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专题 3.1 函数的概念及其表示
题型一 已知函数解析式求定义域
题型二 识别函数及相同函数
题型三 抽象函数的定义域
题型四 待定系数法求解析式
题型五 换元法求解析式
题型六 赋值思想求解析式
题型七 单调性法求函数的值域与最值
题型八 基本不等式法求函数的值域与最值
题型九 分离变量法求函数的值域与最值
题型十 分段函数求自变量或函数值
题型十
分段函数及图象的应用
一
题型一 已知函数解析式求定义域
例1．（2023·河北·统考模拟预测）设全集 ，集合
，则 （ ）
A． B． C． D．
例2．（2023春·江西·高一校联考期中）函数 的定义域为______.
练习1．（2022秋·广东佛山·高一佛山市荣山中学校考期中）函数 的
定义域为（ ）
A． B．
C． D．练习2．（2023·北京朝阳·二模）函数 的定义域为________.
练习3．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考阶段练习）求函数
的定义域为__________________.
练习4．（2023春·广东河源·高三龙川县第一中学校考期中）求函数
的定义域为_________．
练习5．（2022秋·高三单元测试）函数 的定义域为________．
题型二 识别函数及相同函数
例3．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）下列各图中，不可能是函数 图象的是
（ ）
A． B． C． D．
例4．（2022秋·山东东营·高三利津县高级中学校考阶段练习）下列四组函数中 与
是同一函数的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，练习6．（2022秋·浙江舟山·高三舟山中学校考阶段练习）设集合 ，
，则下列图象能表示集合 到集合 且集合Q为值域的函数关系的有
（ ）
A． B．
C． D．
练习7．（2023春·福建莆田·高三校考期中）下列选项中，表示的不是同一个函数的是（
）
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与
练习8．（2022秋·黑龙江鸡西·高一校考阶段练习）对于函数 若 ，则下列
说法正确的个数为（ ）
①
② 有且只有一个
③ 若 ，则
④ 若 ，则
A．4 B．3 C．2 D．1
练习9．（2021秋·广西崇左·高三崇左高中校考期中）下列函数中，与函数 是
同一函数的是（ ）A． B． C． D．
练习10．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第六中学校考阶段练习）（多选）下列对应法则
满足函数定义的有（ ）
A． B．
C． D．
题型三 抽象函数的定义域
例5．（2022秋·高三单元测试）若函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为（ ）
A． B． C． D．
例6．已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域.
练习11．（2023春·河北保定·高三保定一中校考期中）函数 的定义域为 ，值域为
，那么函数 的定义域和值域分别是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
练习12．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知函数 的定义域为
，则函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
练习13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域（ ）A． B． C． D．
练习14．（2022秋·四川·高三四川省平昌中学校考阶段练习）函数 的定义域为
，则 的定义域为________.
练习15．（2022秋·高三课时练习）已知 的定义域为 ，求 的定义域.
题型四 待定系数法求解析式
例7．（2022秋·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）二次函数 满足
，且 .
(1)求 的解析式；
(2)求 在 上的最小值.
例8．（2022秋·高三课时练习）已知一次函数f（x）满足f（f（x））＝3x+2，则f（x）
的解析式为_________
练习16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 （a，b为常数，其中
且 ）的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
练习17．（2021秋·高三课时练习）某企业生产某种产品时的能耗y与所生产的产品件数x之间的关系式为 ，其中，当 时， ；当 时， ，且此产品生
产件数不超过20．则y关于x的解析式为______________．
练习18．（2020秋·云南昆明·高三校考期中）已知 为一次函数，且 ，
则 的值为_______．
练习19．（2022秋·四川·高一四川省平昌中学校考阶段练习）已知函数 为一次函数，
若 ，
(1)求 的解析式；
(2)若 为定义在R上的增函数，且 ， .求 的最值.
练习20．已知函数 ，且 .
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 上的取值范围.
题型五 换元法求解析式
例9．（2023·全国·模拟预测）已知 ，则 ______．
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知 ，则函数 _______，
=_______．
练习21．（2023·全国·高三专题练习）若 ，且 ，则
（ ）
A．3 B． C． D．
练习22．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 __．练习23．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）已知函数 ，若 ，则a＝
__________．
练习24．（2022秋·江西上饶·高三校考期中）已知函数 ，则
__________
练习25．（2023秋·四川成都·高三校考期末）已知 ，则 ______．
题型六 赋值思想求解析式
例11．（2023春·云南文山·高三校联考期中）已知函数 的定义域为R，对任意
均满足： 则函数 解析式为（ ）
A． B． C． D．
例12．（2022秋·高三课时练习）已知函数 为奇函数， 为偶函数，
，则 ________； ______.
练习26．（2023·重庆·二模）已知对任意的实数a均有
成立，则函数 的解析式为________．
练习27．（2020秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）函数 满足 ，则
_________.
练习28．（2023·全国·高三专题练习）设定义在 上的函数 满足
，则 ___________.
练习29．（2022秋·浙江温州·高一温州中学校考期中）已知奇函数 和偶函数 满足 .
(1)求 和 的解析式；
(2)若对于任意的 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围.
练习30．（2022秋·河北石家庄·高三石家庄精英中学校考阶段练习）已知定义在 上的函
数 满足 ，则 ___________.
题型七 单调性法求函数的值域与最值
例13．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知集合 ，
，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
例14．（2023秋·广东湛江·高三雷州市第一中学校考期末）若定义运算 ，
则函数 的值域是___________.
练习31．（2023·河北·高二统考学业考试）已知函数 ，则 的最
小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
练习32．（2023春·湖北咸宁·高三校考开学考试）当 时，函数 的值
域是（ ）
A． B． C． D．
练习33．（2023秋·内蒙古乌兰察布·高三校考期末）函数 （ ）在上的最大值是（ ）．
A．0 B．1 C．3 D．a
练习34．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为__________
练习35．（2022秋·新疆·高三乌鲁木齐市第70中校考期中）若函数
的值域是 ，则实数 的取值范围是 __．
题型八 基本不等式法求函数的值域与最值
例15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，
是奇函数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例16．（2023·全国·高三专题练习）对于定义在 上的奇函数 ，当 时，
，则该函数的值域为________.
练习36．（2022秋·湖南怀化·高三校联考期末）若对于任意的 ，不等式
恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
练习37．（2023秋·江苏苏州·高三统考开学考试）已知 为奇函数.求
的值及 的最大值；
练习38．已知 是奇函数．
(1)求 的值；(2)求 的值域．
练习39．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考阶段练习）已知函
数 ．
(1)求关于 的不等式 的解集；
(2)若 ，求函数 在 上的最小值．
练习40．（2023秋·广东河源·高三龙川县第一中学统考期末）求函数 的值
域．
题型九 分离变量法求函数的值域与最值
例17．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二校考期中）函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．
例18．（2021·高三课时练习）函数 的值域为__．
练习41．（2023·全国·高三专题练习）函数 的值域为__________
练习42．（2022秋·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考阶段练习）（多选）已知函数
，则（ ）．
A． 的值域是 B． 的定义域为
C． D．练习43．（2023秋·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考期末）（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的定义域为 B．函数 的值域为
C．函数 是奇函数 D．函数 在 上为减函数
练习44．（2022秋·河北石家庄·高二石家庄市第十八中学校考阶段练习）（多选）点
在函数 的图象上，当 ，则 可能等于（ ）
A． B． C． D．0
练习45．（2023·高三课时练习）函数 的定义域是______，值域是______．
题型十 分段函数求自变量或函数值
例19．（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）已知函数 ，
若 ，则实数 的值是（ ）
A． 或5 B．3或 C．5 D．3或 或5
例20．（2023·陕西安康·统考三模）已知函数 ，则
___________．
练习46．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知函数 若
，则实数 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3练习47．（2022秋·贵州毕节·高三统考期末）已知函数 ，则函数
的所有零点之和为___________．
练习48．（2023·四川德阳·统考模拟预测）已知函数 ，则
________．
练习49．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 在 内的最大值是
最小值的两倍，且 ，则 ______
练习50．（2023·陕西安康·统考三模）已知函数 ，则
______.
题型十一 分段函数及图象的应用
例21．（2023秋·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考期末）已知函数
.若函数 存在最大值，则实数a的取值范围是______.
例22．（2023·贵州贵阳·统考模拟预测）已知函数 在 是
减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习51．（2023·北京东城·统考二模）设函数 ，若 为增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
练习52．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则不等式
的解集是（ ）
A． B．
C． D．
练习53．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）设函数 若 存在
最小值，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
练习54．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）设函数 存在
最小值，则 的取值范围是________.
练习55．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考期中）设函数 ．
①若 ，则函数 的值域为________；
②若 在R上是增函数，则 的值可以是________．（写出符合条件的一个值）
