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5.5 三元一次方程组
8大知识点（基础）+能力提升题（7道）+拓展培优练（3道）
一、三元一次方程定义
1．下列是三元一次方程组的是（ ）
{x+ y=2
)
{x+ y−z=5
)
A． y+z=7 B． xy+z=4
x+z=10 x−y=4
4
{
3x=6
)
{ = y+z)
x
C． x2+ y=9 D．
x−y=6
x+ y+z=8
y=1
【答案】A
【分析】本题考查了三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次
的整式方程，叫做三元一次方程组．
根据三元一次方程组的定义逐一判断即可．
【详解】解：A.满足三元一次方程组的定义，故符合题意；
B. xy+z=4，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意；
C.x2+ y=9 ，未知数的项的次数为2次，不是三元一次方程，故此选项不符合题意；
4
D. = y+z，不是整式方程，故此选项不符合题意；
x
故选A．
2．下列是三元一次方程组的是（ ）
4
{x+ y=2 ) {x+ y−z=5 ) { 3x=6 ) { y+z=2)
x
A． y+z=7 B． xy+z=4 C． x2+ y=9 D．
x−y=6
x+z=10 x−y=4 x+ y+z=8
y=1
【答案】A
【分析】主要考查三元一次方程组的定义：含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次的
方程组，叫做三元一次方程组．根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验
证．【详解】解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有
三个方程，叫做三元一次方程组．
A、满足三元一次方程组的定义，故A选项正确；
B、xy+z=4，未知量的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项错误；
C、x2+ y=9，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故C选项错误；
4
D、 y+z=2不是整式方程，故D选项错误；
x
故选：A．
3．下列方程中，是三元一次方程的是（ ）
1
A．y＝2 015＋2x B．x＋y＝
z
1
C．xy＝ z D．x＋y－z＝2 015
2
【答案】D
【解析】略
二、利用三元一次方程组求代数式值
2x+ y+z
1．已知2x+ y−7z=0，x−2y+4z=0（xyz≠0），则 = ．
x−2y+z
8
【答案】−
3
【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，用z将x、y表示出来，并代入代数式求解即可．
【详解】解∶联立2x+ y−7z=0，x−2y+4z=0，
{2x+ y−7z=0)
得 ，
x−2y+4z=0
{x=2z)
解得 ，
y=3z
2x+ y+z 2×2z+3z+z 8z 8
∴ = = =− ，
x−2y+z 2z−2×3z+z −3z 3
8
故答案为∶− ．
3
{
x+ y=1
)
2．已知 y+z=−2 ，则x+ y+z的值为 ．
x+z=3【答案】1
【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三个方程相加，即可求解．
{
x+ y=1①
)
【详解】解： y+z=−2②
x+z=3③
①+②+③得2(x+ y+z)=1−2+3
∴x+ y+z=1
故答案为：1．
3．【阅读理解】在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简．
（1）解方程组
{ x−y=2① )
x+3(x−y)=10② （2）已知
{x+3 y+5z=14①)
，求x+ y+z的
3x+ y−z=10②
解：把①代入②得：x+3×2=10 值．
x=4 解：①+②得：4x+4 y+4z=24③
把x=4代入①得：y=2 1
③× ，得：x+ y+z=6
4
{x=4)
∴方程组的解为 ．
y=2
【类比迁移】
{5(a+b)+4=7a)
（1）直接写出方程组 的解；
a+b=2
{7x+3 y+5z=18)
（2）若 ，求x+ y+z的值；
5x+ y+3z=12
【实际应用】
（3）端午节是中华民族传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，某食品店推出的肉粽、豆沙粽和蛋黄粽
深受顾客喜欢．现采购1个肉粽、2个豆沙粽和3个蛋黄粽需要45元；3个肉粽、5个豆沙粽和7个蛋黄粽
需要113元，那么采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要多少钱？
{a=2)
【答案】（1）方程组的解为 ；（2）x+ y+z=3；（3）采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄
b=0
粽需要230元
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组．
（1）用整体代入法求解即可；
1
（2）①－②得：2x+2y+2z=6，然后两边都乘以 即可求解；
2
（3）设1个肉粽x元，1个豆沙粽y元，1个蛋黄粽需要z元，根据题意列出方程组，然后用整体的思想求解即可．
{5(a+b)+4=7a)
【详解】解：（1） ，
a+b=2
把②代入①得：5×2+4=7a
∴a=2
把a=2代入②得：2+b=2
∴b=0
{a=2)
∴方程组的解为 ．
b=0
{7x+3 y+5z=18①)
（2） ，
5x+ y+3z=12②
①－②得：2x+2y+2z=6③
1
③× ，得x+ y+z=3
2
∴x+ y+z=3．
（3）设1个肉粽x元，1个豆沙粽y元，1个蛋黄粽需要z元：
{ x+2y+3z=45① )
则： ，
3x+5 y+7z=113②
②−①×2得：x+ y+z=23③，
③×10得：10x+10 y+10z=230
∴采购10个肉粽、10个豆沙粽和10个蛋黄粽需要230元．
三、解三元一次方程组
1．已知方程(m−1)x|m)+ y+5z=4是关于x，y，z的三元一次方程，则m= ．
【答案】−1
【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得|m)=1且m−1≠0，进而可求解，熟
练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这
样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键．
【详解】解：依题意得：|m)=1且m−1≠0，
解得：m=−1，
故答案为：−1．{
a+b=3
)
2．解方程组 4a−c=7 ．
a+b+c=0
{
a=1
)
【答案】 b=2
c=−3
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是利用代入消元法将三元一次方程组转化为二元
一次方程组进行求解．
通过观察方程组中方程的特点，利用代入消元法，逐步消去未知数，先求出一个未知数的值，再依次求出
其他未知数的值．
{
a+b=3①
)
【详解】解： 4a−c=7②
a+b+c=0③
把①代入③中，得3+c=0，
∴c=−3，
把c=−3代入②中，得4a−(−3)=7，
∴a=1，
把a=1代入①中，得1+b=3，
∴b=2，
{
a=1
)
∴方程组的解为 b=2 ．
c=−3
3．解下列方程组．
{2x−3 y+4z=12
)
(1) x−y+3z=4
4x+ y−3z=−2
{x−4
=
y+1
=
z+2
)
(2) 3 4 5
x−2y+3z=30
2
{ x=
)
5
96
【答案】(1) y=−
25
2
z=−
25{x=13
)
(2) y=11
z=13
【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握求解方法是解此题的关键．
（1）利用加减消元法计算即可得解；
x−4 y+1 z+2
（2）设 = = =k，则x=3k+4，y=4k−1，z=5k−2，求出k的值即可．
3 4 5
{2x−3 y+4z=12①
)
【详解】（1）解： x−y+3z=4② ，
4x+ y−3z=−2③
②+③，得5x=2，
2
∴x= ，
5
由②，得y=x+3z−4．④
将④代入①，得2x−3(x+3z−4)+4z=12，
即x+5z=0，
2
又x= ，
5
2
∴z=− ．
25
2 2 96
将x= ，z=− 代入④，得y=− ．
5 25 25
2
{ x=
)
5
96
∴原方程组的解为 y=− ；
25
2
z=−
25
{x−4
=
y+1
=
z+2
①)
（2）解： 3 4 5
x−2y+3z=30②
x−4 y+1 z+2
设 = = =k，
3 4 5
∴x=3k+4，y=4k−1，z=5k−2，
代入②，得3k+4−2(4k−1)+3(5k−2)=30，
∴3k+4−8k+2+15k−6=30，∴10k=30，
∴k=3，
∴x=13，y=11，z=13．
{x=13
)
∴原方程组的解为 y=11 ．
z=13
{x+2y+2z=3①
)
4．解方程组： 2x+2y+z=10②
x−2y−z=11③
{
x=7
)
【答案】 y=−2
z=0
【分析】本题考查了解三元一次方程组的应用，解此题的关键是能正确消元，即把三元一次方程组转化成
二元一次方程组．利用消元法解三元一次方程组．
【详解】解：②+③得，3x=21
解得：x=7，
①+③得，2x+z=14④
将x=7代入④得，14+z=14
解得：z=0，
将x=7，z=0，代入①得，7+2y+0=3
解得：y=−2
{
x=7
)
∴原方程组的解为 y=−2
z=0
四、三元一次方程组的应用-商品购买问题
1．某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，7本日记本，共50元；若购买7支铅笔，
4块橡皮，10本日记本，共69元．则购买2支铅笔，2块橡皮，2本日记本，需要的钱数为（ ）
A．24元 B．31元 C．38元 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了三元一次方程组问题，代入消元法等知识点，熟练掌握代入消元是解题的关键．设1
{5x+3 y+7z=50
)
支铅笔x元，1块橡皮y元，1本日记本z元，根据题意，列出方程组 ，解得x=7−2z，
7x+4 y+10z=69y=5+z，代入2(x+ y+z)，计算即可．
【详解】解：设1支铅笔x元，1块橡皮y元，1本日记本z元，
{5x+3 y+7z=50①)
根据题意，列出方程组 ，
7x+4 y+10z=69②
①×2−②得3x+2y+4z=31③，
②−③×2得x+2z=7，
∴x=7−2z代入①式，
∴5(7−2z)+3 y+7z=50，
解得y−z=5，
∴y=5+z，
∴2(x+ y+z)=2(7−2z+5+z+z)=2×12=24，
所以购买2支铅笔，2块橡皮，2本日记本，需要24元．
故选A．
2．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需270元；购买甲1件、乙2件、丙3件，
共需242元，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）
A．128元 B．130元 C．150元 D．160元
【答案】A
【分析】本题考查三元一次方程的应用．设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，根据题意
列出方程组，通过相加方程消去变量，直接求出x+ y+z的值．
【详解】解：设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元．根据题意，可列方程组：
{3x+2y+z=270 ①)
¿
x+2y+3z=242 ②
将方程①和②相加，得到：
(3x+x)+(2y+2y)+(z+3z)=270+242，
化简得：
4x+4 y+4z=512，
两边同时除以4，得：
x+ y+z=128，
因此，购买甲、乙、丙三种商品各一件共需128元．
故选：A．
3．有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需125元，购甲1件、乙2件、丙3件共需
75元，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（ ）元．A．25 B．100 C．50 D．125
【答案】C
【分析】本题考查三元一次方程组的建模及其特殊解法：根据系数特点，将两式相加，整体求解．设出购
甲、乙、丙三种商品各一件的未知数，建立方程组，整体求解．
【详解】解：设甲、乙、丙的单价分别为x元、y元、z元，
{3x+2y+z=125)
根据题意：得 ，
x+2y+3z=75
把这两个方程相加得：4x+4 y+4z=200，
∴ x+ y+z=50，
∴购甲、乙、丙各一件共需50元，
故选：C．
4．某班级组织活动购买小奖品，买2支铅笔、4块橡皮、1本笔记本共需20元，买4支铅笔、6块橡皮、2
本笔记本共需36元，则购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需 元．
【答案】32
【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用，设一支铅笔，一块橡皮，一本笔记本的单价分别为x元，y
元和z元，根据题意，列出三元一次方程组，进行求解即可．
【详解】解：设一支铅笔，一块橡皮，一本笔记本的单价分别为x元，y元和z元，由题意，得：
{2x+4 y+z=20①)
，
4x+6 y+2z=36②
②−①，得：2x+2y+z=16，
∴4x+4 y+2z=32；
∴购买4支铅笔、4块橡皮、2本笔记本共需32元；
故答案为：32．
5．甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需215元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共
需185元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需 元．
【答案】100
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，关键是根据方程组特点整体求出x+ y+z的和．设甲的单价
为x元，乙的单价为y元，丙的单价为z元，根据题意列出关于x、y、z的方程组，求出x+ y+z的值即可．
【详解】解：设甲的单价为x元，乙的单价为y元，丙的单价为z元，
{3x+2y+z=215①)
由题意得： ，
x+2y+3z=185②
①+②得：4x+4 y+4z=400，∴x+ y+z=100，
故答案为：100．
五、三元一次方程组的应用-数字组合问题
1．一个三位数的三个数字的和是17，百位数字与十位数字的和比个位数字大3，如果把个位数字与百位数
字的位置对调，那么所得的三位数比原数大495，则原来的三位数是 ．
【答案】287
【分析】本题考查了三位数的表示方法和三元一次方程的解法，设原来的三位数的百位数字为x、十位数
字为y、个位数字为z，则原来的三位数表示为：100x+10 y+z，新数表示为：100z+10 y+x，故根据
题意列三元一次方程组即可求得．
【详解】解：设原来的三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z，
{
x+ y+z=17
)
根据题意，得 x+ y−z=3 ，
(100z+10 y+x)−(100x+10 y+z)=495
{x=2
)
解得 y=8 ，
z=7
故原来的三位数是287．
故答案为：287．
1
2．一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的 ．如果
3
把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99．求这个三位数．
【答案】473
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，先设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，
z，再根据等量关系列出方程组，求出解即可．
【详解】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，
x+ y+z=14
{ )
1
由题意，得 2z−y= x ，
3
(100x+10 y+z)−(100z+10 y+x)=99
{x=3
)
解得 y=7 ，
z=4
答：原来的三位数为473．3．对任意有理数x，y定义运算如下：x∞ y=ax+by+cxy，这里a，b，c是给定的数，等式右边是通
常数的加法及乘法运算，如当a=1，b=2，c=3时，1∞3=1×1+2×3+3×1×3=16．现已知所定义
的新运算满足条件：1∞2=3，2∞3=4．
a+5c
(1)求 ．
b
(2)若3∞4=6，求a，b，c．
(3)若有一个不为零的数d，使得对任意有理数x，有x∞d=x，求a，b，c，d的值．
1
【答案】(1)
2
1
(2)a=−4,b=3，c=
2
(3)a=5,b=0,c=−1,d=4
【分析】本题是新定义题，考查了定义新运算，解方程组．解题关键是根据新定义列出方程组；
{ a+2b+2c=3 )
（1）根据新定义得出， ，得出b=2c+2，a=−6c−1，代入代数式，进行计算即可求
2a+3b+6c=4
解；
（2）根据新定义得出，解方程组，即可求解；
{a+cd−1=0)
（3）由x∞d=x，得ax+bd+cdx=x，即(a+cd−1)x+bd=0，得 ①，由1∞2=3，得
bd=0
a+2b+2c=3②，2∞3=4，得2a+3b+6c=4③，解以上方程组成的方程组即可求得a、b、c、d的值．
【详解】（1）解：∵x∞ y=ax+by+cxy，1∞2=3，2∞3=4
{ a+2b+2c=3①)
∴
2a+3b+6c=4②
由①得，a=3−2b−2c代入②得2(3−2b−2c)+3b+6c=4
∴b=2c+2
∴a=3−2(2c+2)−2c=−6c−1
a+5c −6c−1+5c 1
∴ = =−
b 2c+2 2
{
a+2b+2c=3①
)
（2）依题意得， 2a+3b+6c=4②
3a+4b+12c=6③
由（1）可得a=−6c−1，b=2c+2代入③得，
3(−6c−1)+4(2c+2)+12c=61
解得：c=
2
∴a=−4,b=3
（3）解：∵x∞d=x，
∴ax+bd+cdx=x，
∴(a+cd−1)x+bd=0，
∵有一个不为零的数d使得对任意有理数x∞d=x，
{a+cd−1=0)
则有 ①，
bd=0
∵1∞2=3，∴a+2b+2c=3②，
∵2∞3=4，∴2a+3b+6c=4③，
又∵d≠0，∴b=0，
{a+cd−1=0
)
∴ a+2c=3
2a+6c=4
{
a=5
)
解得 d=4 ．
c=−1
∴a=5,b=0,c=−1,d=4
4．一个三位数各位上的数字之和为17，百位上的数字与十位上的数字的和比个位上的数字大3，如果把百
位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的数比原数大495．求原三位数．
【答案】原来的三位数为287．
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，
先设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，再根据等量关系列出方程组，求出解即可.
【详解】解：设原数的个位、十位、百位上的数字分别为x，y，z，
{
x+ y+z=17
)
由题意，得 z+ y=x+3 ，
(100x+10 y+z)−(100z+10 y+x)=495
{x=7
)
解得 y=8 ，
z=2
答：原来的三位数为287．
六、三元一次方程组的应用-浓度混合问题1．现有A、B、C三个容器装有不同浓度的三种盐水，其浓度之比为1:2:3．若将A容器中的盐水取出20kg
倒入B容器中，将C容器中的盐水取出10kg也倒入B容器中，再将A容器中剩下的盐水倒入C容器中，
这时发现B容器和C容器中的盐水浓度一样．又若在原C容器盐水中加入与原C容器相同浓度的盐水25kg
后，其溶质正好是原A容器盐水取出5kg盐水后溶质的3倍．则原A容器盐水质量的3倍与原C容器盐水
质量之和比原B容器盐水质量的4倍多 kg．
【答案】102
【分析】由题意可设设A、B、C的浓度分别为k、2k和3k，A、B、C三个容器的质量分别为xkg、ykg和
溶质质量
zkg，根据题意，利用 =浓度，溶质质量=浓度×溶液质量列出两个等量关系，在利用等
溶液质量
量关系即可求得3x+z−4 y的值，即可求得答案．
【详解】解：由A、B、C三个容器三种盐水的浓度之比为1:2:3，设A、B、C的浓度分别为k、2k和3k，
A、B、C三个容器的质量分别为xkg、ykg和zkg，由题意得，
20⋅k+10⋅3k+ y⋅2k 3k⋅(z−10)+k⋅(x−20)
= ，
y+30 x+z−30
2y+50 x+3z−50
整理得 = ，
y+30 x+ y−30
交叉相乘得(2y+50)⋅(x+ y−30)=(y+30)⋅(x+3z−50)，
去括号得2xy+2yz−60 y+50x+50z−150=xy+3 yz−50 y+30x+90z−150，
整理得20x−10 y−40z+xy−yz=0①，
又3k⋅(z+25)=3k⋅(x−5)，即x−z=30②，
由①式和 ②式可得，
20x−10 y−40z+xy−yz
=20(x−z)−10 y−20z+ y(x−z)
=60−10 y−20z+30 y
=20 y−20z+60
=20(y−z)+60=0，
得z−y=3，
则3x+z−4 y=3x−3z+3z+z−4 y=3(x−z)+4(z−y)=90+12=102，
故答案为：102．
【点睛】本题考查了方程的实际应用、已知式子的值求代数式的值问题，解题的关键根据溶质质量
=浓度，溶质质量=浓度×溶液质量公式找出等量关系列出方程求解．
溶液质量
2．A、B、C三瓶不同浓度的酒精，A瓶内有酒精2kg，浓度x%，B瓶有酒精3kg，浓度y%，C瓶有酒精
5kg，浓度z%，从A瓶中倒出10%，B瓶中倒出20%，C瓶中倒出24%，混合后测得浓度33.5%，将混合后
的溶液倒回瓶中，使它们恢复原来的质量，再从A瓶倒出30%，B瓶倒出30%，C瓶倒出30%，混合后测得
浓度为31.5%，测量发现20≤x≤30，20≤ y≤30，35≤z≤45，且x、y、z均为整数，则把起初A、B两
瓶酒精全部混合后的浓度为 ．
【答案】23%
【分析】根据第一次A、B、C各取出部分混合后的浓度得到一条关于xyz的等式，再算出混合液倒回后
A、B、C中后各自的酒精量，然后根据第二次混合再得到一条关于xyz的等式，联立组成方程组，使用
x、y表示z，根据x、y、z的取值范围确定其准确整数值即可求解.
【详解】解：A瓶倒出10%：2000×10%=200（克），剩余：2000-200=1800（克），
B瓶倒出20%：3000×20%=600（克），剩余：3000-600=2400（克），
C瓶倒出24%：5000×24%=1200（克），剩余：5000-1200=3800（克），
根据题意得：（200×x%+600×y%+1200×z%）÷（200+600+1200）=33.5%，
混合液倒回后A瓶内的酒精量：1800×x%+200×33.5%，
混合液倒回后B瓶内的酒精量：2400×y%+600×33.5%，
混合液倒回后C瓶内的酒精量：3800×z%+1200×33.5%，
再根据题意可得：
[（1800×x%+200×33.5%）×30%+（2400×y%+600×33.5%）×30%+（3800×z%+1200×33.5%）×30%]÷
（2000×30%+3000×30%+5000×30%）=31.5%，
{ x+3 y+6z=335 )
整理组成方程组得： ，
9x+12y+19z=1240
{ z= 355−3 y )
解得： 7 ，
z=x+20
∵20≤x≤30，20≤ y≤30，
{265
（约37.85）≤z≤
295
（约42.14）)
∴ 7 7 ，又∵35≤z≤45且为整数，
40≤z≤50
则z=40或41或42，x=21 x=22
{x=20
)
{
68
) {
61
)
代入可得： y=25 ，或者 y= 或者 y= ，
3 3
z=40
z=41 z=42
{x=20
)
∵x、y、z均为整数，则只有 y=25 符合题意，
z=40
2000×20%+3000×25%
则把起初A、B两瓶酒精混合后的浓度为： ×100%=23%，
2000+3000
故答案为23%.
【点睛】本题考查从题意提取信息列方程组的能力，也考查三元一次方程组得解法，准确得出x、y和z之
间的关系式再代入范围求解，舍去不符合题意的解为解题的关键.
七、三元一次方程组的应用-生产工程问题
1．某车间每天能生产A种零件200个，或者B种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分
别取1个、2个、3个才能配成一套．要在四月份一个月内生产最多的成套产品向五一劳动节献礼，则A种
零件生产 天，B种零件生产 天，C种零件生产 天．
【答案】 3 12 15
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，审清题意、正确列出三元一次方程组成为解题的关键．
设A种零件生产x天，B种零件生产y天，C种零件生产z天，根据“每天能生产A种零件200个，或者B
种零件100个，或者C种零件120个，A、B、C三种零件分别取1个、2个、3个才能配成一套，四月份共
有30天”列出一个三元一次方程组求解即可．
【详解】解：设A种零件生产x天，B种零件生产y天，C种零件生产z天，
{ x+ y+z=30 ) {
x=3
)
根据题意得： 解得： y=12 ，
200x:100 y:120z=1:2:3
z=15
所以A种零件生产3天，B种零件生产12天，C种零件生产15天．
故答案为：3，12，15．
2．为提升国家5A级旅游景区“江中盆景”－－石宝寨的艺术品味，县文旅委决定开发甲、乙两种石宝寨
标识的工艺品，并使用当地A、B、C三种原料进行生产，已知制作每件甲工艺品需要A原料2千克、B原
料2千克、C原料4千克，制作每件乙工艺品需要A原料4千克、B原料4千克、C原料2千克（甲、乙两
种工艺品的每件成本分别等于各自产品中所含的A、B、C三种原料成本之和）．每件甲工艺品的成本是每
千克C原料成本的10倍，销售每件甲、乙丁艺品的利润率分别是25%、20%，若销售这两种工艺品若干后的总利润率刚好是24%时，则甲、乙两种工艺品的销售件数之比是 ．
【答案】28:5
【分析】设A的单价为x元，B的单价为y元，C的单价为z元，算出甲、乙各自的成本和售价，再设甲、
乙两种工艺品的销售件数，再利用利润率公式进行计算即可．
【详解】解：设A的单价为x元，B的单价为y元，C的单价为z元，
由题意可知，甲的成本为：10z=2x+2y+4z，
化简得x+ y=3z，
乙的成本为4x+4 y+2z=4(x+ y)+2z=14z，
甲的售价为：10z×(1+25%)=12.5z，
乙的售价为：14z×(1+20%)=16.8z
设甲、乙两种工艺品的销售件数分别是a件、b件，
则总利润为：(12.5z−10z)×a+(16.8z−14z)×b=2.5za+2.8zb，
2.5az+2.8bz
∴利润率为 ×100%=24%，
10z×a+14z×b
整理得，5a=28b，
即a:b=28:5，
即甲、乙两种工艺品的销售件数之比是28:5．
故答案为：28:5
【点睛】本题考查三元一次方程组的应用，利润、成本与利润率之间的关系的应用，理解题意列出等量关
系是解题的关键．
3．某校的学生座椅由靠背、座垫及铁架组成（如图①）．靠背、座垫的尺寸如图②．已知用于切靠背和
座垫的板材长为240cm，宽为50cm（裁切时不计损耗），若要不造成板材浪费，该板材有 种裁
切方案．现学校有铁架500个，20张靠背和74张座垫，为有效利用已有资源，学校准备制作500张学生座
椅，则需要购买上述规格的板材 张（板材恰好全部用完）．
【答案】 3 101【分析】本题考查了三元一次方程组，二元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，根据靠背、座垫的尺寸以及板材长为240cm，宽为50cm，进行列式，结合m,n均为非负
整数，进行讨论得出该板材有3种裁切方案；再设x张板材切靠背16张，切座垫0张；y张板材切靠背8张，
切座垫3张；z张板材切靠背0张，切座垫6张；列出三元一次方程组，运用整体思想法进行解答即可．
【详解】解：依题意，设切靠背为m张，座垫n张，
则15m+40n=240，
48−8n 8
则m= =16− n
3 3
∵m,n均为非负整数，
8 8
∴ n为非负整数，m=16− n为非负整数，
3 3
即n=0或3，6，
8
则当n=0时，得m=16− ×0=16；
3
8
则当n=3时，得m=16− ×3=16−8=8；
3
8
则当n=6时，则m=16− ×6=0；
3
∴该板材有3种裁切方案；
设x张板材切靠背16张，切座垫0张；y张板材切靠背8张，切座垫3张；z张板材切靠背0张，切座垫6张；
{16x+8 y=500−20)
则
6z+3 y=500−74
{2x+ y=60)
整理得
2z+ y=142
两式子相加得2x+2y+2z=202，
∴x+ y+z=101，
∴则需要购买上述规格的板材101张（板材恰好全部用完）．
故答案为：3,101
4．某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在
第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排
各工序里的人数？
【答案】第一道工序里有30人，第二道工序里有18人，第三道工序里有15人
【分析】本题主要考查三元一次方程组的运用，根据题意，设第一道工序里有x人，第二道工序里有y人，第三道工序里有z人，由数量关系列式求解即可．
【详解】解：设第一道工序里有x人，第二道工序里有y人，第三道工序里有z人，依题意，得
¿ ，
解得 ¿，
答：第一道工序里有30人，第二道工序里有18人，第三道工序里有15人．
八、三元一次方程组的应用-其他问题
1．在数学游艺会上，有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，4，……48，49，50．游戏规则是：将
卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，如图，这五张卡片分别记为
A、B、C、D、E，若依次将相邻两张卡片上的两数之和告诉参与者，如表所示，则参与者猜对的信息为（
）
卡片 A， B， C， D， E，
编号 B C D E A
两数
54 66 59 71 48
之和
A．A最大 B．B最大 C．C最大 D．D最大
【答案】B
【分析】本题考查了解多元一次方程组，解题关键是掌握三元一次方程组的解法．
仿照三元一次方程组的解法求解．
A+B=54
{
)
B+C=66
【详解】解：根据题意，得 C+D=59 ，
D+E=71
A+E=48
A=12
{
)
B=42
解得： C=24 ，
D=35
E=36
所以B最大，故选：B．
2．甲、乙、丙三人各有糖若干粒，要求互相赠送．先由甲给乙、丙，所给的糖数等于乙、丙原来各有的
糖数，依同法再由乙给甲、丙现有糖数，后由丙给甲、乙现有糖数，互送后每人恰好各有24粒，原来甲、
乙共有糖 粒．
【答案】60
【分析】本题考查了列代数式、三元一次方程组的应用，设甲、乙、丙原来各有糖块x粒、y粒、z粒，根
据互赠的规则可得：第三次赠送后甲有4(x−y−z)粒，乙有2(−x+3 y−z)粒，丙有(x−y+7z)粒，根据
互赠后每人恰好各有24粒，可列三元一次方程组，解方程组求出原来甲、乙分别有39粒和21粒，相加即
为原来甲、乙共有糖粒的数量．
【详解】解：设甲、乙、丙原来各有糖块x粒、y粒、z粒，
第一次赠送后甲有(x−y−z)粒，乙有2y粒，丙有2z粒，
第二次赠送后甲有2(x−y−z)粒，乙有2y−(x−y−z)−2z=(−x+3 y−z)粒，丙有4z粒，
第三次赠送后甲有4(x−y−z)粒，乙有2(−x+3 y−z)粒，丙有
4z−2(x−y−z)−(−x+3 y−z)=(−x−y+7z)粒，
∵互送后每人恰好各有24粒，
{ 4(x−y−z)=24 )
∴可得： 2(−x+3 y−z)=24 ，
−x−y+7z=24
{
x−y−z=6①
)
整理可得： −x+3 y−z=12② ，
−x−y+7z=24③
①+②得：2y−2z=18④，
①+③得：−2y+6z=30⑤，
④+⑤得：4z=48，
解得：z=12，
把z=12代入④，
可得：2y−2×12=18，
解得：y=21，
把y=21，z=12代入①，
可得：x−21−12=6，
解得：x=39，
∴x+ y=39+21=60，∴原来甲、乙共有糖60粒．
故答案为：60．
3．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表所示：
咖啡
牛奶（箱） 金额（元）
（箱）
方案
20 10 1100
一
方案
25 20 1750
二
(1)则牛奶每箱为__________元；咖啡每箱为_________元；
(2)超市中该款牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的牛奶
1
和原价咖啡，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的 ，求此
4
次按原价采购的咖啡有多少箱．
【答案】(1)牛奶每箱30元，咖啡每箱50元，
(2)6箱
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，三元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方
程组是解题的关键．
（1）设牛奶每箱x元，咖啡每箱y元，根据表格中的数据建立方程组求解即可；
（2）设此次按原价采购的咖啡有m箱，原价购买的牛奶有n箱，打折购买的牛奶有z箱，根据此次采购共
1
花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的 建立方程组求解即可．
4
【详解】（1）解：设牛奶每箱x元，咖啡每箱y元，
{20x+10 y=1100)
由题意得， ，
25x+20 y=1750
{x=30)
解得 ，
y=50
∴牛奶每箱30元，咖啡每箱50元；
（2）解：设此次按原价采购的咖啡有m箱，原价购买的牛奶有n箱，打折购买的牛奶有z箱，
{50m+30n+30×0.6z=1200)
由题意得， ，
m+n+z=4z
∴10m+54z=600，27
∴m=60− z，
5
∵m、n、z都是非负整数，
27
∴ z是5的倍数，即z是5的倍数，
5
当z=0时，m=60（此时花费超过1200，舍去）
当z=5时，m=33（此时花费超过1200，舍去）；
当z=10时，m=6，符合题意；
当z=15时，m=−21（舍去）；
综上所述，m=6，
答：此次按原价采购的咖啡有6箱．
4．小泉用三根尼龙编织条（如图所示）在三个方向上对一个包装盒进行加固．所用尼龙编织条分别为9分
米，11分米，15分米．若每个尼龙条接头重叠处都是10厘米，那么这个包装盒的表面积是多少平方分米？
体积是多少立方分米？
【答案】38dm2，12dm3
【分析】本题主要考查长方体的体积公式、表面积等知识点，求出长、宽、高是解题的关键．
先根据所用尼龙编织条分别为9分米、11分米、15分米求得长、宽、高，然后再运用长方体的表面积公式
和体积公式求解即可．
1
【详解】解：长+高= (90−10)=40cm①，
2
1
宽+高= (110−10)=50cm②，
2
1
宽+长= (150−10)=70cm③，
2
②−①得：宽−长=10cm④；
③+④)：2宽=80cm，解得：宽=40cm；
将宽=40cm分别代入②、③可得：高=10cm；长=30cm．所以长方体得表面积为：2×40×10+2×40×30+2×30×10=800+2400+600=3800cm2=38dm2．
体积为40×30×10=12000cm3=12dm3．
1．设a ，a ，．．．，a ，是从1，0，−1这三个数中任意取一个值后，所组成的一列数，设
1 2 n
F(n)=a +a +⋯+a ，则下列说法：
1 2 n
①F(3)的值可能是0；
②F(4)的不同的值共有9个；
③若F(20)=6，且(a +1) 2+(a +1) 2+⋯+(a +1) 2=46，则a ，a ，．．．，a 中为0的个数是6．正
1 2 20 1 2 20
确的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】A
【分析】①当a =1，a =−1，a =0时可验证F(3)可能是0；②枚举法确定F(4)的可能值的数量即可判断
1 2 3
②；③通过方程组求解0的个数．
【详解】①∵设a ，a ，．．．，a ，是从1，0，−1这三个数中任意取一个值
1 2 n
∴当a =1，a =−1，a =0时，F(3)=1+(−1)+0=0，
1 2 3
∴F(3)的值可能是0，故①正确；
∵F(4)=a +a +a +a
1 2 3 4
∴当a ，a ，a ，a 分别为1，1，1，时，F(4)=1+1+1+1=4；
1 2 3 4
当a ，a ，a ，a 分别为1，1，1，−1时，F(4)=1+1+1+(−1)=2；
1 2 3 4
当a ，a ，a ，a 分别为1，1，1，0时，F(4)=1+1+1+0=3；
1 2 3 4
当a ，a ，a ，a 分别为1，1，−1，−1时，F(4)=1+1+(−1)+(−1)=0；
1 2 3 4
当a ，a ，a ，a 分别为1，1，−1，0时，F(4)=1+1+(−1)+0=1；
1 2 3 4
当a ，a ，a ，a 分别为1，1，0，0时，F(4)=1+1+0+0=2；
1 2 3 4
当a ，a ，a ，a 分别为1，−1，−1，−1时，F(4)=1+(−1)+(−1)+(−1)=−2；
1 2 3 4
当a ，a ，a ，a 分别为1，−1，−1，0时，F(4)=1+(−1)+(−1)+0=−1；
1 2 3 4
当a ，a ，a ，a 分别为1，−1，0，0时，F(4)=1+(−1)+0+0=0；
1 2 3 4
当a ，a ，a ，a 分别为1，0，0，0时，F(4)=1+0+0+0=1；
1 2 3 4
当a ，a ，a ，a 分别为0，0，0，0时，F(4)=0+0+0+0=0；
1 2 3 4
当a ，a ，a ，a 分别为0，0，0，−1时，F(4)=0+0+0+(−1)=−1；
1 2 3 4当a ，a ，a ，a 分别为0，0，−1，−1时，F(4)=0+0+(−1)+(−1)=−2；
1 2 3 4
当a ，a ，a ，a 分别为0，−1，−1，−1时，F(4)=0+(−1)+(−1)+(−1)=−3；
1 2 3 4
当a ，a ，a ，a 分别为−1，−1，−1，−1时，F(4)=(−1)+(−1)+(−1)+(−1)=−4；
1 2 3 4
综上所述，F(4)的不同的值有：−4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4，共有9个，故②正确；
③设1的个数为x，0的个数为y，−1的个数为z
{x+ y+z=20
)
根据题意得， x−z=6
4x+ y=46
{x=10
)
解得 y=6
z=4
∴a ，a ，．．．，a 中为0的个数是6，故③正确．
1 2 20
综上，正确的个数是3．
故选：A．
【点睛】此题考查了有理数的加法和乘方运算，三元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题意．
2．甲、乙、丙三人共解100道数学题，每人都只会做其中的60道题，且三人合在一起，这100道都能解
答出来．将其中只有一人会做的题目叫难题，三人都会做的题叫容易题，则难题比容易题多 ．
【答案】20
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．
设只有1人解出的题目数量为x，有2人解出的题目数量为y，有3人解出的题目数量为z，根据“每人都
只会做其中的60道题，且三人合在一起，这100道都能解答出来”即可列出关于x、y、z的三元一次方程
组，②×2-①即可得出结论．
【详解】解：设只有1人解出的题目数量为x，有2人解出的题目数量为y，有3人解出的题目数量为z，
那么3人共解出的题次为：x+2y+3z=60×3①，
除掉重复的部分，3人共解出的题目为：x+ y+z=100②，
②×2−①得：x−z=20．
故答案为：20
3．[阅读感悟]：
有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
(1)已知实数x、y满足3x−y=5①，2x+3 y=7②，求x−4 y和7x+5 y的值．
(2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、
3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？【答案】(1)−2，19；
(2)购买5 支铅笔、5块橡皮．5本日记本共需30元．
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，三元一次方程组的应用，掌握加减消元法是解题的关
键．
（1）根据整体代入的思想，①−②即可求得x−4 y的值，由①+②×2即可求得7x+5 y的值；
（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，根据题意列出方程组，根据整体
的思想由①×2−②可得m+n+p=6，即可求解．
【详解】（1）解：∵实数x、y满足3x−y=5①，2x+3 y=7②，
∴①−②得x−4 y=−2，
①+②×2得7x+5 y=19．
（2）解：设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元，
{20m+3n+2p=32①)
依题意得： ，
39m+5n+3p=58②
由①×2−②可得m+n+p=6，
∴5m+5n+5p=30，
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
4．解下列三元一次方程组：
{x−2y=−9
)
(1) y−z=3
2z+x=47
{
4x−9z=17
)
(2) 3x+ y+15z=18
x+2y+3z=2
{x+ y=3
)
(3) y+z=4
z+x=5
{
3x−y+z=4,
)
(4) 2x+3 y−z=12,
x+ y+z=6.
{
x=22
)
【答案】(1) y=15.5
z=12.5x=5
{ )
y=−2
(2)
1
z=
3
{x=2
)
(3) y=1
z=3
{x=2
)
(4) y=3
z=1
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键．
（1）把③−①消去x，得出关于y，z的二元一次方程组求解，然后把y=15.5代入①求出x的值；
（2）把②×2−③消去y，得出关于x，z的二元一次方程组求解，然后把x，z代入③求出y的值；
（3）①+②+③，得x+ y+z=6④，用④分别与①，②，③相减即可求解；
（4）①+②，得5x+2y=16④，③+②，得3x+4 y=18⑤，联立④⑤，得出关于x，y的二元一次方
程组求解，然后把x，y代入③求出z的值；
{x−2y=−9①
)
【详解】（1） y−z=3②
2z+x=47③
③−①，得z+ y=28④
{y−z=3②)
联立②④，得
z+ y=28④
{y=15.5)
解得
z=12.5
把y=15.5代入①，得
x−2×15.5=−9
∴x=22
{
x=22
)
∴ y=15.5
z=12.5
{
4x−9z=17①
)
（2） 3x+ y+15z=18②
x+2y+3z=2③
②×2−③，得5x+27z=34④
联立①④，得{4x−9z=17①)
{x=5
)
，解得 1
5x+27z=34④ z=
3
{x=5
)
把 1 代入③，得
z=
3
1
5+2y+3× =2
3
∴y=−2
x=5
{ )
y=−2
∴
1
z=
3
{x+ y=3①
)
（3） y+z=4②
z+x=5③
①+②+③，得x+ y+z=6④
用④分别与①，②，③相减，得
z=3,x=2,y=1
{x=2
)
∴ y=1
z=3
{
3x−y+z=4①
)
（4） 2x+3 y−z=12②
x+ y+z=6③
①+②，得5x+2y=16④
③+②，得3x+4 y=18⑤
{5x+2y=16④)
联立④⑤，得
3x+4 y=18⑤
{x=2)
解得
y=3
{x=2)
把 代入③，得
y=3
2+3+z=6
∴z=1{x=2
)
∴ y=3
z=1
5．在等式z=ax+by+c中，当x=1,y=2时，z=8；当x=2,y=1时，z=5；当x=−1,y=−1时，z=4．
求a,b,c的值．
{a=−1
)
【答案】 b=2
c=5
【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，理解消元的思想方法并类比应用是解决本题的关键．将x，y
对应值代入等式可得三个三元一次方程构成的方程组，通过消元即可解得．
【详解】解：由题意，得
{a+2b+c=8①
)
2a+b+c=5②
−a−b+c=4③
①−③，得2a+3b=4④
②−③，得3a+2b=1⑤
联立④⑤，得
{2a+3b=4④)
3a+2b=1⑤
{a=−1)
解得
b=2
把代入①，得−1+2×2+c=8
∴c=5
{a=−1
)
∴ b=2 ．
c=5
6．在国家乡村振兴战略推动下，下山嘴村的标志性项目“富民路”开始修建．修建过程中分别有甲、乙、
2
丙三家施工队参与修建，已知甲、乙两队合修6天完成了这条路的 ，乙、丙两队合修3天完成了剩下的
3
3
，其余的再由三队合修半天完成．若甲、乙、丙三队单独修这条路，各需要多少天可以修完？
4
【答案】甲需要12天，乙需要36天，丙需要18天
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用、分数的计算等知识，理解题意，弄清熟练关系是解题关
键．设“富民路”项目总量为“1”，甲每天的工作量为x，乙每天的工作量y，丙每天的工作量为z，根据1 1 1
题意可得x+ y= ①，y+z= ②，x+ y+z= ③，然后计算x、y、z的值，即可获得答案．
9 12 6
【详解】解：设“富民路”项目总量为“1”，甲每天的工作量为x，乙每天的工作量y，丙每天的工作量为
z，
2 ( 2) 3 1 2 ( 2) 3
根据题意，可得(x+ y)×6= ，(y+z)×3= 1− × ， (x+ y+z)=1− − 1− × ，
3 3 4 2 3 3 4
1 1 1
整理可得x+ y= ①，y+z= ②，x+ y+z= ③，
9 12 6
1
将①代入③，可解得z= ，
18
1
将②代入③，可解得x= ，
12
1 1
将x= 代入①，可解得y= ，
12 36
1 1 1
所以，单独修这条路甲需要1÷ =12天，乙需要1÷ =36天，丙需要1÷ =18天．
12 36 18
答：若甲、乙、丙三队单独修这条路，则甲需要12天，乙需要36天，丙需要18天．
7．某地积极推进实施垃圾分类投放的举措．居民需要将垃圾分为“可回收垃圾”“易腐垃圾”“有害垃
圾”“其他垃圾”四类进行分类投放．某小区为了鼓励小区居民积极参与垃圾分类，决定设立垃圾正确投
放积分奖励机制．规则如下表：
垃圾类别 可回收垃圾 易腐垃圾 有害垃圾 其他垃圾
每公斤获得积分
a b 100 0
（分）
积分可以兑换部分商品，具体细则如下表：
物品 垃圾袋/卷 5元话费券/张 水果店打折券/张 小区临时停车券/张
积分数 800 1500 2000 1000
已知2公斤可回收垃圾和1.5公斤易腐垃圾可以获得130积分；2.5公斤可回收垃圾和2公斤易腐垃圾可获得
165积分．
(1)求a，b的值．
(2)小敏家一季度共有46公斤可回收垃圾，100公斤易腐垃圾，1公斤有害垃圾．小敏妈妈决定将这一季度
获得的所有积分都兑换成“垃圾袋”和“小区临时停车券”这两类物品，请你运用所学的数学知识推理得
到具体的兑换方案．
【答案】(1)a=50,b=20(2)有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用等知识点 ，理解题意，列出方程（组）是解决此题的关
键．
（1）根据题意得列出方程组，解方程即可得解；
（2）根据题意列出方程，然后根据s，t，m，n都为非负整数，讨论即可得解．
{2a+1.5b=130)
【详解】（1）解：根据题意得： ，
2.5a+2b=165
解得：a=50,b=20；
（2）解：共有积分为：46×50+100×20+1×100=4400，
设兑换垃圾袋s卷，5元话费券t张，水果店打折券m张，小区临时停车券n张，
∴由题意得：800s+1500t+2000m+1000n=4400
化简得：8s+15t+20m+10n=44，
∵s，t，m，n都为非负整数，15，20，10均为5的倍数，
∴s=3
∴原式化为：3t+4m+2n=4，
∴t=0,m=0,n=2；或t=0,m=1,n=0，
有两种兑换方案：垃圾袋3卷，小区临时停车券2张或垃圾袋3卷，水果店打折券1张．
1．某商家将电子手表、保温杯、蓝牙耳机搭配为A、B、C三种礼盒各一个，其中A盒中有1个保温杯，
3个电子手表，2个蓝牙耳机；B盒中有1个保温杯，2个电子手表，1个蓝牙耳机；C盒中有2个保温杯，
3个电子手表，1个蓝牙耳机．经核算，C盒的成本为155元，B盒的成本为100元（每种礼盒的成本为该
盒中保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本之和），则A盒的成本为（ ）
A．140元 B．145元 C．150元 D．165元
【答案】B
【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设保温杯、电
子手表、蓝牙耳机的成本分别为x元、y元、z元，根据B盒和C盒的成本列出方程组，通过消元法求出
x+ y的值，再代入A盒的成本表达式求解即可．
【详解】解：设保温杯、电子手表、蓝牙耳机的成本分别为x元、y元、z元，根据题意得：
{ x+2y+z=100 )
，
2x+3 y+z=155则(2x+3 y+z)−(x+2y+z)=155−100，
化简得：x+ y=55，
由x+2y+z=100得z=100−x−2y，
则A盒成本为：
x+3 y+2z
=x+3 y+2(100−x−2y)
=x+3 y+200−2x−4 y
=−x−y+200
=−55+200
=145（元），
故选：B．
2．已知M,N都为整式．
5
①若M=2x+1,N=x−4且N=❑√M2，则x= 或x=−5；
3
②若M=x−3 y+2z,N=2x−y−z，当M=4,N=3时，则x−y=2；
③若M=a x2+a x+a （a ,a ,a 为非负整数），且a +a +a ≤2，则所有满足条件的整式M的和为
2 1 0 0 1 2 0 1 2
5x2+5x+5．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了算术平方根的概念理解，整式的加减运算，解三元一次方程组等知识点．
对于①，由题意，N=❑√M2，即N=|M)，代入得x−4=|2x+1)，再分类讨论求解；对于②，联立方程组
{x−3 y+2z=4)
，由第二个方程解出z=2x−y−3，代入第一个方程得：x−3 y+2(2x−y−3)=4，再
2x−y−z=3
化简求解；对于③，由于a ,a ,a 为非负整数且a +a +a ≤2，所有可能的组合整式为：若和为0：则
0 1 2 0 1 2
M=0；若和为1：则M=x2或M=x或M=1；若和为2：M=2x2或M=2x或M=2或M=x2+x或
M=x2+1或M=x+1，再进行合并同类项计算．
【详解】解：对于①，由题意，N=❑√M2，即N=|M)，
代入得x−4=|2x+1)，当2x+1≥0时，x−4=2x+1，解得x=−5，但此时2x+1=−9<0，矛盾，舍去；
当2x+1<0时，x−4=−(2x+1)，解得x=1，但此时2x+1=3≥0，矛盾，舍去。
故原方程无解，故①错误；
{x−3 y+2z=4)
对于②，联立方程组 ，
2x−y−z=3
由第二个方程解出z=2x−y−3，
代入第一个方程得：x−3 y+2(2x−y−3)=4，
化简得5x−5 y=10，即x−y=2，故②正确；
对于③，a ,a ,a 为非负整数且a +a +a ≤2，
0 1 2 0 1 2
所有可能的组合整式为：
若和为0：则M=0；
若和为1：则M=x2或M=x或M=1；
若和为2：M=2x2或M=2x或M=2或M=x2+x或M=x2+1或M=x+1，
则所有满足条件的整式M的和为：0+x2+x+1+2x2+2x+2+x2+x+x2+1+x+1=5x2+5x+5，故③正
确；
∴正确的有2个，
故选：C.
3．在数学知识竞赛中，为奖励成绩突出的学生，班级计划用100元钱购买甲，乙，丙三种奖品，三种奖品
都要购买，甲种奖品每个5元，乙种奖品每个10元，丙种奖品每个15元，在丙种奖品不超过两个且钱全
部用完的情况下，购买方案有（ ）
A．12种 B．15种 C．16种 D．14种
【答案】D
【分析】本题考查了求方程组的正整数解，根据题意列出方程，并确定方程组的解为正整数是解题关键．
设购买A、B、C三种奖品分别为x,y,z个，根据题意列方程得5x+10 y+15z=100，化简后根据x,y,z
均为正整数，结合C种奖品不超过两个分类讨论，确定解的个数即可．
【详解】解：设购买A、B、C三种奖品分别为x,y,z个，
根据题意列方程得5x+10 y+15z=100，
即x+2y+3z=20，
由题意得x,y,z均为正整数．
①当z=1时，x+2y=17
17−y
∴ x= ，
2∴y分别取1，3，5，7，9，11，13，15共8种情况时，x为正整数；
②当z=2时，x+2y=14
14−y
∴ x= ，
2
∴y可以分别取2，4，6，8，10，12共6种情况，x为正整数；
综上所述：共有8+6=14种购买方案．
故选：D．
