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专题13 代数式规律型：数字变化类
1．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的3个数
（1）1， ，1， ，1， ，1， ， ， ， ， ；
（2）1， ，3， ，5， ，7， ， ， ， ， ；
（3） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
2．（1）观察如图寻找规律，在“？”处填上的数字是 ；
（2）一组按规律排列的式子： ， ，其中第7个式子是 ，第 个
式子是 为正整数）
3．观察下列各等式，并回答问题：
， ， ， ， ．
（1）填空： ； 为整数）；
（2）计算： ；
（3）计算： ．
4．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？
（1）填写表内空格：
输入 3 2
输出答案（2）你发现的规律是 ．
（3）用简要过程说明你发现的规律的正确性．
5．若 表示一个整数，我们可以用 表示一个奇数．下面我们来探究连续奇数的和的问题．
（1）计算： ； ；
（2）请用含 的代数式表示 的值为 ；
（3）请用上述规律计算 的值．
6．如图，将一串有理数按一定规律排列，探索下列问题：
（1）在 处的数是正数还是负数？
（2）负数排在 ， ， ， 中的什么位置？
（3）第2020个数排在对应于 ， ， ， 中的什么位置？
7 ． 已 知 ， 是 有 理 数 ， 且 ． 求
的值．
8．如我们把从1开始的几个连接自然数的立方和记作 ，那么有：
，
，
，
观察上面的规律，完成下面各问题：
（1）依规律，求 的值；
（2）依规律，求 的值；
（3）依规律，求 的值．9．观察下列三行数：
，4， ，16， ， ①
0，6， ，18， ， ②
，2， ，8， ， ③
（1）第①行的第2020个数为： ；
（2）第②、③行数的第2021个数分别是 ， ；
（3）取每行第7个数，计算这三个数的和．
10．阅读材料：求 的值．
解：设 ①
则 ②
② ①得，
，即 ．
以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题：
（1）计算： （仿照材料写出求解过程）；
（2）化简： ．
11．观察下列等式：
， ， ．
将以上三个等式两边分别相加得：
．
（1）猜想并写出： ；
（2）直接写出下列各式的计算结果： ；
（ 3 ） 已 知 与 互 为 相 反 数 ， 试 求 代 数 式的值．
12．观察图形，解答问题：
（1）按如表已填写的形式填写表中的空格
图① 图② 图③
三个角上三个数的积
三个角上三个数的和
积与和的商
（2）请用你发现的规律求出图④中的数 和图⑤中的数 ．
13．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：
？经过研究，这个问题的一般性结论是 ，其中 是
正整数．现在我们来研究一个类似的问题： ？
观察下面三个特殊的等式：
；
；
．
将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考
后回答：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
（只需写出结果，不必写中间的过程）14．观察算式： ； ； ； ， 请根据
你发现的规律填空：
（1） ；
（2）用含 的等式表示上面的规律： ；
（3）用找到的规律解决下面的问题，计算： ．
15．阅读与探究
请阅读下列材料，并解答相应的问题：
幻方
将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则具有这种
性质的数字方阵为“幻方”，中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等．
例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到 的方格中得到的，
其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．
（1）现要用9个数3，4，5，6，7，8，9，10，11构造一个三阶幻方，请将构造的幻方填写在下
面 的方格中．
（2）若设（1）题幻方中9个数的和为 ，则 与中间的数字 之间的数量关系为： ．
16．如下，从左到右依次在每个小方格中填入一个数，使得其中任意三个相邻方格中所填数之和
都相等．
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（1）可求得 ，第2021个格子中的数为 ；
（2）若前 个格子中所填数之和为2019，求 的值；
（3）如果 ， 为前三个格子中的任意两个数，那么所有的 的和可以通过计算
得到．若 ， 为前8个格子中的任意两个数，
求所有的 的和．17．读一读：式子“ ”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式
子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“ ”表示为 ，
这里“ ”是求和符号．例如： ，即从1开始的100以内的连续奇数的和，
可表示为 ；又如 可表示为 ．通过对上以
材料的阅读，请解答下列问题．
（1） （即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符合可表示为
；
（2）计算 ．
18．观察下列各式：
，
，
，
（1）根据上述规律写出第5个等式是： ．
（2）用以上的规律计算： ．
19．已知数轴上，一动点 从原点 出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动
的方式是：先向右移动1个单位，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移
动4个单位长度 ，
（1）求出3秒钟时，动点 所在的位置；
（2）若5秒时，动点 激活所在位置 点， 点立即以0.1个单位长度 秒的速度沿数轴运动，试求点 激活后第一次与继续运动的点 相遇时所在的位置；
（3）如图，在数轴上的 、 、 、 ，这4个点所表示的数分别为 、 、 、 ，若
，且 ， ，
①求 值；
②在（2）的条件下，若 点激活后仍以0.1个单位长度 秒向右运动，当 点到达数 的点处，则
点所对应的数是 ．
20．已知 ， ， ， 都是不等于0的有理数，请探究以下问题：
（1） ，则 ．
（2） ，则 ．
（3） ，则 ．
（4）由以上探究可以知道： ，共有 种不同的值，在 这
些不同的值中，最大值与最小值的差值等于 ， 的这些不同的值的绝对值的和等于 ．
