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专题 2.4 一元二次方程与动点问题
【例题精讲】
【例1】如图所示，在 中． ， ， ，点 从点 开始沿
边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．
（1）如果 、 分别从 、 同时出发，那么几秒后， 的面积为 ．
（2）如果 、 分别从 、 同时出发，那么几秒后， 的长度等于 ．
（3）在（1）中 的面积能否等于 ？说明理由．【题组训练】
1．在 中， ， ， ，动点 从点 沿线段 向点 移
动，一动点 从点 沿线段 向点 移动，两点同时开始移动，点 的速度为 ，
点 的速度为 ，当 到达点 时两点同时停止运动．若使 的面积为 ，
则点 运动的时间是
A． B． C． 或 D． 或
2．如图所示， ， ， ， 为矩形的四个顶点， ， ，动点 ，
分别从点 ， 同时出发，点 以 的速度向 移动，一直到达 为止；点 以
的速度向 移动．当 ， 两点从出发开始几秒时，点 和点 的距离是 ．
（若一点到达终点，另一点也随之停止运动）
A． 或 B． 或 C． D． 或
3．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿 以 的
速度向点 运动，同时点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动，点 到达终点
后， 、 两点同时停止运动，则 秒时， 的面积是 ．4．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发，沿
方向运动，速度是 ；同时，动点 从点 出发，沿 方向运动，速度是
，则经过 后， ， 两点之间相距 ．
5．如图， 中， ， ， ，一动点 从点 出发沿着 方
向以 的速度运动，另一动点 从 出发沿着 边以 的速度运动， ， 两
点同时出发，运动 秒时， 的面积是 面积的 ．
6．如图， 中， ， ， ，点 从 点开始沿 向 点以
的速度移动，点 从 点开始沿 边向 点以 的速度移动．如果 、 分
别从 、 同时出发，经过 秒钟 的面积等于 面积的 ．7．在平面直角坐标系 中，过原点 及点 、 作矩形 ， 的平
分线交 于点 ．点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向移
动；同时点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 轴正方向移动．设移动时间
为 秒，当 为 时， 为直角三角形．8．如图，在 中， ， 、 的长恰好为方程 的两根，
且 ．
（1）求 的值．
（2）动点 从点 出发，沿 的路线向点 运动（不包括端点）；点 从点 出发，
沿 的路线向点 运动（不包括端点）．若点 、 同时出发，速度都为每秒2个单
位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为 秒，在整个运动过程中，
设 的面积为 ，试求 与 之间的函数关系式；并指出自变量 的取值范围和 的范
围．
9．已知：如图，在 中， ， ， ．点 从点 开始沿
边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，当
到达点 时，点 、 同时停止移动．
（1）如果点 ， 分别从点 ， 同时出发，那么几秒后， 的面积为 ？
（2）如果点 ， 分别从点 ， 同时出发，那么几秒后， 的长度为 ？10．如图，在 中， ， ．点 从点 出发，沿 边以
的速度向点 移动；点 从点 同时出发，沿 边以 的速度向点 移动．规定其
中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后， ， 两点的距离
是 ？
11．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发沿边
向点 以 的速度移动，同时动点 从点 出发沿边 向点 以 的速度移动
当 运动到 点时 、 两点同时停止运动，设运动时间为 ．
（1） ； ；（用 的代数式表示）
（2） 是 的中点，连接 、 ， 为何值时 的面积为 ？12．如图，在矩形 中， ， ，点 沿 边从点 开始向点 以
的速度移动，点 沿 边从点 开始向点 以 的速度移动，如果 、 同
时出发，用 表示移动的时间 ，那么：
（1）求四边形 的面积；
（2）当 为何值时， 的面积是 ？
13．如图所示，在等边三角形 中， ，射线 ，点 从点 出发沿射
线 以 的速度运动，同时点 从点 出发沿射线 以 的速度运动，设运
动时间为 ．
（1）连接 ，当 经过 边的中点 时，求证：四边形 是平行四边形；
（2）①当 为何值时，四边形 是菱形；
②当 为为何值时， 的面积是 的面积的2倍．14．如图，在 中， ， ， ．现有动点 从点 出发，
沿 向点 方向运动，动点 从点 出发，沿线段 向点 方向运动，如果点 的速
度是 ，点 的速度是 ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就
停止运动．设运动的时间为 ， 的面积 ．
（1）用含 的代数式表示 ．
（2）当运动多少秒时， 的面积等于 ？
15．如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿 向
点 以 的速度运动，点 从点 开始沿 向点 以 的速度运动， ， 同
时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为 ．
（1）下列说法正确的是 ．（填写所有正确结论的序号）
① 可以平分 的周长；
② 可以平分 的面积．
（2）当 为何值时， 的面积等于 ？16．如图， 中， ， ， ，点 从 沿 边向 点以
的速度移动，在 点停止，点 从 点开始沿 边向点 以 的速度移动，
在 点停止．
（1）如果点 ， 分别从 、 同时出发，经过2秒钟后， ；
（2）如果点 从点 先出发 ，点 再从点 出发，问点 移动几秒钟后 ？
（3）如果点 、 分别从 、 同时出发，经过几秒钟后 ？
17．如图，矩形 中， ， ，点 从点 出发，沿着 的方
向以 的速度向终点 匀速运动；点 从点 出发，沿着 的方向以
的速度向终点 匀速运动；点 ， 同时出发，当 ， 中任何一个点到达终点时，另
一个点同时停止运动，点 运动时间为 ，连接 ， 的面积为 ．
（1）求 关于 的函数解析式，并直接写出自变量 的取值范围；
（2） 的面积可以是矩形 面积的 吗？如能，求出相应的 值，若不能，请说
明理由．18．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿 以 的
速度向点 运动，同时，点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动．设运动时间
为 ．
（1） ， ；（用含 的式子表示）
（2）若 的面积为 ，求 的值．
19．如图，已知等边三角形 的边长为 ，点 从点 出发，沿 的方向
以 的速度向终点 运动，同时点 从点 出发，沿 的方向以 的速度
向终点 运动．当点 运动到点 时，两点均停止运动．运动时间记为 ，请解决下列
问题：
（1）若点 在边 上，当 为何值时， 为直角三角形？
（2）是否存在这样的 值，使 的面积为 ？若存在，请求出 的值，若不存在，
请说明理由．20．如图1，在 中， ， ， ，现有动点 从点 出发，
沿射线 方向运动，动点 从点 出发，沿射线 方向运动，已知点 的速度是
，点 的速度是 ，它们同时出发，设运动时间是 ．
（1）当 时，求 的面积．
（2）经过多少秒时， 的面积是 面积的一半．
21．如图，在 中， ， ， ．点 从点 开始沿 边向
点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，如果 、
分别从 、 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时
间为 秒．
（1）当 为何值时， 的面积等于 ？
（2）当 为何值时， 的长度等于 ？
（3）若点 ， 的速度保持不变，点 在到达点 后返回点 ，点 在到达点 后返回
点 ，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当 为何值时， 的面积等于 ？22．如图所示， 中， ， ， ．
（1）点 从点 开始沿 边向 以 的速度移动，点 从 点开始沿 边向点
以 的速度移动，如果 ， 分别从 ， 同时出发，经过几秒，点 ， 之间的
距离为 ？
（2）点 从点 开始沿 边向 以 的速度移动，点 从 点开始沿 边向点
以 的速度移动，如果 ， 分别从 ， 同时出发，经过几秒，使 的面积等
于 ？
（3）若 点沿射线 方向从 点出发以 的速度移动，点 沿射线 方向从 点
出发以 的速度移动， ， 同时出发，几秒后， 的面积为 ？23．如图， 、 、 、 为矩形的四个顶点， ， ，动点 、 分
别从点 、 同时出发，点 以 的速度向点 移动，一直到达 为止，点 以
的速度向 移动．
（1） 、 两点从出发开始到几秒时，四边形 的面积为 ；
（2） 、 两点从出发开始到几秒时，点 和点 的距离是 ．24．如图所示， 中， ， ， ．
（1）点 从点 开始沿 边向 以 的速度移动，点 从 点开始沿 边向点
以 的速度移动．如果 ， 分别从 ， 同时出发，经过几秒，使 的面积等
于 ？
（2）点 从点 开始沿 边向 以 的速度移动，点 从 点开始沿 边向点
以 的速度移动．如果 ， 分别从 ， 同时出发，线段 能否将 分成面
积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（3）若 点沿射线 方向从 点出发以 的速度移动，点 沿射线 方向从 点
出发以 的速度移动， ， 同时出发，问几秒后， 的面积为 ？25．如图，在 中， ， ， ，点 从 点出发，以
的速度向 点移动，点 从 点出发，以 的速度向 点移动．如果 、
两点同时出发，经过几秒后 的面积等于 ？
26．如图，在 中， ， ， ，点 从点 出发沿边 向
点 以 的速度移动，点 从 点出发沿 边向点 以 的速度移动．
（1）如果 、 同时出发，几秒钟后，可使 的面积为8平方厘米？
（2）点 、 在移动过程中，是否存在某点时刻，使得 的面积等于 的面积的
一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．28．如图，四边形 中， ， ， ， ， ，
动点 从点 出发以 的速度沿 的方向运动，动点 从点 出发以 的速度
沿 方向运动， 、 两点同时出发，当 到达点 时停止运动，点 也随之停止，设
运动的时间为
（1）求线段 的长；
（2） 为何值时，线段 将四边形 的面积分为 两部分？29．如图，在长方形 中， ， ，点 以 的速度从顶点 出
发，沿折线 向点 运动，同时点 以 的速度从顶点 出发，沿 向点
运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）两动点运动几秒时，四边形 的面积是长方形 面积的 ？
（2）是否存在某一时刻，使得点 与点 之间的距离为 ？若存在，求出该时刻；若
不存在，请说明理由．30．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知 可取任何实数，试求二次三项式 最小值．
解：
无论 取何实数，总有 ．
，即 的最小值是 ．
即无论 取何实数， 的值总是不小于 的实数．
问题：
（1）已知 ，求证 是正数．
知识迁移：
（2）如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，从点
向点 以 的速度移动，点 在 边上以 的速度从点 向点 移动．若点
， 同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设 的面积为 ，
运动时间为 秒，求 的最大值．
