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7.1-7.2为什么要证明认识证明（分层作业）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_初中数学北师大8上-2025秋季新版_第二套推荐25_07习题试卷_同步练习_分层作业

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7.1-7.2 为什么要证明 认识证明 5大知识点（基础）+能力提升题（5道）+拓展培优练（3道） 一、命题的判断 1．（24-25七年级下·山东临沂·期末）下列句子是命题的是（ ） A．连接CD B．小于90°的角是锐角？ C．画∠ACB=48° D．相等的角是对顶角 【答案】D 【分析】本题考查命题的识别．命题是能够判断真假的陈述句，需满足两个条件：①是陈述句；②有明确 的真假． 【详解】解：A．“连接CD”是作图指令，属于祈使句，无法判断真假，不是命题． B．“小于90°的角是锐角？”是疑问句，不是陈述句，因此不是命题． C．“画∠ACB=48°”是作图指令，属于祈使句，因此不是命题． D．“相等的角是对顶角”是陈述句，且可以判断真假．因此是命题． 故选：D． 2．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期末）下列语句中，不是命题的是（ ） A．相等的两个角是对顶角 B．如果a>b，那么bb，那么bb2，则a>b”是假命题 的是（ ） A．a=2,b=1 B．a=−2,b=1 C．a=2,b=−1 D．a=1,b=−2 【答案】B 【分析】本题考查了命题真假性的判断，代入具体数值检验选项是否成立是解决本题的关键． 要证明命题“若a2>b2，则a>b”为假，需找到满足a2>b2但a≤b的例子即可． 【详解】解：选项A：a=2，b=1， 则有a2=4，b2=1，满足a2>b2，但a=2>b=1，命题成立，故排除； 选项B：a=−2，b=1。 则有a2=4，b2=1，满足a2>b2，但a=−2b2，但a=2>b=−1，命题成立，故排除； 选项D：a=1，b=−2， 则有a2=1，b2=4，不满足a2>b2，故排除， 综上，选项B是唯一满足条件的反例，说明原命题为假． 故选：B ． 2．（24-25七年级下·陕西西安·期末）能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（ ） A．∠1=82°，∠2=40° B．∠1=89°，∠2=2° C．∠1=65°，∠2=30° D．∠1=30°，∠2=20° 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，要说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题，需找到两个锐角的和 不是钝角的例子，即可判断．【详解】解：A、82°+40°=122°，是钝角，不符合题意； B、89°+2°=91°，是钝角，不符合题意； C、65°+30°=95°，是钝角，不符合题意； D、30°+20°=50°，是锐角，说明两锐角的和可能不是钝角，符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）对假命题“若a>b，则a2>b2”举一个反例，符合要求的反例是 （ ） A．a=−1，b=−2 B．a=2，b=−1 C．a=2，b=1 D．a=−1，b=0 【答案】A 【分析】本题考查了命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论 证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据有理数的大小比较法则、有理数的乘方法则 计算，判断即可． 【详解】解：当a=−1，b=−2时，a>b，而a2b，则a2>b2”的一个反例， 故选：A． 4．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）判断命题“如果x<2，那么x2−4<0”是假命题，只需举出一个反 例，反例中的x可以为( ) A．1 B．0 C．−1 D．−2 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，非负数的性质：偶次方，关一键是通过计算得到与命题的结论相反的例子． 由命题的条件，找到与命题的结论相反的例子即可． 【详解】解：A、1<2，12−4<0，故A不符合题意； B、0<2，02−4<0，故B不符合题意； 、 ，故 不符合题意； C −1<2，(−1) 2−4<0 C 、 ，故 符合题意． D −2<2，(−2) 2−4=0 D 故选：D． 四、定理与证明 1．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）下列可以作为定理的有（ ） ①一个能被2整除的数也必能被4整除；②相等的角是对顶角；③25与x的平均值是3；④三角形内角和为180°． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命 题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命 题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到①、②、③是假命题，④是真命题，是经过推理论 证的，据此可以解决问题． 【详解】解：能被2整除的数未必能被4 整除，所以①是假命题，不能作为定理； 相等的角是对顶角是假命题，所以②不能作为定理； 25+x 25 与x的平均值是 ，所以③是假命题，不能作为定理； 2 三角形的内角和为180°，经过证明是正确的，所以④可以作为定理． 故选：A． 2．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）下列语句中，是定义的是（ ） A．若两角之和为90°，则这两个角互余 B．相等的角是对顶角 C．同角的余角相等 D．延长BC至D使CD=BC 【答案】B 【分析】本题考查了全是与定理的知识，利用定义的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A. 若两角之和为90°，则这两个角互余，不是定义，不符合题意； B.相等的角是对顶角，是定义，符合题意； C.同角的余角相等，不是定义，不符合题意； D. 延长BC至D使CD=BC，不是定义，不符合题意； 故选：B 3．（23-24七年级下·湖北黄石·阶段练习）“同位角相等，两直线平行”是（ ） A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题 【答案】A 【分析】本题考查的是命题和定理，根据公理的概念判断即可． 【详解】解：“同位角相等，两直线平行”是基本事实，是公理， 故选：A． 五、命题的题设与结论 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，下面正确的是（ ） A．如果是同角，那么余角相等 B．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角 C．如果是同角，那么相等 D．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题，命题是由题设与结论两部分组成．根据把命题的题设写在“如果”后面，结论 写在“那么”后面，进而得出结论． 【详解】解：命题“同角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式为“如果两个角是同一个角的 余角，那么这两个角相等”． 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如果∠A>∠B,∠B>∠C，那么∠A>∠C，这个命题的条件是 ，结论是 ． 【答案】 ∠A>∠B,∠B>∠C ∠A>∠C 【分析】本题考查了命题的结果，掌握命题是由题设（条件）和结论组成是关键，根据命题的结果判定即 可求解． 【详解】解：如果∠A>∠B,∠B>∠C，那么∠A>∠C， ∴这个命题的条件是∠A>∠B,∠B>∠C，结论是∠A>∠C， 故答案为：①∠A>∠B,∠B>∠C，② ∠A>∠C． 3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ；该命题的条件是 ，结论是 ． 【答案】 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 两个角是同一个角的余角 这 两个角相等 【分析】本题主要考查了命题与定理，根据命题的构成，如果前面是条件，那么后面是结论，解答即可． 【详解】解：同角的余角相等改写成：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等， 该命题的条件是：两个角是同一个角的余角， 结论是：这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等；两个角是同一个角的余角；这两个角相等． 4．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）“垂直同一条直线的两条直线互相平行”这个命题的条件是 ． 【答案】两条直线垂直于同一条直线【分析】本题考查了命题的改写，根据命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式 即可，解题的关键是正确理解“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．任何一个命题都可以写成“如 果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论，在改写过程中，不能简单地把题设部 分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意． 【详解】解：命题可以改写为：“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”． 条件是：两条直线垂直于同一条直线，结论是：这两条直线平行； 故答案为：两条直线垂直于同一条直线 1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）下列选项中，可以用来说明命题|a)=a是假命题的反例是 （ ） A．a=2 B．a=4 C．a=0 D．a=−6 【答案】D 【分析】本题考查了举反例. 根据绝对值的性质、假命题的概念解答即可. 【详解】解：A、当a=2时，|a)=a，不能说明命题|a)=a是假命题，不符合题意； B、当a=4时，|a)=a，不能说明命题|a)=a是假命题，不符合题意； C、当a=0时，|a)=a，不能说明命题|a)=a是假命题，不符合题意； D、当a=−6时，|a)=−a，能说明命题|a)=a是假命题，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）下列可以说明命题“如果ab<0，那么a+b<0”是假命题的反例是 （ ） A．a=1，b=−2 B．a=−2，b=1 C．a=−3，b=2 D．a=−1，b=2 【答案】D 【分析】该题考查了举反例，要说明命题“如果ab<0，那么a+b<0”是假命题，需找到满足ab<0但 a+b≥0的例子．逐一验证选项即可． 【详解】解：选项A：a=1，b=−2，ab=1×(−2)=−2<0，满足条件．a+b=1+(−2)=−1<0，结论 成立，故A不是反例．选项B：a=−2，b=1，ab=(−2)×1=−2<0，满足条件．a+b=−2+1=−1<0，结论成立，故B不是 反例． 选项C：a=−3，b=2，ab=(−3)×2=−6<0，满足条件．a+b=−3+2=−1<0，结论成立，故C不是 反例． 选项D：a=−1，b=2，ab=(−1)×2=−2<0，满足条件．a+b=−1+2=1>0，结论不成立，故D是反 例． 故选：D． 3．（24-25七年级下·北京东城·期末）以下四个命题中，是真命题的是（ ） A．若a−b，故A错误． B． 9的平方根是±3，而3是算术平方根，故B错误． C． 3.14−π的相反数为π−3.14，显然不等于原数，故C错误． D． 点(−1,1)到x轴的距离为|1)=1，到y轴的距离为|−1)=1，均等于1，故D正确． 故选：D 4．（24-25七年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列命题中，真命题的个数有（ ） ①如果两条直线没有交点，那么这两条直线平行；②−a一定没有平方根：③连接直线外一点与直线上各 点的所有线段中，垂线段最短；④两个无理数的和还是无理数；⑤存在最大的负实数；⑥0.008是0.2的立 方根． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了命题、平行线的性质、垂直、平行公理、垂线段最短，熟练掌握性质和公理是解 题的关键． 根据平行线的性质、垂直、平行公理、垂线段最短逐项判断即可解答． 【详解】解：①在同一平面内，如果两条直线没有交点，那么这两条直线平行，故该命题是假命题； ②当a<0时，−a>0，存在平方根（如a=−3，则−a=3有平方根），故该命题为假命题；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故该命题是真命题； ④反例： 和 是无理数，但 是有理数，故该命题为假命题； ❑√2 −❑√2 ❑√2+(−❑√2)=0 ⑤负实数无最大值，则存在更接近0的负实数，故该命题为假命题； ⑥0.2是0.008的立方根，故该命题为假命题． 综上，真命题的个数有1个． 故选：A． 5．（23-24八年级上·福建三明·期末）如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，点 F在BC延长线上，FH⊥AD，交AE于点G，交AB于点H．给出下列结论：①∠DAE=∠F；② ∠ACF=2∠F+∠ADF；③∠AGF=∠ADB；④∠ACB=2∠F+∠B． 其中结论正确的为 ．（填序号）． 【答案】①③④ 【分析】对于①，根据直角三角形的性质及同角的余角相等，即可判断结果； 对于②，通过举反例“当∠B=40°，∠ACB=60°时，∠ACF≠2∠F+∠ADF．”计算可得②的结论 不成立； 对于③，根据三角形的外角性质，即可判断结果； 对于④，根据AD是△ABC的角平分线，FH⊥AD，可得∠AHN=∠AMN，再利用三角形的外角性质， 可逐步推得结论成立． 【详解】对于①， ∵AE是△ABC的高线， ∴∠AED=90°， ∴∠DAE+∠ADE=90°， ∵FH⊥AD， ∴∠F+∠ADE=90°， ∴∠DAE=∠F， ∴①正确； 对于②，举反例，当∠B=40°，∠ACB=60°时，∠ACF≠2∠F+∠ADF． 理由如下： 当∠B=40°，∠ACB=60°时， ∠BAC=180°−40°−60°=80°， ∵AD是△ABC的角平分线， 1 ∴∠DAC= ∠BAC=50°， 2 ∵∠AED=90°， ∴∠CAE=90°−∠ACB=30°， ∴∠DAE=∠DAC−∠CAE=50°−30°=20°， ∵∠AED=90°， ∵∠ADF=180°−∠CAD−∠ACB=70°， ∠F+∠ADF=90°， ∴∠F=90°−∠ADF=20°， ∴2∠F+∠ADF=110°， 而∠ACF=180°−∠ACB=120°， ∴∠ACF≠2∠F+∠ADF， ∴②错误； 对于③， ∵∠AGF是△GEF的外角， ∴∠AGF=∠GEF+∠F=90°+∠F， ∵∠ADB是△ADE的外角， ∴∠ADB=∠DAE+∠AED=90°+∠DAE， 而由①知∠DAE=∠F， ∴∠ADB=90°+∠F， ∴∠AGF=∠ADB， ∴③正确； 对于④， 设FH与AC交于点M，与AD交于点N， ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠HAN=∠MAN， ∵∠ANH=∠ANM=90°，∴∠AHN=∠AMN， 又∵∠AHN=∠B+∠F，∠ACB=∠CMF+∠F=∠AMN+∠F， ∴∠ACB=∠B+∠F+∠F=2∠F+∠B， ∴④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的高，举反例的方法，熟练掌握 相关知识及方法是解答本题的关键． 1．（24-25七年级下·河北邯郸·期中）可以用来说明“a2b2，不满足a2b2，不满足a2−3=b，∴a3； 当1≤a≤4时，y=a−1+4−a=3； 当a>1时，y=a−1+a−4=2a−5>3． 所以y=|a−1|+|a−4|的最小值是3， 若不等式|a−1)+|a−4)≥m对一切实数a都成立，则m≤3，即m的最大值是3，则⑤是假命题． 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了对顶角、平方根、解二元一次方程组、代数式求值、绝对值等知识点，灵活运用 相关知识成为解题的关键． 3．（24-25七年级下·云南昭通·期末）已知命题：如果√3 a与√3 b互为相反数，那么a与b互为相反数． (1)请写出上述命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题； (2)若 与 互为相反数，求 的值． √36−3x √3 4x−2 1−❑√x2 【答案】(1)题设：√3 a与√3 b互为相反数；结论：a与b互为相反数；真命题； (2)−3． 【分析】本题考查实数的性质，解一元一次方程，熟练掌握相反数的定义，立方根的定义，是解题的关键： （1）根据“如果”引导的部分是题设，“那么”引导的部分是结论，进行作答即可；（2）根据（1）中结论，得到6−3x+4x−2=0，求出x的值即可． 【详解】（1）解：题设：√3 a与√3 b互为相反数； 结论：a与b互为相反数；此命题为真命题； ∵√3 a与√3 b互为相反数， ∴√3 a=−√3 b， ∴ (√3 a) 3 =(−√3 b) 3， ∴a=−b， 即：a与b互为相反数； （2）由（1）可知：6−3x与4x−2互为相反数， ∴6−3x+4x−2=0， ∴x=−4， ∴ ． 1−❑√x2=1−❑√(−4) 2=1−4=−3
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