文档内容
5 三元一次方程组
课标摘录 能解三元一次方程组。
1.了解三元一次方程组的概念。
2.会用“消元”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方程
素养目标
来解决。
3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法。
重点:会用“消元”把三元一次方程组化为“二元”、进而化为“一元”方
教学重难
程来解决。
点
难点:在解题过程中体会“消元”思想和“化未知为已知”的化归思想。
通过生活中三种货币的总额,构建一个需要用三元一次方程组解决的情境,让
学生感受到数学与生活的紧密联系,从而激发学生的学习兴趣和探究欲望。
再对比二元一次方程组,引导学生类比思考三元一次方程组的定义,强调“三
元”即三个未知数,“一次”指含未知数的项的次数都是1,且方程是整式方
教学策略
程。继续对得到的二元一次方程组进行消元,转化为一元一次方程求解。解
出一元一次方程后,再将结果代回二元一次方程组求出另一个未知数,最后将
这两个未知数的值代回原三元一次方程组求出第三个未知数。最后总结消
元的一般步骤和技巧。
情境导入
老师手中有10张面额分别是1元,5元,10元的纸币,共计44元,其中1元的纸币比10元的
纸币多2张。你能猜出老师手中有1元,5元,10元的纸币各多少张吗?
新知初探
探究一 三元一次方程组
活动1:《九章算术》中记载:“今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中
禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上中下禾实一
秉各几何?”
题目大意:有上禾3束,中禾2束,下禾1束,可得米39斗;上禾2束,中禾3束,下禾1束,可得米
34斗;上禾1束,中禾2束,下禾3束,可得米26斗。上、中、下禾每束各可得米多少斗?
在这个问题中,设每束上禾可得米x斗,每束中禾可得米y斗,每束下禾可得米z斗,根据
{
3x+2y+z=39,
题意可得方程组: 2x+3 y+z=34,
x+2y+3z=26。
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系?
观察方程3x+2y+z=39,2x+3y+z=34和x+2y+3z=26
问题1:它们有什么共同特点?
它们都含有三个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1。
问题2:类比二元一次方程,你能说出这三个方程是什么方程吗?
是三元一次方程。
问题3:你能得出什么是三元一次方程组的解吗?
三元一次方程组中各个方程的公共解。
归纳总结:
像这样,共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程,叫作三元一次方程组。
三元一次方程组必须满足的三个条件:1.共含有三个不相同的未知数。
2.未知数的项的次数都是1。
3.共有三个一次方程。
注意:
三元一次方程组中的方程不一定每个方程都要含有3个未知数,只要是一共含有三个未知
数的三个一次方程所组成一组方程,就是三元一次方程组。
活动2:尝试·思考
1.怎样解上述这个三元一次方程组呢?
2.解二元一次方程组的基本思路是什么?你认为用类似的思路可以求解这个三元一次方程
组吗?请你试一试?
意图说明
通过问题情境,使学生了解三元一次方程组的概念及本节课要解决的问题,强调审题抓住的
三个等量关系,从而表示成三个方程,这个问题的解答必须同时满足这三个条件,因此,把这
三个方程联立起来,引出三元一次方程组的概念。
探究二 例题讲解
{ 3x+2y+z=39, ①
例题 解方程组: 2x+3 y+z=34, ②
x+2y+3z=26。 ③
解:由①得,z=39-3x-2y。 ④
把④分别代入②③并化简,得
x-y=5, ⑤
8x+4y=91。 ⑥
37
{ x= ,
4
解由⑤⑥组成的二元一次方程组,得
17
y= 。
4
37 17 11
把x= ,y= 代入④,得z= 。
4 4 4
37 17 11
经检验,x= ,y= ,z= 适合原方程组。
4 4 4
37
{x= ,
4
17
所以原方程组的解是
y= ,
4
11
z= 。
4
活动3:尝试·交流
(1)在解上面的方程组时,你能用代入消元法先消去未知数x(或y),从而得到方程组的解吗?
(2)你还有其他方法吗?与同伴分享各自的解法,并思考不同方法之间的区别和联系。
活动4:思考·交流
回顾二元一次方程组和三元一次方程组的求解过程,说说求解三元一次方程组的基本思路,
并与同伴进行交流。
解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——把“三元”化为“二元”,再化为“一
元”。
三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程组意图说明
通过代入消元法和加减消元法解三元一次方程组,使学生理解,解三元一次方程组的基本思
路仍然是“消元”。同时理解一个问题可以有不同的解决途径。
当堂达标
课堂小结
三元一次方程组
1.三元一次方程与三元一次方程组的概念 2.三元一次方程组的
板书设计
解
3.解三元一次方程组的思路
教学反思
