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第五章 二元一次方程组（高效培优单元测试·提升卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．对于方程 ，用y的代数式表示x，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 是关于x、y的二元一次方程，则m、n的值是（ ）
A． B． C． D．
4．在① ，② ，③ ，④ 中，解是 的有（ ）
A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．②和④
5．《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡
适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，
每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一
起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重 斤，一只燕子重 斤，则可得方程组为
（ ）
A． B． C． D．
6．若小明在解关于x、y的二元一次方程组 时，得到了正确结果 ，则♣、♥的值分别是
（ ）
A． B． C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司7．如图，正方形 由四个相同的大长方形，四个相同的小长方形以及一个小正方形组成，其中四个
大长方形的长和宽分别是小长方形长和宽的2倍，若中间小正方形的面积为1，则大正方形 的面积
是（ ）
A．16 B．20 C．25 D．36
8．已知一个关于 的方程组 的解为 ， 则 的值为( )
A．5，1 B．1，5 C． D．
9．已知 是整数，方程组 有正整数解，则 的值为（ ）
A．4 B． C． D．4或5
10．当实数 ， 满足 时，称点 为和谐点，若以关于 ， 的方程组 的解为
坐标的点 为和谐点，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知关于x，y的二元一次方程组 则 ．
12．已知关于 的二元一次方程组 的解满足 ，则 的值为 ．
13．已知 是关于x，y的二元一次方程组 的解，则 的值为 ．
14．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，
根据寻找出的关系，可列方程组为 ．
15．若关于 ， 的二元一次方程组 的解是 ，关于 ， 的二元一次方程组
的解是 ．
16．已知关于 ， 的二元一次方程组 ，给出下列结论中正确的是 ．
当这个方程组的解 ， 的值互为相反数时， ； 当 时，方程组的解也是方程
① ②
的解； 无论 取什么实数， 的值始终不变； 若用 表示 ，则
③ ④
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．解方程组：
(1) （用代入法） (2) （用加减法）
18．解方程组： 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确解法．
解：方程①去分母，得 ，即 ．③
③＋②，得 ，解得 ．
把 代入②，得 ，解得 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以原方程组的解为
19．已知关于 的方程组 与 有相同的解，
(1)求此相同的解；
(2)求 的值．
20．已知关于x，y的方程组
(1)证明：无论实数m取何值，方程 总有一个公共解；
(2)若方程组的解满足 ，求m的值．
21．已知关于x，y的二元一次方程组 ．
(1)若方程组的解满足 ，求m的值；
(2)无论数m取何值，方程 总有一个固定的解，请求出这个解．
22．阅读感悟：有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的一个代数
式的值．如以下问题：已知实数x、y满足 ， ，求 和 的值．本题常规思路
是将 ①， ②联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案．常规思
路计算量比较大，其实本题还可以仔细观察两个方程未知数系数之间的关系，通过适当变形整体求得代数
式的值，如由① ②可得 ，由① ② 可得 ．这样的解题思想就是通常所说的“整
体思想”．
解决问题：
(1)已知二元一次方程组 ，则 ___， __；
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)试说明在关于x、y的方程组 中，不论a取什么实数， 的值始终不变；
(3)某班级组织活动购买小奖品，买3支铅笔、5块橡皮、1本笔记本共需21元，买5支铅笔、9块橡皮、1
本笔记本共需28元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本笔记本共需多少元？
23．国产动画《哪吒》系列电影的卓越品质给无数观众留下了深刻的印象．某文创店老板打算从批发商处
购进“哪吒”“敖丙”和“太乙真人”三种手办，第一批只购进了“哪吒”和“敖丙”两种手办进行试销．
其进货单如图所示，其中部分数据被墨水覆盖，已知每套“敖丙”手办的进价比每套“哪吒”手办贵5元．
(1)求出每套“哪吒”手办和每套“敖丙”手办的进价；
(2)受电影热度影响，第一批购进的两种手办全部售完，老板将第一批手办的销售额全部用于购进第二批手
办，已知三种手办都需要购进，且购进“哪吒”和“敖丙”手办的数量相等．但每套“哪吒”手办的进价
比原来提高20%，每套“敖丙”手办的进价比原来降低 ，每套“太乙真人”手办的进价不变，若购进
套“太乙真人”手办， 套“哪吒”手办．
①试推算 与 应满足的数量关系；
②若三种手办的售价不变，当“太乙真人”手办的数量不少于130套时，直接写出销售完第二批手办可获
得利润的最大值．
24．阅读下列材料：
小亮同学在学习二元一次方程组时遇到了这样的一个问题：解方程组 ，小亮发现，
如果把方程组中的 ， 看成一个整体，通过换元，可以解决问题，以下是他的解题过程：
解：令 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司原方程组化为 ， 解得
把 代入 ，得 ，解得
所以原方程组的解为
(1)运用上述方法解方程组
(2)直接写出方程组 的解为_______．
(3)在（2）的条件下 ， ，求 的值．
25．对于关于 的二元一次方程组 （其中 是常数），给出如下定义：
若该方程组的解满足 ，则称这个方程组为“郡一”方程组．
(1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）；
① ② ③ ．
(2)若关于 的方程组 是“郡一”方程组，求 的值；
(3)若对于任意的无理数 ，关于 的方程组 都是“郡一”方程组，求 的值．
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