文档内容
2025-2026 学年八年级数学上学期第三次月考卷
提升卷·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2024八年级上册第一章~第五章。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握满足 的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据
勾股定理逆定理及勾股数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、 ，不是勾股数，故选项A不符合题意；
B、 ， ， 不是正整数，不满足勾股数的定义，故选项B不符合题意；
C、 ， 不是正整数，不满足勾股数的定义，故选项C不符合题意；
D、 ，且 都是正整数，是勾股数，故选项D符合题意．
故选：D．
2．下列属于二元一次方程组的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐项判断即可．
【详解】解：A：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组；
B：第二个方程是二元二次方程，故该方程组不是二元一次方程组；
C；两个方程均为二元一次方程，故该方程组是二元一次方程组；
D：第一个方程是分式方程，故该方程组不是二元一次方程组．
故选：C．
3．下列运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平方根的运算规则，包括乘除、加法和乘方，需根据基本性质判断各选项是否正确．
【详解】对于选项A： ，故A正确；
对于选项B： ，故B正确；
对于选项C： ，计算 ，故C错误；
对于选项D： ，故D正确．
故选：C．
4．若关于 的方程 的解为 ，则直线 一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查的是一次函数与一元一次方程的关系，掌握一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键．方程的解对应直线与x轴的交点横坐标，当 时方程成立，即 ，故直线经过点 ．
【详解】解：∵ 方程 的解为 ，
∴当 时， ，即 ，
∴直线为 ，
当 时， ，
∴直线一定经过点 ．
故选：C．
5．下列说法不正确的是（ ）
A．若 ，则点 一定在第二、四象限的角平分线上
B．点 到 轴的距离是2
C．若 中 ，则点 在 轴上
D．点 可能在第二象限
【答案】C
【分析】根据各象限角平分线上点的坐标特征，坐标轴上点的坐标特征以及点到y轴的距离等于横坐标的
长度对各选项分析判断即可得解．
本题考查点坐标，解题的关键是掌握点的坐标的定义和所在象限的判断方法．
【详解】解：A、若 ，则x、y互为相反数，点 一定在第二、四象限的角平分线上，说法正
确，故此选项不符合题意；
B、点 到y轴的距离是2，说法正确，故此选项不符合题意；
C、若点 中 ，则P点在x轴或y轴上，说法不正确，故此选项符合题意；
D、因为 ， ，所以点 可能在x轴上，可能在y轴上，可能在第二象限，说法正确，
故此选项不符合题意．
故选：C．
6．有理数 在数轴上的位置如图所示，则化简 的结果为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数轴与有理数，二次根式的化简，由数轴可得 ，即得 ，进而根据二
次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：由数轴可得， ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
7．已知关于 的一次函数 ．当 时，函数有最大值7，则a的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的性质．分类讨论： 时，y随x的增大而增大，所以当 时，y有最
大值7，然后把 代入函数关系式可计算出对应a的值； 时，y随x的增大而减小，所以当
时，y有最大值7，然后把 代入函数关系式可计算对应a的值．
【详解】解：① 时，y随x的增大而增大，
则当 时，y有最大值7，把 代入函数关系式得 ，
解得 ；
② 时，y随x的增大而减小，
则当 时，y有最大值7，把 代入函数关系式得 ，
解得 ，
所以 或 ，
故选：D．
8．如图，在平面直角坐标系中，对 进行循环往复的轴对称变换，若原来点 的坐标是 .则经过
第2024次变换后点 的对应点的坐标为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称变换规律，确定循环周期，再根据变换次数计算出经过的周期数和余数是
解题的关键．
经过图形可知，每经过4次轴对称变换， 回到原来的位置，利用 ，正好完成506次循
环，即可得解；
【详解】由题意可知，每经过4次变换后点 回到原来的位置，坐标为 ，
，
经过第 次变换与经过第 次变换后点 的坐标相同，
经过第2024次变换后点 的对应点的坐标为 ．
故选 ．
9．国庆假期，芳芳与小雯两家各自驾驶甲、乙两车从宣城出发匀速行驶至上海，在整个行驶过程中，甲、
乙两车离开宣城的距离 与两车行驶的时间 之间的函数关系如图所示，下列判断错误的是（ ）
A．乙车的速度是 B．乙车比甲车晚出发 ，却早到
C．乙车出发后 追上甲车 D．当甲、乙两车相距 时， 或
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键．
先设甲的函数关系式为 ，乙的函数关系式为 ，再根据函数图象进行求解并逐一判断即可．【详解】解：设甲的函数关系式为 ，乙的函数关系式为 ，
由函数图象得，将 代入到甲的函数关系式中， 代入到乙的函数关系式中，
∴ ， ，
解得 ，
∴甲的函数关系式为 ，乙的函数关系式为 ，
A、乙车速度为 ，该选项正确，不符合题意；
B、乙车在 时出发，在 到达，甲车在 时出发，在 到达，则乙车比甲车晚出发 ，却早到
，该选项正确，不符合题意；
C、联立两个函数解析式得 ，
解得 ，
∵乙车在 时出发，
∴乙车出发后 追上甲车，该选项正确，不符合题意；
D、当乙出发前 ： ，
解得 ，选项中没有；
乙出发后到甲到达前( ： ，
解得 或 ；
乙到达后 ：
解得 ，选项中也没有，故该选项错误，符合题意；
故选D．10．关于一次函数 ，给出下列说法正确的是（）
①若点 在该函数图象上，且 ，则 ；
②若该函数不经过第四象限，则 ；
③该函数向上平移2个单位得到的一次函数与坐标轴围成的三角形的面积为2，则 ；
④该函数恒过定点 ．
A．①② B．①③ C．①④ D．②③④
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的性质，包括单调性、象限分布、平移变换和定点问题，根据一次函数的定义
和性质逐项判断即可，掌握一次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：①若点 ， 在函数图象上，且 ，
∵ ，即 ， ，
∴ 随 增大而增大，
∴ ，故①符合题意；
②若函数不经过第四象限，
∴ 且 ，即 ，故②不符合题意；
③函数向上平移2个单位得 ，与坐标轴交于点 和 ，
围成的三角形面积为 ，
令 ，得 ，即 或 ，故③不符合题意；
④当 时， ，
∴函数恒过定点 ，故④符合题意；
综上，符合题意的是①④，
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知点 与点 关于 轴对称，则 的结果为 ．【答案】3
【分析】本题考查了轴对称的性质，已知字母的值求代数式的值．根据关于x轴对称的点的坐标特征：横
坐标相等，纵坐标互为相反数，可求出a和b的值，进而计算 ．
【详解】解：∵点 与点 关于 轴对称，
∴ ，
∴ ，
故答案为：3
12．若 ，则点 在第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，判断点所在的象限，根据非负性求出 的值，再根据
的符号，判断点所在的象限即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ 在第四象限；
故答案为：四．
13．有一个数值转换器，流程如图：
当输入 的值为81时，输出 的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根的意义是解答本题的关键，根据流程
图求算术平方根，再根据无理数的定义判断即可求解．
【详解】解：由题意得， 的算术平方根是 ， 不是无理数，
的算术平方根是 ， 不是无理数，的算术平方根是 ， 是无理数，
则输出 ．
故答案为： ．
14．已知方程组 和 有相同的解，则 的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，平方根，解二元一次方程组，掌握二元一次方程组解的定义，
平方根定义，解二元一次方程组的方法是解题的关键．
根据题意，可联立新的方程组： ，利用加减消元法解方程组可得： ，然后再把
代入方程组 ，可得： ，解得 ，把a，b的值代入 ，最后求平方根
即可．
【详解】解：由题意，得 ，
解得 ，
把 代入方程组 ，可得 ，
解得 ，
把 代入 ，得 ，
的平方根为 ，
故答案为： ．15．如图是一台手机支架的示意图， 可分别绕点A，B转动，测得 ，若
，垂足为点E， ，则点D到 的距离为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，
先连接 ，根据勾股定理求出 ，再根据勾股定理可得 ，则此题可解.
【详解】解：连接 ，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∴点D到 的距离为 .
故答案为： ．16．在平面直角坐标系中，一次函数 的图象分别与 轴， 轴交于点 ， ，点 在一次函数
的图象上，则当 为直角三角形时，点 的坐标是 ．
【答案】(0，0)或(2，2)或(-2，-2)
【分析】作出图形，分别以A、B、P为直角顶点三种情况讨论，利用勾股定理即可求解．
【详解】令 ，则 ，令 ，则 ，
∴A( ，0)，B( ，4)，
∵点P在一次函数 的图象上，
∴设点 的坐标为(x，x)，
= ，
，
= ，
①当∠ABP=90 时，
根据勾股定理得： ，即 ，
解得：
∴点 的坐标为(2，2)；
②当∠BAP=90 时，根据勾股定理得： ，即 ，
解得：
∴点 的坐标为(-2，-2)；
③当∠APB=90 时，此时点P与点O重合，
∴点 的坐标为(0，0)；
综上，点 的坐标为(0，0)或(2，2)或(-2，-2)．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．（1）计算：
（2）解方程组：
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用二次根式乘法法则 展开式子，再化简二次根式，最后合并同类二次根式得出结果．
（2）采用加减消元法，给方程①乘以 后与方程②相加，消去 ，求出 的值，再把 的值代入方程①求
出 的值，得到方程组的解．
本题主要考查了二次根式的混合运算、二元一次方程组的解法，熟练掌握二次根式乘法法则和加减消元法
解方程组是解题的关键．
【详解】解 （1）原式
∶
（2）由① ②得 ，
解得 ．
将 代入①得 ，
解得 ，
∴原方程组的解为 ．
18．已知一次函数经过 ， 两点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)判断点 是否在这个一次函数的图象上？说明理由．
【答案】(1)一次函数的表达式为 ；
(2)点 在这个一次函数的图象上，理由见解析．
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，正确求出一次函数的解析式是解
此题的关键．
（ ）利用待定系数法求解即可；
（ ）求出当 时 的值，比较即可得解．
【详解】（1）解：设一次函数的表达式为 ，由一次函数过 ， 两点，
∴ ，解得： ，∴一次函数的表达式为 ；
（2）解：点 在这个一次函数的图象上，理由，
由（ ）得一次函数的表达式为 ，
当 时， ，
∴点 在这个一次函数的图象上．
19．如图，在 中， ， 是边 上一点， ， ， ．
(1)试判断 的形状；
(2)求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)7.5
【分析】本题主要考查了勾股定理和其逆定理，解题关键是利用勾股定理构造方程求出腰长．
（1）根据勾股定理的逆定理求解即可；
（2）设 ，则 ，然后对 运用勾股定理建立方程求解．
【详解】（1）解：因为 ， ， ，
所以 ．
所以 ，
所以 是直角三角形．
（2）解：由（1）知， 是直角三角形，且 ，
所以 ．
设 ，
因为 ，
所以 ．因为 ，
所以 ，
解得 ．
所以 ．
所以 ．
20．已知 与 成正比例，当 时， ．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)设点 在这个函数的图象上，求a的值；
(3)若x的取值范围是 ，求y的取值范围．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) ．
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数自变量的值和函数值的范围：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据（1）所求求出函数值为 时自变量的值即可得到答案；
（3）分别求出自变量为0和5时的函数值即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意，设 ，
∵当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（2）解：∵点 在函数 的图象上
∴ ，
∴ ；（3）解：在 中，
当 时， ，当 时， ，
∵在 中， ，
∴y随x增大而增大，
∴当 时， ．
21．先来看一个有趣的现象： ．这里根号里的因数2经过适当的演变，竟
“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：
， 等等．
(1)猜想： ＝ ，并验证你的猜想；
(2)你能只用一个正整数n（n≥2）来表示含有上述规律的等式吗？
(3)证明你找到的规律；
(4)请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数．
【答案】(1) ，见解析
(2) ＝n
(3)见解析
(4) （答案不唯一）
【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键，
（1）根据已知等式的规律写出结论，再根据二次根式的乘法法则验证即可；
（2）根据“穿墙”的定义，用 表示即可；
（3）根据二次根式的乘法法则验证即可；（4）根据已知等式的规律写出一个符合题意的数即可；
【详解】（1）解： ；
故答案为： ；
验证： ；
（2）解： ；
（3）证明：
．
（4）解： ，验证如下：
（答案不唯一）．
22．定义：若两个实数 满足 ，则 与 互为“和谐数”，点 为“和谐点”．
(1)若 为“和谐点”，求 的值．(2)已知点 是关于 的一次函数 和 的图象的交点，是否存在实数 ，使
点 为“和谐点”？若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】本题考查了一次函数的交点问题，新定义运算．
（1）根据“和谐点”的定义列式计算即可；
（2）先求出 ，进而求出 ，根据“和谐点”的定义列式计算即可．
【详解】（1）解： 为“和谐点”，
，
；
（2）解：存在．
是关于 的一次函数 和 图象的交点，
，
解得 ．
将 代入 ，得 ．
点 为“和谐点”，
，
解得 ，
存在 的值为 ，使点 为“和谐点”．
23．《九章算术》中记载，浮箭漏（如图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭
尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校科技研究小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究．研究小组每 记录一次箭尺
读数（箭尺最大读数为 ），得到下表：
供水时间 0 2 4 6 8
箭尺读数
6 18 30 42 54
(1)如图②，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间 ，纵轴表示箭尺读数 ，描出以表格中数据
为坐标的各点，并连线；
(2)请根据（1）中的数据确定 与 之间的函数表达式（写过程）；
(3)应用上述得到的规律计算：如果本次实验记录的开始时间是上午 ，那么当箭尺读数为 时是几
点钟？
【答案】(1)见解析
(2)
(3)当箭尺读数为 时是晚上
【分析】本题考查了一次函数的应用、画函数图象，理解题意，正确求出函数关系式是解题的关键．
（ ）根据表格中的数据先描点，再连线即可；
（ ）由各点连线是一条直线，得出 是 的一次函数，再利用待定系数法求解即可；
（ ）当 时，得 ，解得 ，然后计算即可．
【详解】（1）解：描点并连线如图所示：（2）解：∵各点连线是一条直线，
∴ 是 的一次函数．
设 与 之间的函数表达式为 ，
将坐标 和 分别代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ，
当 时，得 ，
解得 ，
∴ ，
∴ 与 之间的函数表达式为 ；
（3）解：当 时，得 ，
解得 ，
∵上午 经过 小时后是晚上 ，
∴如果本次实验记录的开始时间是上午 ，那么当箭尺读数为 时是晚上 ．
24．某帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共11千顶，“芦山地震”发生
后，灾区A、B两地急需帐篷20千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷，总厂和分厂的生产效率分别比原来提高了 和 ，恰好按时完成了这项任务．
(1)在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？
(2)现要将这些帐篷用卡车一次性运送到地震灾区A、B两地，由于甲、乙两市通往A、B两地道路的路况不
同，卡车的运载量也不相同．已知运送帐篷每千顶所需的车辆数和急需的帐篷数如下表：
A地 B地
甲市 4 7
每千顶帐篷所需车
辆数（辆）
乙市 3 5
急需帐篷数（千
9 11
顶）
请设计一种运送方案，使所需的车辆总数量最少，并求出最少车辆总数．
【答案】(1)在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂分别生产帐篷14千顶和6千顶
(2)从总厂运送到灾区A、B两地帐篷分别为9千顶、5千顶，从分厂运送到灾区A，B两地帐篷分别为0千
顶、6千顶时所用车辆最少，最少的车辆为101辆
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用：
（1）设总厂原来每周制作帐篷 千顶，分厂原来每周制作帐篷 千顶．根据两厂原每周生产量与赶制时一
周的生产量列方程组，解方程组即可；
（2）设从甲市调配 千顶帐篷到灾区的 地，甲、乙两市所需运送帐篷的车辆总数为 辆，列出n关于m
的一次函数关系式，即可求解．
【详解】（1）解：设总厂原来每周制作帐篷 千顶，分厂原来每周制作帐篷 千顶．
由题意得： ，
解得： ，
（千顶）， （千顶）．
在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂分别生产帐篷14千顶和6千顶；
（2）解：设从甲市调配 千顶帐篷到灾区的 地，甲、乙两市所需运送帐篷的车辆总数为 辆，
由题意得： ，
即： ．
，所以 随 的增大而减小．当 时， 有最小值101．
从总厂运送到灾区A、B两地帐篷分别为9千顶、5千顶，从分厂运送到灾区A，B两地帐篷分别为0千
顶、6千顶时所用车辆最少，最少的车辆为101辆．
25．如图，将含有 的三角板的直角顶点放在直线 上，过两个锐角顶点分别向直线 作垂线，这样就得
到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，
这模型在数学解题中被广泛使用．
【模型应用】：
（1）如图1，在平面直角坐标系中，直线 与 轴， 轴分别交于 两点．
①求点A和点B的坐标，并计算 的长度．
② 是正比例函数 图象上的两个动点，连接 ，若 ， ，求 的最小值．
【模型拓展】：
（2）如图2，一次函数 的图象与 轴， 轴分别交于 两点．将直线 绕点 逆时针旋转
，得到直线 ，求直线 对应的函数表达式．
【答案】（1） ； ；（2）
① ②
【分析】（1）①一次函数 ，令 求得点B的坐标；令 求得点A的坐标，再根据两点之
间的距离公式计算即可．
②点到直线的距离最短为垂线，根据垂直求得 ，结合 证得 ，得到
，利用勾股定理即可求得 的长；
（2）在图2中，过B作 交直线l于C，过C作 轴于D，证明 是等腰直角三角形，则
，证明 得到 ， ，进而求得 ，然后利用待定系数
法求解即可；【详解】解：（1）①对于 ，
当 时， ，
令 时， ，则 ，
即 ， ，
∴ ；
②因为A是定点，当 时， 有最小值，如图所示，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
（2）过B作 交直线l于C，过C作 轴于D，则 ，
∴ ，
∴ ，
∵直线 绕点A逆时针旋转 得到直线l，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
当 时， ，当 时，由 得 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
设直线l对应的函数表达式为 ，
将 、 代入，得 ，解得 ，
∴直线l对应的函数表达式为 ；
