文档内容
第五章 二元一次方程组（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题考查二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含未知数项的次数都是1的整式方程叫做二
元一次方程．
根据定义依次判断即可．
【详解】解：A、方程中含有分式，不是整式方程，故此选项错误；
B、方程中含有3个未知数，不符合题意，故此选项错误；
C、含有2个未知数，整理后含未知数的次数的项的最高次数是2，不符合题意，故此选项错误；
D、符合二元一次方程定义，故此选项正确．
故选D．
2． 是下面哪个二元一次方程的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程的解，使二元一次方程成立的未知数的值就是方程的解，据此把 代
入各个选项的方程，验证即可．
【详解】解：A、把 代入方程 ，得左边 右边，
∴ 是方程 的解；
1 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司B、把 代入方程 ，得左边 ，右边 ，左边≠右边，
∴ 不是方程 的解；
C、把 代入方程 ，得左边 ，右边 ，左边≠右边，
∴ 不是方程 的解；
D、把 代入方程 ，得左边 右边，
∴ 不是方程 的解．
故选：A．
3．用代入消元法解方程组 较为简便的方法是（ ）
A．先把①变形 B．先把②变形
C．可先把①变形，也可先把②变形 D．把①②同时变形
【答案】B
【分析】本题考查了解二元一次方程组的解法：代入法，根据代入法分析即可得到答案，正确掌握解法并
根据每个方程组的特点选择恰当的解法是解题的关键．
【详解】解：根据方程组的特点，②中 的系数为1，故将②变形为用 的代数式表示 ，再代入①计算更
简便．
故选： ．
4．二元一次方程 在正整数范围内的解有（ ）组．
A．3 B．4 C．5 D．无数
【答案】C
【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解．由二元一次方程的特点逐一写出方程的正整数解从而可
2 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司得答案．
【详解】解：∵ ， 为正整数， ，
∴ 或 或 或 或 ，
∴正整数范围内的解有5个．
故选：C．
5．若 ，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．7
【答案】A
【分析】本题考查了加减法解二元一次方程组的应用，用方程①减去方程②即可求解﹒
【详解】解：
得 ﹒
故选：A
6．甘老师将一摞笔记本分给若干同学，每个同学 5 本，则剩下 8 本；每个同学 8 本，又差了 7 本，
若设有 x 个同学，y 本笔记本，则可得方程组（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．
设有 个同学， 本笔记本，根据题意列方程组即可．
【详解】解：设有 个同学， 本笔记本，
根据题意可得 ．
故选：A．
7．若方程组 的解 与 相等，则 的值为（ ）
3 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．1 B．0 C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查的是解二元一次方程组，求得x、y的值是解题的关键．
根据题意可得 ，可求出x，y的值，再把x，y的值代入 ，即可求解．
【详解】解：∵方程组 的解 与 相等，
∴ ，
解得： ，
把 代入 得：
，
解得： ．
故选：C
8．已知 是关于 的二元一次方程组 的一组解，则 的值为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．将
代入方程组求出 的值，再代入计算即可得．
【详解】解：∵ 是关于 的二元一次方程组 的一组解，
∴ ， ，
4 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ ，
∴ ，
故选：A．
9．规定 ，如 ．如果 同时满足 ，那么
的值分别为（ ）
A． B． C．4，5 D．5，4
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．
由新定义得： ，利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：由新定义，得
①-②，得
解得：
把 代入②，得
解得：
∴方程组的解为
故选： C．
10．已知关于x，y的方程组 给出下列结论：① 是方程组的解；②无论a 取何值，
x，y的值都不可能互为相反数；③当 时，方程组的解也是方程 的解；④x，y都为自然数
的解有4个．其中不正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
5 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【分析】把a看作已知数表示出方程组的解，利用二元一次方程解的定义，以及相反数性质判断即可．
此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解．
【详解】解：
得： ，
即 ，
把 代入①得： ，
当 ，即 时， ，
把 代入 ，
此时 ，
∴ ，不是方程组的解；选项①错误；
假设x与y互为相反数， ，
无解，选项②正确；
当 时，代入 ， 中，
解得 ，
代入 中，成立，
∴也是方程 的解，选项③正确；
由x与y都为自然数，
∴ ， 都为自然数，
∴ ，
解得 ，
， 为整数，故 和 为偶数，
为奇数，
6 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ ，
自然数解有4对，选项④正确．
∴不正确结论的个数为1个；
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知 是关于 、 的二元一次方程，则 ．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义求出 、 的值后即可求解．
【详解】解： 是关于 、 的二元一次方程，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程的定义，解一元一次方程，已知字母的值，求代数式的值，解
题关键是熟练掌握二元一次方程的定义．
12．已知： ，则 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，有理数的乘方运算，根据非负性，列出方程组，求出
的值，再进行乘方运算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ；
故答案为：1．
7 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司13．已知关于 的方程组 ，若 ，则 的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键．把方程组中的两个方程
相减得到 ，则 ，再结合 得到关于 的方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：
得， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
解得 ．
故答案为：1．
14．如图，直线 与 的图象交于点 ，则关于x，y的二元一次方程组 的解是
．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐
标．
利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题即可．
8 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【详解】解：∵一次函数 与 的图象的交点坐标为 ，
∴关于x，y的二元一次方程组 的解是 ，
故答案为： ．
15．若关于x，y的方程组 的解是 则关于x，y的方程组 的解是
．
【答案】
【分析】首先将 变形得 ，然后由已知条件即可得出
，从而得出答案．
【详解】解：原式变形可得 ，
令 ，
则化简为： ，
方程 和 为系数完全相同的二元一次方程组，即同解，
9 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是通过变形换元得出两个方程组的解相同，从而得出
答案．
16.定义：在平面直角坐标系中，若 ，称点 与点 互为友好点．若直线l上存在
友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握该知识点是解题的关键．先根据“友好点”
的定义找出友好点坐标之间的关系，设出直线上一点及其友好点，得出直线的斜率，再结合直线与坐标轴
围成三角形面积求出直线表达式．
【详解】设点 在直线上，其友好点 也在直线l上，
设直线l的解析式为 ，将点 和 代入解析式得：
，解得 ，
∴直线l的表达式为 ，
当 时， ，即直线l与y轴交点为 ，
当 时， ，解得 ，即直线l与x轴交点为 ，
∴ ，
∴ ，
10 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴直线的表达式 或 ．
故答案为： 或 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．解方程组：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
（1）利用代入法进行求解即可；
（2）先将原方程组变形为 ，再利用加减消元法进行运算即可．
【详解】（1）解： ，
将②代入①得， ，
解得： ，
将 代入②得， ，
解得： ，
∴原方程组的解为： ；
11 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）解：原方程组可变形为 ，
得： ，
解得 ，
将 代入 得 ，
则该方程组的解为 ．
18．已知方程组 和方程组 有相同的解，求a，b的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解二元一次方程组的解的定义，掌
握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．利用加减消元法解方程组 得到x、y的值，再
把x、y的值代入方程组求解即可得到答案．
【详解】解：解方程组 ，得 ．
所以 ，
解得： ．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ，直线 与 交于点
，直线 与y轴的交点为B．
12 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求直线 与 的解析式：
(2)求 的面积．
【答案】(1) ；
(2)8
【分析】（1）把点 代入直线 ，确定b；把点 ， 分别代入 解
答即可．
（2）根据勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，解答即可．
本题考查了运用待定系数法求直线解析式以及直线围成图形面积问题，勾股定理的逆定理，其中涉及了一
次函数的性质，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：把点 代入直线 ，得 ，
解得 ，
故直线 ；
把点 ， 分别代入 ，得 ，
解得 ，
故 ．
（2）解：由 ，得 ，
13 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司由点 ， ，得 ， ，
，
故 ，
故 是直角三角形，
故 的面积为： ．
20．2025年春节假日期间， 万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买
A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需 元，购买2千克A
种食材和1千克B种食材共需 元．
(1)求A，B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共 千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，
B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
【答案】(1) 元； 元
(2)A种购买 千克，B种购买 千克； 元
【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，最大利润问题(一次函数的实际应用)，解题
关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）设A种食材的单价为 元/千克，B种食材的单价为 元/千克，根据题中的等量关系列出方程组求解；
（2）设A种食材购买 千克，则B种食材购买 千克，总费用为 元，列出一次函数关系式，再根
据一次函数的增减性求出最值．
【详解】（1）解：设A种食材的单价为 元/千克，B种食材的单价为 元/千克．
根据题意，得 ，
解得 ，
A种食材的单价是每千克 元，B种食材的单价是每千克 元．
（2）解：设A种食材购买 千克，则B种食材购买 千克，总费用为 元．
根据题意，得 ．
14 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，
．
，
随 的增大而增大．
当 时， 有最小值为： （元）．
A种食材购买 千克，B种食材购买 千克时，总费用最少，为 元．
21．茶叶促销活动前后， 两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知
促销时A茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与B茶叶打折前的价格相同．
A茶叶销量 B茶叶销量 销售额
打折前 300 200 6900
打折后 500 400 9360
(1)每两 茶叶的原价分别是多少？
(2)B茶叶打几折销售？
(3)促销期间，王阿姨带了96元要买A茶叶和打折后为8元的C茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若
所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案．
【答案】(1)每两A茶叶的原价为15元，每两B茶叶的原价为12元
(2)七折
(3)三种购买方案，方案一：购买6两A茶叶和3两C茶叶；方案二：购买4两A茶叶和6两C茶叶；方案
三：购买2两A茶叶和9两C茶叶．
【分析】（1）通过设A、B茶叶原价，依据打折前的销量与销售额关系以及A茶叶打折后价格和B茶叶打
折前价格的关系列方程组求解．
（2）设B茶叶折扣，根据打折后的销量与销售额关系列方程求解．
（3）设购买A、C茶叶的数量，依据花费金额列方程，结合正整数条件确定购买方案．
本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，熟练掌握根据题意找出等量关系并列出方程
（组）是解题的关键．
【详解】（1）解：设每两A茶叶的原价为 元，每两B茶叶的原价为 元，
由题意，得
15 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司解得
所以每两A茶叶的原价为15元，每两B茶叶的原价为12元．
（2）解：设B茶叶打 折销售，
由题意，得 ，
解得 ，
所以B茶叶打七折销售．
（3）解：设王阿姨购买A茶叶 两，C茶叶 两，
由题意，得 ，
整理，得 ．
因为 均为正整数，
所以 可取
所以王阿姨共有三种购买方案，方案一：购买6两A茶叶和3两C茶叶；方案二：购买4两A茶叶和6两
C茶叶；方案三：购买2两A茶叶和9两C茶叶．
22．【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，若点 是线段 的中点，则点
的坐标为 ．如： ，则 的中点 的坐标为 ，即点 的坐
标为 ．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)已知 ，则线段 的中点 的坐标是______；
(2)若点 ，线段 的中点的坐标为 ，求点 的坐标（用含 的式子表示）；
(3)已知点 ，若线段 的中点与线段 的中点重合，求点 的坐标．
【答案】(1) ；
16 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(2)点 的坐标为 ；
(3)点 的坐标为 ．
【分析】本题考查了坐标中点公式，二元一次方程组的应用，掌握坐标中点公式是解题关键．
（1）根据坐标中点公式求解即可；
（2）设点 的坐标为 ，根据坐标中点公式列方程组求解即可；
（3）先根据中点坐标公式得出线段 和 的中点坐标，再根据中点中和列方程组求解即可．
【详解】（1）解： ，
线段 的中点 的坐标是 ，即 ,
故答案为： ；
（2）解：设点 的坐标为 ，
点 ，线段 的中点的坐标为 ，
，解得： ，
即点 的坐标为 ；
（3）解：点 ，
线段 的中点坐标为 ，线段 的中点坐标为 ，
线段 的中点与线段 的中点重合，
，解得：
点 的坐标为 ．
17 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司23．如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为 克，右盘放有一些砝码，每个砝码的
质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态．
(1)若 ，求天平处于平衡状态时x的值；
(2)若一个二元一次方程的解m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程 的
正整数解为 ，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值；
(3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正
整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求该方程的所有正整数解．
【答案】(1)
(2)
(3)每本笔记本为 元，每支圆珠笔为 元；或每本笔记本为 元，每支圆珠笔为 元
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，正确列出二元一次方程是解此题的关键．
（1）由题意可得 ，代入 计算即可得解；
（2）通过题意得 ，整理可得 ，结合 、 为正整数，求解即可；
（3）设每本笔记本为a元，每支圆珠笔为b元，通过题意得 ，整理可得 ，结合a
和b都是正整数，求解即可．
【详解】（1）解：当天平平衡时，则： ，
即： ，
当 时，得： ，
解得： ；
18 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）解：通过题意，得： ，
整理可得： ，
∵ 、 为正整数，
∴ ，
∴天平处于平衡状态下的x，y的正整数值是 ．
（3）解：设每本笔记本为a元，每支圆珠笔为b元，
通过题意，得： ，
整理可得： ，
∵a和b都是正整数，
∴ 或 ，
故每本笔记本为 元，每支圆珠笔为 元；或每本笔记本为 元，每支圆珠笔为 元．
24．问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组： ．
观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的
看成一个整体，把 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设 ， ，则原方程组可化为________，解关于 ， 的方程组，得 ，所以
，解方程组，得________．
19 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组： ．
拓展延伸：（3）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，则关于 ， 的方程组
的解是________．
【答案】（1） ， ；（2） （3）
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键．
（1）根据换元法和加减消元法可得答案；
（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再
解方程组可得答案；
（3）将所求方程组变形，然后得出 ，进而可得答案．
【详解】解：（1）设 ， ，
则原方程组可化为 ，解得
解得
故答案为： ， ．
（2）设 ， ，
20 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则原方程组可化为 ，解得 ．
解得 ．
（3）方程组 可化为 ．
关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，
解得 ．
故答案为：
25．定义：如果关于x，y的二元一次方程 为常数且 满足 ，我们
就称方程 为“阶梯方程”．
(1)下列方程是“阶梯方程”的是 ．
① ② ③ ④
(2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解．
(3)若方程组 的解为整数，求整数 的值．
【答案】(1)③④
(2)
(3)2或3
【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤，
21 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司理解新定义的含义．
（1）根据已知条件中的新定义，求出 ， ，然后判断即可；
（2）根据已知条件将b和c用a表示出来，转换成关于x，y的方程组，解方程组即可；
（3）根据已知条件中的新定义，把方程 换成含有a，x，y的方程，然后解方程组求出x，y，再
根据方程组的解为整数，判断a的整数值即可．
【详解】（1）解：① ，
，
，
∴ ，
∴ 不是“阶梯方程”，故①不符合题意；
② ，
，
，
∴ ，
∴ 不是“阶梯方程”，故②不符合题意；
③ 化为： ，
，
，
∴ ，
∴ 是“阶梯方程”，故③符合题意；
④ ，
，
， ，
∴ ，
∴ 是“阶梯方程”，故④符合题意，
故答案为：③④；
（2）解：∵ ，
22 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ ，
∴ 变为： ，
，
，
∵等式a为任意数时都成立，
∴ ，
由②得： ，
把 代入①得： ，
∴这组解为： ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴方程组化为 ，
由②得： ，③代入①得：
，
，
，
，
，
把 代入③得： ，
∵y为整数，
∴ 或 ，
解得： 或 或2或3，
∵ ， ，
∴ 或2或3，
23 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当 时， ，此情况不存在；
当 时， ；
当 时， ；
∴a的整数值为：2或3．
24 / 24
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司
