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第五章 二元一次方程组（高效培优单元测试·强化卷）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2． 是下面哪个二元一次方程的解（ ）
A． B． C． D．
3．用代入消元法解方程组 较为简便的方法是（ ）
A．先把①变形 B．先把②变形
C．可先把①变形，也可先把②变形 D．把①②同时变形
4．二元一次方程 在正整数范围内的解有（ ）组．
A．3 B．4 C．5 D．无数
5．若 ，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C． D．7
6．甘老师将一摞笔记本分给若干同学，每个同学 5 本，则剩下 8 本；每个同学 8 本，又差了 7 本，
若设有 x 个同学，y 本笔记本，则可得方程组（ ）
A． B． C． D．
7．若方程组 的解 与 相等，则 的值为（ ）
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．1 B．0 C．2 D．4
8．已知 是关于 的二元一次方程组 的一组解，则 的值为（ ）
A．3 B． C．5 D．
9．规定 ，如 ．如果 同时满足 ，那么
的值分别为（ ）
A． B． C．4，5 D．5，4
10．已知关于x，y的方程组 给出下列结论：① 是方程组的解；②无论a 取何值，
x，y的值都不可能互为相反数；③当 时，方程组的解也是方程 的解；④x，y都为自然数
的解有4个．其中不正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知 是关于 、 的二元一次方程，则 ．
12．已知： ，则 的值为 ．
13．已知关于 的方程组 ，若 ，则 的值为 ．
14．如图，直线 与 的图象交于点 ，则关于x，y的二元一次方程组 的解是
．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司15．若关于x，y的方程组 的解是 则关于x，y的方程组 的解是
．
16.定义：在平面直角坐标系中，若 ，称点 与点 互为友好点．若直线l上存在
友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．解方程组：
(1)
(2)
18．已知方程组 和方程组 有相同的解，求a，b的值．
19．如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 交于点 ，直线 与 交于点
，直线 与y轴的交点为B．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司(1)求直线 与 的解析式：
(2)求 的面积．
20．2025年春节假日期间， 万余名游客欢聚云台山，新春喜乐会年味足．焦作某知名小吃店计划购买
A，B两种食材制作小吃，以飨游客．已知购买1千克A种食材和2千克B种食材共需 元，购买2千克A
种食材和1千克B种食材共需 元．
(1)求A，B两种食材的单价；
(2)该小吃店计划购买两种食材共 千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的3倍，当A，
B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．
21．茶叶促销活动前后， 两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知
促销时A茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与B茶叶打折前的价格相同．
A茶叶销量 B茶叶销量 销售额
打折前 300 200 6900
打折后 500 400 9360
(1)每两 茶叶的原价分别是多少？
(2)B茶叶打几折销售？
(3)促销期间，王阿姨带了96元要买A茶叶和打折后为8元的C茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若
所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案．
22．【阅读理解】在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，若点 是线段 的中点，则点
的坐标为 ．如： ，则 的中点 的坐标为 ，即点 的坐
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司标为 ．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)已知 ，则线段 的中点 的坐标是______；
(2)若点 ，线段 的中点的坐标为 ，求点 的坐标（用含 的式子表示）；
(3)已知点 ，若线段 的中点与线段 的中点重合，求点 的坐标．
23．如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为 克，右盘放有一些砝码，每个砝码的
质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态．
(1)若 ，求天平处于平衡状态时x的值；
(2)若一个二元一次方程的解m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程 的
正整数解为 ，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值；
(3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正
整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求该方程的所有正整数解．
24．问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：
解方程组： ．
观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的
看成一个整体，把 看成一个整体，通过换元，可以解决问题．
设 ， ，则原方程组可化为________，解关于 ， 的方程组，得 ，所以
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司，解方程组，得________．
探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组： ．
拓展延伸：（3）已知关于 ， 的二元一次方程组 的解为 ，则关于 ， 的方程组
的解是________．
25．定义：如果关于x，y的二元一次方程 为常数且 满足 ，我们
就称方程 为“阶梯方程”．
(1)下列方程是“阶梯方程”的是 ．
① ② ③ ④
(2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解．
(3)若方程组 的解为整数，求整数 的值．
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