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第五章 二元一次方程组（题型汇总复习）
知识点管理
归类探究
夯实双基，稳中求进
第一节：认识二元一次方程组
【题型1】（2022·浙江·九年级专题练习）下列方程是二元一次方程的是（ ）
A．x﹣xy＝1 B．x2﹣y﹣2x＝1 C．3x﹣y＝1 D． ﹣2y＝1
【答案】C
【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断即可．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，
像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【详解】解：A、x﹣xy＝1含有两个未知数，但未知数的最高次数是2次，
∴x﹣xy＝1不是二元一次方程；
B、x2﹣y﹣2x＝1含有两个未知数．未知数的最高次数是2次，
∴x2﹣y﹣2x＝1不是二元一次方程；
C、3x﹣y＝1含有两个未知数，未知数的最大次数是1次，
∴3x﹣y＝1是二元一次方程；
D、 ﹣2y＝1含有两个未知数，但分母上含有未知数，不是整式方程，
∴ ﹣2y＝1不是二元一次方程．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，
未知数的项的次数是1的整式方程．
【题型2】（2021·吉林省第二实验学校七年级期中）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．二元一次方程组：由两个一次方程组成，并含有两个未知
数的方程组叫做二元一次方程组．
【详解】解：A、 中有3个未知数，不是二元一次方程组，不符合题意；
B、 未知数x的次数是2，不是二元一次方程组，不符合题意；
C、 由两个一次方程组成，并含有两个未知数，故是二元一次方程组，符合题意；
D、 中xy的次数是2，不是二元一次方程组，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的定义．二元一次方
程组：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
第二节：求解二元一次方程组
【题型1】（2022·浙江·九年级专题练习）已知 是方程x﹣my＝3的解，那么m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【答案】A
【分析】直接将 代入x﹣my＝3中即可得出答案．
【详解】解：∵ 是方程x﹣my＝3的解，
∴ ，
解得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟知二元一次方程的解即为能使二元一次方程成立的未知数的值．
【题型2】（2021·广西象州·七年级期中） 是下列方程组的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】运用代入排除法进行选择或分别解每一个方程组求解．
【详解】解：A、x=2，y=-1不是方程2x+y=5的解，故该选项不合题意；
B、x=2，y=-1不是方程x-2y=0的解，故该选项不合题意．
C、x=2，y=-1适合方程组中每一个方程的解，故该选项符合题意；D、x=2，y=-1不是方程x-2y=0的解，故本选项不合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，能理解方程组解的定义是解此题的关键．
【题型3】（2022·浙江·九年级专题练习）己知 是关于 ， 的二元一次方程 的解，则
的值是（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】将 代入关于x，y的二元一次方程2x-y=27得到关于k的方程，解这个方程即可得到k的
值．
【详解】解：将 代入关于x，y的二元一次方程2x-y=27得：
2×3k-（-3k）=27．
∴k=3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解和解一元一次方程，将方程的解代入原方程是解题的关键．
【题型4】（2021·重庆一中八年级期中）关于 的二元一次方程组的解 满足
，则k的值是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【分析】解方程组，用含 的式子表示，然后将方程组的解代入 即可．
【详解】解： ，
①－②得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组解，和二元一次方程组的解的应用，运用整体法得出 ，
可以是本题变得简便．
【题型5】（2021·四川·成都市第十八中学校八年级期中）若实数x、y满足 ＋|x＋y＋1|＝0，
则2x﹣4y的平方根是____．
【答案】【分析】根据非负数的性质可列出关于x、y的二元一次方程，解出x、y，代入 中，求出其平方根
即可．
【详解】解：根据题意可知 ，
解得： ．
∴2x-4y的平方根为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查绝对值和算术平方根的非负性，解二元一次方程以及代数式求值和求一个数的平方根．
根据非负数的性质列出关于x、y的二元一次方程是解答本题的关键．
【题型6】（2022·浙江·九年级专题练习）已知关于x、y的方程组 的解满足x+y＝4，则m＝
__．
【答案】
【分析】①﹣②得出x+y＝m ，根据x+y＝4求出m ＝4，再求出方程的解即可．
【详解】解： ，
①﹣②得：2x+2y＝2m+3，化简得x+y＝m+
∵x+y＝4，
∴m+ ＝4，
解得：m＝ ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组含参数问题，解题的关键是根据题意让两个方程相加．
【题型7】（2021·四川省巴中中学八年级期中）已知方程组 的解也是方程 的解，则
______， ______．
【答案】3 1
【分析】联立不含a与b的方程组成方程组求出x与y的值，代入剩下的方程求出a与b的值即可．
【详解】解：联立得： ，解得： ，
代入剩下的两方程得：
，
解得： ，
故答案为：3，1．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
【题型8】（2021·山东历下·八年级期中）请用指定的方法解下列方程组：
（1） ；（代入法）
（2） ．（加减法）
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）把②代入①得出3（y+3）+2y＝14，，求出y，把y＝1代入②求出x即可；
（2）②×3-①×4得： x＝3，，把x＝3代入①求出y即可．
【详解】解：（1） （代入法），
把②代入①得：3（y+3）+2y＝14，
解得：y＝1，
把y＝1代入②得：x＝1+3＝4，
所以方程组的解是 ；
（2） ．（加减法）
②×3-①×4得： x＝3，
把x＝3代入①得：6+3y＝12，
解得：y＝2，
所以方程组的解 ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
【题型9】（2021·全国·八年级专题练习）甲、乙二人共同解方程组 ，由于甲看错了方程①中的m值，得到方程组的解为 ；乙看错了方程②中的n的值，得到方程组的解为 ，试求
代数式 的值．
【答案】9.25
【分析】将 代入②计算求出n的值，将 代入①中计算求出m的值，由此即可求得答案．
【详解】解：将 代入②得：
﹣6+2n＝﹣3，
解得：n＝1.5，
将 代入①得：
﹣5m+4＝﹣6，
解得：m＝2，
当m＝2，n＝1.5时，
m2+n2+mn＝4+2.25+3＝9.25．
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，解答此题关键是将每一个解代入没有看错的方程中，分别求
m、n的值．
第三节：二元一次方程组应用
【题型1】（2021·全国·七年级课时练习）有一些苹果箱，若每个装苹果 ，则剩余 苹果无处装，
若每个装苹果 ．则余20个空箱，这些苹果箱有（ ）
A．12个 B．60个 C．112个 D．128个
【答案】D
【分析】设这些苹果箱有 个，苹果总重量为 ，则苹果总数为 或 ，再列方程
组，从而可得答案.
【详解】解：设这些苹果箱有 个，苹果总重量为 ，则
解得：
方程组的解为：
答：这些苹果箱有 个.故选：
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，得出正确的相等关系是解题的关键.
【题型2】（2021·四川省巴中中学八年级期中）某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区
流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时
处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数
为（ ）
A．6台 B．7台 C．8台 D．9台
【答案】B
【分析】设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，根据“如果同时开动2台机组要30小时刚
好处理完污水，同时开动3台机组要15小时刚好处理完污水”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，
解之即可得出m，n的值（用含a的代数式表示），再由5小时内将污水处理完毕，即可得出关于关于x的
一元一次方程，解之可得出结论．
【详解】解：设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，
依题意，得 ，
解得： ，
∵5ax=30a+5a，
∴x=7．
答：要同时开动7台机组．
故选：B．
【点睛】本题考查的是用二元一次方程组来解决实际问题，正确的理解题意是解题的关键．
【题型3】（2022·浙江·九年级专题练习）根据大马和小马的对话求大马和小马各驮了几包货物．
大马说：“把我驮的东西给你1包多好哇！这样咱俩驮的包数就一样多了．”
小马说：“我还想给你1包呢！”
大马说：“那可不行！如果你给我1包，我驮的包数就是你的2倍了．”
小明将这个实际问题转化为二元一次方程组问题．设未知数x，y，已经列出一个方程x﹣1＝y+1，则另一
个方程应是（ ）
A．x+1＝2y B．x+1＝2（y﹣1）
C．x﹣1＝2（y﹣1） D．y＝1﹣2x
【答案】B
【分析】设大马驮x袋，小马驮y袋．本题中的等量关系是：2×（小马驮的﹣1袋）＝大马驮的+1袋；大
马驮的﹣1袋＝小马驮的+1袋，据此可列方程组求解．
【详解】解：设大马驮x袋，小马驮y袋．
根据题意，得 ．故选：B．
【点睛】此题考查了二元一次方程组应用题，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
【题型4】（2021·全国·八年级专题练习）如图，AB⊥BC，∠ABC的度数比∠DBC的度数的两倍少15°，设
∠ABD和∠DBC的度数分别为x°，y°，那么下面可以求出这两个角的度数的方程组是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题中的等量关系有： ， ，根据等量关系列出方程即
可．
【详解】设∠ABD和∠DBC的度数分别为x°，y°，则有
整理得： ，
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一
些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
【题型5】（2020·辽宁铁岭·八年级期中）小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环
内得分相同，中靶和得分情况如图，则大壮的得分是（ ）
A．20 B．22 C．23 D．25
【答案】C
【分析】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，解方程组即可；
【详解】设投掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，
依题意得： ，
∴解这个方程组为： ，
∴大壮的得分为： ．故选：C．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．
【题型6】（2021·四川·成都外国语学校八年级阶段练习）甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你
才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将61岁．”则甲、乙现在的年龄分别是______．
【答案】42岁，23岁
【分析】设甲现在x岁，乙现在y岁，根据甲、乙年龄之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，
解之即可得出结论．
【详解】解：设甲现在x岁，乙现在y岁，
依题意，得： ，
解得： ．
答：甲现在42岁，乙现在23岁．
故答案为：42岁，23岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
【题型7】（2022·浙江·九年级专题练习）《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，
直金八两，问一牛一羊共直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金
8两．问一头牛和一只羊共值金多少两？”根据题意可得，一头牛和一只羊共值金 ____两．
【答案】 ##
【分析】根据“5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到两个等量关系，即可列出
方程组．
【详解】解：设1头牛值金x两，1只羊值金y两，
由题意可得， ，
上述两式相加可得，x+y＝ ．
故答案为： ．
【点睛】此题考查了二元一次方程组应用题，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．
【题型8】（2021·四川·成都外国语学校八年级阶段练习）以下是甲、乙两人关于一个两位数的对话：甲说
两个数位上的数字和是12，乙说两个数位上的数字差是2．那么这个两位数是______．
【答案】57或75或57
【分析】设个位上的数字为x，十位上的数字为y，根据题意列出方程即可；
【详解】设个位上的数字为x，十位上的数字为y，
当 时，可得 ，解得： ，∴这个两位数是75；
当 时，可得 ，解得 ，
∴这个两位数是57；
∴这个两位数是57或75．
故答案是：57或75．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键．
【题型9】（2021·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）如图，一个长方形图案是由8个大小相同
的小长方形拼成，宽为60cm，设每个小长方形的长为 cm，宽为 cm，可列方程组为______．
【答案】
【分析】根据题意可知，小长方形的一个长+一个宽等于大长方形的宽，2个小长方形的长等于大长方形的
长，一个小长方形的长+三个小长方形的宽等于大长方形的长，由此即可列出方程求解．
【详解】解：由题意得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，解题的关键在于能够准确读懂题意．
【题型10】（2021·广西灵山·七年级期中）在一个 的方格中填写 个数，使得每行、每列、每条对角
线上的三个数之和相等，得到一个 的方格称为一个三阶幻方，如图1，在图2方格中填写上一些数，
使它构成一个三阶幻方，则 的值为______．
【答案】13
【分析】设每行、每列、每条对角线上的三个数之和为m，根据题意列出方程（组），解之即可得出答案．
【详解】解：设每行、每列、每条对角线上的三个数之和为m，
则方格中其他数为：-3 x m-x+3
m-1 1 x-y-3
4 m-y-4 y
∵ ，
解得： ，
故答案为：13．
【点睛】本题综合考查了二元一次方程（组）的应用，解决本题的关键是设出未知数，利用每行、每列、
每条对角线上的三个数之和相等列出方程，建立方程（组）求解是解题关键．
【题型11】（2021·重庆一中八年级期中）元旦期间，某商场开业，为了吸引更多的人流量，该商场决定
举行迎宾抽奖活动．活动规则如下：只要在该商场消费一定的金额，消费者就可以凭借小票去抽奖中心兑
换盲盒（盲盒的形状，大小，重量等各种属性完全相同），且盲盒里面分别装有50元、30元、10元、5
元的奖金．开业当天商场准备了400个盲盒，且全部被消费者领完．经统计，开业当天上午领取的盲盒中
所含奖金的总金额为950元，其中领取含有30元的盲盒的数量是含有10元的盲盒数量的一半，领取含50
元的盲盒的数量多于1个，少于5个；下午领取的盲盒中所含奖金的总金额是1240元，下午领取含5元的
盲盒的数量比上午领取含5元的盲盒的数量少10个，领取含10元的盲盒的数量是上午领取含10元的盲盒
的数量的2倍，领取含30元的盲盒的数量比上午领取含30元的盲盒的数量多5个，含50元的盲盒只有1
个被抽中，剩余的盲盒则全被晚上领取完毕，则晚上被领取的盲盒的数量是______．
【答案】206个
【分析】设上午领取的含有5元的盲盒与含有10元的盲盒的数量分别为x个、y个，由下午领取的盲盒的
总金额为1240元得 ，分三种情况：当上午领取的50元盲盒为2个时，3个时，4个时，分别
解方程组求解即可．
【详解】解：设上午领取的含有5元的盲盒与含有10元的盲盒的数量分别为x个、y个，其他盲盒领取的
个数见表格，
上午领取的个数 下午领取的个数
50元盲盒 1
30元盲盒 +5
10元盲盒 y 2y
5元盲盒 x x-10
由题意得 ，化简得 ，
∵上午领取含50元的盲盒的数量多于1个，少于5个，∴当上午领取的50元盲盒为2个时，得 ，
化简得 ，
解方程组 ，得 ，
∴晚上领取的盲盒的个数为206个；
当上午领取的50元盲盒为3个时，得 ，
化简得 ，
解方程组 ，得 ，
此时 为小数，故舍去；
当上午领取的50元盲盒为4个时，得 ，
化简得 ，
解方程组 ，得 （舍去），
综上，晚上领取的盲盒的个数为206个，
故答案为：206个
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意设未知数并列得方程组是解题的关键．
【题型12】（2021·辽宁·沈阳市第一二六中学八年级期中）根据题意列二元一次方程组：用一根绳子环绕
一棵大树．若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕大树4周，则绳子又少了3尺．这根绳子有多长？
环绕大树一周需要多少尺？
【答案】这根绳子有25尺长，环绕大树一周要7尺
【分析】设这根绳子有x尺长，环绕大树一周要y尺，根据“若环绕大树3周，则绳子还多4尺；若环绕
大树4周，则绳子又少3尺”，列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可．
【详解】解：设这根绳子有x尺长，环绕大树一周要y尺，
根据题意得：
，
解得： ，
答：这根绳子有25尺长，环绕大树一周要7尺．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出二元一次方
程组是解题的关键．
【题型13】（2021·四川省德阳市第二中学校七年级阶段练习）某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有30人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出两辆车，且其余客车恰
好坐满．已知45座客车租金为每辆450元，60座客车租金为每辆650元，问：
（1）这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）请你设计一种租车方案，要求每位游客都有座位，费用又合算？
【答案】（1）480人，10辆45座客车；（2）租8辆45座客2辆60座客车车费用4900
【分析】（1）本题中的等量关系为：45×45座客车辆数+30=游客总数，60×（60座客车辆数-2）=游客总
数，据此可列方程组求出第一小题的解；
（2）设租用45座客车 辆，60座客车 辆，依题意得 ，再讨论出符合条件的整数解，然后
根据价格计算出费用即可得到答案．
【详解】解：解：（1）设这批游客的人数是x人，原计划租用45座客车y辆．
根据题意，得 ，
解这个方程组，得 ．
答：这批游客的人数480人，原计划租45座客车10辆；
（2）设租 辆45座， 辆60座，则
整理得：
当 时，
则全部租45座客车： 480÷45≈11（辆），
所以需租11辆，租金为 （元），
当 时，则全部租60座客车： 8（辆），
所以需租8辆，租金为 （元），
当 时，则租车费用为： （元），
当 时，则租车费用为： （元），
所以租45座的客车8辆，租2辆60座的客车，租车费用最低.
【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解问题，掌握利用二元一次方程
（组）解决问题是解本题的关键.
【题型14】（2021·河南·平顶山市第十四中学八年级期中）一辆汽车从A地驶向B地，前 路段为普通公
路，其余路段为高速公路．已知汽车在普通公路上行驶的速度为 ，在高速公路上行驶的速度为
，汽车从A到B地一共行驶了 ．那么汽车在高速公路上行驶了多少千米？【答案】120km
【分析】根据题意，设出未知数，由等量关系：高速公路=2×普通公路，普通公路上的时间+高速公路的时
间=总时间，列方程组求解即可．
【详解】解：设普通公路长为x（km），高速公路长为y（km）．
根据题意，得 ，
将 代入 得：
，解得： ，
∴ ，
∴方程组的解为 ，
答：汽车在高速公路上行驶了120km．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，关键是设出未知数，表示出每段行驶所花费的时间，得出方
程组，难度一般．
【题型15】（2021·山西·太原师范学院附属中学八年级阶段练习）为了响应“阳光运动一小时”校园体育
活动，我校计划再购买一批篮球，已知购买2个 品牌的篮球和3个 品牌的篮球共需380元；购买4个
品牌的篮球和2个 品牌的篮球共需360元．
（1）求 、 两种品牌的篮球的单价．
（2）我校打算网购20个 品牌的篮球和3个 品牌的篮球，“双十一”期间，京东购物打折促销，其中
品牌打八折， 品牌打九折，问：学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了多少钱？
【答案】（1）A品牌的篮球的单价为40元/个，B品牌的篮球的单价为100元/个；（2）学校购买打折后
的篮球所花的费用比打折前节省了190元．
【分析】（1）设A品牌的篮球的单价为x元/个，B品牌的篮球的单价为y元/个，根据“购买2个A品牌
的篮球和3个B品牌的篮球共需380元；购买4个A品牌的篮球和2个B品牌的篮球共需360元”，即可
得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总价=单价×数量，列式计算，即可求出结论．
【详解】解：（1）设A品牌的篮球的单价为x元/个，B品牌的篮球的单价为y元/个，
根据题意得： ，解得： ．
答：A品牌的篮球的单价为40元/个，B品牌的篮球的单价为100元/个；
（2）20×40×（1-0.8）+3×100×（1-0.9）=190（元）．
答：学校购买打折后的篮球所花的费用比打折前节省了190元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出关于x、y的二元
一次方程组；（2）根据总价=单价×数量，列式计算．
第四节：二元一次方程组与一次函数
【题型1】（2021·安徽·六安市轻工中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b和y
＝mx＋n相交于点（2，－1）则关于x、y的方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意直接利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行分析解决问题．
【详解】解：∵一次函数 和 相交于点（2，-1），
∴关于x、y的方程组 的解为 ．
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数交点问题与二元一次方程（组）解得关系，理清二者的联系是解题关键．
【题型2】（2021·辽宁·沈阳市第七中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2和直线y＝
ax+b（a≠0）相交于点P．根据图象可知，方程x+2＝ax+b的解是x＝___．
【答案】5
【分析】两直线的交点坐标横坐标为方程x+2＝ax+b的解．【详解】解：把y＝7代入y＝x+2得，7＝x+2，
解得x＝5，
∴P点的横坐标为5，
∵直线y＝x+2和直线y＝ax+b（a≠0）相交于点P，
∴方程x+2＝ax+b的解是x＝5．
故答案为5．
【点睛】本题考查了根据一次函数图像解二元一次方程组，数形结合是解题的关键．
【题型3】（2021·江苏·无锡市太湖格致中学八年级阶段练习）如图，已知一次函数y＝－ x＋6的图像与
x轴，y轴分别相交于点A、B，与一次函数y＝ x的图像相交于点C，若点Q在直线AB上，且△OCQ的
面积等于12，则点Q的坐标为__________________．
【答案】（－1， ）（7，－ ）
【分析】根据题意联立两个一次函数可确定点C的坐标，然后确定点A、点B的坐标，分两种情况讨论：
①当点Q位于线段BC上时，设 ，求得 ，由此可得点Q必在点B左侧，即
，可得 ，代入求解即可得点Q的坐标；②当点Q位于C点右侧时，设
，根据图形可得 ，代入求解即可得点Q的坐标．
【详解】解：根据题意分两种情况进行讨论，
，
解得： ，
∴ ，令 代入 得： ，
令 代入 得： ，
①当点Q位于线段BC上时，如图即点Q的位置，设 ，
，
∴点Q必在点B左侧，即 ，
，
，
，
解得： ，
∴ ，
则 ，
∴ ；
②当点Q位于C点右侧时，如图即点Q的位置，设 ，
，，
，
解得： ，
则 ，
∴ ；
综上可得： 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】题目主要考查一次函数的性质及与二元一次方程组的联系，三角形动点问题，理解题意，作出相
应图形结合一次函数性质是解题关键．
【题型4】（2021·山东历下·八年级期中）如图，直线l是一次函数y＝kx＋b的图象，且经过点A（0，1）
和点B（3，﹣2）．
（1）求直线l的表达式；
（2）求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）将 代入 中，用待定系数法求解一次函数表达式即可；
（2）先求出点C的坐标，从而知道OC的长度，然后用面积公式计算即可．
【详解】解：∵ 在直线上
∴将 代入 中，得
解得：∴直线l的表达式为：
（2）∵直线l的表达式为：
∴当 时，
解得：
∴
∵
∴
∴
即直线与坐标轴围成的三角形面积为 ．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数表达式，以及直线与坐标轴围成的三角形面积求法，牢记相关知
识点并能准确计算是解题关键．
【题型5】（2021·福建·三明市列东中学八年级期中）如图，表示一个正比例函数与一个一次函数的图象，
它们交于点 ，一次函数的图象与 轴交于点 ，且 ．
（1）求直线 的函数解析式；
（2）若点 在直线 上， 的面积等于20，求 点的坐标．
【答案】（1） ；（2） 坐标为 或
【分析】（1）依据两点间距离公式，求出OA值，进而求出B点坐标，即可利用待定系数法解决问题；
（2）根据C点位置分两种情况讨论，根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
依题意可设直线 的函数解析式为 ，
把点 坐标代入得： ，
，∴直线 的函数解析式为 .
（2）∵点 在直线 上，
∴可以设点 ，
∵ ，
∵ ，
∴点 不可能在线段 上，
当点 在 点右侧时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点
当点 在 点左侧时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点 ，
综上可知：点 坐标为 或 .
【点睛】本题考查两条直线平行或相交问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法．两条直线的交点坐标，
就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．
【题型6】（2021·全国·八年级单元测试）如图，直线l：y=-2x+6与x轴，y轴分别交于点A，B，直线l
1 1 2
过点C（-5，0），与直线l 交于点D（a，8），与y轴交于点E．
1（1）求直线l 的解析式；
2
（2）求△BDE的面积．
【答案】（1） ；（2）2
【分析】（1）由直线l 求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l 的解析式；
1 2
（2）求得B、E的坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．
【详解】解：∵直线l 过点D（a，8），
1
∴8=-2a+6，
∴a=-1，
∴D（-1，8），
∵直线l 过点C（-5，0），D（-1，8），
2
∴ ，解得 ，
∴直线l 的解析式为y=2x+10；
2
（2）在y=-2x+6中，令x=0，则y=6，
∴B（0，6），
在y=2x+10中，令x=0，则y=10，
∴E（0，10），
∴BE=10-6=4，
∴△BDE的面积为 ×4×1=2．
【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数
的解析式，三角形面积等，求得交点坐标是解题的关键．
第五节：三元一次方程组
【题型1】（2021·全国·八年级课时练习）解下列方程组：
（1） （2）
【答案】（1） （2）
【分析】（1）先标号利用加减消元法①+②得 ，（③-②）÷2得 ，再利用加减消元
法解二元一次方程组即可；
（2）先标号利用加减消元法先消去z，再解x与y的二元方程组即可．【详解】解：（1） ，
①+②得 ，
（③-②）÷3得 ，
④+⑤×2得4x=8，
解得x=2，
把x=2代入④得 ，
把 代入②得y=-3，
∴ ；
（2） ，
①+③得 ，
（②+③）÷5×3得 ，
④-⑤得x=3，
把x=3代入④得y=2，
把x=3，y=2代入①得z=5，
∴ ．
【点睛】本题考查三元一次方程组的解法，掌握三元方程组消元转化二元方程组来解是解题关键．
【题型2】（2021·陕西·西北工业大学附属中学八年级期末）已知关于x、y的方程组 的解满
足2x﹣y＝2k，则k的值为（ ）
A．k B．k C．k D．k
【答案】A
【分析】根据 得出 ， ，然后代入 中即可求解．【详解】解： ，
①+②得 ，
∴ ③，
①﹣③得： ，
②﹣③得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，根据题意得出 的代数式是解题的关键．
【题型3】（2021·全国·八年级课时练习）某校初中三个年级共有651人，八年级的学生比九年级的学生人
数多10%，七年级的学生比八年级的学生人数多5%．三个年级各有多少学生？
【答案】七年级有231人，八年级有220人，九年级有200人．
【分析】设七年级的学生有x人,八年级的学生有y人,九年级的学生有z人,根据等量关系三个年级共有651
人，八年级的学生比九年级的学生人数多10%，七年级的学生比八年级的学生人数多5%．列方程组
解方程组即可．
【详解】解：设七年级的学生有x人,八年级的学生有y人,九年级的学生有z人,
根据题意得： ，
整理得： ，
把②③代入①得 ，
解得 ，
把 代入②③得 ，
答七年级的学生有231人,八年级的学生有220人,九年级的学生有200人．
【点睛】本题考查列三元一次方程组解应用题，掌握列三元一次方程组解应用题的步骤与解法，抓住等量
关系列方程组是解题关键．
