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专题 26 双曲线（七大题型+模拟精练）
目录：
01 双曲线的的定义
02 双曲线的的标准方程
03 双曲线的的顶点，虚、实轴，渐近线方程等
04 双曲线的的离心率
05 等轴双曲线
06 双曲线的应用
07 解答综合题
01 双曲线的的定义
1．设 是双曲线 上一点， 分别是双曲线左右两个焦点，若 ，则 等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．5或13
2．若点P是双曲线C： 上一点， ， 分别为C的左、右焦点，则“ ”是“
”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
3．已知双曲线的左、右焦点分别为F1 ，F2 ，在左支上过F1 的弦AB的长为5，若2a＝8，那么 ABF2 的周
长是（ ）
△
A．16 B．18 C．21 D．26
4．已知双曲线 的两个焦点分别为 ， ， 为坐标原点，若 为 上异于顶点的任
意一点，则 与 的周长之差为（ ）
A．8 B．16 C． 或8 D． 或16
02 双曲线的的标准方程
5．已知双曲线C： 的焦点为 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．若曲线 表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．若双曲线的渐近线方程为 ，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为
（ ）
A． 或 B．C． D．
03 双曲线的的顶点，虚、实轴，渐近线方程等
8．已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，虚轴长为 ，离心率为 ，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知抛物线 的焦点与双曲线 的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为
（ ）
A． B． C． D．
10．已知双曲线 的焦距为 ，则 的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知双曲线 的焦距为 ，则双曲线 的焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线 ： 与 ： ，则（ ）
A． 与 的实轴长相等 B． 与 的渐近线相同
C． 与 的焦距相等 D． 与 的离心率相等
13．已知双曲线 的右焦点为 ，直线 过点 ，且与双曲线只有一个
公共点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线 的方程为
B．双曲线 的离心率为
C．双曲线 的实轴长为
D．双曲线 的顶点坐标为
04 双曲线的的离心率
14．双曲线 的一条渐近线为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．415．设双曲线 ，椭圆 的离心率分别为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
16．已知双曲线 的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为（ ）．
A． B． C． D．
17．已知双曲线方程为 ， ， 是双曲线的两个焦点，点A是双曲线上任意一点，若A点关
于 的对称点为点 ，点 关于 的对称点为点 ，线段 的长度是8，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．4
18．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，过点 且与实轴垂直的直线交双曲线 于 两点.若
为等边三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
05 等轴双曲线
19．已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线 交于A，B两点，若 ，则
该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
20．已知双曲线 ，点 、 为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若 ，则
的值为 ．
21．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过原点 的直线 与 交
于 两点．若 ，且 的面积为2，则 的焦距为 ．
22．已知反比例函数 的图象 是以 轴与 轴为渐近线的等轴双曲线.设 、 为双曲线 的两个顶
点，点 、 是双曲线 上不同的两个动点.则直线 与 交点的轨迹 的方程为
；
06 双曲线的应用
23．阿波罗尼斯（约公元前262年～约公元前190年），古希腊著名数学家﹐主要著作有《圆锥曲线
论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之
大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通
过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C： （ ， ）
的左、右焦点分别为 ， ，其离心率 ，从 发出的光线经过双曲线C的右支上一点E的反射，
反射光线为EP，若反射光线与入射光线垂直，则 （ ）A． B． C． D．
24．在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲
线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲线的离心率为2，则
当入射光线 和反射光线 互相垂直时（其中 为入射点）， 的值为（ ）
A． B． C． D．
25．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个
焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图 ，一个光
学装置由有公共焦点 、 的椭圆 与双曲线 构成，现一光线从左焦点 发出，依次经 与① 反射，又
回到了点 ，历时 秒；若将装置中的 去掉，如图 ，此光线从点 发出，经 两次反射后又回到了
点 ，历时 秒：若 ，则 的长轴长与 的实②轴长之比为（ ）
A． B． C． D．
07 解答综合题
26．求下列各曲线的标准方程
(1)抛物线的焦点是双曲线 的左顶点，求抛物线标准方程．
(2)已知椭圆 与圆 ，双曲线 与椭圆 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与
圆 相切，求双曲线 的标准方程．
27．已知双曲线 的焦距为 为双曲线的右焦点，且点 到渐近线的距离为
4．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若点 ，点 为双曲线 左支上一点，求 的最小值．28．已知在平面直角坐标系 中，双曲线 ： 过 和 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 ， 为双曲线 上不关于坐标轴对称的两点， 为 中点，且 为圆 的一条非直径的弦，记
斜率为 ， 斜率为 ，证明： 为定值.
一、单选题
1．（2024·福建福州·模拟预测）以 为渐近线的双曲线可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·四川成都·模拟预测）双曲线 的一条渐近线为 ，则其离心率为
（ ）．
A． B． C． D．
3．（2024·广西桂林·模拟预测）已知 是双曲线 的左、右焦点，过 作双曲线一条渐
近线的垂线，垂足为 ，且 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖南·三模）双曲线 的上焦点 到双曲线一条渐近线的距离为 ，则双曲
线两条渐近线的斜率之积为（ ）
A． B．4 C． D．2
5．（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系 中，点F的坐标为 ，以线段FP为直径的圆
与圆 相切，则动点P的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西榆林·模拟预测）设 ， 是双曲线 的左，右焦点，过 的直线与 轴和
的右支分别交于点 ， ，若 是正三角形，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．167．（2024·河南·二模）双曲线 的左､右焦点分别为 ，过 作
圆： 的切线，切点为 ，该切线交双曲线 的一条渐近线于点 ，若 ，则双曲
线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·福建泉州·二模）双曲线 ，左、右顶点分别为A，B，O为坐标原点，
如图，已知动直线l与双曲线C左、右两支分别交于P，Q两点，与其两条渐近线分别交于R，S两点，
则下列命题正确的是（ ）
A．存在直线l，使得
B．当且仅当直线l平行于x轴时，
C．存在过 的直线l，使得 取到最大值
D．若直线l的方程为 ，则双曲线C的离心率为
二、多选题
9．（2024·河南新乡·模拟预测）已知 ，则双曲线 与 有相同的
（ ）
A．焦点 B．焦距 C．离心率 D．渐近线
10．（2024·河北保定·三模）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过点
的直线与 的左支相交于 ， 两点，若 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． 的离心率为 D．直线 的斜率为
11．（2025·安徽·一模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ．过 的直线
交双曲线 的右支于 两点，其中点 在第一象限． 的内心为 与 轴的交点为 ，记的内切圆 的半径为 的内切圆 的半径为 ，则下列说法正确的有（ ）
A．若双曲线渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为2或
B．若 ，且 ，则双曲线的离心率为
C．若 ，则 的取值范围是
D．若直线 的斜率为 ，则双曲线的离心率为
三、填空题
12．（2024·贵州·模拟预测）我们把离心率为 的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”
，则 的虚轴长为 ．
13．（2024·山西长治·模拟预测）已知抛物线 、 分别是双曲线 的
左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点 ，且与双曲线的一条渐近线交于点A，若 ，
则b＝ .
14．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆 与双曲线 的
左、右焦点相同，分别为 ， ， 与 在第一象限内交于点 ，且 ， 与 的离心率分别
为 ，
．则 ， 的取值范围是 ．
四、解答题
15．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线 的实轴长为 ，点 在双曲
线 上.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 且斜率为 的直线与双曲线 的另一个交点为 ，求 .
16．（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点 ，点 在双曲线上，且其两条渐近线相
互垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点 的直线 与双曲线交于 ， 两点， 的面积为 ，求直线 的方程.17．（2024·河南商丘·模拟预测）已知中心在坐标原点 ，以坐标轴为对称轴的双曲线 经过点
，且其渐近线的斜率为 ．
(1)求 的方程．
(2)若动直线 与 交于 两点，且 ，证明： 为定值．
18．（2025·广东·模拟预测）在平面直角坐标系 中，等轴双曲线 和 的中心均为O，焦点分别在x
轴和y轴上，焦距之比为2， 的右焦点F到 的渐近线的距离为2．
(1)求 ， 的方程；
(2)过F的直线交 于A，B两点，交 于D，E两点， 与 的方向相同．
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）求 面积的最小值．
19．（2024·内蒙古赤峰·二模）已知点P为圆 上任意一点， 线段PA的垂直
平分线交直线PC于点M，设点M 的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程;
(2)若过点M 的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M 为线段ST的中点.
(i)证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
(ii)求 的取值范围.
