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2021-2022学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.9第2章相交线与平行线单元测试（培优提升卷）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分120分，试题共26题，选择10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1．（2020秋•长春期末）如图， 的内错角是
A． B． C． D．
【分析】利用内错角定义可得答案．
【解析】 、 的内错角是 ，故此选项符合题意；
、 与 是同旁内角，故此选项不合题意；
、 与 是同位角，故此选项不合题意；
、 与 是不是内错角，故此选项不合题意；
故选： ．
2．（2021春•上思县期末）如图所示，在三角形 中， ， ，垂足分别是 ， ，那
么以下线段大小的比较必定成立的是
A． B． C． D．
【分析】根据从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短进行分析．
【解析】 、 与 互相垂直，没有明确的大小关系，故本选项不符合题意；
、 与 互相垂直，没有明确的大小关系，故本选项不符合题意；、 是从直线 外一点 所作的垂线段，根据垂线段最短定理， ，故本选项符合题意；
、 与 互相垂直，没有明确的大小关系，故本选项不符合题意；
故选： ．
3．（2020春•涪城区校级期末）如图，给出下列几个条件：① ；② ；③ ；
④ ，能判断直线 的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行线的判定方法，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】 ，
；
，
，
，
，
能判断直线 的有3个，
故选： ．
4．（2021秋•宽城区期末）直线 、 、 、 如图所示．若 ，则下列结论错误的是
A． B． C． D．
【分析】根据平行线的判定和性质、对顶角相等判断即可得解．
【解析】 ，，
故 正确，不符合题意；
，
故 正确，不符合题意；
，
，
故 正确，不符合题意；
无法得到 ，
故 错误，符合题意．
故选： ．
5．（2021秋•南关区期末）如图，直尺的一条边经过直角三角尺的直角顶点且平分直角，它的对边恰巧经
过 角的顶点．则 的大小是
A． B． C． D．
【分析】由角平分线的定义和平行线的性质解答即可．
【解析】 平分 ， ，
，
，
， ，
，
，
故选： ．6．（2021•曾都区一模）如图，在 中，点 ， ， 分别在边 ， ， 上，下列能判定
的条件是
A． B． C． D．
【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．
【解析】 、当 时， ，不符合题意；
、当 时， ，符合题意；
、当 时，无法得到 ，不符合题意；
、当 时， ，不符合题意．
故选： ．
7．（2021•开封一模）如图，直线 ， 相交于点 ， 于点 ， 平分 ，
，则下列结论中不正确的是
A． B．
C． 与 互为补角 D． 的余角等于
【分析】根据角平分线性质、对顶角性质、互余、互补角的定义，逐一判断．
【解析】 、 与 互为对顶角，因而相等，正确；
、由 ，可知 ， 平分 ，则 ，正确；
、 与 互为邻补角，正确；
、 ，
的余角等于 ，不成立．
故选： ．8．（2021秋•南岗区校级期中）如果两个角的两边两两互相平行，且一个角的 等于另一个角的 ，则这
两个角的度数分别是
A． ， B． ，
C． ， 或 ， D． ，
【分析】如果两个角的两边互相平行，则这两个角相等或互补．根据题意，得这两个角只能互补，然后列
方程求解即可．
【解析】设其中一个角是 ，
当两个角互补时，则另一个角是 ，根据题意得：
，
解得 ，
；
当两个角相等时，则另一个角是 ，依题意得：
，
解得： （不符合题意），
综上所述，这两个角的度数分别为 ， ．
故选： ．
9．（2021 秋•朝阳区期末）如图，射线 OC、OD 把平角∠AOB 三等分，OE 平分∠AOC，OF 平分
∠BOD．下列说法正确的是（ ）
A．图中只有两个120°的角 B．图中只有∠DOE是直角C．图中∠AOC的补角有3个 D．图中∠AOE的余角有2个
【分析】根据已知条件求出有关角的度数，即可对各个选项作出判断．
【解析】∵射线OC和OD把平角三等分，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠COE＝ ∠AOC＝30°，∠DOF＝ ∠BOD＝30°，
∴∠DOE＝∠COF＝30°+60°＝90°，
图中120°的角有：∠AOD、∠EOF、∠COB，故A选项不正确；
图中直角有∠DOE、∠COF，故B选项不正确；
∠AOC＝60°，所以它的补角等于120°，图中有三个，故C选项正确；
∠AOE＝30°，所以它的余角等于60°，图中等于60°的角有三个，故D选项不正确．
故选：C．
10．（2021秋•南岗区校级期中）如图，一条公路经过两次转弯后又回到原来的方向，如果第一次的拐角
为 ，则第二次的拐角为
A． B． C． D．
【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．
【解析】 ， ，
．
故选： ．
二．填空题（共8小题）11．（2021秋•农安县期末）已知 与 互余， 与 互余，则 ．（填“ ”，“ ”
或“ ”
【分析】根据余角的性质求解即可．
【解析】 与 互余， 与 互余，
．
故答案为： ．
12．（2021秋•南岗区校级月考）如图，若 ， 被 所截，则 与 是内错角．
【分析】根据两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角进行
分析解答即可．
【解析】若 ， 被 所截，则 与 是内错角，
故答案为： ．
13．（2021秋•南岗区校级月考）如图，口渴的马儿在 点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路
奔跑，其中的数学依据是 垂线段最短 ．
【分析】垂线段的性质：垂线段最短．据此判断即可．
【解析】口渴的马儿在 点处想尽快地到达小河边喝水，它应该沿着线路 奔跑，其中的数学依据是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
14．（2021秋•南岗区校级月考）如图，直线 与直线 相交于点 ， ，射线
，则 度数为 或 ．
【分析】】首先根据叙述作出图形，根据条件求得 的度数，然后根据 即可
求解．
【解析】
，
又
，
．
当点 在 的延长线上时，
故答案是： 或 ．
15．（2020春•定远县期末）如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：① ；②如果 ，
则有 ；③如果 ，则有 ；④如果 ，必有 ．其中正确的有①②④ ．（填序号）
【分析】根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即
可得出答案．
【解析】① ，
， ，
．
①正确．
② ，
，
，
，
．
②正确．
③ ，
，
，
不平行于 ．
③错误．
④由②得 ．
．
④正确．
故答案为：①②④．
16．（2021春•江都区期中）如图，直线 与 的一边射线 相交， ，向上平移直线 得
到直线 ，与 的另一边射线 相交，则 ．【分析】作 ，如图，利用平移的性质得到 ，则判断 ，根据平行线的性质得
， ，从而得到 的度数．
【解析】作 ，如图，
直线 向上平移直线 得到直线 ，
，
，
， ， ，
，
，
故答案为： ．
17．（2021春•鄞州区期中）如图，下列条件中：① ；② ；③ ；④
，能判定 的是 ①②③ ．
【分析】①由 ，利用同旁内角互补得到 ，本选项符合题意；
②由 ，利用内错角相等两直线平行得到 ，本选项符合题意；
③由 ，利用内错角相等两直线平行得到 ，本选项符合题意；
④由 ，不能判定出平行，本选项不合题意．
【解析】①由 ，得到 ，本选项符合题意；
②由 ，得到 ，本选项符合题意；③由 ，得到 ，本选项符合题意；
④由 ，不能判定出平行，本选项不合题意．
故答案为：①②③．
18．（2021秋•平阳县期中）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台 ，延
展臂 在 的左侧），伸展主臂 ，支撑臂 构成，在操作过程中，救援台 ，车身 及地面
三者始终保持平行．当 ， 时， 115 度；如图3，为了参与另外一项
高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂 与支撑臂 所在直线互相垂直，且 ，则这时
度．
【分析】在图2中，延长 ， ，相交于点 ，由平行线的性质可得 ，再利用
，可得 的度数，从而可求 的度数；
在图3中，延长 ， ，相交于点 ，则可得 ，延长 交 的延长线于点 ，利用平行线
的性质可求得 ，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，从而求得
的度数．
【解析】在图2中，延长 ， ，相交于点 ，如图所示：， ，
，
，
，
；
在图3中，延长 ， ，相交于点 ，则可得 ，延长 交 的延长线于点 ，如图所示：
平行 ， ，
，
延展臂 与支撑臂 所在直线互相垂直，
，
，
故答案为：115，158．
三．解答题（共8小题）
19．（2021秋•庐阳区期中）补充完成下列证明过程，并填上推理的依据．
已知：如图， ．求证： ．
证明：延长 交 于点 ，则 ． 三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和
又 ，
，（等量代换）．
【分析】延长 交 于点 ，利用三角形外角的性质可得出 ，结合
可得出 ，利用“内错角相等，两直线平行”可证出 ，即可得出结
论．
【解答】证明：延长 交 于点 ．则 ．（三角形的外角等于与它不相邻的两内
角的和）．
又 ，
，（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和， ，内错角相等，两直线平行．
20．（2021春•青山区期中）如图，直线 ， 相交于点 ， 把 分成两部分．
（1）直接写出图中 的对顶角为 ， 的邻补角为 ．
（2）若 ，且 ．求 的度数．
【分析】（1）利用对顶角、邻补角的定义直接回答即可；
（2）根据对顶角相等求出 的度数，再根据 求出 的度数，然后利用互为
邻补角的两个角的和等于 即可求出 的度数．
【解析】（1） 的对顶角为 ， 的邻补角为 ；
故答案为： ， ；
（2） ， ， ，，
，
，
，
．
21．（2021春•栾城区期中）已知：如图所示， ， ， ，垂足分别为点 ， ，
求证： ．
【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行得出 ，根据平行线的性质得出 ，得
出 ，根据平行线的判定推出即可．
【解答】证明： ， （已知），
（同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
，
（等量代换），
（内错角相等，两直线平行），
22．（2020秋•奉化区校级期末）如图，直线 、 相交于点 ， ， 平分 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ，请直接写出 的度数；
（3）观察（1）、（2）的结果，猜想 和 的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据互余、互补以及角平分线的意义，可求出答案；
（2）方法同（1），只是角度值改变而已；
（3）利用角平分线的意义、互余的意义以及等量代换，可得出答案．
【解析】（1） ， ，
，
平分 ，
，
（2）方法同（1）可得，若 ，则 ，
（3）猜想： ，
理由如下：
平分 ，
，
，
，
， ，
，
．23．（2020秋•清涧县期末）如图， ， ， ，求证： ．
【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
24．（2021春•武昌区期中）如图，直线 、 相交于点 ， 是 内的一条射线， 是
内的一条射线， ．（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， ，求 的度数．
【分析】（1）根据对顶角的定义可得 的度数，再根据 可得 的度数，然后
根据邻补角互补可得答案；
（2）设 ，则 ，利用角的和差运算即可解得 ，进而可得 的度数．
【解析】（1） ，
，
，
；
（2）设 ，则 ，
，
，
，
，
，
解得 ，
，
．
25．（2020春•硚口区期中）如图1， ，点 ， 分别在 ， 上， ，射线绕 点顺时针旋转至 便立即逆时针回转，射线 绕 点顺时针旋转至 便立即逆时针回转．射
线 转动的速度是每秒2度，射线 转动的速度是每秒1度．
（1）直接写出 的大小为 ；
（2）射线 、 转动后对应的射线分别为 、 ，射线 交直线 于点 ，若射线 比射线
先转动30秒，设射线 转动的时间为 秒，求 为多少时，直线 直线 ？
（3）如图2，若射线 、 同时转动 秒，转动的两条射线交于点 ，作 ，
点 在 上，请探究 与 的数量关系．
【分析】（1）根据 ，可得 ，再根据平角定义和 ．即可得
的大小；
（2）①当 时，根据平行线的性质可得， ，列出方程 ，即可求解；②
当 时，根据平行线的性质可得 ，列出方程 ，即
可求解；
（ 3 ） 作 ， 根 据 ， 可 得 ， 根 据 平 行 线 的 性 质 可 得 ，
， ， 可 得
，即 ．
【解析】（1） ，，
， ，
，
，
，
故答案为： ；
（2）①当 时，如图1，
，
，
，
，
，
，
解得 ；
②当 时，如图2，
，
，
，
，
，
，
解得 ，综上所述，当 秒或110秒时 直线 ；
（3） ，理由如下：
如图3，作 ，
，
，
， ，
，
， ，
，
而 ，
，
，
，
，
即 ．
26．（2021 秋•香坊区校级期中）点 在射线 上，点 、 为射线 上两个动点，满足， ， 平分 ．
（1）如图1，当点 在 右侧时，求证： ；
（2）如图2，当点 在 左侧时，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下， 为 延长线上一点， 平分 ，交 于点 ， 平分
，交 于点 ，连接 ，若 ， ，求 的度数．
【分析】（1）通过证明 ，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；
（2）过点 作 ，交 于点 ，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论；
（3）设 ，则 ， ， ；
利用已知条件用含 的式子表示 ， ， ， ，再利用 ，得
到关于 的方程，解方程求得 的值，则 ，结论可求．
【解答】证明：（1） 平分 ，
．
又 ，
．
．
．
，
．
．
（2）过点 作 ，交 于点 ，如图，，
．
， ，
，
．
（3）设 ，
则 ， ．
．
平分
．
．
．
，
．
．
，
．
，
，
解得： ．
．
