文档内容
专题 13 二元一次方程组特殊解的五类综合题型
目录
典例详解
类型一、整体法解二元一次方程组
类型二、换元法解二元一次方程组
类型三、消元法解二元一次方程组
类型四、构造二元一次方程组求解
类型五、二元一次方程组中的新定义问题
压轴专练
类型一、整体法解二元一次方程组
例1-1．如果关于未知数x和y的二元一次方程组 的解满足： ．那么关于未
知数 和 的二元一次方程组 的解满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，根据题意整理方程是解题的关键．
将方程 整理得 ，根据题意可得 即可求解．
【详解】解：将 两边同时除以2，得 ，
整理得， ，
∵关于未知数x和y的二元一次方程组 的解满足： ，
∴关于未知数 和 的二元一次方程组 的解满足 ，
即 ，
故选：D．
例1-2．阅读材料：解方程组 时，可由 得 ，然后再把 代入 ，得
，求得 ，再把 代入 ，求得 ，从而求得原方程组的解为 ，这种方法
被称为“整体代入法”.
请用上述方法解方程组：
【答案】
【分析】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是正确理解“整体代入法”．
由整体代入法和代入消元法，解方程组即可．
【详解】解：
由 得 ，把 代入 ，得 ，
解得， ，
把 代入 ，得 ，
解得， ，所以，原方程组的解为 ．
变式1-1．已知关于x，y的方程组 的唯一解是 ，则关于 ， 的方程组
的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，将方程组 变形为
，根据题意得出 ，从而求出方程组的解．观察方程组的结构特征得
出 是解题的关键．
【详解】解：∵方程组 可化为 ，
又∵关于x，y的方程组 的唯一解是 ，∴ ，
解得： ，
即关于 ， 的方程组 的解是 ．
故答案为： ．
变式1-2．阅读材料：
善于思考的小亮同学在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法．
解：将方程②变形为 ，即 ③，
把方程①代入③，得 ，解得 ；
把 代入方程①，得 ，所以方程组的解为 ．
请解决下列问题．
(1)请模仿小亮同学用“整体代换”法解方程组 ；
(2)已知 ， 满足方程组 ，求 的值．
【答案】(1) ；(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握“整体代换”法是解题的关键；
（1）利用整体代换法进行求解即可；
（2）把 看成一个整体，利用加减消元法解方程组即可．【详解】（1）解：
将方程②变形为 ，即 ③．
把方程①代入③，得 ， 解得 ．
把 代入方程①，得 ， 方程组的解为
（2）解：原方程组化为
① ② ，得： ，
．
类型二、换元法解二元一次方程组
例2．阅读探索：
材料一：解方程组 时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设 ，原方程组可化为 解得 ，即 ，解得 ；
材料二：解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程② ，变形为 ③，把方程①代入③得， ，则
；把 代入①得， ，所以方程组的解为： ；
根据上述材料，解决下列问题：(1)运用换元法解求关于 ， 的方程组： 的解；
(2)若关于 ， 的方程组 的解为 ，求关于 ， 的方程组
的解．
(3)已知 、 、 ，满足 ，试求y的值．
【答案】(1) ；(2) ；(3)
【分析】本题主要考查二元一次方程组的特殊解法，掌握“换元法”，“整体代换”是关键．
（1）根据题意，设 ，运用“换元法”求解即可；
（2）把 代入，结合所求方程组中相同字母的系数相同得到 ，由此即可求解；
（3）根据题意变形，即 ，代入求解即可．
【详解】（1）解：设 ，则原方程组变形得 ，
解得， ，∴ ，解得， ；
（2）解：关于 ， 的方程组 的解为 ，
∴ ，∴ ，解得， ；
（3）解：∵ ， ，∴ ，
∴ ，
解得， ．
变式2-1．用换元法解方程组 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握换元法解方程组是解答本题的关键．设 ， ，
方程组可化为 ，据此可得m、n的值，再代入计算即可．
【详解】解：设 ， ，
方程组可化为 ，解得 ，
∴ ，解得
变式2-2．若关于x，y的方程组 的解为 ，则方程组 的解为
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解法是解本题的关
键．
设 ， ，方程组变形后求出解得到m与n的值，进而求出x与y的值即可；【详解】解：设 ， ，则方程组 可化为 ，
∵关于x，y的方程组 的解为
∴ ，∴ ，
即 ，
故答案为： .
变式2-3．【阅读材料】解方程组 时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，
运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的 和 分别看作一个整体，设 ，
原方程组可变形为 ，解得 即 再解这个方程得 ．
这种解方程组的方法叫做整体换元法．
【知识应用】
（1）已知关于 的二元一次方 的解为 ，那么关于 的二元一次方程组
中 的值分别为多少，请求出来．
【知识迁移】
（2）用材料中的方法解二元一次方程组【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了用换元法解二元一次方程组，结合题目给出的示例，合理换元是解题的关键．
（1）设 ，原方程组可化为 ，根据 的解为 ，即可求
解；
（2）方程组可变形为 设 ，可得 即 解二元
一次方程即可．
【详解】解：（1）设 则原方程组可化为 ，
根据 的解为 ，可得： ，解得 ，即 ；
（2）方程组可变形为：
设 ，原方程可化为
解得： ，即 ，解得 ， 原方程组的解为
类型三、消元法解二元一次方程组
例3．阅读下列解方程组的方法，然后回答问题．
解方程组
解：由 ，得 ，即 ．③，得 ．④
，得 ，从而可得 ．
所以原方程组的解是
请你仿照上面的解法，解方程组：
【答案】
【分析】本题考查通过观察方程组系数特点，利用加减消元法解二元一次方程组，需严格按照题干示例的
方法进行求解．
两个方程相减，再乘以2，结合题干给出的方法求解即可．
【详解】解法一：
，得 ，
即 ．③
，得
．
把 代入③，得
．
所以原方程组的解为
解法二：
，得 ，即
，
所以 ．③
把③代入②，得
，解得 ．
把 代入③，得
．
所以原方程组的解为
变式3-1．在解二元一次方程组时，有些方程组直接用我们学过的“代入法”和“消元法”解决时计算量
较大，容易出错．数学兴趣小组经过探索研究，发现了下面两种解决二元一次方程组的新方法．
【整体代入法】例：解方程组 时，由①，得 ③，然后再将③代入②，得
，解得 ．将 代入③，得 ， 该方程组的解 ．
根据上面方法，解决下面问题：
(1)解方程组： ；
【轮换式解法】例：解方程组 时，
① ②，得 ， ③．
③ ，得 ④．
② ④，得 ，将 代入③，得 ．
该方程组的解是
根据上面方法，解决下面问题：
(2)解方程组： ．
【答案】(1) ；(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握题干提供的方法．（1）先求出 ，然后再把 代入 ，求出y的值，再求出x的值即可；
（2） 求出 ，得出 ，用 求出 ，把 代入 得
，即可得出方程组的解．
【详解】（1）解： ，
由①得： ，
把③代入②得： ，
解得： ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴不等式组的解集为： ；
（2）解： ，
得： ，
∴ 得： ，
得： ，
把 代入 得： ，
∴方程组的解为： ．
变式3-2．小明同学在解方程组 时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算
量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单：
得： ，即 ．
再 得： ，最后重新组成方程组 ，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方
程组的轮换对称解法．
(1)方程组 的解为___________；
(2)利用轮换对称解法解方程组 ．
【答案】(1) ；(2)
【分析】题目主要考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键．
（1）根据例题过程，利用加减消元法求解即可；
（2）仿照例题方法求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
得： ，
解得： ，
将 代入③得： ，
∴方程组 的解为 ，
故答案为： ；
（2） ，
，得 ，即 ③，
，得 ④，
，得 ，解得 ，
把 代入③，得 ，．
类型四、构造二元一次方程组求解
例4．已知 ， ， ， ， 中每一个数值只能取 ，0，1中的一个，且满足
， ，则 ， ， ， ， 中数值取0的个数是
．
【答案】829
【分析】本题考查的是解二元一次方程组．先设有p个x取1，q个x取 ，根据 ，
可得出关于p，q的二元一次方程组，求出p，q的值，进一步计算即可求解．
【详解】解：设有p个x取1，q个x取 ，
则有 ，
解得 ，
∴ ．
∴ ， ， ， ， 中数值取0的个数是829．
故答案为：829．
变式4-1．设 ， ， ， ， 是从 ， ， 这三个数取值的一组数，若
， ，则 ， ， ， ，
中为0的个数为 个．【答案】
【分析】本题考查了数字类变化规律、利用完全平方公式进行计算，解二元一次方程组，由题意结合完全
平方公式得出 ，设有 个 ， 个 ， 个 ，则 ，根据
可得 ，求得 ，进而得出答案．
【详解】解： ，
，
，
，
设有 个 ， 个 ， 个 ，
①，
∵
∴ ②
联立①②并解得，
，
， ， ， ， 中为0的个数为 个，
故答案为： ．
变式4-2．解方程组： ．
【答案】 或 或 或【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根等知识点，熟练掌握解二元一次方程组的步骤和平方
根是解题的关键．
先利用求一个数的平方根求出 和 的值，再组成四个二元一次方程组，分别求解即可．
【详解】解：
由①得， 或 ，
由②得， ，
，
或 ，
由①②得 或 或 或
解得 或 或 或 ．
类型五、二元一次方程组中新定义问题
例5．我们把关于x，y的两个二元一次方程x＋ky＝b与kx＋y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程，二
元一次方程组 叫做共轭二元一次方程组．
(1)若关于x，y的二元一次方程组 ，为共轭二元一次方程组，则a＝______，b＝______．
(2)若二元一次方程x＋ky＝b中x，y的值满足下列表格：
x 2 0
y 0 1
则这个方程的共轭二元一次方程是______．
(3)直接写出方程组的解：的解为______； 的解为______； 的解为______．
(4)发现：若共轭二元一次方程组 的解是 则m，n之间的数量关系是______．
(5)应用：请你构造一个共轭二元一次方程组，并直接写出它的解．
【答案】(1)－1，1
(2)
(3) ， ，
(4)m＝n
(5)见解析；
【分析】（1）根据共轭二元一次方程组定义可得解答1-a=2，b+2=3，解方程即可得到答案；
（2）将x与y的对应值代入x+ky=b中，得到二元一次方程组，求出k与b的值，即可得到此方程的共轭二
元一次方程；
（3）分别根据代入法或是加减法解方程组；
（4）观察（3）中x与y的关系即可得到答案，
（5）根据共轭二元一次方程组定义，写出符合条件的一组方程组即可．
【详解】（1）由题意得1-a=2，b+2=3，
解得a=-1，b=1，；
（2）由题意得将x=2，y=0；x=0，y=1代入x+ky=b中得： ，
解得 ，
∴原方程为： ，
∴这个方程的共轭二元一次方程是 ；
（3）解方程组 ，
由①得x=3-2y③，将③代入②得，2（3-2y）+y=3，
解得y=1，
将y=1代入③得x=3-2=1，
∴原方程组的解为 ；
解方程组 ，
①-②得x-y=0，∴x=y，
将x=y代入①得x=-2，∴y=-2，
∴原方程组的解是 ；
解方程组 ，
由①得y=2x-4③，
将③代入②得-x+2（2x-4）=4，解得x=4，
将x=4代入③得y=4，
∴原方程组的解是 ；
（4）由（3）可知，解方程组 的解是 中 与 的数量关系是m=n.
（5）
①×2，得2x-4y=2
②+③得：y=-1
将y=-1代入①中得：x=-1，
∴方程组的解为 ．
【点睛】此题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键．
变式5-1．规定：形如 与 的两个关于 ， 的方程互为“共轭二元一次方程”，其中
，由这两个方程组成的方程组 叫做“共轭方程组”，其中常数 ， 称为“共轭系数”．
(1)由方程 和它的“共轭二元一次方程”组成的“共轭方程组”的解为 ；
(2)若关于 ， 的二元一次方程组 是“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭
系数；
(3)若关于 ， 的“共轭方程组” 有无数多个解，求共轭系数 ， 应满足的条件．
【答案】(1)
(2)共轭系数为 ，
(3) ， 可取任意数或 ，
【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，注意计算的准确性即可．
（1）由题意得：方程 的“共轭二元一次方程”为： ，求解方程组 即可；
（2）由题意得： ，据此即可求解；
（3）由 消去 得 ③，由题意得方程③有无数个解，推出 ，即
可求解．
【详解】（1）解：由题意得：方程 的“共轭二元一次方程”为： ，解方程组 得： ，
故答案为： ；
（2）解：由题意得： ，解得 ，
故 ，
故共轭系数为 ， ；
（3）解：由 消去 得 ③，
原方程组有无数解，则方程③有无数个解，则 ，
则 或 ．
变式5-2．对于关于 的二元一次方程组 （其中 是常数），给出如下
定义：若该方程组的解满足 ，则称这个方程组为“郡一”方程组．
(1)下列方程组是“郡一”方程组的是___________（只填写序号）；
① ② ③ ．
(2)若关于 的方程组 是“郡一”方程组，求 的值；(3)若对于任意的无理数 ，关于 的方程组 都是“郡一”方程组，求 的值．
【答案】(1) /
②③ ③②
(2) 或
(3) 或
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键．
（ ）根据“郡一”方程组的定义，逐项判断即可求解；
（ ）先求出原方程组的解，再代入 ，即可求解；
【详解】（1）解：① ，
解得 ，
此时 ，
不是“郡一”方程组；
② ，
解得 ，
此时 ，
是“郡一”方程组；
③ ，解得 ，
此时 ，
是“郡一”方程组；
故答案为：②③；
（2） ，
① ，得 ③，
②-③，得 ，
解得 ，
把 代入①，得 ，
所以方程组的解是 ，
关于 的方程组 是“郡一”方程组，
，
即 ，
解得 或 ；
（3）若对于任意的无理数 ，关于 ， 的方程组 都是“郡一”方程组，
则 ，
联立得： ，解得 或 ，
把 代入 中，
得 ，
，
为任意无理数，
，
解得： ，
；
把 代入 中，
得 ，
，
为任意无理数，
，
解得： ，
；
综上所述， 的值为 或 ．
变式5-3．定义：关于x，y的二元一次方程 中的常数项c与未知数x系数a互换，
得到的新方程叫做原方程的“友好方程”，例如：方程 的“友好方程”为 ．(1)求方程 与它的“友好方程”组成的方程组的解；
(2)已知关于x，y的二元一次方程 的系数满足 ，求方程 与它的“友好方
程”组成的方程组的解；
(3)已知关于x，y的二元一次方程 是 的“友好方程”，求
的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据新定义，得到方程的友好方程，组成二元一次方程组，解方程组得到结果；
（2）根据题意，得到方程的“友好方程”，组成方程组，消元后得 ，再代入 ，得到
结果；
（3）根据友好方程的定义，得到方程组，消去t，化简整理可得到结果．
本题考查了新定义，解二元一次方程组的应用，熟练解二元一次方程组是解题的关键．
【详解】（1）解：方程 的“友好方程”为 ，
∴ ，
①﹣②，得 ，
解得 ，
把 代入①中，得 ，
∴方程组的解为 ；（2）方程 的“友好方程”为 ，
∴ ，
① ②得 ，
由
∴ ，
把 代入①式，得 ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵关于x，y的二元一次方程 是 的“友好方程”，
∴ ，
由①得 ，代入②中，得：
，
则 ，
∴ ．1．已知方程组 ，则 的值为 （ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，将两个方程相加，直接得到关于 的方程，从而快速
求解．
【详解】方程组为：
将方程①和方程②相加，得：
合并同类项：
两边同时除以5，得：
故选A．
2．若关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，则关于m，n二元一次方程组
的解为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握换元思想成为解题的关键．设 ， ，将原方程组变形为 ，对比 的解为 ，可得 ，进而即可求解．
【详解】解：设 ， ，
则 变形为 ，
等式两边同乘 ，得： ，
关于x，y的二元一次方程组 的解为 ，
，
，
，
解得 ，故答案为： ．
3．【阅读理解】阅读下列解方程组的方法，然后解决问题．
解方程组 时，如果直接考虑消元，那么非常麻烦，而采用下列解法则轻而易举．解：①＋②， ，
即 ③
解得
①－②，
即
所以原方程组的解为
联立③和④，得
(1)由二元一次方程组 ，可得 ； ．
(2)解方程组
【拓展提升】
(3)对于实数x，y，定义新运算： ，其中a，b，c是常数，例如： ．
已知 ，则 ．
【答案】(1)2， ；
(2)
(3)3．
【分析】（1）将两个方程相加，即可求出 ；将两个方程相减，即可求出 ；
（2）将两个方程相减，可得 ，再用加减法或代入法即可求解；
（3）根据新定义的运算和 ，可得到 ，解该方程组（用含c的式子表示
x，y），得到新定义的运算，因此可求解 ．
【详解】（1）
，得
∴
，得故答案为：2，
（2） ，
①－②，得 ，
即 ，
，得 ，
把 代入③，得 ，
解得： ，
∴方程组的解为 ；
（3）∵ ，且 ，
∴ ，
②－①，得 ，
∴ ，
把③代入①，得 ，
解得 ，
把 代入③，得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：3．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，新定义的运算，读懂题意，灵活运用运算法则是解决本题的关键．
4．在数学中，我们常利用一些特殊方法解决特定的数学问题．
【类比观察】（1）求下列方程组的解
方程组 的解为：________；
方程组 的解为：________；
【探究结论】（2）两个方程组的未知数的系数________；两个方程组的解________；
【探究应用】（3）利用探究的结论解答：已知关于 ， 的方程组 的解为 ，求关于 ，
的方程组 的解．
【答案】（1） ； ；（2）相同；相同；（3）
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法：加减消元
法和代入消元法．
（1）用加减消元法求出方程组的解即可；
（2）根据方程组的解得出规律即可；
（3）根据解析（2）得出的规律进行求解即可．
【详解】解：（1） ，
得： ，
把 代入①得 ，
解得： ，
∴方程组的解为 ；，
得： ，
把 代入①得 ，
解得： ，
∴方程组的解为 ；
（2）两个方程组的未知数的系数相同；两个方程组的解相同；
（3）∵关于 ， 的方程组 的解为 ，
∴关于 ， 的方程组 的解满足： ，
解得： ；
5．观察发现：
材料：解方程组 ．
将①整体代入②，得 ．解得 ．
把 代入①得 ，所以 ．
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，
(1)请直接写出方程组 的解为_______．
(2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组 ．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键．
（1）利用整体代入法解方程组即可；
（2）利用整体代入法解方程组即可．
【详解】（1）解：
将①代入②得 ，
解得： ，
将 代入①得： ，
解得： ，
∴方程组的解为：
故答案为： ，
（2）解：
由①得： ，
将③代入 得： ，
解得： ，
将 代入③得： ，
解得 ，
∴方程组的解： .6．在课辅活动中，老师布置了一道这样的题：探究方程组： 的不同解法．同学们发现：
虽然这个方程组中x，y的系数及常数项的数值较大，但我们也是可以用教材上学过的常规的代入消元法、
加减消元法来解出来的，但老师应该出题还有深意：此类题是不是还有更好的消元方法呢？
小明带着这个问题和同学们进行了激烈的讨论，并查找了一些课外辅导资料，他们发现采用下面的解法来
消元更简单：
①﹣②得2x+2y＝2，所以x+y＝1③．
③×35﹣①得3x＝﹣3．
解得x＝﹣1，从而y＝2．
所以原方程组的解是 ．
请你认真观察方程组的特点，也尝试运用小明他们发现的上述方法解这个方程组：
．
【答案】
【分析】结合探究内容，仿照例子，用加减消元法解二元一次方程组．
【详解】解：②﹣①得3x+3y＝3，
即x+y＝1③，
③×2018，得：2018x+2018y＝2018④，
④﹣①得2x＝﹣2，
解得x＝﹣1，
将x＝﹣1代入③，得：﹣1+y＝1，
解得y＝2，
∴原方程组的解为 ．
【点睛】本题主要考查二元一次方程的解法，解二元一次方程组有代入法和消元法，灵活应用这两种方法
是解题关键．7．阅读下列材料：
小亮同学在学习二元一次方程组时遇到了这样的一个问题：解方程组 ，小亮发现，
如果把方程组中的 ， 看成一个整体，通过换元，可以解决问题，以下是他的解题过程：
解：令 ．
原方程组化为 ， 解得
把 代入 ，得 ，解得
所以原方程组的解为
(1)运用上述方法解方程组
(2)直接写出方程组 的解为_______．
(3)在（2）的条件下 ， ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)1或3【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，实数的运算，求一个数的算术平方根和立方根，熟知解二元
一次方程组的方法是解题的关键．
（1）仿照题意利用换元法解方程组即可；
（2）仿照题意利用换元法解方程组得到 的值，进而求出x、y的值即可；
（3）根据（2）所求求出a、b的值即可得到答案．
【详解】（1）解：令 ，
原方程组可化为 ，
解得 ，
∴ ，
解得 ；
（2）解：令 ，
原方程组可化为 ，
解得 ，
∴ ，
解得 ；
（3）解：∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ 或 ．
8．对于有理数 ， ，定义新运算： ， ，其中 ， 是常数．例如，
， ．
已知 ， ，则根据定义可以得到： ．
(1) ________， ________；
(2)若 ，求 的值；
(3)若关于 ， 的方程组 的解也满足方程 ，求 的值；
(4)若关于 ， 的方程组 的解为 ，则关于 ， 的方程组
的解为________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方
程组的解列出二元一次方程组是解题的关键．
（1）用加减消元法解方程组即可；（2）由 ，得到 ，代入 ，求解即可；
（3）根据题意得出关于 的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程 求解即可；
（4）把所求方程组写成 ，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解
答即可．
【详解】（1）解： ，
得 ，
，
把 代入②，得 ，
，
解得： ，
故答案为： ；
（2）解：∵ ，
∴ ， ，
，
∵ ，
，
解得 ；
（3）解：∵ ，
∴ ，解得： ，
，
，
解得： ；
（4）解：由方程组 得： ，
∵ 的解为 ，
，
解得： ．
9．阅读理解：
已知实数 ， 满足 ， ，求 和 的值．仔细观察两个方程未知数的系
数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由 可得 ，由
可得 ．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
(1)已知二元一次方程组 ，则 ________， _______；
(2)对于实数 ， ，定义新运算： ，其中 ， ， 是常数，等式右边是实数运算．已知
， ，求 的值．
【答案】(1) ，3．
(2)54
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握整体思想是解题的关键．
（1）利用 可求出 的值，利用 进行计算可求出 的值；
① ② ① ②（2）根据题意可得 ，然后由 - 可得 利用整体的思想求出
④ ③
．
【详解】（1）解：
由 得： ，
① ②
由 得： ，
① ②
，
∴
．
∴
故答案为： ，3．
（2） ， ， ，
∵
则
由 - 可得：
④ ③
即
．
∴
10．定义：数对 经过一种运算可以得到数对 ，将该运算记作： ，其中
（ 均为常数， ）．
例如，当 时， ．
(1)当 时， __________；
(2)若 ，求 和 的值；(3)如果组成数对 的两个数 满足二元一次方程 时，总有 ，求 、 的值．
【答案】(1) ；
(2) ， ；
(3) ， ．
【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，弄清定义，能将所求的问题转
化为二元一次方程组是解题的关键．
（1） 由题意可得 ： ，再将 代入即可求解；
（2）由题意可得 ： ，求出方程组的解即可；
（3）由题意可得 ： ，求解方程组即可．
【详解】（1）解：当 时， ，
∴ ，
所以 ．
（2）解：因为 ，
所以 ，两式相加得 ，
解得 ．
把 代入 得 ，
解得 ．
（3）解：因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 ，
将 代入得 ，
由 得 ，
因为 ，
所以 ；
由 得 ，
因为 ，
所以 ．
联立 ，两式相加得 ， ，
解得 ．
把 代入 得 ，
解得 ．
