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5.8 三元一次方程组
一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）
1．下列是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
2．三元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
3．运用加减法解方程组 较简单的方法是（ ）
A．先消去x，再解
B．先消去z，再解
C．先消去y，再解
D．三个方程相加得8x﹣2y+4z=11再解
1 / 154．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价
分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下
降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（ ）
A．11支B．9支C．7支D．4支
5．三元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
6．已知方程组 的解是方程x﹣y=1的一个解，则m的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
7．方程组 的解为 ．
8．已知﹣ax+y﹣zb5cx+z﹣y与a11by+z﹣xc是同类项，则x= ，y=
，z= ．
9．已知 ，则x+y+z= ．
10．若关于x、y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程2x+3y=6的
解，则k的值为 ．
11．一个三位数的各位数字之和等于14，个位数字与十位数字的和比百位数字大
2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小270，则原三位数为
．
三、解答题（共5小题，满分54分）
2 / 1512．解方程组：
（1）
（2） ．
13．解三元一次方程组：
（1）
（2） ．
14．若|x+2y﹣5|+（2y+3z﹣13）2+（3z+x﹣10）2=0，试求x，y，z的值．
15．现有A、B、C三种型号的产品出售，若售A3件，B2件，C1件，共得315元；若售
A1件，B2件，C3件，共得285元．问售出A、B、C各一件共得多少元？
16．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植
农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品 每公顷需劳动 每公顷需投入资
种 力 金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能
使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
3 / 15参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题6分，满分36分）
1．下列是三元一次方程组的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】计算题．
【分析】利用三元一次方程组的定义判断即可．
【解答】解： 为三元一次方程组，
故选D
【点评】此题考查了三元一次方程组，熟练掌握三元一次方程组的定义是解本题
的关键．
2．三元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【考点】解三元一次方程组．
【分析】把其中一个未知数当已知对待，可用此未知数表示出令外两个未知数，从
而解出方程组．
【解答】解：由②，得y=5﹣z，
4 / 15由③，得x=6﹣z，
将y和x代入①，得11﹣2z=1，
∴z=5，x=1，y=0
∴方程组的解为 ．
故选A．
【点评】主要考查三元一次方程组的解法．
3．运用加减法解方程组 较简单的方法是（ ）
A．先消去x，再解
B．先消去z，再解
C．先消去y，再解
D．三个方程相加得8x﹣2y+4z=11再解
【考点】解三元一次方程组．
【分析】观察方程组，发现第一个方程不含有未知数y，因此，可将第二、第三个方
程联立，首先消去y．
【解答】解： ，
②×3+③，得11x+7z=29④，
④与①组成二元一次方程组 ．
故选C．
5 / 15【点评】本题考查了解三元一次方程组的基本思路和方法．
4．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价
分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下
降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（ ）
A．11支B．9支C．7支D．4支
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】压轴题．
【分析】购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花
了48元，可知钢笔有12支，可设甲种钢笔有x支、乙种钢笔有y支、丙三种钢笔
有z支，可列方程，得到整数解即可．
【解答】解：设甲种钢笔有x支、乙种钢笔有y支、丙种钢笔有z支，则
，
其中x=11，x=9，x=7时都不符合题意；
x=4时，y=4，z=4符合题意．
故选：D．
【点评】考查了三元一次方程组的应用．本题也可设出三个未知数列出方程组求
解，得到甲、乙、丙三种钢笔的总支数是解题的关键．
5．三元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】计算题．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
6 / 15【解答】解： ，
把z=2代入②得：x+y=0③，
①+③×2得：5x=5，即x=1，
把x=1代入③得：y=﹣1，
则方程组的解为 ，
故选B．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入
消元法与加减消元法．
6．已知方程组 的解是方程x﹣y=1的一个解，则m的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程的解．
【分析】根据方程组的解的意义得到x、y满足方程组 ，解此方程组得
，然后把它们代入mx﹣y=5中，再解关于m的方程即可．
【解答】解：解方程组 得 ，
把 代入mx﹣y=5得2m﹣1=5，解得m=3．
故选C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解：满足二元一次方程组中各方程的未知
数的值叫二元一次方程组得解．也考查了解二元一次方程组．
7 / 15二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
7．方程组 的解为
【考点】解三元一次方程组．
【专题】计算题．
【分析】方程组 ，由②﹣③得，2x﹣y=10…④，再由①+④得，3x=15，
解得x=5，分别代入①、②即可求出y、z的值，解答出即可；
【解答】解：方程组 ，
由②﹣③得，2x﹣y=10…④，
由①+④得，3x=15，
解得x=5，
把x=5分别代入①、②解得，
y=0，z=3；
∴原方程组的解为： ；
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了解三元一次方程组，①首先利用代入法或加减法，把方程
组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关
于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两
个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简
单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程
8 / 15求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{，”合写在一起
即可．
8．已知﹣ax+y﹣zb5cx+z﹣y与a11by+z﹣xc是同类项，则x= 6 ，y= 8 ，z= 3 ．
【考点】解三元一次方程组；同类项．
【专题】计算题．
【分析】利用同类项的定义列出方程组，求出方程组的解即可得到x，y，z的值．
【解答】解：根据题意得： ，
①+②得：2y=16，即y=8，
②+③得：2z=6，即z=3，
把y=8，z=3代入①得：x=6，
则方程组的解为 ，
故答案为：6；8；3
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入
消元法与加减消元法．
9．已知 ，则x+y+z= 4. 5 ．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】计算题．
【分析】方程组三个方程相加即可求出x+y+z的值．
【解答】解： ，
①+②+③得：2（x+y+z）=9，
9 / 15则x+y+z=4.5，
故答案为：4.5
【点评】此题考查了解三元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．若关于x、y的二元一次方程组 的解也是二元一次方程2x+3y=6的
解，则k的值为 ．
【考点】解三元一次方程组．
【分析】先用含k的代数式表示x、y，即解关于x，y的方程组，再代入2x+3y=6中
可得．
【解答】解：根据题意得 ，消元得 ．
【点评】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，解出k的数值．
11．一个三位数的各位数字之和等于14，个位数字与十位数字的和比百位数字大
2，如果把百位数字与十位数字对调，所得新数比原数小270，则原三位数为 63 5
．
【考点】三元一次方程组的应用．
【专题】数字问题．
【分析】此题首先要掌握数字的表示方法，每个数位上的数字乘以位数再相加．设
个位、十位、百位上的数字为x、y、z，则原来的三位数表示为：100z+10y+x，新数
表示为：100y+10z+x，故根据题意列三元一次方程组即可求得．
【解答】解：设个位、十位、百位上的数字为x、y、z，
解得
10 / 15∴原三位数为635．
故本题答案为：635．
【点评】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，解题的关键是消
元．
三、解答题（共5小题，满分54分）
12．解方程组：
（1）
（2） ．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】计算题．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1） ，
①+②得：7x+3z=2④，
②×5+③得：11x+9z=1⑤，
④×3﹣⑤得：10x=5，即x=0.5，
把x=0.5代入④得：z=﹣0.5，
把x=0.5，z=﹣0.5代入①得：y=﹣1，
则方程组的解为 ；
11 / 15（2）方程组整理得： ，
②+③×2得：2x+5y=54④，
①×5+④得：27x=54，即x=2，
把x=2代入①得：y=10，
把y=10代入②得：z=15，
则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入
消元法与加减消元法．
13．解三元一次方程组：
（1）
（2） ．
【考点】解三元一次方程组．
【专题】计算题．
【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；
（2）方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1） ，
①+②得：5x+2y=16④，
12 / 15②+③得：3x+4y=18⑤，
④×2﹣⑤得：7x=14，即x=2，
把x=2代入④得：y=3，
把x=2，y=3代入③得：z=1，
则方程组的解为 ；
（2） ，
②﹣③得：x+3z=5④，
④﹣①得：2z=2，即z=1，
把z=1代入④得：x=2，
把z=1，x=2代入③得：y=4，
则方程组的解为 ．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入
消元法与加减消元法．
14．若|x+2y﹣5|+（2y+3z﹣13）2+（3z+x﹣10）2=0，试求x，y，z的值．
【考点】非负数的性质：偶次方；非负数的性质：绝对值．
【分析】利用非负数的性质，将所给方程转化为三元一次方程组，解方程组即可解
决问题．
【解答】解：∵|x+2y﹣5|+（2y+3z﹣13）2+（3z+x﹣10）2=0，
∴ ，
①﹣②，得：x﹣3z+8=0 ④，
13 / 15③+④，得：2x﹣2=0，解得：x=1，
将x=1代入①，得：1+2y﹣5=0，解得：y=2，
将y=2代入②，得：4+3z﹣13=0，解得：z=3，
故x=1，y=2，z=3．
【点评】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：
（1）绝对值；
（2）偶次方；
（3）二次根式（算术平方根）．
当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解
这类题目．
15．现有A、B、C三种型号的产品出售，若售A3件，B2件，C1件，共得315元；若售
A1件，B2件，C3件，共得285元．问售出A、B、C各一件共得多少元？
【考点】三元一次方程组的应用．
【分析】设A一件x元，B一件y元，C一件z元，根据题意列出三元一次方程组，根
据方程组求x+y+z的值．
【解答】解：设A一件x元，B一件y元，C一件z元，
依题意，得 ，
两式相加，得4x+4y+4z=600，
即：x+y+z=150，
答：售出A、B、C各一件共得150元．
【点评】本题考查了三元一次方程组的应用．关键是根据题意列出方程组，利用两
个方程变形，得出x+y+z的值，考查了整体解题思想．
16．某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植
农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表：
农作物品 每公顷需劳动 每公顷需投入资
种 力 金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
14 / 15蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划在设备投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能
使所有职工有工作，而且投入的资金正好够用？
【考点】三元一次方程组的应用．
【分析】首先种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，根据题意可得等量关
系：①三种农作物的投入资金=67万元；②三种农作物所需要的人力=300名职工；
③三种农作物的公顷数=51公顷，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，由题意得：
，
解得： ，
答：种植水稻15公顷，棉花20公顷，蔬菜为16公顷．
【点评】此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，抓住题目中的
关键语句，找出等量关系，设出未知数，列出方程组．
15 / 15
