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专题 2.4 一元二次方程与动点问题
【例题精讲】
【例1】如图所示，在 中． ， ， ，点 从点 开始沿
边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动．
（1）如果 、 分别从 、 同时出发，那么几秒后， 的面积为 ．
（2）如果 、 分别从 、 同时出发，那么几秒后， 的长度等于 ．
（3）在（1）中 的面积能否等于 ？说明理由．
【解答】解：（1）设 秒后， 的面积为 ，此时 ， ，
，
由 ，得 ，
整理得： ，
解得： 或 （舍去）．
当 时， ，说明此时点 越过点 ，不合要求，舍去．
答：1秒后 的面积为 ．
（2）由 ，得 ，整理得 ，
解方程得： （舍去）， ．
所以2秒后 的长度等于 ；
（3）不可能．
设 ，整理得 ，
，
方程没有实数根，
所以 的面积为的面积不可能等于 ．
【题组训练】
1．在 中， ， ， ，动点 从点 沿线段 向点 移
动，一动点 从点 沿线段 向点 移动，两点同时开始移动，点 的速度为 ，
点 的速度为 ，当 到达点 时两点同时停止运动．若使 的面积为 ，
则点 运动的时间是
A． B． C． 或 D． 或
【解答】解：设点 运动的时间为 ，则 ， ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ，
当 到达点 时两点同时停止运动，，
，
．
故选： ．
2．如图所示， ， ， ， 为矩形的四个顶点， ， ，动点 ，
分别从点 ， 同时出发，点 以 的速度向 移动，一直到达 为止；点 以
的速度向 移动．当 ， 两点从出发开始几秒时，点 和点 的距离是 ．
（若一点到达终点，另一点也随之停止运动）
A． 或 B． 或 C． D． 或
【解答】解：设当 、 两点从出发开始 秒时 ，点 和点 的距离是 ，
此时 ， ，
根据题意得： ，
解得： ， ．
答：当 、 两点从出发开始到2秒或 秒时，点 和点 的距离是 ．
故选： ．
3．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿 以 的
速度向点 运动，同时点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动，点 到达终点后， 、 两点同时停止运动，则 2 或 3 秒时， 的面积是 ．
【解答】解：设运动时间为 秒，则 ， ，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
或3秒时， 的面积是 ．
故答案为：2或3．
4．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发，沿
方向运动，速度是 ；同时，动点 从点 出发，沿 方向运动，速度是
，则经过 1 0 后， ， 两点之间相距 ．
【解答】解：设 秒后 、 两点相距 ，
则 ， ，
由题意得， ，
解得， ， （舍去），则10秒后 、 两点相距 ．
故答案是：10．
5．如图， 中， ， ， ，一动点 从点 出发沿着 方
向以 的速度运动，另一动点 从 出发沿着 边以 的速度运动， ， 两
点同时出发，运动 2 秒时， 的面积是 面积的 ．
【解答】解： ， ，
，
整理得 ，
解得 ．
即：运动2秒时 的面积为 面积的 ．
故答案是：2．
6．如图， 中， ， ， ，点 从 点开始沿 向 点以
的速度移动，点 从 点开始沿 边向 点以 的速度移动．如果 、 分
别从 、 同时出发，经过 3 秒钟 的面积等于 面积的 ．【解答】解：根据题意，知 ， ．
的面积等于 面积的 ，
则根据三角形的面积公式，得 ，
，
，
解得 ．
故经过3秒钟 的面积等于 面积的 ．
故答案是：3．
7．在平面直角坐标系 中，过原点 及点 、 作矩形 ， 的平
分线交 于点 ．点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向移
动；同时点 从点 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 轴正方向移动．设移动时间
为 秒，当 为 2 或 或 时， 为直角三角形．
【解答】解：作 于点 ，在 中，，
，
，
，
点 ，
又 ， ，
根据勾股定理可得： ， ， ，
①若 ，则有 ，
即： ，
整理得： ，
解得： （舍去）， ，
，
②若 ，则有 ，
，
整理得： ，
解得： ．
当 或 或 时， 为直角三角形．
故答案为：2或 或 ．8．如图，在 中， ， 、 的长恰好为方程 的两根，
且 ．
（1）求 的值．
（2）动点 从点 出发，沿 的路线向点 运动（不包括端点）；点 从点 出发，
沿 的路线向点 运动（不包括端点）．若点 、 同时出发，速度都为每秒2个单
位．当其中有一点到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为 秒，在整个运动过程中，
设 的面积为 ，试求 与 之间的函数关系式；并指出自变量 的取值范围和 的范
围．
【解答】解：（1） 、 的长为方程 的两根，
，
又 ，
， ，
；
（2）作 ，垂足为 ，
，
．
，，
，即 ，
解得 ，
，
当 时， ．
9．已知：如图，在 中， ， ， ．点 从点 开始沿
边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，当
到达点 时，点 、 同时停止移动．
（1）如果点 ， 分别从点 ， 同时出发，那么几秒后， 的面积为 ？
（2）如果点 ， 分别从点 ， 同时出发，那么几秒后， 的长度为 ？
【解答】解：当运动时间为 时， ， ， ．
（1）依题意得： ，整理得： ，
解得： ， ，
当 时， ，符合题意；
当 时， ，不符合题意，舍去．
答： 后， 的面积为 ．
（2）依题意得： ，
整理得： ，
解得： （不符合题意，舍去）， ．
答： 后， 的长度为 ．
10．如图，在 中， ， ．点 从点 出发，沿 边以
的速度向点 移动；点 从点 同时出发，沿 边以 的速度向点 移动．规定其
中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后， ， 两点的距离
是 ？
【解答】解：设经过 秒后， ， 两点的距离是 ，
根据题意，得 ，整理，得 ，
解得 ， ．
当 时， ，符合题意，
答： 秒或2秒后， ， 两点间的距离等于 ．
11．如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发沿边
向点 以 的速度移动，同时动点 从点 出发沿边 向点 以 的速度移动
当 运动到 点时 、 两点同时停止运动，设运动时间为 ．
（1） ； ；（用 的代数式表示）
（2） 是 的中点，连接 、 ， 为何值时 的面积为 ？
【解答】解：（1）根据题意得： ， ，
所以 ，
故答案是： ； ；
（2）如图，过点 作 于 ，
，即 ．
．
又 是 的中点，
， 是 的中位线．．
根据题意，得 ，
整理，得 ．
解得： ， ，
即当 或4时， 的面积是 ．
12．如图，在矩形 中， ， ，点 沿 边从点 开始向点 以
的速度移动，点 沿 边从点 开始向点 以 的速度移动，如果 、 同
时出发，用 表示移动的时间 ，那么：
（1）求四边形 的面积；
（2）当 为何值时， 的面积是 ？
【解答】解：（1）当运动时间为 时， ， ， ，
，．
答：四边形 的面积为 ．
（2）依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
答：当 的值为1或5时， 的面积是 ．
13．如图所示，在等边三角形 中， ，射线 ，点 从点 出发沿射
线 以 的速度运动，同时点 从点 出发沿射线 以 的速度运动，设运
动时间为 ．
（1）连接 ，当 经过 边的中点 时，求证：四边形 是平行四边形；
（2）①当 为何值时，四边形 是菱形；
②当 为为何值时， 的面积是 的面积的2倍．
【解答】（1）证明：如图1， ，
， ，
经过 边的中点 ，
，
，，
，
四边形 是平行四边形；
（2）解：①如图2， 是等边三角形，
，
四边形 是菱形，
，且点 在 延长线上，
由运动知， ， ，
，
，
解得： ，
将 代入 中，得 ，符合题意，
即当 时，四边形 是菱形；
②设平行线 与 的距离为 ，
边 上的高为 ， 的边 上的高为 ，
的面积是 的面积的2倍，
，
当点 在线段 上时 ， ， ，
，
解得： ；
当点 在 的延长线上时 ， ， ，
，
解得： ，
即当 为 或 时， 的面积是 的面积的2倍．14．如图，在 中， ， ， ．现有动点 从点 出发，
沿 向点 方向运动，动点 从点 出发，沿线段 向点 方向运动，如果点 的速
度是 ，点 的速度是 ，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就
停止运动．设运动的时间为 ， 的面积 ．
（1）用含 的代数式表示 ．
（2）当运动多少秒时， 的面积等于 ？
【解答】解：（1）由题意得： ， ，
，
， ，；
（2）当 时，
，
解得： ， ，
即当 或 时， 的面积等于 ．
15．如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿 向
点 以 的速度运动，点 从点 开始沿 向点 以 的速度运动， ， 同
时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为 ．
（1）下列说法正确的是 ② ．（填写所有正确结论的序号）
① 可以平分 的周长；
② 可以平分 的面积．
（2）当 为何值时， 的面积等于 ？
【解答】解：（1） ，
由勾股定理得： ，
当 时，
（舍 ，
当 时，解得 或 （舍 ，
时， 可以平分 的面积，
故答案为：②；
（2）①由题意知： ， ，
，
解得： 或7（舍去），
当 时， 的面积等于 ．
当点 停止时， ，
，
综上： 或 ．
16．如图， 中， ， ， ，点 从 沿 边向 点以
的速度移动，在 点停止，点 从 点开始沿 边向点 以 的速度移动，
在 点停止．
（1）如果点 ， 分别从 、 同时出发，经过2秒钟后， 8 ；
（2）如果点 从点 先出发 ，点 再从点 出发，问点 移动几秒钟后 ？
（3）如果点 、 分别从 、 同时出发，经过几秒钟后 ？
【解答】解：（1）由题意，得 ，答： 、 同时出发，经过 ， ．
故答案是：8；
（2）设 出发 时 ，则 运动的时间为 秒，由题意得：
，
，
解得：
因此经4秒点 离 点 ，点 离 点 ，符合题意．
答： 先出发 ， 再从 出发 后， ．
（3）设经过 秒钟后 ，则 ， ， ，
，
解得 ， （不合题意，舍去）
答：经过 秒钟后 ．
17．如图，矩形 中， ， ，点 从点 出发，沿着 的方
向以 的速度向终点 匀速运动；点 从点 出发，沿着 的方向以
的速度向终点 匀速运动；点 ， 同时出发，当 ， 中任何一个点到达终点时，另
一个点同时停止运动，点 运动时间为 ，连接 ， 的面积为 ．
（1）求 关于 的函数解析式，并直接写出自变量 的取值范围；
（2） 的面积可以是矩形 面积的 吗？如能，求出相应的 值，若不能，请说
明理由．【解答】解：（1）如图，矩形 中， ，
当 时，点 在边 上，点 在边 上，此时 ， ，
，
．
当 时，点 在边 上，点 在边 上，此时 ， ，
．
．
综合以上可得， ；
（2） 的面积是矩形 面积的 ，
，当 时，令 ，
整理得 ，
△ ，
原方程无实数根，
当 时，令 ，
解方程得， ， （舍去），
综上所述，当 时， 的面积是矩形 面积的 ．
18．如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发沿 以 的
速度向点 运动，同时，点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动．设运动时间
为 ．
（1） ， ；（用含 的式子表示）
（2）若 的面积为 ，求 的值．
【解答】解：（1）由题意可得： ， ，
故答案为： ， ；
（2）由题意可得：，
解得： ， ，
当 的面积为 ，则 的值为1或5．
19．如图，已知等边三角形 的边长为 ，点 从点 出发，沿 的方向
以 的速度向终点 运动，同时点 从点 出发，沿 的方向以 的速度
向终点 运动．当点 运动到点 时，两点均停止运动．运动时间记为 ，请解决下列
问题：
（1）若点 在边 上，当 为何值时， 为直角三角形？
（2）是否存在这样的 值，使 的面积为 ？若存在，请求出 的值，若不存在，
请说明理由．
【解答】解：（1） 是等边三角形
， ，
当点 在边 上时，由题意知， ， ，
当 时， ，即 ，解得 ，
当 时， ，即 ，解得 ，所以，点 在边 上，当 为 或 时， 为直角三角形；
（2）存在，
①当点 在边 上时，此时 ，
过点 作 于点 ，
在 中， ， ，
，即 ，
， ，
由 得 ；
②当点 在边 上时，此时 ，
如图，过点 作 于点 ，
在 中， ， ，
，即 ，
， ，
由 得 ， （不合题意，舍去），因此，当 的值是 或 时， 的面积为 ．
20．如图1，在 中， ， ， ，现有动点 从点 出发，
沿射线 方向运动，动点 从点 出发，沿射线 方向运动，已知点 的速度是
，点 的速度是 ，它们同时出发，设运动时间是 ．
（1）当 时，求 的面积．
（2）经过多少秒时， 的面积是 面积的一半．
【解答】解：（1） 点 的速度是 ，点 的速度是 ，
当 时， ， ，
， ，
．
（2）设经过 秒 的面积是 面积的一半．
根据题意得： ，
当 时如图，
整理得 ，
解得 （舍去）或 ．
当 时如图
，
整理得 ，
△ ，无解．
当 时如图
，
整理得 ，
解得 或 （舍去）．
综上所述：经过2秒或12秒 的面积是 面积的一半．
21．如图，在 中， ， ， ．点 从点 开始沿 边向
点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，如果 、分别从 、 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时
间为 秒．
（1）当 为何值时， 的面积等于 ？
（2）当 为何值时， 的长度等于 ？
（3）若点 ， 的速度保持不变，点 在到达点 后返回点 ，点 在到达点 后返回
点 ，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当 为何值时， 的面积等于 ？
【解答】解：根据题意知 ， ．
（1）根据三角形的面积公式，得
，
，
，
解得 ， ．
故当 为5或7时， 的面积等于 ．
（2）设 秒后， 的长度等于 ，根据勾股定理，得
，
，解得 ， ．
故当 为 或4时， 的长度等于 ．
（3）当 时，
，即 ，
则 ，
解得 ， ．
当 时，
则 ， ， ，
则 的面积 ，
解得： 或8（均舍去）；
当 时，
，
，
，
△ ，
故方程无实数根．
综上所述，当 为4或8时， 的面积等于 ．
22．如图所示， 中， ， ， ．
（1）点 从点 开始沿 边向 以 的速度移动，点 从 点开始沿 边向点以 的速度移动，如果 ， 分别从 ， 同时出发，经过几秒，点 ， 之间的
距离为 ？
（2）点 从点 开始沿 边向 以 的速度移动，点 从 点开始沿 边向点
以 的速度移动，如果 ， 分别从 ， 同时出发，经过几秒，使 的面积等
于 ？
（3）若 点沿射线 方向从 点出发以 的速度移动，点 沿射线 方向从 点
出发以 的速度移动， ， 同时出发，几秒后， 的面积为 ？
【解答】解：（1）设经过 秒，点 ， 之间的距离为 ，
则 ， ，
，
，
在 中，
由勾股定理得：
化简得：△
点 ， 之间的距离不可能为 ．
（2）设经过 秒，使 的面积等于 ，由题意得：
解得： ，
检验发现 ， 均符合题意
经过2秒或4秒， 的面积等于 ．
（3）①点 在线段 上，点 在线段 上
设经过 秒， ，依题意有
解得； （舍 ，
符合题意；
②点 在线段 上，点 在射线 上
设经过 秒， ，依题意有
解得
符合题意；
③点 在射线 上，点 在射线 上设经过 秒， ，依题意有
解得 ， （舍
符合题意；
经过 秒，5秒， 秒后， 的面积为 ．
23．如图， 、 、 、 为矩形的四个顶点， ， ，动点 、 分
别从点 、 同时出发，点 以 的速度向点 移动，一直到达 为止，点 以
的速度向 移动．
（1） 、 两点从出发开始到几秒时，四边形 的面积为 ；
（2） 、 两点从出发开始到几秒时，点 和点 的距离是 ．
【解答】解：（1）设 、 两点从出发开始到 秒时四边形 的面积为 ，
则 ， ，
根据梯形的面积公式得 ，
解之得 ，
（2）设 ， 两点从出发经过 秒时，点 ， 间的距离是 ，作 ，垂足为 ，
则 ， ，
， ，
，
由勾股定理，得 ，
解得 ， ．
答：（1） 、 两点从出发开始到5秒时四边形 的面积为 ；
（2）从出发到1.6秒或4.8秒时，点 和点 的距离是 ．
24．如图所示， 中， ， ， ．
（1）点 从点 开始沿 边向 以 的速度移动，点 从 点开始沿 边向点
以 的速度移动．如果 ， 分别从 ， 同时出发，经过几秒，使 的面积等
于 ？
（2）点 从点 开始沿 边向 以 的速度移动，点 从 点开始沿 边向点
以 的速度移动．如果 ， 分别从 ， 同时出发，线段 能否将 分成面
积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（3）若 点沿射线 方向从 点出发以 的速度移动，点 沿射线 方向从 点
出发以 的速度移动， ， 同时出发，问几秒后， 的面积为 ？
【解答】解：（1）设经过 秒，使 的面积等于 ，依题意有
，
解得 ， ，
经检验， ， 均符合题意．
故经过2秒或4秒， 的面积等于 ；
（2）设经过 秒，线段 能否将 分成面积相等的两部分，依题意有
的面积 ，
，
，
△ ，
此方程无实数根，
线段 不能将 分成面积相等的两部分；（3）①点 在线段 上，点 在线段 上 ，
设经过 秒，依题意有
，
，
解得 ， ，
经检验， 不符合题意，舍去，
；
②点 在线段 上，点 在射线 上 ，
设经过 秒，依题意有
，
，
解得 ，
经检验， 符合题意．
③点 在射线 上，点 在射线 上 ，
设经过 秒，依题意有
，
，
解得 ， ，
经检验， 不符合题意，舍去，；
综上所述，经过 秒，5秒， 秒后， 的面积为 ．
25．如图，在 中， ， ， ，点 从 点出发，以
的速度向 点移动，点 从 点出发，以 的速度向 点移动．如果 、
两点同时出发，经过几秒后 的面积等于 ？
【解答】解：如图，
过点 作 于 ，则 ．
，
．
．
设经过 秒后 的面积等于 ，
则 ， ， ．
根据题意， ．
．
， ．
当 时， ， ，不合题意舍去，取 ．
当点 到达 点时，此时 ，，
答：经过2秒后 的面积等于 ．
26．如图，在 中， ， ， ，点 从点 出发沿边 向
点 以 的速度移动，点 从 点出发沿 边向点 以 的速度移动．
（1）如果 、 同时出发，几秒钟后，可使 的面积为8平方厘米？
（2）点 、 在移动过程中，是否存在某点时刻，使得 的面积等于 的面积的
一半？若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）设 秒钟后，可使 的面积为8平方厘米，由题意得：
，
或 ，
当2秒或4秒时，面积可为8平方厘米；
（2）不存在．
理由：设 秒时， 的面积等于 的面积的一半，由题意得：．
△ ．
方程无实数根，所以不存在．
28．如图，四边形 中， ， ， ， ， ，
动点 从点 出发以 的速度沿 的方向运动，动点 从点 出发以 的速度
沿 方向运动， 、 两点同时出发，当 到达点 时停止运动，点 也随之停止，设
运动的时间为
（1）求线段 的长；
（2） 为何值时，线段 将四边形 的面积分为 两部分？
【解答】解：（1）如图1，作 于 ，则四边形 是矩形．
， ，
，
在 中， ，
厘米；（2） 点 的速度为1厘米 秒，点 的速度为2厘米 秒，运动时间为 秒，
厘米， 厘米， 厘米， 厘米，
且 ，
作 于点 ，
，
，
，
，
，即 ，
，
，
，
分两种情况讨论：
①当 时，
，即 ，
解得 ， （舍去）；
② 时，
，即 ，
△ ，方程无解，
当 为 秒时，线段 将四边形 的面积分为 两部分．
29．如图，在长方形 中， ， ，点 以 的速度从顶点 出
发，沿折线 向点 运动，同时点 以 的速度从顶点 出发，沿 向点
运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动．
（1）两动点运动几秒时，四边形 的面积是长方形 面积的 ？
（2）是否存在某一时刻，使得点 与点 之间的距离为 ？若存在，求出该时刻；若
不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设两动点运动 秒，使四边形 的面积是矩形 面积的 ．
根据题意，得 ， ，矩形的面积是12．
则有 ，
解得 ；
（2）设两动点经过 秒使得点 与点 之间的距离为 ．①当 时，如图1，则有 ，
解得 或 ；
②当 时，如图2，则有 ，
得方程 ，
此时△ ，此方程无解．
综上所述，当 或 时，点 与点 之间的距离 ．
30．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．
例：已知 可取任何实数，试求二次三项式 最小值．
解：
无论 取何实数，总有 ．
，即 的最小值是 ．
即无论 取何实数， 的值总是不小于 的实数．
问题：
（1）已知 ，求证 是正数．
知识迁移：
（2）如图，在 中， ， ， ，点 在边 上，从点向点 以 的速度移动，点 在 边上以 的速度从点 向点 移动．若点
， 同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设 的面积为 ，
运动时间为 秒，求 的最大值．
【解答】证明：（1）
．
．
．
．
是正数．
（2）由题意： ， ， ．
．
．．
当 时， 有最大值 ．
