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*5.8 三元一次方程组
课堂知识梳理
含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫三元一次方程．含有
三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组．三元一次方程组中各
个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解．
解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——“把三元”化为“二元”，再把“二元”
化为“一元”．
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
1．下列方程组中是三元一次方程组的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．方程组 的解为（ ）
A． B． C． D．
3．解方程组 时，为转化为二元一次方程组，最恰当的方法是（ ）A．由②③消去z B．由②③消去y C．由①②消去z D．由①③消去x
4．解方程组 ，以下解法不正确的是（ ）
A．由①，②消去z，再由①，③消去z B．由①，③消去z，再由②，③消去z
C．由①，③消去y，再由①，②消去y D．由①，②消去z，再由①，③消去y
5．若 ， ，则x＋y＋z的值等于（ ）
A．0 B．2 C．1 D．无法求出
6．三元一次方程组 的解是________.
7．已知xyz≠0，从方程组 中求出x：y：z＝___．
8．某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元，如
果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要________元
9．解方程：
10．解三元一次方程组 ．11．解方程组： ．
12．一个三位数，十位数字比个位数字大2，百位数字是十位数字的2倍，如果把百位数字与个位数字对
调，那么得到的三位数比原来的三位数小495．求原来的三位数．
13．某农场300名职工耕种51公顷田地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力
人数及设备资金如下表：
农作物品 每公顷需劳动 每公顷需设备资
种 力 金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
已知该农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入
的资金正好够用？
14．小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44
分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？
培优第二阶——拓展培优练
15．某茶庄为了吸引顾客，扩大销售量，准备将A、B、C三种茶具包装成甲、乙、丙、丁四种礼盒销售
（包装成本忽略不计）．甲礼盒装有A茶具3个，B茶具2个，C茶具2个；乙礼盒装有A茶具2个，B茶
具3个，C茶具4个；丙礼盒装有A茶具2个，B茶具2个，C茶具1个；丁礼盒装有A茶具3个，B茶具
4个，C茶具4个．若一个甲礼盒售价360元，利润率为20%，一个乙礼盒和一个丙礼盒成本之和为610元，
且一个A茶具的利润率为25%，则一个丁礼盒的利润率为_____．
16．重庆某大学对重庆某村实施“技术助农”．该村种植有A、B、C三种经济作物，助农前，A，B，C三
种作物亩数比例为2：5：3；助农后，三种经济作物的亩数都得以增加，其中B作物增加的亩数占总增加
亩数的 ．助农前，C作物的亩产量是B作物亩产量的2.5倍，A，B两种作物的亩产量之和恰好是C作物
的亩产量；助农后，A，B两种作物的亩产量分别增加了 和 ，A，B两种作物的亩产量之和恰好仍是C
作物的亩产量．若助农后，B作物的产量比助农前A，B产量之和多 ，而C作物的产量比助农前A，B，
C三种作物产量的总和还多5%，则助农前后A作物的产量之比为__________．
17．有一商场计划到厂家购买电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台
1100元，乙种每台1300元，丙种每台2100元．
（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共60台，用去7万元，请你帮助商场设计进货方案．
（2）若商场同时购进三种不同型号的电视机共50台，用去6万元，请你帮助商场设计进货方案．18．阅读材料：我们把多元方程（组）的非负整数解叫做这个方程（组）的“好解”．例如： 就是
方程3x+y＝11的一组“好解”； 是方程组 的一组“好解”．
(1)求方程x+2y＝5的所有“好解”；
(2)关于x，y，k的方程组 有“好解”吗？若有，请求出对应的“好解”；若没有，请说明
理由．
19．阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数
式的值．如以下问题：已知实数x、y满足 ， ，求 和 的值．本题常规思
路是将 ①， ②联立组成方程组，解得 、 的值再代入欲求值的代数式得到答案．常
规思路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得
代数式的值，如由①－②可得 ，由①＋②×2可得 ．这样的解题思想就是通常所说的
“整体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组 ，则 ______， ______；
(2)试说明在关于x、y的方程组 中，不论a取什么实数， 的值始终不变；
(3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买4支铅笔、7块橡皮、1
本笔记本共需28元，则购买10支铅笔、10块橡皮、10本笔记本共需多少元？培优第三阶——中考沙场点兵
20．（2022·重庆·中考真题）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花
的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花
糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之
比为_________．
21．（2021·重庆·中考真题）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也
为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，
C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你
音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，
3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为
该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为__________元．
