2023秋•泉港区期末）如图，∠COD＝45°，∠BOD= ∠COD，OC是∠AOB的平分线，求∠AOD的
3
度数．
1
【分析】根据，∠COD＝45°，∠BOD= ∠COD，可求出∠BOD、∠COB的度数，OC是∠AOB的平
3
分线，求出∠AOB，进而求出∠AOD的度数．
1
【解答】解：∵∠COD＝45°，∠BOD= ∠COD，
3
1
∴∠BOD= ×45°＝15°，
3
∴∠COB＝∠COD﹣∠BOD＝45°﹣15°＝30°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠COB＝2×30°＝60°，
3∴∠AOD＝∠BOD+∠AOB＝15°+60°＝75°．
【点评】考查角的意义、角的和差、以及角平分线的意义等知识，依据图形理清各个角之间的关系式正
确计算的关键．
6．（2023秋•泸县校级期末）如图，OE是∠COA的平分线，∠AOB＝∠COD．
（1）若∠AOE＝50°，∠COD＝18°，求∠BOC的度数；
（2）比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由．
【分析】（1）依据角平分线的定义，即可得到∠AOC的度数，再根据角的和差关系，即可得出∠BOC
的度数；
（2）依据等式的性质，即可得到∠AOC＝∠BOD．
【解答】解：（1）∵OE是∠COA的平分线，∠AOE＝50°，
∴∠AOC＝2∠AOE＝100°，
又∵∠AOB＝∠COD＝18°，
∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝100°﹣18°＝82°；
（2）∠AOC＝∠BOD．
理由：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，
∴∠AOC＝∠BOD．
【点评】本题主要考查了角的大小比较以及角平分线的定义的运用，从一个角的顶点出发，把这个角分
成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
7．（2023秋•南沙区期末）如图，将一副三角尺叠放在一起．三角尺 ABC的三个角是45°，45°，90°，三
角尺ADE的三个角是30°，60°，90°．
（1）若∠CAE＝58°，求∠BAE的度数；
（2）若∠CAE＝2∠BAD，求∠CAD的度数．
4【分析】（1）用90°减去∠CAE的度数，求出的差就是∠BAE的度数；
（2）设∠BAD＝x，用含x的代数式表示出∠BAE后根据∠BAE+∠BAD＝60°建立关于x的方程，解方
程求出x的值后即可求出∠CAD的度数．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，∠CAE＝58°，
∴∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE＝90°﹣58°＝32°；
（2）设∠BAD＝x，则∠CAE＝2x，
∴∠BAE＝90°﹣2x，
∵∠DAE＝60°，
∴90°﹣2x+x＝60°，
解得：x＝30°，
∴∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝90°+30°＝120°．
【点评】本题主要考查角的计算，熟练掌握角的和差倍分的计算方法是解决问题的关键．
8．（2023秋•大荔县期末）将一副直角三角板ABC和BDE的一个顶点B重合在一起，按如图所示方式摆
放，其中∠ACB＝∠DBE＝90°，∠ABC＝30°，三角板ABC在∠DBE内可任意转动．
（1）以点B为顶点的所有锐角有 个．
（2）求以点B为顶点的所有锐角的度数和．
【分析】（1）按照从小到大的顺序，找出以点B为顶点的锐角即可；
（2）把（1）中所找的角相加，根据∠DBE＝∠ABD+∠ABC+∠CBE＝90°，∠ABC＝30°，求出答案即
可．
【解答】解：（1）以点B为顶点的锐角有：∠ABD，∠ABC，∠CBE，∠DBC，∠ABE，共5个，
5故答案为：5；
（2）由题意可知：∠DBE＝∠ABD+∠ABC+∠CBE＝90°，∠ABC＝30°，
∴以点B为顶点的所有锐角的度数和为：
∠ABD+∠ABC+∠CBE+∠DBC+∠ABE
＝∠ABD+∠ABC+∠CBE+∠ABD+∠ABC+∠CBE+∠ABC
＝∠DBE+∠DBE+∠ABC
＝90°+90°+30°
＝210°．
【点评】本题主要考查了角的大小比较，解题关键是能够正确的识别图形，找出角与角之间的关系．
9．（2023秋•九龙坡区校级期末）如图，∠AOB：∠BOC＝1：4，OM平分∠AOB，∠BON：∠NOC＝3：
1，若∠MON＝91°．
（1）∠AOB ∠NOC（填“＞”或“＜”或“＝”）
（2）求∠AOC的度数．
【分析】（1）根据角的倍分关系进行解答即可；
（2）根据角平分线的定义以及角之间的和差关系列方程可求出答案．
【解答】解：（1）∠AOB＝∠NOC，理由如下：
∵∠BON：∠NOC＝3：1，
∴∠NOC：∠BOC＝1：4，
又∵∠AOB：∠BOC＝1：4，
∴∠AOB＝∠NOC，
故答案为：＝；
（2）由（1）可得∠AOB＝∠NOC，
设∠NOC＝ ，则∠AOB＝ ，∠BON＝3 ，
∵OM平分∠αAOB， α α
1 1
∴∠BOM= ∠AOB= ，
2 2
α
6∴∠MON＝∠BOM+∠BON＝91°，
1
即 +3 ＝91°，
2
α α
解得 ＝26°，
∴∠AαOC＝∠AOB+∠BOC＝ +4 ＝5×26°＝130°，
答：∠AOC＝130°． α α
【点评】本题考查角平分线，理解角平分线的定义，掌握图形中各个角之间的关系是正确解答的前提．
10．（2023秋•娄底期末）如图，点O在直线AB上，∠COD＝60°，∠AOE＝2∠DOE．
（1）若∠BOD＝60°，求∠COE的度数；
（2）试猜想∠BOD和∠COE的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据补角的定义可得∠AOD＝120°，再根据角平分线的定义可得答案；
（2）设∠COE＝x，则∠DOE＝60﹣x，再利用AOE＝2∠DOE，然后整理可得结论．
【解答】解：（1）∵∠BOD＝60°，
∴∠AOD＝120°，
∵∠AOE＝2∠DOE，
1
∴∠DOE= ∠AOD＝40°，
3
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝60°﹣40°＝20°；
（2）∠BOD＝3∠COE，
设∠COE＝x，则∠DOE＝60°﹣x，
∵∠AOE＝2∠DOE，
∴∠AOD＝3∠DOE＝3（60°﹣x）＝180°﹣3x，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣3x）＝3x，
∴∠BOD＝3∠COE．
【点评】此题主要考查了邻补角、角平分线的定义，正确把握定义是解题关键．
11．（2023秋•瑶海区校级期末）已知点O为直线AB上一点，∠MON＝90°，在∠MON内部作射线OC，
且OC恰好平分∠MOB．
7（1）若∠CON＝20°，求∠AOM的度数；
（2）若∠BON＝2∠NOC，求∠AOM的度数．
【分析】（1）先根据余角的定义求出∠MOC，再根据角平分线的定义求出∠BOM，然后根据∠AOM＝
180°﹣∠BOM计算即可；
（2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解．
【解答】解：（1）∵∠MON＝90°，∠CON＝20°，
∴∠MOC＝90°﹣∠CON＝70°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠MOC＝140°，
∴∠AOM＝180°﹣∠BOM＝40°；
（2）∵∠BON＝2∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC＝∠BOC＝3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC＝∠MON＝90°，
∴3∠NOC+∠NOC＝90°，
∴4∠NOC＝90°，
∴∠BON＝2∠NOC＝45°，
∴∠AOM＝180°﹣∠MON﹣∠BON＝180°﹣90°﹣45°＝45°．
【点评】本题考查角平分线的意义、互补、互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是得
出正确结论的关键．
12．（2023秋•高安市期末）如图，已知∠AOB＝80°，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线．
（1）求∠AOD的度数；
1
（2）若∠COE= ∠COB，求∠AOE的度数．
4
【分析】（1）利用角平分线定义，角的加减计算即可；
8（2）先求出∠COB的度数，再判断∠COE的可能位置，分情况求出∠AOE的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝80°，OC是∠AOB的平分线，
1 1
∴∠AOC＝∠COB= ∠AOB= ×80°＝40°，
2 2
∵OD是∠BOC的平分线，
1 1
∴∠COD= ∠COB= ×40°＝20°，
2 2
∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝40°+20°＝60°；
（2）由（1）知∠COB＝40°，∠AOC＝40°，
1
∴∠COE= ×40°＝10°，
4
∴射线OE可能在射线OC上边，
此时∠AOE＝∠AOC﹣∠COE＝40°﹣10°＝30°，
射线OE可能在射线OC下边，
此时∠AOE＝∠AOC+∠COE＝40°+10°＝50°，
∴∠AOE的度数为30°或50°．
【点评】本题考查了角的计算角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，角的加减．
题型二 提升题
13．（2023秋•福田区校级期末）如图，点 A，O，B在同一条直线上，OD，OE分别平分∠AOC和
∠BOC．
（1）求∠DOE的度数；
（2）如果∠COD＝65°，求∠AOE的度数；
（3）如果∠COD：∠COE＝3：2，求∠AOE的度数．
91 1 1
【分析】（1）先利用角平分线的定义得到∠COD= ∠AOC，∠COE= ∠BOC，所以∠DOE=
2 2 2
∠AOB，然后根据平角的定义求解；
（2）先利用角平分线的定义得到∠AOD＝∠COD＝65°，然后计算∠AOD+∠DOE即可；
（3）设∠COD＝3x，∠COE＝2x，然后利用∠COD+∠COE＝90°可计算出x＝18°，从而得到∠COD＝
54°，则∠AOD＝54°，然后计算∠AOD+∠DOE．
【解答】解：（1）∵OD，OE分别平分∠AOC和∠BOC，
1 1
∴∠COD= ∠AOC，∠COE= ∠BOC，
2 2
1
∴∠COD+∠COE= （∠AOC+∠BOC），
2
1 1
即∠DOE= ∠AOB= ×180°＝90°；
2 2
（2）∵∠AOD＝∠COD＝65°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝65°+90°＝155°；
（3）∵∠COD：∠COE＝3：2，
∴设∠COD＝3x，∠COE＝2x，
∵∠COD+∠COE＝90°，
∴3x+2x＝90°，
解得x＝18°，
∴∠COD＝54°，
∴∠AOD＝54°，
∴∠AOE＝∠AOD+∠DOE＝54°+90°＝144°．
【点评】本题考查了角的计算：利用角的和、差转化为角的度数的和、差．也考查了角平分线的定义．
14．（2023秋•慈溪市期末）如图，直角三角板DOE的直角顶点O在直线AB上，OD平分∠AOF．
（1）比较∠EOF和∠EOB的大小，并说明理由；
（2）若OF平分∠AOE，求∠BOE的度数．
10【分析】（1）先说明∠AOD+∠EOB＝90°，再说明∠AOD＝∠FOD，从而得出∠FOD+∠EOB＝90°，
再根据∠FOD+∠EOF＝90°，即可得到∠EOB＝∠EOF；
（2）设∠AOD＝x°，则∠DOF＝x°，∠EOF＝90°﹣x°，列方程即可求得．
【解答】解：（1）∠EOB＝∠EOF；理由如下：
∵∠DOE＝90°，
∴∠AOD+∠EOB＝180°﹣∠DOE＝90°，
∵OD平分∠AOF，
∴∠AOD＝∠FOD，
∴∠FOD+∠EOB＝90°，
∵∠FOD+∠EOF＝90°，
∵∠EOB＝∠EOF．
（2）设∠AOD＝x°，
∵OD平分∠AOF，
∴∠DOF＝x°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠EOF＝90°﹣x°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF＝∠AOF，
∴x°+x°＝90°﹣x°，
∴x＝30，
∴∠BOE＝180°﹣∠AOD﹣∠DOE＝180°﹣30﹣90°＝60°．
【点评】本题主要考查了角的比较大小和角平分线的性质，解决此题的关键是熟练运用角平分线的性质
及角的和差列出方程式．
15．（2023秋•武昌区期末）已知∠AOB＝50°，∠COD＝20°．
11（1）如图1，若∠AOD＝80°，∠COD在OB的左侧，则∠BOC＝ ；
（2）如图2，OP平分∠AOD，OQ平分∠BOC，求∠POQ．
【分析】（1）根据题意作出图形，再根据图形中角度的和差关系可得出结论；
（2）根据角平分线的定义及角度的和差关系可得出结论．
【解答】解：（1）如图，
∵∠AOD＝80°，∠AOB＝50°，
∴∠BOD＝30°，
∵∠COD＝20°，
∴∠BOC＝10°；
故答案为：10°；
（2）∵OP平分∠AOD，
1 1
∴∠DOP= ∠AOD= （∠AOB+∠COD+∠BOC），
2 2
∵OQ平分∠BOC，
1
∴∠COQ= ∠BOC，
2
∵∠AOB＝50°，∠COD＝20°，
∴∠POQ＝∠DOP﹣∠COQ﹣∠COD，
1 1
= （∠AOB+∠COD+∠BOC）− ∠BOC﹣∠COD
2 2
1
= （∠AOB﹣∠COD）
2
＝15°．
12【点评】本题主要考查了角平分线的性质及角的计算，合理利用角平分线的性质进行计算是解决本题的
关键．
16．（2023秋•无为市期末）利用折纸可以作出角平分线，如图 1折叠，则OC为∠AOB的平分线，如图
2、图3，折叠长方形纸片，OC，OD均是折痕，折叠后，点A落在点A'，点B落在点B'，连接OA′．
（1）如图2，若点B'恰好落在OA′上，且∠AOC＝32°，则∠BOD＝ ；
（2）如图3，当点B'在∠COA'的内部时，连接OB′，若∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，求∠A'OB'的度数．
【 分 析 】 （ 1 ） 由 折 叠 得 出 ∠ AOC ＝ ∠ A'OC ， ∠ BOD ＝ ∠ B'OD ， 由 平 角 的 性 质 可 得
∠AOC+∠A'OC+∠BOD+∠B'OD＝180°，再由∠AOC＝32°，即可求解；
（2）同（1）的方法求出∠A'OD，再由∠A'OB'＝∠B'OD﹣∠A'OD即可求解．
【解答】解：（1）由题意知∠AOC＝∠A'OC，∠BOD＝∠B'OD，
∵∠AOC+∠A'OC+∠BOD+∠B'OD＝180°，∠AOC＝32°，
1
∴∠BOD= ×(180°−2×32°)=58°；
2
（2）由题意知∠AOC＝∠A'OC，∠BOD＝∠B'OD，
∵∠AOC+∠A'OC+∠A'OD+∠BOD＝180°，∠AOC＝44°，∠BOD＝61°，
13∴∠A'OD＝180°﹣2×44°﹣61°＝31°，
∴∠A'OB'＝∠B'OD﹣∠A'OD＝30°．
【点评】本题主要考查了折叠的性质，平角的定义，角的和差的计算，掌握从图形中找出角之间的关系
是解本题的关键．
17．（2023秋•彭水县期末）已知∠AOB内部有三条射线OD，OC，OE且在同一个平面内，∠AOC＝
2∠BOC，射线OD始终在射线OE的上方，∠AOB＝108°，∠DOE＝36°．
（1）如图1，当OE平分∠BOC时，求∠AOD的度数；
（2）如图2，若∠AOD＝5∠COE时，求∠BOE的度数．
【分析】（1）根据题意，求得∠BOC、∠AOC的度数，再根据角平分线的定义，求得∠COE的度数，
从而得到∠DOC的度数，即可求解；
（2）分两种情况，OE在OC的上方或OE在OC的下方，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，
2 1
∴∠AOC= ∠AOB=72°，∠BOC= ∠AOB=36°，
3 3
∵OE平分∠BOC，
1
∴∠COE= ∠BOC=18°，
2
∴∠DOC＝∠DOE﹣∠COE＝18°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝54°；
（2）由（1）可得：∠AOC＝72°，∠BOC＝36°，
设∠BOE＝x°，
当OE在OC的上方时，∠COE＝（x﹣36）°，
∴∠COD＝∠DOE+∠COE＝x°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°，
由∠AOD＝5∠COE可得（72﹣x）°＝5×（x﹣36）°，
14解得x＝42，即∠BOE＝42°；
当OE在OC的下方时，则∠COE＝（36﹣x）°，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝x°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝（72﹣x）°，
由∠AOD＝5∠COE可得（72﹣x）°＝5×（36﹣x）°，
解得x＝27，即∠BOE＝27°；
综上，∠BOE的度数为42°或27°．
【点评】此题考查了角的和差关系，角平分线的定义，解题的关键是根据题意，找到角的和差关系，学
会利用分类讨论的思想求解问题．
3
18．（2023秋•沙坪坝区校级期末）如图 1，已知∠AOC＝160°，OB是∠AOC内的射线，且∠AOB=
5
∠BOC，射线OD、OE将∠AOC分割，使得∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3．
（1）求∠DOE．
（2）如图2，作∠BOD，∠EOC的平分线OM，ON．求∠MON的值．
3 5
【分析】（1）根据已知易得∠AOB= ∠AOC＝60°，∠BOC= ∠AOC＝100°，再根据∠AOD：
8 8
∠BOD：∠COE＝1：2：3，然后求出∠AOD＝20°，∠BOD＝40°，∠COE＝60°，从而利用角的和差关
系，进行计算即可解答；
1 1
（2）利用角平分线的定义和（1）的结论可得∠DOM= ∠BOD＝20°，∠CON= ∠COE＝30°，然后
2 2
15利用角的和差关系，进行计算即可解答．
3
【解答】解：（1）∵∠AOC＝160°，∠AOB= ∠BOC，
5
3 5
∴∠AOB= ∠AOC＝60°，∠BOC= ∠AOC＝100°，
8 8
∵∠AOD：∠BOD：∠COE＝1：2：3，
1 2
∴∠AOD= ∠AOB＝20°，∠BOD= ∠AOB＝40°，
3 3
∴∠COE＝3∠AOD＝60°，
∴∠DOE＝∠AOC﹣∠AOD﹣∠COE＝160°﹣20°﹣60°＝80°，
∴∠DOE的度数为80°；
（2）∵OM平分∠BOD，
1
∴∠DOM= ∠BOD＝20°，
2
∵ON平分∠COE，
1
∴∠CON= ∠COE＝30°，
2
∴∠MON＝∠AOC﹣∠CON﹣∠AOD﹣∠DOM
＝160°﹣30°﹣20°﹣20°
＝90°，
∴∠MON的度数为90°．
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关
键．
19．（2023秋•渝北区期末）OC，OD，OE在∠AOB内，∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，∠DOE＝
66°．
（1）如图1，当OE为∠BOC的角平分线时，求∠AOD的度数；
165
（2）如图2，当∠AOD= ∠COE，求∠BOE的度数．
3
【分析】（1）根据题意，求得∠BOC、∠AOC的度数，再根据角平分线的定义，求得∠COE的度数，
从而得到∠DOC的度数，即可求解；
（2）设∠BOE＝x，分别表示出∠AOD和∠COE，根据已知等式列出方程，解之即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝2∠BOC，∠AOB＝108°，
2 1
∴∠AOC= ∠AOB=72°，∠BOC= ∠AOB=36°，
3 3
∵OE平分∠BOC，
1
∴∠COE= ∠BOC=18°，
2
∴∠DOC＝∠DOE﹣∠COE＝48°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠DOC＝24°；
（2）由（1）可得：∠AOC＝72°，∠BOC＝36°，
设∠BOE＝x，则∠COE＝36°﹣x，
∴∠COD＝∠DOE﹣∠COE＝30°+x，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝42°﹣x，
5 5
由∠AOD= ∠COE可得42°−x= (36°−x)，
3 3
解得x＝27，即∠BOE＝27°．
【点评】此题考查了角的和差关系，角平分线的定义，解题的关键是根据题意，找到角的和差关系，学
会利用分类讨论的思想求解问题．
20．（2023秋•汉中期末）如图，已知∠AOB＝120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在
∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转到OD，且∠COD＝60°．
（1）如图①，若∠AOD＝90°，试判断∠AOC与∠BOD之间的大小关系并说明理由；
（2）如图②，作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC＝ ，当0°＜ ＜60°时，若射线OC
恰好平分∠AOE，求∠BOD的度数． α α
【分析】（1）根据∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，即可确定两个角
17的大小；
（2）根据角平分线的定义可得∠AOE＝2∠AOC＝2 ，∠COD＝∠COE+∠DOE＝3 ，根据∠COD＝
60°列方程，求出 的值，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠αAOD计算即可． α
【解答】解：（1）α ∠AOC＝∠BOD，理由如下：
∵∠COD＝60°，∠AOD＝90°，
∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，
又∵∠AOB＝120°
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC；
（2）∵OC恰好平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠EOC＝ ，
∴∠AOE＝2∠AOC＝α2 ，
∵OE为∠AOC的平分线α，
∴∠DOE＝∠AOE＝2 ，
∴∠COD＝∠COE+∠αDOE＝3 ，
∵∠COD＝60°， α
∴3 ＝60°，
∴ α＝20°，
∴α∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣4 ＝40°．
【点评】本题考查了角平分线的定义，α角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
21．（2023秋•宿豫区期末）已知，将一副三角板的直角顶点O按如图所式叠放在一起．
（1）若∠BOD＝55°，则∠BOC＝ ，∠BOC ∠AOD（填＞、＜、＝）；
（2）①若∠BOD＝50°，则∠AOC＝ ；若∠AOC＝120°，则∠BOD＝ ；
②猜想∠BOD与∠AOC之间的数量关系，并说明理由．
18【分析】（1）根据三角尺直角的度数计算出结果．
（2）①根据直角的度数求出∠AOD，再根据角之间的数量关系求出结果；
②先表示出∠BOD和∠AOC与∠AOD的数量关系，再将式子相加即可得到答案．
【解答】解：（1）∠BOC＝90°﹣55°＝35°；
∵∠AOD＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOC＝∠AOD，
故答案为：35°；＝．
（2）①∵∠BOD＝50°，
∴∠AOD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠AOC＝90°+40°＝130°；
∵∠AOC＝120°，
∴∠AOD＝120°﹣90°＝30°，
∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：130°，60°．
②∵∠BOD＝90°﹣∠AOD，
∠AOC＝90°+∠AOD，
∴∠BOD+∠AOC＝90°﹣∠AOD+90°+∠AOD＝180°．
【点评】本题考查了角的计算，解题的关键是根据角之间的数量关系来解答．
22．（2023秋•庄河市期末）如图，点O为直线上AB一点，∠COD＝90°，∠BOD＝18°，若OE是∠BOC
的平分线，
（1）求∠BOE的度数；
1
（2）若点F是平面内一点，连接射线OF，且∠AOF= ∠AOC，求∠COF的度数．
3
【分析】（1）先利用角的和差关系可得∠BOC＝108°，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答；
（2）分两种情况：当射线OF在OA的上方时；当射线OF在OA的下方时；然后分别进行计算，即可
解答．
【解答】解：（1）∵∠COD＝90°，∠BOD＝18°，
∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝108°，
19∵OE是∠BOC的平分线，
1
∴∠BOE= ∠BOC＝54°，
2
∴∠BOE的度数为54°；
（2）分两种情况：
当射线OF在OA的上方时，如图：
∵∠BOC＝108°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝72°，
1
∵∠AOF= ∠AOC，
3
1
∴∠AOF= ×72°＝24°，
3
∴∠COF＝∠AOC﹣∠AOF＝72°﹣24°＝48°；
当射线OF在OA的下方时，如图：
∵∠BOC＝108°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝72°，
1
∵∠AOF= ∠AOC，
3
1
∴∠AOF= ×72°＝24°，
3
∴∠COF＝∠AOC+∠AOF＝72°+24°＝96°；
综上所述：∠COF的度数为48°或96°．
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，分两种情况讨论是解题的关键．
23．（2023秋•黄陂区校级期末）将三角板COD的直角顶点O放置在直线AB上．
20（1）如图，且∠AOC＝40°射线OE平分∠BOC，则∠BOE的大小为 ；
（2）在（1）的条件下，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
（3）若将三角板COD绕点O旋转，射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD．请写出∠COD与
∠EOF度数的等量关系： ．
【分析】（1）根据角平分线的定义以及平角的定义进行计算即可；
（2）由平角的定义，角平分线的定义以及角的和差关系即可得出答案；
（3）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
1
∴∠BOE＝∠COE= ∠BOC＝70°，
2
故答案为：70°；
（2）∵∠AOC＝40°，∠COD＝90°，
∴∠BOD＝180°﹣40°﹣90°＝50°，
∵OE平分∠BOC，
1
∴∠BOE＝∠COE= ∠BOC＝70°，
2
∵OF平分∠BOD，
1
∴∠BOF＝∠DOF= ∠BOD＝25°，
2
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF
＝70°﹣25°
＝45°，
答：∠EOF＝45°；
（3）∵射线OE平分∠BOC，射线OF平分∠BOD．
1 1
∴∠BOE＝∠COE= ∠BOC＝70°，∠BOF＝∠DOF= ∠BOD，
2 2
21∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF
1 1
= ∠BOC− ∠BOD
2 2
1 1
= （∠COD+∠BOD）− ∠BOD
2 2
1
= ∠COD，
2
1
故答案为：∠EOF= ∠COD．
2
【点评】本题考查角平分线的定义以及角的计算，掌握角平分线的定义以及平角的定义是正确解答的前
提．
题型二 压轴题
24．（2023 秋•斗门区期末）如图①，OC 是∠AOE 内部的一条射线，OB、OD 分别平分∠AOC，
∠EOC．
（1）若∠AOE＝140°，∠COD＝30°，求∠BOC＝ ；
（2）∠AOE与∠BOD的大小有什么关系，写出你的结论并说明理由．
（3）如图②，如果OC是∠AOE外部的一条射线，OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．那么（2）中
∠AOE与∠BOD的大小关系还成立吗？请说明理由．
1
【分析】（1）由角平分线的定义得出∠COD+∠COB= ∠AOE，进而即可求得∠BOC；
2
1
（2）由角平分线的定义得出∠COD+∠COB= ∠AOE，即∠AOE＝2∠BOD；
2
1 1
（3）由角平分线的定义得出得出∠AOB=∠BOC= ∠AOC，∠COD=∠EOD= ∠COE，根
2 2
1
据∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，∠BOD=∠COD−∠BOC= (∠EOC−∠AOC)，进而即可求解．
2
22【解答】解：（1）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC，
1 1
∴∠COD= ∠COE，∠COB= ∠AOC，
2 2
∵∠AOE＝140°，
1
∴∠COD+∠COB= ∠AOE=70°，
2
∵∠COD＝30°，
∴∠BOC＝40°；
故答案为：40°．
（2）∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．
1 1
∴∠COD= ∠COE，∠COB= ∠AOC，
2 2
1 1
∴∠COD+∠COB= ∠AOE，即∠BOD= ∠AOE，
2 2
即∠AOE＝2∠BOD，
（3）∠AOE＝2∠BOD成立，理由如下，
∵OB、OD分别平分∠AOC，∠EOC．
1 1
∴∠AOB=∠BOC= ∠AOC，∠COD=∠EOD= ∠COE，
2 2
1
∴∠AOE＝∠EOC﹣∠AOC，∠BOD=∠COD−∠BOC= (∠EOC−∠AOC)，
2
∴∠AOE＝2∠BOD．
【点评】本题考查了角平分线，灵活利用角平分线的定义是解题的关键．
25．（2023秋•海陵区校级期末）已知∠AOB＝2∠COD＝140°，OE平分∠AOD．
（1）如图①，若∠COE＝10°，求∠AOC的度数；
（2）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？请
说明理由；
（3）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由．
23【分析】（1）利用角的平分线的定义和角的和差求解；
（2）设∠AOD＝x°，再利用角的平分线的定义和角的和差求解；
（3）设∠AOD＝x°，再利用角的平分线的定义和角的和差求解；
【解答】解：（1）∵∠AOB＝2∠COD＝140°，
1
∴∠COD= ∠AOB＝70°，
2
∴∠DOE＝∠EOC+∠COD＝80°，
∵OE平分∠AOD，
∠AOE＝∠EOD＝80°，
∠AOC＝∠AOE+∠COE＝90°；
（2）2∠COE＝∠BOD；理由如下：
设∠AOD＝x°，则∠AOC＝70°﹣x°，∠BOD＝140°﹣x°，
∵OE平分∠AOD，
1
∴∠AOE＝∠EOD= x°，
2
1 1
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝70°﹣x°+ x°＝70°− x°，
2 2
∴2∠COE＝140°﹣x°＝∠BOD；
（3）不成立，理由如下：
设∠AOD＝x°，则∠AOC＝70°+x°，∠BOD＝360°﹣（140°+x°）＝220°﹣x°，
1
∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠EOD= x°，
2
1 1
∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝70°+x°− x°＝70°+ x°，
2 2
∴2∠COE+∠BOD＝140°+x°+220°﹣x°＝360°．
【点评】本题考查了角的平分线的定义及角的和差，理解角的和差是解题的关键．
26．（2023秋•思明区校级期末）如图，点M，O，N在同一条直线上，将一直角三角板的60°锐角顶点放
在点O处，一边OA在射线OM上，另一边OB在直线MN的上方．OC平分∠BON，OD平分∠CON．
（1）求∠BOD的度数；
（2）把三角板绕点O沿逆时针方向旋转，当OB转到射线OM上时停止，若在旋转过程中，∠AOM＝
3
（x﹣120）°，同时在∠BOC内部有一条射线OE，使得∠BOE=( x−90)°，试探究在旋转过程中，
4
24射线OE始终是哪个角的平分线？
【分析】（1）先计算出∠BON＝120°，再根据角平分线的定义求出∠CON的度数，接着计算出∠DON
的度数，然后计算∠BON﹣∠DON即可；
（2）先计算出∠MOB＝（180﹣x）°，则利用平角的定义得到∠BON＝x°，再根据角平分线的定义得到
1 1 1
∠BOC= x°，接着计算出∠COE＝（90− x）°，然后利用∠MOB+∠BOE计算出∠MOE＝（90−
2 4 4
x）°，从而得到∠MOE＝∠COE，于是判断射线OE始终是∠MOC的平分线．
【解答】解：（1）根据题意得∠AOB＝60°，
∴∠BON＝120°，
∵OC平分∠BON，
1
∴∠BOC＝∠NOC= ∠BON＝60°，
2
∵OD平分∠CON，
1
∴∠DON= ∠CON＝30°，
2
∴∠BOD＝∠BON﹣∠DON＝120°﹣30°＝90°；
（2）如图，
∵∠AOM＝（x﹣120）°，∠AOB＝60°，
∴∠MOB＝60°﹣（x﹣120）°＝（180﹣x）°，
∴∠BON＝180°﹣∠MOB＝x°，
∵OC平分∠BON，
1 1
∴∠BOC= ∠BON= x°，
2 2
3
∵∠BOE＝（ x﹣90）°，
4
1 3 1
∴∠COE＝∠BOC﹣∠BOE= x°﹣（ x﹣90）°＝（90− x）°，
2 4 4
253 1
∵∠MOE＝∠MOB+∠BOE＝（180﹣x）°+（ x﹣90）°＝（90− x）°，
4 4
∴∠MOE＝∠COE，
∴OE平分∠MOC，
即在旋转过程中，射线OE始终是∠MOC的平分线．
【点评】本题考查了角平分线的定义和角的计算，灵活运用代数的方法进行角度的转换是解决问题的关
键．
27．（2023秋•宝安区期末）将一副三角板如图1放置（∠AOB＝90°，∠A＝45°，∠OCD＝90°，∠COD
＝30°），在∠BOD、∠AOC（∠BOD≤180°、∠AOC≤180°）内作射线 OM、ON，且∠MOB＝
2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC，将三角板OCD绕着点O顺时针旋转．
（1）如图1，当点O、A、C在一条直线上时，∠MON＝ ；
（2）如图2，若旋转角为 （0°＜ ＜90°），∠MON的度数是否会发生改变？若不变，求其值；若变
化，说明理由． α α
（3）如图3，当三角板OCD旋转到∠AOB内部时，求∠MON的值．
【分析】（1）先根据周角可得：∠BOD+∠AOC＝240°，由∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC可得：
∠DOM+∠CON＝80°，最后由角的和可得结论；
（2）同理可得结论；
（3）根据角的和差，∠COD＝30°可得结论．
【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠COD＝30°，
26∴∠BOD+∠AOC＝360°﹣90°﹣30°＝240°，
∵∠MOB＝2∠DOM，∠NOA＝2∠NOC，
1
∴∠DOM+∠CON= ×240°＝80°，
3
∴∠MON＝∠DOM+∠COD+∠CON＝80°+30°＝110°；
故答案为：110°；
（2）如图2，∠MON的度数不会发生改变，
由（1）可知：∠DOM+∠CON＝80°，
∴∠MON＝∠DOM+∠COD+∠CON＝80°+30°＝110°；
（3）∵∠MON＝∠AOB﹣∠BOM﹣∠AON
＝90°﹣2∠DOM﹣2∠CON
＝90°﹣2（∠DOM+∠CON）
＝90°﹣2（30°+∠MON），
∴3∠MON＝30°，
∴∠MON＝10°．
【点评】本题考查的是角的计算，角的和与差的运用，正确的读图确定各角的关系是解题的关键，这是
一道难度较大的题目．
28．（2024•两江新区校级开学）将一副三角板的两个锐角顶点重合，∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM，
ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线．
（1）如图①所示，当OB与OC重合时，则∠MON的大小为 ；
（2）当∠COD绕着点O旋转至如图②所示，当∠BOC＝14°，则∠MON的大小为多少？
（3）当∠COD绕着点O旋转至如图③所示，当∠BOC＝ 时，求∠MON的大小．
【分析】（1）根据角平分线的定义直接进行计算即可； α
（2）先根据∠BOC＝14°算出∠AOC＝31°，∠BOD＝16°，然后根据角平分线的定义进行计算即可；
（3）用n表示出∠AOC＝45°+ ，∠BOD＝30°+ ，然后根据角平分线的定义进行计算即可．
α α
27【解答】解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝30°，OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
1 1
∴∠BOM= ∠AOB=22.5°，∠CON= ∠COD=15°，
2 2
∴∠MON＝∠BOM+∠CON＝37.5°．
故答案为：37.5°；
（2）当∠BOC＝14°时，∠AOC＝45°﹣14°＝31°，∠BOD＝30°﹣14°＝16°，
∵OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线，
1 1
∴∠BON= ∠BOD=8°，∠MOC= ∠AOC=15.5°，
2 2
∴∠MON＝∠MOC+∠BON+∠BOC＝15.5°+8°+14°＝37.5°；
（3）当∠BOC＝ 时，∠AOC＝45°+ ，∠BOD＝30°+ ，
∵OM、ON分别是α∠AOC、∠BOD的α平分线， α
1 1 1
∴∠BON= ∠BOD= (30°+α)=15°+ α，
2 2 2
1 1 1
∠MOB= ∠AOC−∠BOC= (45°+α)−α=22.5°− α，
2 2 2
1 1
∴∠MON=∠MOB+∠BON=15°+ α+22.5°− α=37.5°．
2 2
【点评】本题主要考查了角平分线的有关计算，掌握角平分线的定义，数形结合是关键．
29．（2023秋•于洪区期末）【提出问题】
已知点O是直线AB上一点，∠COD＝90°，射线OE是∠AOD的平分线．
（1）如图1，若∠BOD＝110°，求∠COE的度数．
请补充完成下列解答过程：
解：∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°，
∴∠AOD＝ °．
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝ °．
∵OE是∠AOD的平分线，
∴∠AOE＝ ∠AOD＝ °．
∴∠COE＝∠AOC+ ＝ °．
【类比分析】
（2）如图2，设∠COE＝ ，求∠BOD的度数（用含 的代数式表示）．
【变式探索】 α α
28（3）如图3，若3∠COE﹣2∠BOD＝78°，求∠COE的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（3）根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝180°，∠BOD＝110°，
∴∠AOD＝70°．
∵∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠COD﹣∠AOD＝20°．
∵OE是∠AOD的平分线，
1
∴∠AOE= ∠AOD＝35°．
2
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝55°．
1
故答案为：70，20， ，35，∠AOE，55．
2
（2）∵∠COD＝90°，∠COE＝ ，
∴∠EOD＝∠COD﹣∠COE＝α90°﹣ ，
∵OEOE是∠AOD的平分线， α
∴∠AOD＝2∠EOD＝2（90°﹣ ）＝180°﹣2 ，
∵∠AOB＝180°， α α
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝180°﹣（180°﹣2 ）＝2 ，
（3）设∠DOE＝x°，根据题意得：3（x+90）α﹣2（1α80﹣2x）＝78，
解得： x ＝24，
∴∠COE＝114°．
【点评】本题考查了角平分线的定义、平角的定义及角的和与差，能根据图形确定所求角和已知各角的
关系是解此题的关键．
30．（2023秋•渑池县期末）如图．已知∠MON＝140°，∠AOC与∠BOC互余，OC平分
∠MOB．
29（1）在图①中．若∠AOC＝40°，则∠BOC＝ °．∠NOB＝ °；
（2）在图①中，设∠AOC＝ ，∠NOB＝ ，请探究 与 之间的数量关系（必须写出推理的主要过程，
但每一步后面不必写出理由）α； β α β
（3）在图①中，当∠AOB绕着点O顺时针转动到如图②的位置时，（2）中 与 之间的数量关系是否
还成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出此时 与 之间的数量关α系．β
α β
【分析】（1）应用余角的定义进行计算及角度的计算即可得出答案；
（2）根据余角的定义可得∠AOC+∠BOC＝90°，即可得出∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣ ，根据角平分线
的定义可得∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣ ）＝180°﹣2 ，由∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝α140°﹣（180°﹣
2 ），代入计算即可得出答案； α α
（α3）根据余角的定义可得∠AOC+∠BOC＝90°，即可得出∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣ ，根据角平分线
的定义可得∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣ ）＝180°﹣2 ，由∠NOB+∠MON＝∠BOM，α代入计算即可得
出答案． α α
【解答】解：（1）根据题意可得，
∵∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣40°＝50°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM＝2∠BOC＝2×50°＝100°，
∴∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝140°﹣100°＝40°；
故答案为：50，40；
（2）∵∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣ ，
∵OC平分∠MOB， α
∴∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣ ）＝180°﹣2 ，
∴∠NOB＝∠MON﹣∠BOM＝14α0°﹣（180°﹣α2 ），
∴ ＝140°﹣180°+2 ， α
∴β＝2 ﹣40°； α
（β3）不α成立．
30∵∠AOC+∠BOC＝90°，
∴∠BOC＝90°﹣∠AOC＝90°﹣ ，
∵OC平分∠MOB， α
∴∠BOM＝2∠BOC＝2×（90°﹣ ）＝180°﹣2 ，
∴∠NOB+∠MON＝∠BOM， α α
∴ +140＝180°﹣2 ，
∴β+2 ＝40°． α
【β点评α】本题主要考查了余角和补角及角平分线定义，熟练掌握余角和补角及角平分线定义进行求解是
解决本题的关键．
31．（2023秋•青岛期末）如图，OM是∠AOC的平分线，ON是∠BOC的平分线．
（1）如图1，当∠AOB是直角，∠BOC＝60°时，求∠MON的度数是多少？
（2）如图2，当∠AOB＝ ，∠BOC＝60°时，尝试发现∠MON与 的数量关系．
（3）如图3，当∠AOB＝α，∠BOC＝ 时，猜想：∠MON与 、α有数量关系吗？直接写出结论即可．
【分析】（1）求出∠AOCα度数，求出β∠MOC和∠NOC的度数α，代β入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即
可；
（2）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可；
（3）求出∠AOC度数，求出∠MOC和∠NOC的度数，代入∠MON＝∠MOC﹣∠NOC求出即可．
【解答】解：（1）如图1，∵∠AOB＝90°，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝90°+60°＝150°，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
1 1
∴∠MOC= ∠AOC＝75°，∠NOC= ∠BOC＝30°，
2 2
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝75°﹣30°＝45°．
1
（2）如图2，∠MON= ，
2
α
理由是：∵∠AOB＝ ，∠BOC＝60°，
α
31∴∠AOC＝ +60°，
∵OM平分∠αAOC，ON平分∠BOC，
1 1 1
∴∠MOC= ∠AOC= +30°，∠NOC= ∠BOC＝30°，
2 2 2
α
1
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC= ．
2
α
1
（3）如图3，∠MON= ，与 的大小无关．
2
α β
理由：∵∠AOB＝ ，∠BOC＝ ，
∴∠AOC＝ + ．α β
∵OM是∠AαOCβ的平分线，ON是∠BOC的平分线，
1 1
∴∠MOC= ∠AOC= （ + ），
2 2
α β
1 1
∠NOC= ∠BOC= ，
2 2
β
1 1
∴∠AON＝∠AOC﹣∠NOC＝ + − ＝ + ．
2 2
α β β α β
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC
1 1 1
= （ + ）− = ，
2 2 2
α β β α
1
即∠MON= ．
2
α
【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算，关键是求出∠AOC、∠MOC、∠NOC的度数和得
出∠MON＝∠MOC﹣∠NOC．
32．（2024春•高青县期末）【实践活动】
如图1，将一副三角板的直角顶点重合摆放．
（1）∠ACE与∠BCD的大小关系是∠ACE ∠BCD．（填“＞”“＝”或“＜”）
32（2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是 ．
【拓展探究】
（3）如图2，若∠ACD≠∠BCE，且∠ACD+∠BCE＝180°，探索∠ACB与∠DCE之间的数量关系，并
说明理由．
【分析】（1）依题意得∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，进而得∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝
90°，然后根据同角的余角相等可得出答案；
（ 2 ） 由 ∠ ACD ＝ 90° ， ∠ ECB ＝ 90° 得 ∠ ACE+∠ DCE ＝ 90° ， ∠ DCE+∠ BCD ＝ 90° ， 则
∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，然而∠ACB+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°；据此可得
∠ACB与∠DCE之间的数量关系；
（3）先由∠ACD+∠BCE＝180°得∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，进而得∠ACB+∠DCE＝
∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，据此可得∠ACB与∠DCE之间的数量关系．
【解答】解：（1）依题意得：∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD．
故答案为：＝．
（2）∠ACB与∠DCE之间的数量关系：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
∵∠ACD＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠ACE+∠DCE＝90°，∠DCE+∠BCD＝90°，
∵∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝90°+90°，
∴∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，
又∵∠ACB＝∠ACE+∠DCE+∠BCD，
∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°；
（3）∠ACB与∠DCE之间的数量关系是：∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，
又∵∠ACD+∠BCE＝180°，
33∴∠ACE+∠DCE+∠DCE+∠BCD＝180°，
即：∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°，
∴∠ACB+∠DCE＝∠ACE+∠DCE+∠BCD+∠DCE＝∠ACE+2∠DCE+∠BCD＝180°．
【点评】此题主要考查了角的计算，同角的余角相等，准确识图，理解同角的余角相等，熟练掌握角的
计算是解决问题的关键．
33．（2023秋•和平区校级期末）已知∠AOB＝120°，从∠AOB的顶点O引出一条射线OC，射线OC在
∠AOB的内部，将射线OC绕点O逆时针旋转60°形成∠COD．
（1）如图1，若∠AOD＝90°，比较∠AOC和∠BOD的大小，并说明理由；
（2）作射线OE，射线OE为∠AOD的平分线，设∠AOC＝ ．
①如图2，当0°＜ ＜60°，若射线OC恰好平分∠AOE，求∠αBOD的度数；
②当 ≠60°时，请α探究∠EOC与∠BOD之间的数量关系．
【分析α】（1）根据∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，即可确定两个角
的大小；
（2）①根据角平分线的定义可得∠AOE＝2∠AOC＝2 ，∠COD＝∠COE+∠DOE＝3 ，根据∠COD
＝60°列方程，求出 的值，再根据∠BOD＝∠AOB﹣∠αAOD计算即可； α
②分两种情况：当0α°＜ ＜60°时，当60°＜ ＜120°时，分别根据角平分线的定义，角的和差计算即可．
【解答】解：（1）∠AOαC＝∠BOD，理由如α下：
∵∠COD＝60°，∠AOD＝90°，
∴∠AOC＝∠AOD﹣∠COD＝30°，
又∵∠AOB＝120°
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝30°，
∴∠BOD＝∠AOC；
（2）①∵OC恰好平分∠AOE，
∴∠AOC＝∠EOC＝ ，
∴∠AOE＝2∠AOC＝α2 ，
∵OE为∠AOC的平分线α，
34∴∠DOE＝∠AOE＝2 ，
∴∠COD＝∠COE+∠αDOE＝3 ，
∵∠COD＝60°， α
∴3 ＝60°，
∴ α＝20°，
∴α∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝120°﹣4 ＝40°；
②分情况讨论： α
当0°＜ ＜60°时，
α
∵∠BOD＝∠AOB﹣∠COD﹣∠AOC＝60°﹣ ，
∵∠AOD＝ +60°，OE为∠AOD的平分线，α
α1 1
∴∠AOE= ∠AOD= (α+60°)，
2 2
1 1
∴∠COE=∠AOE−∠AOC= (α+60°)−α= (60°−α)，
2 2
1
∴∠COE= ∠BOD；
2
当60°＜ ＜120°时，
α
∵∠BOD＝∠AOC+∠COD﹣∠AOB＝ ﹣60°，
∵∠AOD＝ +60°，OE为∠AOD的平分α线，
α1 1
∴∠AOE= ∠AOD= (α+60°)，
2 2
1 1
∴∠COE=∠AOC−∠AOE=α− (α+60°)= (α−60°)，
2 2
351
∴∠COE= ∠BOD；
2
1
综上所述，∠COE= ∠BOD．
2
【点评】本题考查了角平分线的定义，角的计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
34．（2023秋•山西期末）综合与探究
特例感知：（1）如图1．线段AB＝16cm，C为线段AB上的一个动点，点D，E分别是AC，BC的中点．
①若AC＝4cm，则线段DE的长为 cm．
②设AC＝a cm，则线段DE的长为 cm．
知识迁移：（2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图 2，若∠AOB＝120°，OC是∠AOB内部的一
条射线，射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
拓展探究：（3）已知∠COD在∠AOB内的位置如图3所示，∠AOB＝ ，∠COD＝30°，且∠DOM＝
2∠AOM，∠CON＝2∠BON，求∠MON的度数．（用含 的代数式表示α）
α
【分析】（1）①由AC＝4cm，AB＝16cm，即可推出BC＝12cm，然后根据点D、E分别是AC和BC的
中点，即可推出AD＝DC＝2cm，BE＝EC＝6cm，即可推出DE的长度；
②由AC＝a cm，AB＝16cm，即可推出BC＝（16﹣a）cm，然后通过点D、E分别是AC和BC的中点，
1 1 1
即可推出DE= （AC+BC）= ×（a+16﹣a）= ×16＝8cm；
2 2 2
（2）由射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，∠AOB＝120°，即可推出∠MON＝∠MOC+∠CON
1 1
= （∠AOC+∠COB）= ∠AOB＝60°；
2 2
2 2
（3）由∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，可以得到∠MOD= ∠AOD，∠CON= ∠BOC，根据
3 3
2 2 2 1
∠AOB＝ ，∠COD＝30°，∠MON＝∠MOD+∠CON+∠COD= ∠AOD+ ∠BOC+ ∠COD+
3 3 3 3
α
362 1 2
∠COD= ∠AOB+ ∠COD= +10°．
3 3 3
α
【解答】解：（1）①∵AC＝4cm，AB＝16cm，
∴BC＝AB﹣AC＝16﹣4＝12（cm），
又∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴CD＝2cm，CE＝6cm，
∴DE＝CD+CE＝2+6＝8（cm）；
故答案为：8cm；
②∵AC＝acm，AB＝16cm，
∴BC＝AB﹣AC＝（16﹣a）cm，
又∵点D，E分别是AC，BC的中点，
1 1
∴CD= acm，CE= （14﹣a）cm，
2 2
1 1
∴DE＝CD+CE= a+ （16﹣a）＝8（cm）；
2 2
故答案为：8cm；
（2）∵由射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOC，
1 1
∴∠MOC= ∠AOC，∠CON= ∠COB，
2 2
∵∠AOB＝120°，
1 1
∴∠MON＝∠MOC+∠CON= （∠AOC+∠COB）= ∠AOB＝60°，
2 2
即∠MON的度数为60°；
（3）∵∠DOM＝2∠AOM，∠CON＝2∠BON，
2 2
∴∠MOD= ∠AOD，∠CON= ∠BOC，
3 3
∵∠AOB＝ ，∠COD＝30°，
∴∠MON＝α∠MOD+∠CON+∠COD
2 2 2 1
= ∠AOD+ ∠BOC+ ∠COD+ ∠COD
3 3 3 3
2 1
= （∠AOD+∠BOC+∠COD）+ ∠COD
3 3
2 1
= ∠AOB+ ∠COD
3 3
372
= +10°，
3
α
2
即∠MON的度数为 +10°．
3
α
【点评】本题主要考查角的计算、角平分线和线段的中点的定义，解题的关键在于认真的进行计算，熟
练运用相关的定义和角之间的和差关系．
35．（2023秋•青羊区校级期末）如图所示，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数．
（2）在图1中，若∠AOC＝ ，直接写出∠DOE的度数： （用含 的代数式表示）．
（3）将图1中的∠COD绕顶α点O顺时针开始旋转． α
①当∠COD旋转至如图2的位置时，请探究∠AOD与∠BOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明
理由；
②过点O的一条射线OF，使得OC恰好平分∠BOF，在图1和图2中分别探究∠AOF与∠DOE的度数之
间的关系，请直接写出结论．
【 分 析 】 （ 1 ） 利 用 平 角 的 定 义 可 得 ∠ BOC ＝ 150° ， 由 角 平 分 线 的 定 义 得
1
∠BOE=∠COE= ∠BOC=75°，则∠DOE＝∠COD﹣∠COE．
2
1 α
（2）利用平角的定义可得∠BOC＝180°﹣ ，由角平分线的定义得∠BOE＝∠COE= ∠BOC＝90°−
2 2
α
，，则∠DOE＝∠COD﹣∠COE．
1
（3）①当∠COD旋转至题图2的位置时，设∠AOC＝ ，同理可得∠DOE= β，则∠AOC＝2∠DOE，
2
β
即 2∠DOE﹣∠AOC＝0，由∠AOD＝360°﹣（∠AOC+∠COD）＝270°﹣∠AOC，2∠BOE＝180°﹣
2∠DOE，两式相减即可得到结果；
②在图1中，反向延长OC得到射线 OC'，由对顶角和角平分线的性质易得∠BOF＝2∠AOC，于是
∠AOF＝180°﹣∠BOF＝180°﹣2∠AOC，由（2）可知∠AOC＝2∠DOE，进而∠AOF＝180°﹣4∠DOE，
38即∠AOF+4∠DOE＝180°；在图1中，由角平分线的性质和平角的定义易得∠AOF+2∠BOC＝180°，即
2∠BOC＝180°﹣∠AOF，由∠AOC＝2∠DOE知∠AOF+∠FOC＝2∠DOE，于是 2∠AOF+2∠BOC＝
4∠DOE，将2∠BOC＝180°﹣∠AOF代入上式，化简即可得到结果．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，
∵OE平分∠BOC，
1
∴∠BOE=∠COE= ∠BOC=75°，
2
∵∠COD是直角，即∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝15°．
（2）∵∠AOC＝ ，
∴∠BOC＝180°﹣α∠AOC＝180°﹣ ，
∵OE平分∠BOC， α
1 α
∴∠BOE＝∠COE= ∠BOC＝90°− ，
2 2
∵∠COD是直角，即∠COD＝90°，
α α
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣90°+ = ．
2 2
α
故答案为： ．
2
（3）①∠AOD﹣2∠BOE＝90°．理由如下：
当∠COD旋转至题图2的位置时，
设∠AOC＝ ，则∠BOC＝180°﹣ ，
∵OE平分∠βBOC， β
1 1
∴∠BOE＝∠COE= ∠BOC＝90°− ，
2 2
β
1 1
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣90°+ β= β，
2 2
∴∠AOC＝2∠DOE，即2∠DOE﹣∠AOC＝0，
∵∠AOD＝360°﹣（∠AOC+∠COD）＝270°﹣∠AOC，
∵∠BOE＝∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣∠DOE，
∴2∠BOE＝180°﹣2∠DOE，
∴∠AOD﹣2∠BOE＝270°﹣∠AOC﹣180°+2∠DOE＝90°；
39②在图1中，∠AOF+4∠DOE＝180°．理由如下：
由已知，过点O的一条射线OF，使得OC恰好平分∠BOF，反向延长OC得到射线 OC'，如图，
则OC'平分∠BOF，
1
∴∠BOC'＝∠FOC'= ∠BOF，
2
又∵∠AOC＝∠BOC′，
∴∠BOF＝2∠AOC，
∴∠AOF＝180°﹣∠BOF＝180°﹣2∠AOC，
1
由（2）知，若∠AOC＝ ，则∠DOE= α，
2
α
∴∠AOC＝2∠DOE，
∴∠AOF＝180°﹣2∠AOC＝180°﹣4∠DOE，即∠AOF+4∠DOE＝180°；
在图2中，4∠DOE﹣∠AOF＝180°．理由如下：
如图，
∵OC平分∠BOF，
1
∴∠BOC=∠FOC= ∠BOF，
2
又∵∠AOF+∠BOF＝180°，
∴∠AOF+2∠BOC＝180°，即2∠BOC＝180°﹣∠AOF，
由①知，∠AOC＝2∠DOE，
∴∠AOF+∠FOC＝2∠DOE，
∴∠AOF+∠BOC＝2∠DOE，
40∴2∠AOF+2∠BOC＝4∠DOE，
将2∠BOC＝180°﹣∠AOF代入，得2∠AOF+180°﹣∠AOF＝4∠DOE，
整理得4∠DOE﹣∠AOF＝180°．
【点评】本题主要考查角的运算、角平分线的定义，解题关键是正确运用相关定义，利用角的和差倍分
关系进行计算．
41
