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5.5 三元一次方程组
8大知识点（基础）+能力提升题（7道）+拓展培优练（3道）
一、三元一次方程定义
1．下列是三元一次方程组的是（ ）
{x+ y=2
)
{x+ y−z=5
)
A． y+z=7 B． xy+z=4
x+z=10 x−y=4
4
{
3x=6
)
{ = y+z)
x
C． x2+ y=9 D．
x−y=6
x+ y+z=8
y=1
2．下列是三元一次方程组的是（ ）
4
{x+ y=2 ) {x+ y−z=5 ) { 3x=6 ) { y+z=2)
x
A． y+z=7 B． xy+z=4 C． x2+ y=9 D．
x−y=6
x+z=10 x−y=4 x+ y+z=8
y=1
3．下列方程中，是三元一次方程的是（ ）
1
A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝
z
1
C．xy＝ z D．x＋y－z＝2 015
2
二、利用三元一次方程组求代数式值
2x+ y+z
1．已知2x+ y−7z=0，x−2y+4z=0（xyz≠0），则 = ．
x−2y+z
{
x+ y=1
)
2．已知 y+z=−2 ，则x+ y+z的值为 ．
x+z=3
3．【阅读理解】在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
{x+3 y+5z=14①)
（1）解方程组 （2）已知 ，求x+ y+z的
3x+ y−z=10②{ x−y=2① )
x+3(x−y)=10②
值．
解：把①代入②得：x+3×2=10
解：①+②得：4x+4 y+4z=24③
x=4
1
把x=4代入①得：y=2 ③× ，得：x+ y+z=6
4
{x=4)
∴方程组的解为 ．
y=2
【类比迁移】
{5(a+b)+4=7a)
（1）直接写出方程组 的解；
a+b=2
{7x+3 y+5z=18)
（2）若 ，求x+ y+z的值；
5x+ y+3z=12
【实际应用】
（3）端午节是中华民族传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，某食品店推出的肉粽、豆沙粽和蛋黄粽
深受顾客喜欢．现采购1个肉粽、2个豆沙粽和3个蛋黄粽需要45元；3个肉粽、5个豆沙粽和7个蛋黄粽
需要113元，那么采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要多少钱？
三、解三元一次方程组
1．已知方程(m−1)x|m)+ y+5z=4是关于x，y，z的三元一次方程，则m= ．
{
a+b=3
)
2．解方程组 4a−c=7 ．
a+b+c=0
3．解下列方程组．
{2x−3 y+4z=12
)
(1) x−y+3z=4
4x+ y−3z=−2
{x−4
=
y+1
=
z+2
)
(2) 3 4 5
x−2y+3z=30
{x+2y+2z=3①
)
4．解方程组： 2x+2y+z=10②
x−2y−z=11③
四、三元一次方程组的应用-商品购买问题1．某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，7本日记本，共50元；若购买7支铅笔，
4块橡皮，10本日记本，共69元．则购买2支铅笔，2块橡皮，2本日记本，需要的钱数为（ ）
A．24元 B．31元 C．38元 D．无法确定
2．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，
共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．128元 B．130元 C．150元 D．160元
3．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需125元，购甲1件、乙2件、丙3件共需
75元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）元．
A．25 B．100 C．50 D．125
4．某班级组织活动购买小奖品，买2支铅笔、4块橡皮、1本笔记本共需20元，买4支铅笔、6块橡皮、2
本笔记本共需36元，则购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需 元．
5．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需215元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共
需185元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元．
五、三元一次方程组的应用-数字组合问题
1．一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数
字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ．
1
2．一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的 ．如果
3
把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99．求这个三位数．
3．对任意有理数x，y定义运算如下：x∞ y=ax+by+cxy，这里a，b，c是给定的数，等式右边是通
常数的加法及乘法运算，如当a=1，b=2，c=3时，1∞3=1×1+2×3+3×1×3=16．现已知所定义
的新运算满足条件：1∞2=3，2∞3=4．
a+5c
(1)求 ．
b
(2)若3∞4=6，求a，b，c．
(3)若有一个不为零的数d，使得对任意有理数x，有x∞d=x，求a，b，c，d的值．
4．一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百
位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数．六、三元一次方程组的应用-浓度混合问题
1．现有A、B、C三个容器装有不同浓度的三种盐水，其浓度之比为1:2:3．若将A容器中的盐水取出20kg
倒入B容器中，将C容器中的盐水取出10kg也倒入B容器中，再将A容器中剩下的盐水倒入C容器中，
这时发现B容器和C容器中的盐水浓度一样．又若在原C容器盐水中加入与原C容器相同浓度的盐水25kg
后，其溶质正好是原A容器盐水取出5kg盐水后溶质的3倍．则原A容器盐水质量的3倍与原C容器盐水
质量之和比原B容器盐水质量的4倍多 kg．
2．A、B、C三瓶不同浓度的酒精，A瓶内有酒精2kg，浓度x%，B瓶有酒精3kg，浓度y%，C瓶有酒精
5kg，浓度z%，从A瓶中倒出10%，B瓶中倒出20%，C瓶中倒出24%，混合后测得浓度33.5%，将混合后
的溶液倒回瓶中，使它们恢复原来的质量，再从A瓶倒出30%，B瓶倒出30%，C瓶倒出30%，混合后测得
浓度为31.5%，测量发现20≤x≤30，20≤ y≤30，35≤z≤45，且x、y、z均为整数，则把起初A、B两
瓶酒精全部混合后的浓度为 ．
七、三元一次方程组的应用-生产工程问题
1．某车间每天能生产A种零件200个，或者B种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分
别取1个、2个、3个才能配成一套．要在四月份一个月内生产最多的成套产品向五一劳动节献礼，则A种
零件生产 天，B种零件生产 天，C种零件生产 天．
2．为提升国家5A级旅游景区“江中盆景”－－石宝寨的艺术品味，县文旅委决定开发甲、乙两种石宝寨
标识的工艺品，并使用当地A、B、C三种原料进行生产，已知制作每件甲工艺品需要A原料2千克、B原
料2千克、C原料4千克，制作每件乙工艺品需要A原料4千克、B原料4千克、C原料2千克（甲、乙两
种工艺品的每件成本分别等于各自产品中所含的A、B、C三种原料成本之和）．每件甲工艺品的成本是每
千克C原料成本的10倍，销售每件甲、乙丁艺品的利润率分别是25%、20%，若销售这两种工艺品若干后
的总利润率刚好是24%时，则甲、乙两种工艺品的销售件数之比是 ．
3．某校的学生座椅由靠背、座垫及铁架组成（如图①）．靠背、座垫的尺寸如图②．已知用于切靠背和
座垫的板材长为240cm，宽为50cm（裁切时不计损耗），若要不造成板材浪费，该板材有 种裁
切方案．现学校有铁架500个，20张靠背和74张座垫，为有效利用已有资源，学校准备制作500张学生座
椅，则需要购买上述规格的板材 张（板材恰好全部用完）．4．某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在
第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排
各工序里的人数？
八、三元一次方程组的应用-其他问题
1．在数学游艺会上，有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，4，……48，49，50．游戏规则是：将
卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，如图，这五张卡片分别记为
A、B、C、D、E，若依次将相邻两张卡片上的两数之和告诉参与者，如表所示，则参与者猜对的信息为（
）
卡片 A， B， C， D， E，
编号 B C D E A
两数
54 66 59 71 48
之和
A．A最大 B．B最大 C．C最大 D．D最大
2．甲、乙、丙三人各有糖若干粒，要求互相赠送．先由甲给乙、丙，所给的糖数等于乙、丙原来各有的
糖数，依同法再由乙给甲、丙现有糖数，后由丙给甲、乙现有糖数，互送后每人恰好各有24粒，原来甲、
乙共有糖 粒．
3．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表所示：
咖啡
牛奶（箱） 金额（元）
（箱）方案
20 10 1100
一
方案
25 20 1750
二
(1)则牛奶每箱为__________元；咖啡每箱为_________元；
(2)超市中该款牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的牛奶
1
和原价咖啡，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的 ，求此
4
次按原价采购的咖啡有多少箱．
4．小泉用三根尼龙编织条（如图所示）在三个方向上对一个包装盒进行加固．所用尼龙编织条分别为9分
米，11分米，15分米．若每个尼龙条接头重叠处都是10厘米，那么这个包装盒的表面积是多少平方分米？
体积是多少立方分米？
1．设a ，a ，．．．，a ，是从1，0，−1这三个数中任意取一个值后，所组成的一列数，设
1 2 n
F(n)=a +a +⋯+a ，则下列说法：
1 2 n
①F(3)的值可能是0；
②F(4)的不同的值共有9个；
③若
F(20)=6
，且
(a +1) 2+(a +1) 2+⋯+(a +1) 2=46
，则
a
，
a
，．．．，
a
中为0的个数是6．正
1 2 20 1 2 20
确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．甲、乙、丙三人共解100道数学题，每人都只会做其中的60道题，且三人合在一起，这100道都能解
答出来．将其中只有一人会做的题目叫难题，三人都会做的题叫容易题，则难题比容易题多 ．
3．[阅读感悟]：
有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：(1)已知实数x、y满足3x−y=5①，2x+3 y=7②，求x−4 y和7x+5 y的值．
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、
3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
4．解下列三元一次方程组：
{x−2y=−9
)
(1) y−z=3
2z+x=47
{
4x−9z=17
)
(2) 3x+ y+15z=18
x+2y+3z=2
{x+ y=3
)
(3) y+z=4
z+x=5
{
3x−y+z=4,
)
(4) 2x+3 y−z=12,
x+ y+z=6.
5．在等式z=ax+by+c中，当x=1,y=2时，z=8；当x=2,y=1时，z=5；当x=−1,y=−1时，z=4．
求a,b,c的值．
6．在国家乡村振兴战略推动下，下山嘴村的标志性项目“富民路”开始修建．修建过程中分别有甲、乙、
2
丙三家施工队参与修建，已知甲、乙两队合修6天完成了这条路的 ，乙、丙两队合修3天完成了剩下的
3
3
，其余的再由三队合修半天完成．若甲、乙、丙三队单独修这条路，各需要多少天可以修完？
4
7．某地积极推进实施垃圾分类投放的举措．居民需要将垃圾分为“可回收垃圾”“易腐垃圾”“有害垃
圾”“其他垃圾”四类进行分类投放．某小区为了鼓励小区居民积极参与垃圾分类，决定设立垃圾正确投
放积分奖励机制．规则如下表：
垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤获得积分
a b 100 0
（分）
积分可以兑换部分商品，具体细则如下表：
物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张
积分数 800 1500 2000 1000
已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得165积分．
(1)求a，b的值．
(2)小敏家一季度共有46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾．小敏妈妈决定将这一季度
获得的所有积分都兑换成“垃圾袋”和“小区临时停车券”这两类物品，请你运用所学的数学知识推理得
到具体的兑换方案．
1．某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为A、B、C三种礼盒各一个，其中A盒中有1个保温杯，
3个电子手表，2个蓝牙耳机；B盒中有1个保温杯，2个电子手表，1个蓝牙耳机；C盒中有2个保温杯，
3个电子手表，1个蓝牙耳机．经核算，C盒的成本为155元，B盒的成本为100元（每种礼盒的成本为该
盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则A盒的成本为（ ）
A．140元 B．145元 C．150元 D．165元
2．已知M,N都为整式．
5
①若M=2x+1,N=x−4且N=❑√M2，则x= 或x=−5；
3
②若M=x−3 y+2z,N=2x−y−z，当M=4,N=3时，则x−y=2；
③若 （ 为非负整数），且 ，则所有满足条件的整式M的和为
M=a x2+a x+a a ,a ,a a +a +a ≤2
2 1 0 0 1 2 0 1 2
5x2+5x+5．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品
都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全
部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
