文档内容
5.5 三元一次方程组 教学设计
1.教学内容
本节课选自北师大版 2024 八年级上册第五章《二元一次方程组》的第 5 节，是在学生已经掌握二
元一次方程组的概念、解法（代入消元法、加减消元法）及 “消元”“化归” 思想的基础上，对多元一
次方程组知识的延伸与拓展.
教材通过蜘蛛、蜻蜓、蝉的实际问题情境引入，引导学生类比二元一次方程及方程组的概念，归纳出
三元一次方程和三元一次方程组的定义，进而探索三元一次方程组的解法.核心内容围绕 “消元” 思想展
开，将三元一次方程组逐步转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程求解，体现了数学中重要的化
归思想.
2.内容解析
本节课的学习不仅能丰富学生对多元方程组的认识，完善方程体系知识结构，还能进一步提升学生运
用消元法解决实际问题的能力，为后续学习更高次方程、多元方程组的应用奠定基础.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：
①三元一次方程及三元一次方程组的概念.
②运用代入消元法或加减消元法解简单的三元一次方程组.
③运用三元一次方程组解决实际问题
1.教学目标
（1）了解三元一次方程及三元一次方程组的概念，能准确判断给定方程或方程组是否为三元一次方
程或方程组.
（2）理解三元一次方程组解的概念，能检验一组数值是否为三元一次方程组的解.
（3）能运用代入消元法或加减消元法解简单的三元一次方程组，在解题过程中深化对 “消元” 思想
的理解.
（4）能运用三元一次方程组解决简单的实际问题，提升分析问题、解决问题的能力.
2.目标解析
（1）达成 “了解概念” 的目标，意味着学生能说出三元一次方程需满足 “含有三个未知数、所含
未知数的项的次数都是 1” 这两个关键条件，能明确三元一次方程组 “共含三个未知数、三个方程均为
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 1一次方程” 的构成条件，并能结合具体例子进行判断.
（2）达成 “理解解的概念” 的目标，即学生能清楚三元一次方程组的解是各个方程的公共解，能将
给定的一组 x、y、z 的值代入方程组的每个方程，验证是否都成立.
（3）达成 “掌握解法” 的目标，要求学生能根据方程组的特点，选择合适的消元方法，先消去一个
未知数转化为二元一次方程组，再消去一个未知数转化为一元一次方程，最终求出方程组的解，过程规范
且思路清晰.
（4）达成 “解决实际问题” 的目标，学生能从实际问题中提取关键信息，找出三个等量关系，设出
三个未知数，列出三元一次方程组并求解，能对结果的实际意义进行检验.
（一）学生已有知识及掌握情况
学生在七年级下册已学习一元一次方程的解法，八年级上册前几节又系统学习了二元一次方程、二元
一次方程组的概念，熟练掌握了代入消元法和加减消元法，并且在解二元一次方程组的过程中，已经初步
体会了 “消元”“化归” 的数学思想.
大部分学生能够根据二元一次方程组的特点选择合适的消元方法求解，具备一定的分析数量关系、建
立方程模型的能力，这为本节课学习三元一次方程组的相关知识提供了良好的知识基础和方法支撑.
（二）预估教学中遇到的困难
1. 困难一：从二元到三元的思维拓展存在障碍，部分学生可能难以快速理解三元一次方程及方程组的概念，
在判断时容易忽略 “所含未知数的项的次数都是 1” 这一条件.
2. 困难二：解三元一次方程组时，面对三个未知数、三个方程，学生可能会迷茫，不知道先消去哪个未知
数，容易出现消元步骤混乱、计算失误等问题.
3. 困难三：在解决实际问题时，难以准确找出三个独立的等量关系，尤其是当数量关系较为复杂时，容易
出现漏找或错找等量关系的情况，导致无法正确列出方程组.
（三）解决困难的办法
1. 针对概念理解困难，采用类比迁移的教学方法，先引导学生回顾二元一次方程及方程组的概念和条件，
再通过具体的三元一次方程实例，让学生观察、对比、归纳，逐步提炼出三元一次方程及方程组的概念，
强化关键条件的记忆.
2. 对于消元思路混乱的问题，在讲解例题时，先引导学生分析方程组中未知数的系数特点，明确 “消去
系数最简单或出现次数最多的未知数” 的原则，示范完整的消元步骤，再让学生模仿练习，同时强调每
一步消元的依据，让学生理解 “为什么这样消”，而非单纯记忆步骤.
3. 面对实际问题中等量关系难找的问题，教学中先让学生梳理题目中的已知条件和所求量，通过列表、画
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 2图等方式清晰呈现各数量之间的关系，逐步引导学生找出三个独立的等量关系，同时加强同类实际问题的
练习，让学生总结找等量关系的方法和技巧.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：
①解三元一次方程组时，合理选择消元方法，准确、有序地进行消元转化.
②在实际问题中，准确找出三个独立的等量关系，建立三元一次方程组模型.
1.回顾旧知，导入新课
（1）提问：什么是二元一次方程组？解二元一次方程组有哪些方法？其基本思路是什么？
（2）学生回答后，教师总结：二元一次方程组是含有两个未知数的两个一次方程组成的一组方程，解法
有代入消元法和加减消元法，基本思路是 “消元”，将二元转化为一元，体现了化归思想.
（3）情境导入：展示蜘蛛、蜻蜓、蝉的实际问题，提问：“这个问题中有三个未知量，该如何解决
{
x+ y+z=18
呢？” 引导学生设出三个未知数，列出方程组 8x+6 y+6Z=118
2y+z=20
，再提问：“这个方程组和二元一次方程组有什么区别？又该如何求解？” 引出本节课课题 —— 三元
一次方程组.
(设计意图：通过回顾二元一次方程组的相关知识，唤醒学生已有的知识经验和方法储备，为类比学习三
元一次方程组的知识做好铺垫.以实际问题情境导入，既能激发学生的学习兴趣，又能让学生感受到三元
一次方程组的实际意义，自然引出本节课的学习内容.)
(教学建议：在回顾旧知时，要注重引导学生突出 “消元”“化归” 思想，为后续学习三元一次方程组
的解法做好方法铺垫.在呈现实际问题时，可适当补充三种动物的特征（腿和翅膀的数量），让学生清晰
理解题意.）
1.探究
（1）三元一次方程的概念
展示方程x + y + z = 18和8x + 6y + 6z = 118，提问：“这两个方程有什么共同特点？”
引导学生观察、讨论，得出：都含有三个未知数，所含未知数的项的次数都是 1.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 3类比二元一次方程的概念，归纳三元一次方程的定义：含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都
是 1，这样的方程叫做三元一次方程.
即时练习：判断下列方程是否为三元一次方程？①(2x + 3y = 5)；②(x + y + z = 6)；③(3x + 2y +
z^2 = 8).通过练习强化概念理解.
（2）三元一次方程组的概念
展示情境导入中列出的方程组，提问：“这个方程组满足什么条件？应该叫什么方程组？”
引导学生类比二元一次方程组的概念，归纳三元一次方程组的定义：共含有三个未知数的三个一次方程
所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
强调三元一次方程组必须满足的三个条件：①共含有三个未知数；②含有未知数的项的次数都是 1；③
共有三个一次方程（整式方程）.
即时练习：下列方程组中，哪组是三元一次方程组，让学生结合条件分析判断，巩固概念.
3
{ &2x=5 {& + y−z=−2 { &x+ y−z=7 { &x+ y=2
x
A. &x2+ y=7 B. C. &xy+x=2 D. &x−y−x=−5
&x−y+z=9
&x+ y+z=6 &x−y=−3 & y−z=3
&x+2z=4
（3）三元一次方程组解的概念
回顾二元一次方程组解的概念：各个方程的公共解.
类比得出三元一次方程组解的概念：三元一次方程组中各个方程的公共解，叫这个三元一次方程组的解.
{x=5
即时练习：检验 y=7 是否为情境导入中方程组的解，让学生动手代入验证，理解解的含义.
z=6
（设计意图：通过观察、类比、归纳的方式，让学生自主建构三元一次方程、三元一次方程组及解的概
念，符合学生的认知规律.即时练习能够及时反馈学生的学习情况，帮助学生巩固所学概念，发现问题
并及时纠正.）
（教学建议：在概念教学过程中，要充分发挥学生的主体作用，引导学生主动思考、积极讨论，避免教
师直接灌输.对于三元一次方程组的条件，要结合具体例子逐一分析，让学生深刻理解每个条件的必要
性.）
2.典例分析
{
x+ y+z=18①
（1）展示例题：解方程组 8x+6 y+6z=118②，
2y+z=20③
（2）引导学生思考：“如何解这个三元一次方程组？能否借鉴解二元一次方程组的方法？”
（3）师生共同分析：解二元一次方程组的核心是 “消元”，将二元转化为一元.解三元一次方程组的思
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 4路应该是类似的，先通过 “代入” 或 “加减” 消去一个未知数，将三元转化为二元，再消去一个未知数，
将二元转化为一元，最后求解.
（4）示范解题过程：
由③得(z = 20 - 2y) ④（用代入消元法，将 z 用含 y 的式子表示）
将④代入①得：(x + y + 20 - 2y = 18)，化简得(x - y = -2) ⑤（消去 z，得到关于 x、y 的二元
一次方程）
将④代入②得：(8x + 6y + 6(20 - 2y) = 118)，化简得(8x - 6y = -2)，即(4x - 3y = -1) ⑥（消
去 z，得到另一个关于 x、y 的二元一次方程）
{ x−y=−2
联立⑤⑥得二元一次方程组 ,解这个方程组：由⑤得(x = y - 2) ⑦，将⑦代入⑥得
4x−3 y=−1
(4(y - 2) - 3y = -1)，解得(y = 7)，将(y = 7)代入⑦得(x = 5).
将(x = 5)，(y = 7)代入④得(z = 20 - 2×7 = 6).
{x=5
检验：将(x = 5)，(y = 7)，(z = 6)代入原方程组的三个方程，均成立，所以原方程组的解为 y=7.
z=6
总结解三元一次方程组的基本思路：通过 “代入” 或 “加减” 进行消元，把 “三元” 转化为 “二
元”，再把 “二元” 转化为 “一元”，即 “三元→二元→一元”，核心是 “消元” 思想.
（设计意图：通过例题示范，让学生直观感受解三元一次方程组的过程和方法，明确 “消元” 的核心
地位.变式练习能够让学生巩固所学解法，灵活运用消元方法解决不同类型的三元一次方程组，提升解题能
力.）
（教学建议：在例题讲解过程中，要注重引导学生分析消元的思路和方法，让学生明白 “为什么先消去
这个未知数”，培养学生的分析能力.在学生练习时，要关注学生的解题过程，及时发现并纠正学生在消元、
计算等方面出现的问题，对于共性问题进行集中讲解.）
1. 含有 三 个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 ，这样的方程叫做三元一次方程.
2. 共含有 三 个未知数的 三 个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．
{
a−b=−1①
3. 解方程组： 3a+b+c=2②
a−2b+c=−6③
解： 由①得，a=b−1，
把a=b−1代入②得，4b+c=5④，把a=b−1代入③得，−b+c=−5⑤，
由④−⑤得，5b=10，解得b=2，
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 5∴a=b−1=2−1=1，
把b=2代入⑤得，−2+c=−5，
解得c=−3，
{
a=1
所以，原方程组的解为 b=2
c=−3
4. 已知a、b、c是一个三角形的三边,
(1) 化简：|a−b−c|+|b−c−a|+|b+c−a|；
（1）解：∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a−b−c<0，b−c−a<0，b+c−a>0，
∴|a−b−c|+|b−c−a|+|b+c−a|
=−(a−b−c)−(b−c−a)+(b+c−a)=−a+b+c−b+c+a+b+c−a
=−a+b+3c；
(2) 若(2a−b−4)^2+|a−2b+7|+(c−7)^2=0，求这个三角形的周长.
（2）解：∵(2a−b−4)^2+|a−2b+7|+(c−7)^2=0，
∴2a−b−4=0①，a−2b+7=0②，c−7=0③，
①−②+③得2a−b−4−(a−2b+7)+c−7=0，
∴2a−b−4−a+2b−7+c−7=0，
∴a+b+c=18，
∴这个三角形的周长为18.
5. 某车间共有职工63人，加工一件产品需经三道工序，平均每人每天在第一道工序里能加工300件，在
第二道工序里能加工500件，在第三道工序里能加工600件，为使每天能生产出更多的产品，应如何安排
各工序里的人数？
解：设第一道工序里有x人，第二道工序里有y人，第三道工序里有z人，依题意，
{x+ y+z=63 {x=30
得 300x=500 y， 解得 y=18
500 y=600z z=15
答：第一道工序里有30人，第二道工序里有18人，第三道工序里有15人.
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司 6基础作业：教材课后习题，巩固三元一次方程组的解法.
拓展作业：编一道可以用三元一次方程组解决的实际问题，并写出解题过程，培养学生的逆向思维和创新
能力.
5.5 三元一次方程组
一、三元一次方程组概念
① 三元一次方程：含三个未知数，未知数的项的次数为 1
② 三元一次方程组：共含三个未知数的三个一次方程组成
③ 三元一次方程组的解：各个方程的公共解新知探究
二、三元一次方程组解法
① 基本思路：消元（化归思想）
② 步骤：三元→二元→一元
③ 方法：代入消元法、加减消元法
{
x+ y+z=18①
④ 例题 8x+6 y+6z=118②
2y+z=20③
三、三元一次方程组的实际应用
步骤：设未知数→找等量关系→列方程组→求解→检验
四、核心思想：消元、化归
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