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2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题2.9含参数的不等式解集问题（重难点培优）
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
{2x+ y=4−m
1．若方程组 的解满足x+y＞0，则m的取值范围为（ ）
x+2y=2+3m
A．m＞﹣3 B．m＞3 C．m＜﹣3 D．m＜3
2 2
【分析】①+②得出3x+3y＝6+2m，除以3得出x+y＝2+ m，根据x+y＞0得出不等式2+ m＞0，求
3 3
出不等式的解集即可．
{2x+ y=4−m①
【解析】 ，
x+2y=2+3m②
①+②得：3x+3y＝6+2m
2
除以3得：x+y＝2+ m，
3
∵x+y＞0，
2
∴2+ m＞0，
3
解得：m＞﹣3，
故选：A．
2．（2021秋•肇源县期末）若关于x的方程x+k＝2x﹣1的解是负数，则k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k≥﹣1 D．k≤﹣1
【分析】求出方程的解（把k看作已知数），得出不等式k+1＜0，求出即可．
【解析】x+k＝2x﹣1，
整理得：x＝k+1，
∵关于x的方程x+k＝2x﹣1的解是负数，
∴k+1＜0，
解得：k＜﹣1．故选：B．
3．（2021•蒙阴县二模）如果不等式（a﹣3）x＞a﹣3的解集是x＜1，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞0 B．a＜0 C．a＞3 D．a＜3
【分析】根据不等式的基本性质3可知a﹣3＜0，解之可得答案．
【解析】∵（a﹣3）x＞a﹣3的解集是x＜1，
∴a﹣3＜0，
解得a＜3，
故选：D．
{ x−m＜0
4．（2021•翠屏区校级模拟）关于x的不等式组 有解，那么m的取值范围为（ ）
3x−1＞2(x−1)
A．m≤﹣1 B．m＜﹣1 C．m≥﹣1 D．m＞﹣1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组无解，依据口诀：同大取大、同小取小、大小小
大中间找、大大小小无解可得答案．
{ x−m＜0
【解析】 ，
3x−1＞2(x−1)
解不等式x﹣m＜0，得：x＜m，
解不等式3x﹣1＞2（x﹣1），得：x＞﹣1，
∵不等式组有解，
∴m＞﹣1．
故选：D．
{x−1＞1
5．（2021秋•龙凤区期末）若不等式组 无解，那么m的取值范围是（ ）
x＜m
A．m＞2 B．m＜2 C．m≥2 D．m≤2
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组解集的求法和不等式组无解的条件，即可得到m的
取值范围．
{x−1＞1①
【解析】
x＜m②
由①得，x＞2，
又因为不等式组无解，
所以m≤2．
故选：D．{4−2x≥0
6．已知关于x的不等式组 1 恰有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
x−a＞0
2
1 1 1 1
A．﹣1＜a＜− B．﹣1≤a≤− C．﹣1＜a≤− D．﹣1≤a＜−
2 2 2 2
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小
找不到，结合不等式组的整数解个数列出关于a的不等式组，解之即可．
【解析】解不等式4﹣2x≥0，得：x≤2，
1
解不等式 x﹣a＞0，得：x＞2a，
2
∵不等式组恰有4个整数解，
∴﹣2≤2a＜﹣1，
1
解得﹣1≤a＜− ，
2
故选：D．
{ x−2＜0
7．（2021•阜阳模拟）若关于x的不等式组 恰好只有2个整数解，则所有满足条件的整数
3x+4＞a−x
a的值之和是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．1
【分析】求出不等式组的解集，由不等式组恰好只有 2个整数解，确定出a的范围，即可求得满足条件
的整数．
a−4
【解析】解不等式组得： ＜x＜2，
4
{ x−2＜0 a−4
由关于x的不等式组 恰好只有2个整数解，得到﹣1≤ ＜0，即0≤a＜4，
3x+4＞a−x 4
满足条件的整数a的值为0、1、2、3，
整数a的值之和是0+1+2+3＝6，
故选：C．
{x＞−a
8．（2021春•海盐县校级期末）若不等式组 的解集为x＞﹣b，则下列各式正确的是（ ）
x＞−b
A．a≥b B．a≤b C．a＞b D．a＜b
【分析】根据不等式组取解集的方法确定出所求即可．
{x＞−a
【解析】∵不等式组 的解集为x＞﹣b，
x＞−b∴﹣a≤﹣b，
整理得：a≥b，
故选：A．
2
9．（2021春•大冶市期末）若关于x的不等式mx+m＜﹣nx+n的解集为x＞− ，则关于x的不等式mx﹣
3
m＞2nx﹣n的解集是（ ）
4 4 4 4
A．x＞ B．x＜ C．x＞− D．x＜−
3 3 3 3
【分析】根据不等式的性质3，可得m、n的关系，求出m，n的值，代入mx﹣m＞2nx﹣n，解不等式可
得答案．
【解析】∵mx+m＜﹣nx+n，
∴（m+n）x＜n﹣m，
2
∵关于x的不等式mx+m＜﹣nx+n的解集为x＞− ，
3
∴m+n＜0，
n−m
∴x＞ ，
m+n
{n−m=2k ①
∴ （k≠0），
m+n=−3k ②
①+②得：2n＝﹣k，
1
∴n=− k，
2
1 1
把n=− k代入①得：− k﹣m＝2k，
2 2
5
∴m=− k，
2
1 5 4
∴把n=− k，m=− k代入mx﹣m＞2nx﹣n，解得，x＜ ．
2 2 3
故选：B．
{x−1 x
+1＞
10．（2020秋•北碚区校级期末）若整数a是使得关于x的不等式组 3 2有且仅有4个整数解，
6x−5≥a
2y+a y−a
且使关于y的一元一次方程 = +1的解满足y≤87．则所有满足条件的整数a的值之和为（
5 3）
A．﹣35 B．﹣30 C．﹣24 D．﹣17
{x−1 x
+1＞
【分析】解关于x的不等式组 3 2，根据“该不等式组有且仅有 4个整数解”，得到关于a
6x−5≥a
2y+a y−a
的不等式，解之，解一元一次方程 = +1，根据解满足y≤87，得到a的取值范围，结合a
5 3
为整数，取所有符合题意的整数a，即可得到答案．
{x−1 x
+1＞ ①
【解析】 3 2 ，
6x−5≥a②
解不等式①得：x＜4，
a+5
解不等式②得：x≥ ，
6
∵该不等式组有且仅有4个整数解，
a+5
∴该不等式组的解集为： ≤x＜4，
6
a+5
∴﹣1＜ ≤0，
6
解得：﹣11＜a≤﹣5，
2y+a y−a
= +1，
5 3
去分母得：3（2y+a）＝5（y﹣a）+15，
去括号得：6y+3a＝5y﹣5a+15，
移项得：y＝15﹣8a，
∵该方程的解满足y≤87，
∴15﹣8a≤87，
∴a≥﹣9，
∵﹣9≤a≤﹣5，
∴整数a为：﹣9，﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，它们的和为﹣35，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上
{3x−2≥1
11．（2021•通辽）若关于x的不等式组 ，有且只有2个整数解，则a的取值范围是 ﹣ 1 ＜
2x−a＜5a ≤ 1 ．
a+5
【分析】解每个不等式得出1≤x＜ ，根据不等式组整数解的个数得出关于a的不等式组，解之即
2
可．
【解析】解不等式3x﹣2≥1，得：x≥1，
a+5
解不等式2x﹣a＜5，得：x＜ ，
2
∵不等式组只有2个整数解，
a+5
∴2＜ ≤3，
2
解得﹣1＜a≤1，
故答案为：﹣1＜a≤1．
{ x−2y=m {3x+ y≤0
12．（2020春•江都区期末）已知关于x，y的方程组 的解满足不等式组 ，
2x+3 y=2m+4 x+5 y＞0
则满足条件的m的整数值为 ﹣ 2 或﹣ 3 ．
{3m+4≤0
【分析】首先把两个方程相加，再把两个方程相减，然后可得 ，再解不等式组可得m的取
m+4＞0
值范围，进而可得m的整数值．
{ x−2y=m①
【解析】 ，
2x+3 y=2m+4②
①+②得：3x+y＝3m+4，
②﹣①得：x+5y＝m+4，
{3x+ y≤0
∵ ，
x+5 y＞0
{3m+4≤0
∴ ，
m+4＞0
4
解不等式组得：﹣4＜m≤− ，
3
∴m的整数值为﹣3或﹣2，
故答案为：﹣3或﹣2．
13．（2020秋•永嘉县校级期末）关于x的方程2x﹣2m＝x+4的解为正数，则m的取值范围是 m ＞﹣ 2
．
【分析】求出方程的解，根据方程的解是正数得出4+2m＞0，求出即可．
【解析】2x﹣2m＝x+4，∴x＝4+2m，
∵方程的解是正数，
∴4+2m＞0，
∴m＞﹣2．
即m的取值范围是m＞﹣2．
|a b| |a b|
14．（2021春•顺庆区校级期末）阅读理解：我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 =
c d c d
|1 3| |2 3−x|
ad﹣bc，例如 =1×4﹣2×3＝﹣2，如果 ＞0，则该不等式的解集是 x ＞ 1 ．
2 4 1 x
【分析】根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可．
【解析】根据题意得2x﹣（3﹣x）＞0，
去括号，得：2x﹣3+x＞0，
移项、合并，得：3x＞3，
系数化为1，得：x＞1，
故答案为：x＞1．
1
15．（2021春•淮阳区校级期末）若关于x的不等式ax＜﹣bx+b（a，b≠0）的解集为x＞ ，则关于x的
2
不等式ax＞2bx+b的解集是 x ＞﹣ 1 ．
【分析】由已知得出a＝b＜0，进而即可求得关于x的不等式ax＞2bx+b的解集．
【解析】ax＜﹣bx+b，
（a+b）x＜b，
1
∵关于x的不等式ax＜﹣bx+b（a，b≠0）的解集为x＞ ，
2
b 1
∴ = ，且a+b＜0，
a+b 2
∴a＝b＜0，
∴ax＞2bx+b变为﹣bx＞b，
∴x＞﹣1，
故答案为x＞﹣1．
16．（2021春•兴国县期末）若关于x的不等式x﹣a＞0恰好有两个负整数解，则a的范围为 ﹣ 3 ≤ a ＜
﹣ 2 ．
【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定a的值．【解析】∵x﹣a＞0，
∴x＞a，
∵不等式x﹣a＞0恰有两个负整数解，
∴﹣3≤a＜﹣2．
故答案为﹣3≤a＜﹣2．
{2x+ y=3−a
17．（2020秋•金牛区期末）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＜1，则a的取值
x+2y=4+2a
范围为 a ＜﹣ 4 ．
【分析】将方程两个方程相加可得3x+3y＝7+a，由x+y＜1知3x+3y＜3，据此可得7+a＜3，解之即可．
{2x+ y=3−a ①
【解析】 ，
x+2y=4+2a ②
①+②，得：3x+3y＝7+a，
∵x+y＜1，
∴3x+3y＜3，
则7+a＜3，
解得a＜﹣4，
故答案为：a＜﹣4．
5
18．（2021•北碚区校级开学）已知关于x的不等式（a+3b）x＞a﹣b的解集为x＜− ，则关于x的一元
3
3
一次不等式bx﹣a＞0的解集为 x＜− ．
2
【分析】将a与b看做已知数表示出不等式的解集，根据已知的解集求出 a与b的值，代入所求不等式
中计算即可求出解集．
5
【解析】∵不等式（a+3b）x＞a﹣b的解集是x＜− ，
3
∴a+3b＜0，即a＜﹣3b，
a−b 5 a 3
∵ =− ，即8a＝﹣12b， =− ，
a+3b 3 b 2
∵a+3b＜0，2a+3b＝0，
则a＞0，b＜0，
3
∴bx﹣a＞0的解集为x＜− ．
23
故答案为：x＜− ．
2
三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
{x+2y=3m−6
19．（2021春•成都月考）若关于x，y的方程组 的解满足x+y＜2，求出满足条件的m的
2x+ y=3
所有非负整数值．
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出m的所有非负整数解即
可．
【解析】方程组两式相加，得3x+3y＝3m﹣3，
即x+y＝m﹣1，
∵x+y＜2，
∴m﹣1＜2，
∴m＜3，
则满足条件的m的所有非负整数值为0，1，2．
{3x+ y=4m+2
20．（2021春•赣州期末）已知关于x，y的二元一次方程组 ．
x−y=6
{x=m+2
（1）用含有m的式子表示上述方程组的解是 ；
y=m−4
（2）若x、y是相反数，求m的值；
（3）若方程组的解满足x+y＜3，求满足条件的m的所有非负整数值．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）根据（1）的结论以及相反数的定义列方程求解即可；
（3）根据（1）的结论，代入已知不等式求出m的范围，确定出m的所有非负整数解即可．
{3x+ y=4m+2①
【解析】（1） ，
x−y=6②
①+②得：4x＝4m+8，
∴x＝m+2，
把 x＝m+2代入②得m+2﹣y＝6，
∴y＝m﹣4，
{x=m+2
故方程组的解为 ；
y=m−4
{x=m+2
故答案为： ；
y=m−4（2）由题意，得m+2+m﹣4＝0，
解得m＝1；
（3）由（1）得x+y＝（m+2）+（m﹣4）＝2m﹣2，
∵x+y＜3，
∴2m﹣2＜3，
5
∴m＜ ．
2
所以满足条件的m的所有非负整数值为：0，1，2．
{a−b=1+3m
21．（2021春•江都区期末）已知关于a、b的方程组 中，a为负数，b为非正数．
a+b=−7−m
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|m﹣3|+|m+2|；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数值时，不等式2mx﹣3＞2m﹣3x的解集为x＜1．
{ a=m−3
【分析】（1）解方程组得出 ，根据a为负数，b为非正数得出关于m的不等式组，解之
b=−2m−4
即可得出答案；
（2）由﹣2≤m＜3得出m﹣3＜0，m+2≥0，再去绝对值符号、合并同类项即可；
（3）由2mx﹣3＞2m﹣3x知（2m+3）x＞2m+3，根据解集为x＜1得到关于m的不等式，解之得出m的
范围，结合以上所求m的范围可确定整数m的值．
{a−b=1+3m { a=m−3
【解析】（1）解方程组 ，得： ，
a+b=−7−m b=−2m−4
∵a为负数，b为非正数，
{ m−3＜0
∴ ，
−2m−4≤0
解得﹣2≤m＜3；
（2）∵﹣2≤m＜3，
∴m﹣3＜0，m+2≥0，
则原式＝3﹣m+m+2＝5；
（3）∵2mx﹣3＞2m﹣3x，
∴2mx+3x＞2m+3，
∴（2m+3）x＞2m+3，
∵解集为x＜1，
∴2m+3＜0，3
解得m＜− ，
2
3
∴在﹣2≤m＜3范围内符合m＜− 的整数是﹣2．
2
3
22．（2021春•庐阳区校级期中）在实数范围内定义一种新运算“ ”其运算规则为：a b＝2a−
2
⊕ ⊕
3
（a+b），如1 5＝2×1− （1+5）＝﹣7．
2
⊕
（1）若x 4＝0，则x＝ 1 2 ．
（2）若关⊕于x的方程x m＝﹣2 （x+4）的解为非负数，求m的取值范围．
【分析】（1）根据所给⊕的运算列⊕出关于x的方程，解方程即可．
（2）根据所给的运算列出关于x的一元一次方程，解方程后得到关于m的不等式，求出m的取值范围
即可．
3
【解析】（1）∵a b＝2a− （a+b），
2
⊕
3 1
∴x 4＝2x− （x+4）= x﹣6，
2 2
⊕
∵x 4＝0，
1⊕
∴ x﹣6＝0，
2
解得x＝12，
故答案为：12；
3
（2）∵a b＝2a− （a+b），
2
⊕
3 1 3 3 3 3
∴x m＝2x− （x+m）= x− m，﹣2 （x+4）＝2×（﹣2）− （﹣2+x+4）＝﹣4+3− x﹣6=− x
2 2 2 2 2 2
⊕ ⊕
﹣7，
1 3 3
∴ x− m=− x﹣7，
2 2 2
3 7
解得x= m− ，
4 2
∵关于x的方程（x m）＝[﹣2 （x+4）]的解为非负数，
3 7 ⊕ ⊕
∴ m− ≥0，
4 214
∴m≥ ，
3
14
∴m的取值范围为m≥ ．
3
{x+ y=−7−m {x=a
23．（2021春•红谷滩区校级期中）已知方程组 的解为 满足a为非正数，b为负数．
x−y=1+3m y=b
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|2m﹣6|+|2m+4|；
（3）在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x不等式2mx+x＜2m+1的解集为x＞1．
【分析】（1）首先对方程组进行化简，根据方程的解满足x为非正数，y为负数，就可以得出m的范围；
（2）根据（1）化简即可求解；
（3）根据不等式的性质得到2m+1＜0，再根据整数的性质求得m的值．
{x+ y=−7−m { x=m−3
【解析】（1）解原方程组 得： ，
x−y=1+3m y=−2m−4
∵x≤0，y＜0，
{ m−3≤0
∴ ，
−2m−4＜0
解得﹣2＜m≤3．
故m的取值范围是﹣2＜m≤3；
（2）|2m﹣6|+|2m+4|＝6﹣2m+2m+4＝10；
（3）解不等式2mx+x＜2m+1得（2m+1）x＜2m+1，
∵x＞1，
∴2m+1＜0，
1
∴m＜− ，
2
1
∴﹣2＜m＜− ，
2
∵m为整数，
∴m＝﹣1．
2m−mx 1
24．（2017•呼和浩特）已知关于x的不等式 ＞ x﹣1．
2 2
（1）当m＝1时，求该不等式的解集；（2）m取何值时，该不等式有解，并求出解集．
【分析】（1）把m＝1代入不等式，求出解集即可；
（2）不等式去分母，移项合并整理后，根据有解确定出m的范围，进而求出解集即可．
2−x x
【解析】（1）当m＝1时，不等式为 ＞ −1，
2 2
去分母得：2﹣x＞x﹣2，
解得：x＜2；
（2）不等式去分母得：2m﹣mx＞x﹣2，
移项合并得：（m+1）x＜2（m+1），
当m≠﹣1时，不等式有解，
当m＞﹣1时，不等式解集为x＜2；
当m＜﹣1时，不等式的解集为x＞2．
