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第五章 二元一次方程组（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．对于方程 ，用y的代数式表示x，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数．熟练掌握相关运算方法，是解题的关键．移项，将
的系数化为1，即可得解．
【详解】解： ，
移项，得： ，
将 的系数化为1，得： ．
故选：A．
2．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的定义问题．在解决定义问题的时候特别要注意所有方程都必
须是整式方程，否则就不是二元一次方程组．
二元一次方程组是指含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的两个整式方程所组成的一组方
程，叫二元一次方程组．据此判断即可．
【详解】解：A、第一个方程不是二元一次方程，故不是，不符合题意；
B、第二个方程不是整式方程，故不是，不符合题意；
C、含有3个未知数，故不是，不符合题意；
D、是二元一次方程组，符合题意；
故选：D．
3．已知 是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，掌握方程含有2个未知数，且每个未知数的系数不等于0
且次数等于1是解题的关键．
根据二元一次方程的定义得到关于m、n的方程组求解即可．
【详解】解：∵ 是关于x、y的二元一次方程，
∴ ，解得： ．
故选D．
4．在① ，② ，③ ，④ 中，解是 的有（ ）
A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程组的解．将 代入各方程组，验证是否每个方程均成立，即可得出答
案．
【详解】解：①
将 代入第一个方程， ，成立，
将 代入第二个方程， ，成立，
的解是 ；
②
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司将 代入第一个方程， ，不成立，
的解不是 ；
③
将 代入第一个方程， ，不成立，
的解不是 ；
④
将 代入第一个方程， ，成立，
将 代入第二个方程， ，成立，
的解是 ；
综上可知，解是 的有①和④，
故选：C．
5．《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡
适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，
每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一
起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重 斤，一只燕子重 斤，则可得方程组为
（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系式解题关键．
设一只雀重 斤，一只燕子重 斤，根据“5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样
重，如果把他们合到一起，总共1斤”，可得二元一次方程组，即可选出答案．
【详解】解：设一只雀重 斤，一只燕子重 斤，则可得方程组为： ，
故选：B．
6．若小明在解关于x、y的二元一次方程组 时，得到了正确结果 ，则♣、♥的值分别是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解求参数，把方程组中的两个方程相加可消去
y，进而解方程求出x的值，即可得到 的值，再把x、y的值代入方程组中的对应方程中求出 的值即可．
【详解】解：
得： ，解得 ，即 ，
∴原方程组的解为 ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
7．如图，正方形 由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个
大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形 的面积
是（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．16 B．20 C．25 D．36
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为 ，宽为
，根据图形中大小长方形长与宽之间的关系，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出a，b
的值，再利用正方形的面积公式可求出结论．
【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b，则大长方形的长为 ，宽为 ，
依题意，得： ，
解得： ，
∴ ．
故选：A．
8．已知一个关于 的方程组 的解为 ， 则 的值为( )
A．5，1 B．1，5 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解解的概念，把解代入方程组是解题的关键．根据题意把解
代入方程组，进而转化为关于 的二元一次方程组，解出方程组即可．
【详解】解：∵关于 的方程组 的解为 ，
∴把 代入 ，得 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解得 ，
故选：A．
9．已知 是整数，方程组 有正整数解，则 的值为（ ）
A．4 B． C． D．4或5
【答案】C
【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整数解问题，利用加减消元法求得 ，结合题干已知
即可列出方程 或 或 或 ，解得m，求得对应的x和y验证即可．
【详解】解： ，
得 ，即 ，
∵ 是整数，方程组有正整数解，
∴ 或 或 或 ，
解得 或 （舍去）或 或 （舍去），
当 时， ，代入 ，解得 （符合题意），
当 时， ，代入 ，解得 （符合题意），
综上， ．
故选：C．
10．当实数 ， 满足 时，称点 为和谐点，若以关于 ， 的方程组 的解为
坐标的点 为和谐点，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题考查解二元一次方程组、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的
值．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】解：∵ ，
解得 ．
∴ ．
点 为和谐点，
∴ ， ．
又 ，
∴ ．
∴ ，
故答案选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知关于x，y的二元一次方程组 则 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，将方程组中两个方程相加即可得解．
【详解】解： ，
得 ，
故答案为：5．
12．已知关于 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查二元一次方程组的求解，先联立方程组中的第一个方程与已知条件 组成新的方
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司程组，求出 和 的值，再将 和 的值代入第二个方程求出 的值．
【详解】解：∵方程组 的解满足 ③，
∴①和③组成新的方程组为 ，解得 ，
将 代入②，得 ．
故答案为：4．
13．已知 是关于x，y的二元一次方程组 的解，则 的值为 ．
【答案】15
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，代数式求值．
把 代入方程组 ，得出关于a，b的方程组 ，再根据加减消元法解方程组
求解即可．
【详解】解：把 代入方程组 ，
得： ，
得： ，
解得 ，
把 代入①得 ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：15．
14．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、
图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，
根据寻找出的关系，可列方程组为 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【答案】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据每行、每列及对角线上的三个数之和都相等，
即可列出关于 ， 的二元一次方程组，此题得解，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关
键．
【详解】解： 第一列与对角线上的三个数之和相等，
∴ ；
第二行与第三列上的三个数之和相等，
∴ ．
根据题意可列出方程组 ，
故答案为： ．
15．若关于 ， 的二元一次方程组 的解是 ，关于 ， 的二元一次方程组
的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，设 ，可得 ，进而根据题意得到关
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司于s、t的二元一次方程组 的解是 ，则 ，解方程组即可得到答案．
【详解】解：设 ，
∵ ，
∴ ．
∵关于 ， 的二元一次方程组 的解是 ，
∴关于s、t的二元一次方程组 的解是 ．
∴ ．
解得 ，
∴关于 ， 的二元一次方程组 的解是 ．
故答案为： ．
16．已知关于 ， 的二元一次方程组 ，给出下列结论中正确的是 ．
当这个方程组的解 ， 的值互为相反数时， ； 当 时，方程组的解也是方程
① ②
的解； 无论 取什么实数， 的值始终不变； 若用 表示 ，则
③ ④
【答案】
①③④
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目
中的各个结论是否成立．根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答
本题．
【详解】解：
当这个方程组的解 ， 的值互为相反数时，
即 ，
两方程相加，得 ，
，
解得 ；故 正确；
当 时，原方程组可化简为
解得
方程 ，
左边可化为： ，
右边可化为： ，
所以左边 右边，
故 错误；
可得： ，
即 ，
所以无论 取什么实数， 的值始终为 ，故 正确；
由 知 ，
，故 正确；
故答案为 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．解方程组：
(1) （用代入法） (2) （用加减法）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了代入法和加减法解二元一次方程组等知识．
（1）把方程②变形为 ，把③代入①解得 ，把 代入③得 ，即可求解；
（2） 得 ， 得 ， 解得 ，
把 代入②解得 ，即可求解．
【详解】（1）解：
由②得 ，
把③代入①得 ，
解得 ，
把 代入③得 ，
∴方程组的解为 ；
（2）解：
得 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司得 ，
得 ，
解得 ，
把 代入②得 ，
解得 ，
∴方程组的解为 ．
18．解方程组： 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确解法．
解：方程①去分母，得 ，即 ．③
③＋②，得 ，解得 ．
把 代入②，得 ，解得 ．
所以原方程组的解为
【答案】不正确，正确解法见解析
【分析】本题考查了解二元一次方程组．
根据马虎去分母时方程右边未乘以 可知马虎的解法不正确．方程①去分母，然后根据加减消元法计算即
可．
【详解】解：不正确．方程①去分母，得 ，即 ．③
③+②，得 ，解得 ．
把 代入②，得 ，解得 ．
所以原方程组的解为
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司19．已知关于 的方程组 与 有相同的解，
(1)求此相同的解；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2) ，
【分析】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程组的解，把只含 的两个方程联立，求出
的值是解题的关键．
（1）把只含 的两个方程联立，可求出 的值；
（2）将 的值代入其余的两个方程，得到关于 的方程组，解方程组求得 的值．
【详解】（1）解： 已知关于 的方程组 与 有相同的解，
与 有相同的解，
解 ，得到 ，
故相同的解为 ；
（2）解：将 代入 ，
得到 ，
解得
， ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司20．已知关于x，y的方程组
(1)证明：无论实数m取何值，方程 总有一个公共解；
(2)若方程组的解满足 ，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，二元一次方程的解，掌握解二元一次方程
组的步骤是关键．
（1）先将二元一次方程化简为 ，可得当 时， ，即可求解；
（2）先得到二元一次方程组 ，求出x，y的值，再代入 计算即可．
【详解】（1）解： ，
整理得： ，
∴当 时， ，
此时 ，
∴无论实数m取何值，方程 总有一个公共解；
（2）解： 方程组的解满足 ，
可得方程组 ，
解得： ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司将 代入 ，得
，
解得：
21．已知关于x，y的二元一次方程组 ．
(1)若方程组的解满足 ，求m的值；
(2)无论数m取何值，方程 总有一个固定的解，请求出这个解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组，掌握代入消元法是解题的关键．
（1）根据 可得 ，代入①求出 与 的解，然后将解代入②即可求出 ；
（2）无论数 取何值，该方程总有一个固定的解．这意味着解必须使含 的项不影响等式，即 的系数
必须为0，由此求解．
【详解】（1）解： ，
，
把 代入 得：
，
解得： ，
，
把 代入 得：
，
解得：
（2）解： ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司,
无论数m取何值，方程 总有一个固定的解，
，解得：
固定解为： ．
22．阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数
式的值．如以下问题：已知实数x、y满足 ， ，求 和 的值．本题常规思路
是将 ①， ②联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思
路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数
式的值，如由① ②可得 ，由① ② 可得 ．这样的解题思想就是通常所说的“整
体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组 ，则 ___， __；
(2)试说明在关于x、y的方程组 中，不论a取什么实数， 的值始终不变；
(3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买5支铅笔、9块橡皮、1
本笔记本共需28元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需多少元？
【答案】(1) ，3，
(2)见解析；
(3)14；
【分析】本题主要考查了运用整体思想求代数式的值，解题的关键是找到合适的整体式子；
（1）求 时，可以把两个二元一次方程直接相减；求 可以把两个二元一次方程直接相加，再化简
即可解决问题；
（2）要求不论a取什么实数， 的值始终不变，即想办法把a消去，得到的式子可以保证 的值不
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司变；
（3）先设出未知数，列出方程，再运用整体思想解决问题即可；
【详解】（1）解：∵ ，
得： ，
得：
则 ；
（2）解： ，
得： ③，
∴ 得：
，
故不论a取什么实数， 的值始终不变；
（3）解：设购买1支铅笔为x元，1块橡皮为y元，1本笔记本为z元；
则
得： ，
∴购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需14元.
23．国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文创店老板打算从批发商处
购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种手办进行试销．
其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”手办贵5元．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价；
(2)受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手
办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价
比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低 ，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进
套“太乙真人”手办， 套“哪吒”手办．
①试推算 与 应满足的数量关系；
②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第二批手办可获
得利润的最大值．
【答案】(1)每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元
(2)① ；②10860元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用以及一次函数的应用，解决本题的关键
是找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出a和b应满足的数量关系，再
根据各数量关系找出w关于a的函数关系式．
（1）设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元，利用进货总价 进货单价 进
购数量，结合每套“敖丙”手办的 进价比每套“哪吒”手办的进价贵5元，可列出二元一次方程组，解之
即可得出结论；
（2）①利用进货总价 进货单价 进购数量，可列出关于a，b的二元一次方程，整理后，可得出a与b应
满足的关系；
②设销售完第二批手办可获得的利润为w元，利用总利润 每套利润 购进数量，可找出w关于a的函数
关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每套“哪吒”手办的进价为x元，每套“敖丙”手办的进价为y元，
根据题意得： ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解得 ，
答：每套“哪吒”手办的进价为15元，每套“敖丙”手办的进价为20元；
（2）解：①第一批手办的销售额为 元，
第二批每套“哪吒”手办的进价为 元，
第二批每套“敖丙”手办的进价为 元，
根据题意得： ，
整理可得： ；
②设销售完第二批手办可获得的利润为w元，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴w随a的增大而减小，
∵a与b均为正整数， ，且 ，
∴a的最小值为132，
∴当 时，w取得最大值，最大值为 元，
∴销售完第二批手办可获得利润的最大值为10860元．
24．阅读下列材料：
小亮同学在学习二元一次方程组时遇到了这样的一个问题：解方程组 ，小亮发现，
如果把方程组中的 ， 看成一个整体，通过换元，可以解决问题，以下是他的解题过程：
解：令 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司原方程组化为 ， 解得
把 代入 ，得 ，解得
所以原方程组的解为
(1)运用上述方法解方程组
(2)直接写出方程组 的解为_______．
(3)在（2）的条件下 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)1或3
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，实数的运算，求一个数的算术平方根和立方根，熟知解二元
一次方程组的方法是解题的关键．
（1）仿照题意利用换元法解方程组即可；
（2）仿照题意利用换元法解方程组得到 的值，进而求出x、y的值即可；
（3）根据（2）所求求出a、b的值即可得到答案．
【详解】（1）解：令 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司原方程组可化为 ，
解得 ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：令 ，
原方程组可化为 ，
解得 ，
∴ ，
解得 ；
（3）解：∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 或 ．
25．对于关于 的二元一次方程组 （其中 是常数），给出如下定义：
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司若该方程组的解满足 ，则称这个方程组为“郡一”方程组．
(1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）；
① ② ③ ．
(2)若关于 的方程组 是“郡一”方程组，求 的值；
(3)若对于任意的无理数 ，关于 的方程组 都是“郡一”方程组，求 的值．
【答案】(1) /
②③③②
(2) 或
(3) 或
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．
（ ）根据“郡一”方程组的定义，逐项判断即可求解；
（ ）先求出原方程组的解，再代入 ，即可求解；
【详解】（1）解：① ，
解得 ，
此时 ，
不是“郡一”方程组；
② ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解得 ，
此时 ，
是“郡一”方程组；
③ ，
解得 ，
此时 ，
是“郡一”方程组；
故答案为：②③；
（2） ，
① ，得 ③，
②-③，得 ，
解得 ，
把 代入①，得 ，
所以方程组的解是 ，
关于 的方程组 是“郡一”方程组，
，
即 ，
解得 或 ；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（3）若对于任意的无理数 ，关于 ， 的方程组 都是“郡一”方程组，
则 ，
联立得： ，
解得 或 ，
把 代入 中，
得 ，
，
为任意无理数，
，
解得： ，
；
把 代入 中，
得 ，
，
为任意无理数，
，
解得： ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司；
综上所述， 的值为 或 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
