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*5.8 三元一次方程组
课堂知识梳理
含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫三元一次方程．含有
三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．三元一次方程组中各
个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解．
解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——“把三元”化为“二元”，再把“二元”
化为“一元”．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
三元一次方程组中共含有三个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，每个方程都是整式方程，由此进
行判断即可．
【详解】
解：A、a的最高次数是2，选项错误；
B、x、y、z的最高次数都是2，选项错误；
C、每个方程都是分式方程，选项错误；
D、符合题意，选项正确．故选：D
【点睛】
本题考查三元一次方程组的识别，牢记定义是解题的切入点．
2．方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据代入消元法解三元一次方程组即可求解．
【详解】
解： ，
由①得 ④，由②得 ⑤，
将④⑤代入③得， ，
解得 ，
将 代入④得 ，
将 代入⑤得 ，
原方程组的解为 ．
故选C．
【点睛】
本题考查了解三元一次方程组，掌握代入消元是解题的关键．
3．解方程组 时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（ ）A．由②③消去z B．由②③消去y C．由①②消去z D．由①③消去x
【答案】B
【解析】
【分析】
根据解三元一次方程组的步骤先消去一个未知数，得到一个二元一次方程组，从而得出答案．
【详解】
解：由② 3+③得：11x+10z=35，
∴转化为二元一次方程组为 ，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的解法，把“三元”转化为“二元”、把“二元”转化为“一元”的消元的思
想方法，从而进一步理解把“未知”转化为“已知”和把复杂问题转化为简单问题的思想方法．解三元一
次方程组的关键是消元．
4．解方程组 ，以下解法不正确的是（ ）
A．由①，②消去z，再由①，③消去z B．由①，③消去z，再由②，③消去z
C．由①，③消去y，再由①，②消去y D．由①，②消去z，再由①，③消去y
【答案】D
【解析】
【分析】
方程组利用加减消元法求出解即可．
【详解】
解：解方程组 ，
以下解法不正确的是由①，②消去z，再由①，③消去y．
故选：D．
【点睛】
此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．5．若 ， ，则x＋y＋z的值等于（ ）
A．0 B．2 C．1 D．无法求出
【答案】C
【解析】
【分析】
根据系数的特点，两式相加即可解决．
【详解】
解：两式相加得：5x+5y+5z=5
两边同除以5，得x+y+z=1
故选：C．
【点睛】
本题考查了解三元一次方程组，利用了加减法，加减法是解方程组的一种方法，但不是用于解方程组，在
数学问题中可以灵活应用．
6．三元一次方程组 的解是________.
【答案】
【解析】
【分析】
将第一个式子减去第二个式子，再加上第二个式子，可以算出x的值，就可以把y、z的值都求出来．
【详解】
由题意可知：
将 - 得x-z=2
∴2x=-2
∴x=-1
∴-1-z=2∴z=-3
∴y=3
故原方程组的解为
故答案为： ．
【点睛】
本题考查三元一次方程组的解法．熟练掌握消元法解方程组是解决本题的关键．
7．已知xyz≠0，从方程组 中求出x：y：z＝___．
【答案】2：7：5
【解析】
【分析】
根据方程组系数的特点，先消去未知数y，得出x与z的关系，再得出y与z的关系，最后求比值．
【详解】
①+②得5x﹣2z＝0，解得x＝ z，
将x＝ z代入②得y＝ z，
∴x：y：z＝2：7：5．
故答案为：2：7：5
【点睛】
本题考查了解三元一次方程组．关键是把其中一个未知数当作已知数，求另外两个未知数与这个未知数的
关系．
8．某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元，如
果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要________元
【答案】180【解析】
【分析】
设1只鸡单价a元，1只兔单价b元，1只鸭单价c元，依题意列出三元一次方程组，求得a+b+c=180即可
求解．
【详解】
解：设1只鸡单价a元，1只兔单价b元，1只鸭单价c元，
依题意得： ，
①+②得：4a+4b+4c=720，
∴a+b+c=180，
∴他买1只鸡1只兔1只鸭需要180元，
故答案为：180．
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
9．解方程：
【答案】
【解析】
【分析】
分别用②﹣①、③﹣①消去z，得到两个关于x和y的方程，求出x和y的值，进而可求出z的值．
【详解】
，
②﹣①得：3x﹣y＝11④，
③﹣①得：15x+5y＝35，即3x+y＝7⑤，
④+⑤得：6x＝18，
解得：x＝3，④﹣⑤得：﹣2y＝4，
解得：y＝﹣2，
把x＝3，y＝﹣2代入①得：z＝﹣5，
则方程组的解为 ．
【点睛】
此题考查了解三元一次方程组，解题的关键是利用加减消元法消去未知数转化成一元一次方程．
10．解三元一次方程组 ．
【答案】
【解析】
【分析】
先由①×2-②消去y，①×3+③消去y，得到 ，转化为解关于x，z的二元一次方程组，据此解
答．
【详解】
解：
①×2-②，得
①×3+③，得
解方程组
解得把 代入①，得 ，
所以原方程组的解为 ．
【点睛】
本题考查加减消元法解三元一次方程组，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
11．解方程组： ．
【答案】
【解析】
【分析】
由①设 ，把 ， ， 代入②，求得 ，进而即可求得 ．
【详解】
，
由①设 ，
∴ ， ， ，
把 ， ， 代入②，
∴ ， ．
∴ ， ， ．∴方程组的解为 ．
【点睛】
本题考查了解三元一次方程组，根据比例式设参数是解题的关键．
12．一个三位数，十位数字比个位数字大2，百位数字是十位数字的2倍，如果把百位数字与个位数字对
调，那么得到的三位数比原来的三位数小495．求原来的三位数．
【答案】原来的三位数是631．
【解析】
【分析】
首先用x、y、z表示出各位数，进而表示出这个三位数，以及新的三位数，进而得出方程组求出即可．
【详解】
解：设原个位数为x，则十位数是y，百位数是z，
根据题意，得 ，
解得： ，
答：原来的三位数是631．
【点睛】
本题是一道关于数位问题的数学应用题，考查数位问题一个数等于百位上的数字×100+十位上的数字
×10+个位上的数字×1的运用，三元一次方程组的解法的运用，解答时找到反应整个题意的等量关系建立三
个方程是关键．
13．某农场300名职工耕种51公顷田地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力
人数及设备资金如下表：
农作物品 每公顷需劳动 每公顷需设备资
种 力 金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入
的资金正好够用？
【答案】种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为15公顷、20公顷和16公顷
【解析】
【分析】
设种植水稻x公顷，棉花y公顷，蔬菜为z公顷，根据题意可得等量关系：①三种农作物的投入资金＝67
万元；②三种农作物所需要的人力＝300名职工；③三种农作物的公顷数＝51公顷，根据等量关系列出方
程组并求解即可．
【详解】
解：设种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为x公顷、y公顷和z公顷，
根据题意得 ，解得
答：种植水稻、棉花和蔬菜的面积分别为15公顷、20公顷和16公顷.
【点睛】
此题主要考查了三元一次方程组的应用，关键是弄懂题意，抓住题目中的关键语句，找出等量关系，设出
未知数，列出方程组．
14．小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3
千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44
分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？
【答案】上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米
【解析】
【分析】
本题中需要注意的一点是：去时的上坡和下坡路与回来时的上坡和下坡路正好相反，平路路程不变．题中
的等量关系是：从家到学校的路程为3.3千米；去时上坡时间+下坡时间+平路时间=1小时；回时上坡时间
+下坡时间+平路时间=44分，据此可列方程组求解．
【详解】
解：设去时上坡路是x千米，平路是y千米，下坡路是z千米．依题意得：，
解得 ．
答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米．
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的应用，本题有三个未知量，还需注意去时是上坡路回时是下坡路，回来时恰
好相反，平路不变．
培优第二阶——拓展培优练
15．某茶庄为了吸引顾客，扩大销售量，准备将A、B、C三种茶具包装成甲、乙、丙、丁四种礼盒销售
（包装成本忽略不计）．甲礼盒装有A茶具3个，B茶具2个，C茶具2个；乙礼盒装有A茶具2个，B茶
具3个，C茶具4个；丙礼盒装有A茶具2个，B茶具2个，C茶具1个；丁礼盒装有A茶具3个，B茶具
4个，C茶具4个．若一个甲礼盒售价360元，利润率为20%，一个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610元，
且一个A茶具的利润率为25%，则一个丁礼盒的利润率为_____．
【答案】18.75%
【解析】
【分析】
设 A 、 B 、 C 三种茶具的成本为x， y ，z，利润分别为 a ，b ， c ，则售价分别为 a +x， b + y
，c+z，由一个甲礼盒售价360元，可列3( a +x)+2( b + y )+2( c + z )=360，由一个甲礼盒的利润率为
20%，得 ，整理得3c+2y+2z=300，由个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610元，可得
2x+3y+4z+2+2y+z＝610，得：x=40，整理得4b+4c=60，再将一个丁礼盒的润率表示为 ，整理可得答案．
【详解】
解：设 A 、 B 、 C 三种茶具的成本为x， y ，z，利润分别为 a ，b ， c ，则售价分别为 a +x， b
+ y ，c+z，
∵甲礼盒装有 A 茶具3个， B 茶具2个， C 茶具2个，一个甲礼盒售价360元，
∴3( a +x)+2(b + y )+2( c + z )=360，
即3a+2b+2c+3x+2y+2z=360①，
∵一个甲礼盒的利润率为20%，
∴ ，
即3a+2b+2c=0.6x+0.4y+0.4z②，将②代入①可得：
0.6x+0.4y+0.4z+3x+2y+2z=360，
即3x+2y+2z=300③，
∵一个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610元，乙礼盒装有 A 茶具2个， B 茶具3个， C 茶具4个，
丙礼盒装有 A 茶具2个， B 茶具2个， C 茶具1个，
∴2x+3y+4z+2x+2y+z＝610，即4x+5y+5z=610④，
由③×5-④×2可得：
5(3x+2y+2z)-2(4x+5y+5z)=5×300-2×610，
解得：x=40，
∵一个 A 茶具的利润率为25%，
∴ =25%
∴ a =10，
将 a =10和x＝40代入②可得：3×10+2b+2c=0.6×40+0.4y+0.4z，
即4b+4c=0.8y+0.8z-12⑤，
将 x=40代入③可得：
3×40+2y+2z=300，即 y +z=90⑥，
将⑥代入⑤可得：
4b+4c=0.8y+0.8z-12=0.8×90-12=60，
即4b+4c=60⑦，
∴一个丁礼盒的润率为：= ，
故答案为：18.75%．
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的应用，解题的关键是根据题干中的等量关系列出算式，化简，将所设未知量
转化为已知量．
16．重庆某大学对重庆某村实施“技术助农”．该村种植有A、B、C三种经济作物，助农前，A，B，C三
种作物亩数比例为2：5：3；助农后，三种经济作物的亩数都得以增加，其中B作物增加的亩数占总增加
亩数的 ．助农前，C作物的亩产量是B作物亩产量的2.5倍，A，B两种作物的亩产量之和恰好是C作物
的亩产量；助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了 和 ，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C
作物的亩产量．若助农后，B作物的产量比助农前A，B产量之和多 ，而C作物的产量比助农前A，B，
C三种作物产量的总和还多5%，则助农前后A作物的产量之比为__________．
【答案】90：271
【解析】
【分析】
设助农前，A，B，C三种作物亩数分别为：2a，5a，3a，B作物亩产量为b，
则C作物的亩产量是2.5b，A作物的亩产量为1.5b．可得助农后，A作物的亩产量为2b，B作物的亩产量
为 b，C作物的亩产量为 b．设助农后增加的总亩数为x，C作物增加的亩数为y，则B作物增加的亩数
为 x，A作物增加的亩数为（x﹣ x﹣y），列出方程组，可得到助农前A作物的产量为 ，助农后A作
物的产量为 ab，即可求解．
【详解】
解：设助农前，A，B，C三种作物亩数分别为：2a，5a，3a，B作物亩产量为b，
则C作物的亩产量是2.5b，A作物的亩产量为2.5b﹣b＝1.5b．
∵助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了 和 ，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C作物的亩产量，
∴助农后，A作物的亩产量为：1.5b（1+ ）＝2b，
B作物的亩产量为：b（1+ ）＝ b，
C作物的亩产量为：1.5b（1+ ）+b（1+ ）＝ b．
设助农后增加的总亩数为x，C作物增加的亩数为y，
则B作物增加的亩数为 x，A作物增加的亩数为（x﹣ x﹣y），
∴
解得：
∴助农前A作物的产量为：2a× b＝ ，
助农后A作物的产量为：（2a+x﹣ x﹣y）×2b＝ ab．
∴助农前后A作物的产量之比为：90：271．
【点睛】
本题主要考查了三元一次方程组的应用，列代数式，依据题目中的等量关系列出方程是解题的关键．
17．有一商场计划到厂家购买电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台
1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你帮助商场设计进货方案．
（2）若商场同时购进三种不同型号的电视机共50台，用去6万元，请你帮助商场设计进货方案．
【答案】（1）有两种方案：①甲：40，乙：20；②甲：56，丙：4；（2）有4种方案，具体方案详见解析
【解析】
【分析】
设甲、乙、丙型号的电视机分别为x、y、z台．（1）因为商场同时要购进两种不同型号电视机，所以分三
种情况讨论：甲乙组合，甲丙组合，乙丙组合．设未知数，根据等量关系：台数相加=60，钱数相加
=70000，列方程组解答即可；
（2）由题意列出关于x、y、z的三元一次方程组，继而根据电视机的台数为正整数进行求解即可．【详解】
解：设甲、乙、丙型号的电视机分别为x、y、z台．
（1）①若选甲、乙两种型号，则 ，
解得 ，
② 若选甲、丙两种型号，则 ，
解得 ，
③若选乙、丙两种型号，则 ，
解得 ，不合题意，舍去．
答：若商场同时购进其中两种不同型号的电视机，有两种进货方案：①甲：40，乙：20；②甲：56，丙：
4；
（2）根据题意得 ，
∵x、y、z均为正整数，
∴方程组的正整数解有四组，
或 或 或 ，
综上所述，共有四种进货方案：
方案一：应进货甲型号电视机41台，乙型号电视机5台，丙型号电视机4台；
方案二：应进货甲型号电视机37台，乙型号电视机10台，丙型号电视机3台；
方案一：应进货甲型号电视机33台，乙型号电视机15台，丙型号电视机2台；
方案一：应进货甲型号电视机29台，乙型号电视机20台，丙型号电视机1台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，三元一次方程组的正整数解．解题关键是根据题意列出方程组，解出
方程后检验方程组的解是否符合实际问题的意义．
18．阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如： 就是
方程3x+y＝11的一组“好解”； 是方程组 的一组“好解”．
(1)求方程x+2y＝5的所有“好解”；
(2)关于x，y，k的方程组 有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明
理由．
【答案】(1) 或 或
(2)有， 或 或 或
【解析】
【分析】
（1）“好解”就是方程的非负整数解，使y＝0，y＝1，y＝2分别去求 的值，由于 时， 的值为负，
不符合要求，不需要再求；
（2）通过消元的方法得出k＝6﹣2y和x＝9+y，因为“好解”就是方程的非负整数解，所以x、y、k为非
负整数，解不等式可得出满足条件的解．
(1)
解：当y＝0时，x＝5；
当y＝1时，x+2＝5，解得x＝3；
当y＝2时，x+4＝5，解得x＝1，
所以方程x+2y＝5的所有“好解”为 或 或 ；(2)
解：有．
，
②﹣①得4y+2k＝12，则k＝6﹣2y，
①×3﹣②得2x﹣2y＝18，则x＝9+y，
∵x、y、k为非负整数，
∴6﹣2y≥0，解得y≤3，
∴y＝0、1、2，3，
当y＝0时，x＝9，k＝6；当y＝1，x＝10，k＝4；当y＝2时，x＝11，k＝2，当y＝3时，x＝12，k＝0，
∴关于x，y，k的方程组 的“好解”为 或 或 或 ．
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程的解和三元一次方程组的解法，准确理解题意并正确解出方程组是做出本题
的关键．
19．阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数
式的值．如以下问题：已知实数x、y满足 ， ，求 和 的值．本题常规思
路是将 ①， ②联立组成方程组，解得 、 的值再代入欲求值的代数式得到答案．常
规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得
代数式的值，如由①－②可得 ，由①＋②×2可得 ．这样的解题思想就是通常所说的
“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组 ，则 ______， ______；
(2)试说明在关于x、y的方程组 中，不论a取什么实数， 的值始终不变；
(3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？
【答案】(1)－1；3
(2)见解析
(3)购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元
【解析】
【分析】
（1）①－②可求出 ， 可求出 ；
（2）证明 为定值即可；
（3）设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，根据题意列方程组，利用整体思想求出 即
可．
(1)
解：
①－②得： ，
得： ，
等式两边同时除以3得： ，
故答案为：－1；3．
(2)
证明：
得： ，
等式两边同时除以2得： ，
得： ，
等式两边同时除以2得： ，
因此不论a取什么实数， 的值始终不变．
(3)解：设铅笔、橡皮、笔记本的单价分别为x，y，z元，
由题意得，
得： ，
等式两边同时乘以2得： ，
得： ，
故 ，
即购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需70元．
【点睛】
本题考查利用整体思想解方程组，读懂题意，熟练掌握并灵活运用整体思想是解题的关键．
培优第三阶——中考沙场点兵
20．（2022·重庆·中考真题）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花
的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花
糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之
比为_________．
【答案】4：3
【解析】
【分析】
设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，
米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，根据三种特产的总利润是总成本的25%列得
，计算可得．
【详解】
解：设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x
元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，由题意得，
解得3y=4x，
∴y：x=4：3，
故答案为：4：3．
【点睛】
此题考查了三元一次方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键．
21．（2021·重庆·中考真题）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也
为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，
C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你
音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，
3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为
该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为__________元．
【答案】155
【解析】
【分析】
设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，列方程求出B盒中各种设备的数量，再设蓝牙耳机、多接口优
盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列出方程组，再整体求出 的值即可．
【详解】
解：根据题意，设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，优盘的数量为3a+2a=5 a个，则
，解得，a=1；
设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列方程组得，
②-①得， ，
③×3-①得， ，
故答案为：155．
【点睛】本题考查了三元一次方程组和一元一次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系列出方程（组），
熟练运用等式的性质进行方程变形，整体求值．
