文档文本内容
专题2.9 实数（专项练习）
一、单选题
类型一、实数概念的理解
1．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③某数的
绝对值是它本身，则这个数是正数；④16的平方根是 ，用式子表示是 .其中
错误的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法中，正确的个数有（ ）
①不带根号的数一定是有理数； ②任意一个实数都可以用数轴上的点表示；
③无限小数都是无理数； ④ 是17的平方根；
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．下列各数 ， ， ， ， ， ， 中，无理数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
类型二、实数的分类
4．下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②无理数是开方开不尽的数；③负数没
有立方根；④16的平方根是 ，用式子表示是 .其中错误的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．在实数π， ， ， 中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知下列各数: ，
，在以上各数中:①有理数有 个；②无理数有 个；③分数有2个；④正数有 个；⑤负数有 个.其中正确的是（ ）
A． ①②③ B． ②③④ C．②③⑤ D．①④⑤
类型三、实数的性质
7．若 =–a,则实数a在数轴上的对应点一定在（ ）
A．原点左侧 B．原点右侧 C．原点或原点右侧 D．原点或原点左侧
8．化简 的结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．下列各组数中互为相反数的一组是（ ）
A． 与 B．-4与 C． 与 D． 与
类型四、实数与数轴
10．实数 ， ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )
A． B． C． D．
11．实数 在数轴上对应的点的位置如图所示，这四个数中最大的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在Rt△OBC中，OC=1，OB=2，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（
）A．－ －2 B．－ C． ﹣2 D．﹣ +2
类型五、实数的大小比较
13．下列各组数中,两个数相等的是 ( )
A．-2与 B．-2与- C．-2与 D．|-2|与-2
14．估计 的值在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
15．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b
类型六、实数的混合运算
16．计算：－ ＋ － 的结果是( )
A．1 B．－1 C．5 D．－3
17． － 是( )
A．－2 B．－8 C．－6 D．－14
18．估计 的值应在（ ）之间．
A．5和6 B．6和7 C．7和8 D．8和9
类型七、程序设计与实数运算
19．有一个数值转换器原理如下:当输入x=16时,输出的数是 ( )
A．8 B．2 C． D．
20．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为 ，则最后输出的结果是（ ）A．14 B．16 C．8+5 D．14+
21．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是﹣2，若输
入x的值是﹣8，则输出y的值是（ ）
A．5 B．10 C．19 D．21
类型八、新定义下的实数运算
22．对于实数x，我们规定 表示不大于x的最大整数，例如 ， ，
，若 ，则x的取值可以是（ ）
A．40 B．45 C．51 D．56
23．定义新运算“⊕”：a⊕b= + （其中a、b都是有理数），例如：2⊕3= + = ，
那么3⊕（﹣4）的值是（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．
24．我们定义一种新运算a⊕b＝ ，例如5⊕2＝ ，则式子7⊕(﹣3)的值为(
)
A． B． C． D．
类型九、实数运算的实际应用25．若实数x,y，使得x+y ,x-y , xy这四个数中的三个数相等，则 的值等于（
）
A．- B．0 C． D．
26．若面积为3的正方形的边长为a，下列两句判断：①a一定是一个无理数；
②1.7<a<1.8．下列说法正确是（ ）
A．只有①对 B．只有②对 C．①②都对 D．①②都错
27．下列长度的三条线段能构成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
类型十、与实数运算的相关规律题
28．按如图所示的程序计算，若 ，则 的结果为（ ）
A． B． C． D．
29．已知 =3×2=6, =5×4×3=60, =5×4×3×2=120, =6×5×4×3=360,依此规律 的值
为（ ）
A．820 B．830 C．840 D．850
30．按一定规律排列的一列数: ， ， ， ，其中第 个数为( )A． B． C． D．
二、填空题
类型一、实数概念的理解
31． 的绝对值是_______．
32．在实数 ， ，4， ， ， 中，设有a个有理数，b个无理数，
则 ________．
33． 观察下列各式： ， ， ，…,根据你发现
的规律，若式子 (a、b为正整数)符合以上规律，则 =_______.
类型二、实数的分类
34．在 ， ， ， ， 这五个数中，有理数有______个
35．在实数 ， ，﹣ ，0.303030…，π， ，0.301300130001…（3和1之间依次
多一个0）中，有理数的个数为_____个．
36．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是___________．
类型三、实数的性质
37． － 的相反数为______，|1－ |＝_______，绝对值为 的数为________．38．化简: =________
39．若 与|b+2|是互为相反数，则(a－b)2=______.
类型四、实数与数轴
40．若将三个数 、 、 表示在数轴上，则其中被墨迹覆盖的数是_______．
41．如图，在数轴上，点 对应的实数分别为 ， ， ，以点 为圆
心， 为半径画弧交数轴正半轴于点 ，则 点对应的实数为________．
42．如图，数轴上点B表示的数为2，过点B作 于点B，且 ，以原点O为
圆心， 为半径作弧，弧与数轴负半轴交于点A，则点A表示的实数是_______．
类型五、实数的大小比较
43．比较大小： ________ .
44．估算比较大小： ______1．（填“＜“或“＞“或“＝“）
45．比较大小 ________12.
类型六、实数的混合运算46．计算： ______．
47．计算 ＝_______．
48．对于实数a、b，定义运算：a△b= 例如2△3=2-3= ，
4△2=42=16，照此定义的运算方式计算：[2△（-4）]×[（-4）△（-1）]=_____.
类型七、程序设计与实数运算
49．按照如图的操作步骤，若输入x的值为2，则输出的值是_____．（用科学计算器计算
或笔算）
50．按如图所示的程序计算,若开始输入的n值为 ,则最后输出的结果是 _______
51．有一个数值转换器，流程如图：
当输入x的值为64时，输出y的值是_____．
类型八、新定义下的实数运算
52．定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____．
53．我们用[m]表示不大于m的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．（1）
＝_____；（2）若[3+ ，则x的取值范围是_____．
54．我们规定运算符号“△”的意义是：当a＞b时，a△b＝a＋b；当a≤b时，a△b＝a－
b，其它运算符号的意义不变，计算：( △ )－(2 △3 )＝__________.类型九、实数运算的实际应用
55．如图，将长方形分成四个区域，其中 ， 两正方形区域的面积分别是1和6，则剩
余区域的面积是_________．
56．矩形的长a＝ ，宽b＝ ，则这个矩形的面积为_______，周长为________．
57．请你规定一种适合非零实数a，b的新运算“ ”，使得下列算式成立：
， ， …你规定的新运
算 ____________________.（用含a，b的一个代数式表示）
类型十、与实数运算的相关规律题
58．观察分析下列数据，寻找规律：0，√3，√6，3，√12，√15，√18，…，那么第13
个数据是______．
59．观察下列等式：
＝1+ ﹣ ＝1 ，
＝1+ ﹣ ＝1 ，
＝1+ ﹣ ＝1 ，
…
请你根据以上规律，写出第n个等式_____．
60．已知 ， （ ），请用计算器计算当 时，、 的若干个值，并由此归纳出当 时， 、 间的大小关系为______.
三、解答题
类型一、实数概念的理解
61．已知：a，b均为有理数，且满足 ．化简
．
类型二、实数的分类
62．把下列各数填入相应的集合：
．
有理数集合{ }；
无理数集合{ }；
整数集合{ }；
负实数集合{ }．
类型三、实数的性质
62．已知实数a，b满足 ＋|2b＋1|＝0，求 的值．
类型四、实数与数轴
64．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 .类型五、实数的大小比较
65．把下列各数近似的表示在数轴上，并用“＜”号把它们按从小到大的顺序排列起来．
－|－3|，－(－ )，－1， ，π
类型六、实数的混合运算
66．计算： ．
类型七、程序设计与实数运算
67．如图是一个数值转换器．
(1)当输入x＝25时，求输出的y的值；
(2)是否存在输入x的值后，始终输不出y的值？如果存在，请直接写出所有满足要求的x
值；如果不存在，请说明理由；
(3)输入一个两位数x，恰好经过三次取算术平方根才能输出无理数y，则x＝________(只
填一个即可)．
类型八、新定义下的实数运算
68．我们约定 ，如: .
(1)试求 和 的值;(2)想一想， 是否与 相等，并说明理由.
类型九、实数运算的实际应用
69．定义：若a+b＝2，则称a与b是关于1的平衡数．
（1）①3与 是关于1的平衡数；②4﹣x与 是关于1的平衡数（用含x的代
数式表示）．
（2）若a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4，b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]，判断a与b是否是关于1的
平衡数，并说明理由．
类型十、与实数运算的相关规律题
70．观察与猜想：
2
3
（1） 与 分别等于什么？并通过计算验证你的猜想；
（2）计算 （n为正整数）等于什么？参考答案
1．C
【分析】
①实数和数轴上的点是——对应的；②开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方
开不尽的数；③绝对值是它本身的数是非负数；16的平方根是 ，用式子表示是
．
【详解】
①实数和数轴上的点是——对应的，故正确；
②开方开不尽的数是无理数，但无理数不一定是开方开不尽的数，故错误；
③某数的绝对值是它本身，则这个数是正数或零，故错误；
④16的平方根是 ，用式子表示是 ，故错误．
综上所述，错误的说法有3个．
故选C．
【点拨】本题考查实数的分类，无理数的定义，平方根的定义，在判断正误过程中，先理
解相应的概念是解题的关键．
2．B
【分析】
根据有理数、实数、无理数和平方根的概念判断即可．
【详解】
解：①不带根号的数不一定是有理数，如π，所以①错误；
②任意一个实数都可以用数轴上的点表示，正确；
③无限不循环小数都是无理数，所以③错误；
④ 是17的平方根，正确；
故选：B．
【点拨】此题考查实数，关键是根据有理数、实数、无理数和平方根的概念解答．
3．B
【分析】
整数和分数统称为有理数，无限不循环小数统称为无理数，据此定义逐项分析判断．
【详解】解： ， ， ， 为有理数；
是无理数， 是无理数，
， 为开方开不尽的数， 为无理数，
为开方开不尽的数，
为无理数，故无理数有3个，
故选B．
【点拨】本题考查算术平方根、立方根、无理数等知识，是基础考点，难度较易，掌握相
关知识是解题关键．
4．D
【分析】
直接利用相关实数的性质分析得出答案．
【详解】
①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；
②无理数是开方开不尽的数，错误，无理数是无限不循环小数；
③负数没有立方根，错误，负数有立方根；
④16的平方根是±4,用式子表示是： ，故此选项错误．
故选D.
【点拨】此题考查实数，解题关键在于掌握其定义.
5．A
【分析】
根据无理数、有理数的定义逐一分析即可．
【详解】
在实数π， ， ， 中，无理数是，故选A.
【点拨】本题考查了无理数，解题的关键是掌握带根号的要开不尽方才是无理数，无限不
循环小数为无理数．6．C
【分析】
根据实数的分类进行解答
【详解】
解：①有理数有 共7个，错误；
②无理数有 共5个，正确；
③分数有 ，共2个，正确；
④正数有 共7个，错误；
⑤负数有 共4个；
故选C.
【点拨】本题考查了实数的概念辨析，涉及到有理数、无理数、分数、正数和负数，了解
对应的概念判断即可.
7．D
【分析】
根据算术平方根和绝对值的意义可知a≤0，从而可判断出 实数a在数轴上的对应点位置.
【详解】
∵ =–a,
∴a≤0，
∴a在原点或原点左侧.
故选D.
【点拨】本题考查了算术平方根的意义，绝对值的意义及实数与数轴的关系，根据绝对值
的意义求出a≤0是解答本题的关键.
8．D
【分析】首先比较 与3的大小，然后由绝对值的意义，化简即可得到答案．
【详解】
解：∵ <3
∴ -3<0
即： ；
故选：D．
【点拨】本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．
9．C
【分析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【详解】
A、-|-2|=-2， =-2，故A错误；
B、-4= ，故B错误；
C、 = ，只有符号不同的两个数互为相反数，故C正确；
D、 与 不是相反数，故D错误；
故选C．
【点拨】本题考查了相反数，利用了相反数的意义．
10．B
【详解】
分析：观察数轴得到实数 ， ， 的取值范围，根据实数的运算法则进行判断即可.
详解：∵ ，∴ ，故A选项错误；
数轴上表示 的点在表示 的点的左侧，故B选项正确；∵ ， ，∴ ，故Ｃ选项错误；
∵ ， ， ，∴ ，故D选项错误．
故选B.
【点拨】：主要考查数轴、绝对值以及实数及其运算.观察数轴是解题的关键.
11．D
【详解】
根据根据数轴上的数右边总比左边的大，d在最右边，故选D.
12．D
【分析】
本题首先根据已知条件利用勾股定理求得直角三角形的斜边的长度，进而利用实数与数轴
的关系解答即可求解．
【详解】
解：由勾股定理可知，斜边= ,
∵点A在负半轴上，
∴A表示的数是﹣ +2．
故选D．
【点拨】本题主要考查了勾股定理及实数与数轴之间的对应关系，有一定的综合性，不仅
要结合图形，还需要灵活运用勾股定理．
13．C
【分析】
根据算术平方根的定义，立方根的定义以及绝对值的性质对各选项分析后利用排除法求解．
【详解】
解：A、∵ =2，∴-2与 不相等，故本选项错误；
B、-2与- 不相等，故本选项错误；
C、∵ =-2，∴-2与 相等，故本选项正确；D、∵|-2|=2，∴|-2|与-2不相等，故本选项错误．
故选C．
【点拨】本题主要考查了算术平方根，立方根的定义，对各选项正确化简是解题的关键．
14．C
【详解】
解：由36＜38＜49，即可得6＜ ＜7，
故选C．
15．D
【分析】
根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较
即可求解．
【详解】
根据数轴可得： ， ，且 ，
则 ，选项A错误；
，选项B错误；
，选项C错误；
，选项D正确；
故选：D．
【点拨】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容，会利用数轴比较实数的大小是
解决问题的关键．
16．D
【分析】
首先求出各个根式的值，进而即可求解．
【详解】
－ ＋ － ，
=-3+2-2，=-3.
故选D.
【点拨】此题主要考查了实数的运算，解题关键是能够求解一些简单的二次根式的加减问
题．
17．A
【分析】
分别进行开平方及开立方的运算，然后合并即可得出答案．
【详解】
－ =2-4=-2.
故选A.
【点拨】本题考查了实数的运算，要求同学们熟练掌握开平方及开立方的运算．
18．C
【解析】
【分析】
先把 化简得 +3，再判断 +3在哪两个自然数之间即可.
【详解】
解： = + +3；
∵ = ，4＜ ＜5，
∴7＜ ＜8，
即7＜ ＜8；
故选C.
【点拨】此题主要考察二次根式的计算及无理数的估算，需灵活运用方可解出.
19．D
【分析】
把16代入数值转换器，根据要求进行计算，得到输出的数值．
【详解】解：∵ =4，4是有理数，
∴继续转换，
∵ =2，2是有理数，
∴继续转换，
∵2的算术平方根是 ，是无理数，
∴符合题意，
故选D．
【点拨】本题考查的是算术平方根的概念和性质，掌握一个正数的正的平方根是这个数的
算术平方根是解题的关键，注意有理数和无理数的区别．
20．C
【详解】
试题分析：当n= 时，n（n+1）= （ +1）=2+ ＜15；
当n=2+ 时，n（n+1）=（2+ ）（3+ ）=6+5 +2=8+5 ＞15，
则输出结果为8+5 ．
故选C．
考点：实数的运算．
21．C
【分析】
把 与 代入程序中计算，根据y值相等即可求出b的值．
【详解】
解：当 时，可得 ，
可得： ，
当 时，可得： ，
故选C．【点拨】此题考查了函数值，弄清程序中的关系式和理解自变量取值范围是解本题的关键．
22．C
【详解】
解：根据定义，得
∴
解得： ．
故选C．
23．C
【解析】
试题解析：3⊕（-4）
= .
故选C．
24．B
【分析】
根据运算法则可得: = ,化简可得.
【详解】
根据运算法则可得: = .
故选B
【点拨】本题考核知识点：新定义运算. 解题关键点：理解运算法则.
25．C
【解析】
【分析】
先根据分母不为0确定x+y与x-y不相等，再分类讨论即可．
【详解】解：因为 有意义，所以y不为0，故x+y和x-y不等
（1）x+y=xy= 解得y=-1，x= ，
（2）x-y=xy= 解得y=-1，x= - ，
所以|y|-|x|=1- = ．
故选C．
【点拨】本题考查了实数的运算，解题的关键是确定x+y与x-y不相等，再进行分类讨论．
26．C
【分析】
根据正方形面积算法得到a2=3，再利用实数的性质分析得出答案．
【详解】
解：∵面积为3的正方形的边长为a，
∴a2=3，
∴①a一定是一个无理数，正确，
②1.72=2.89，1.82=3.24，2.89<a<3.24，则1.7<a<1.8，正确，
故选C．
【点拨】此题主要考查了实数的性质，正确掌握实数有关性质是解题关键．
27．D
【分析】
根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行逐一分
析即可．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，
A、5+5＜11，不能组成三角形，不符合题意；
B、1+ ＜3，不能组成三角形，不符合题意；
C、b+a-b=a，不能组成三角形，不符合题意；D、a+1+a+2=2a+3＞2a+2，能组成三角形，符合题意．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了三角形的三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的
两边的和是否大于第三边．
28．D
【分析】
根据程序分别计算前几次输出的结果，从中找到规律，进一步探索第2020次得到的结果．
【详解】
解：由题意知，
S=a，
1
n=1时，S=1－S=1－a，
2 1
n=2时，S= ，
3
n=3时，S=1－S=1－ = ，
4 3
n=4时，S= = ，
5
n=5时，S=1－S=1－（1－ ）= ，
6 5
n=6时，S= ；
7
……
发现规律：每6个结果为一个循环，
所以2020÷6=336…4，
所以S =S = ，
2020 4
故选：D．
【点拨】本题考查了代数式的运算，解决此类题的关键是通过计算发现循环的规律，再进
一步探索，注意规律的总结．29．C
【分析】
对于 （b＜a）来讲，等于一个乘法算式，其中最大因数是a，依次少1，最小因数是b．
依此计算即可．
【详解】
解：根据规律可得：
=7×6×5×4=840；
故选C．
【点拨】本题考查了规律型-数字的变化，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目
首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．注意找到 （b＜a）中的最大
因数，最小因数．
30．B
【分析】
观察这列数，得到分子和分母的规律，进而得到答案．
【详解】
解：根据一列数： ， ， ， ，…可知，
第n个数分母是n，分子是(n+1)2-1的算术平方根，
据此可知：第7个数是 ．
故选B．
【点拨】此题考查了数字的变化类，从分子、分母两个方面考虑求解是解题的关键，难点
在于观察出分子的变化．
31．2
【详解】
解：因为 ，所以—2的绝对值是2．故答案为2．
32．2【分析】
由题意先根据有理数和无理数的定义得出a、b的值，进而求出 的值．
【详解】
解： ，4， ， 共有4个有理数，即 ，
， 共有2个无理数，即 ，
所以 ．
故答案为：2．
【点拨】本题考查有理数和无理数的定义以及算术平方根的运算，熟练掌握相关定义与运
算法则是解题的关键．
33．4
【分析】
从①②③三个式子中，我们可以发现计算出的等号后面的系数为等号前面的根号里的整数
加分数的分子，根号里的还是原来的分数，据此求出a、b的值即可求得答案.
【详解】
∵ ， ， ，…，
∴用含n的式子来表示为： ，
∵ ，
∴a=8-1=7，b=a+2=9，
∴ = =4，
故答案为4.
【点拨】本题考查了本题考查了规律型——数字的变化类，找到变化的规律是解题的关键．
34．3
【分析】根据有理数和无理数的定义进行判断即可得.
【详解】
根据题意可得有理数有 ， ， ，
， 为无理数，
所以有理数有3个，
故答案为3．
【点拨】本题考查了实数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数与无理数的定义.
35．4
【分析】
根据有理数、无理数的定义进行判断即可得解.
【详解】
在 ， ，﹣ ，0.303030…，π， ，0.301300130001…（3和1之间依次多一个
0）中，有理数有 ， ，﹣ ，0.303030…，共4个，其余的都是无理数，
故答案为4.
【点拨】本题考查了实数的分类，主要利用了有理数和无理数定义，熟记相关概念是解题
的关键．
36．
【分析】
根据已知判断每一步输出结果即可得到答案．
【详解】
解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的平方根 ，是无理数，
输出为y，
∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是 ．故答案为： ．
【点拨】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．
37． － －1 ±3
【分析】
直接利用相反数的定义得出答案;
结合绝对值的定义得出答案;
根据立方根的定义先求出 的值,再根据绝对值的性质即可求出.
【详解】
解：(1) － 的相反数是： － ，
(2) |1－ |＝ －1;
(3) =3,
∴绝对值为3的数为±3.
故答案为 － ; －1; ±3.
【点拨】本题主要考查相反数，绝对值的定义以及立方根,关键在于熟练掌握运用相关的性
质定理，认真的进行计算．
38．1
【分析】
因为π≈3.142，所以π-4＜0，3-π＜0，然后根据绝对值定义即可化简|π-4|+|3-π|．
【详解】
∵π≈3.142，
∴π-4＜0，3-π＜0，
∴|π-4|+|3-π|=4-π+π-3=1，
故答案为1．
【点拨】本题主要考查了实数的绝对值的化简，解题关键是掌握绝对值的规律，一个正数
的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
39．9
【分析】利用非负数的性质确定a、b的值即可解决问题．
【详解】
∵若 与|b+2|互为相反数，
∴ +|b+2|=0，
∵ ≥0，|b+2|≥0，
∴a=1，b=-2，
∴（a-b）2=9，
∴9的平方根为±3．
故答案为±3．
【点拨】本题考查非负数的性质，有理数的混合运算等知识，解题的关键是熟练掌握非负
数的性质．
40．
【分析】
首先利用估算的方法分别得到 、 、 前后的整数（即它们分别在哪两个整数之
间），从而可判断出被覆盖的数．
【详解】
解：∵-2＜ ＜-1，2＜ ＜3，3＜ ＜4，且墨迹覆盖的范围是1-3，
∴能被墨迹覆盖的数是 .
故答案为： .
【点拨】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，难度不大.
41．
【分析】
根据题意求出AB，根据勾股定理求出AC，根据实数与数轴的关系解答即可.
【详解】
∵点A，B对应的实数分别为1，3∴AB= 2
∵BC⊥AB
∴∠ABC =90°
∴AC =
则AP=AC=
∴点P对应的实数为 ＋1
故 答案为: +1
【点拨】本题考查的是勾股定理、实数与数轴，如果直角三角形的两条直角边长分别是
a，b斜边长为c，那么a2+b2=c2.
42．
【分析】
直接利用勾股定理得出 的长，再利用数轴得出答案．
【详解】
解： ，
，
是直角三角形，
， ，
，
点 表示的实数是： ．
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键．
43．＜
【解析】
试题解析：∵∴
∴
44． ．
【解析】
【分析】
首先估算2＜ ＜3，所以 -1＜2，因此 ＜1，由此得出答案即可．
【详解】
解：∵2＜ ＜3，
∴ -1<2，
∴ ＜1.
故答案为<.
【点拨】本题考查了实数大小的比较，解决本题的关键是熟悉比较实数大小的法则.
45．＜
【解析】
【分析】
根据12= 即可求解；
【详解】
∵12= ＞ ，
∴ ＜12.
故答案为：<.
【点拨】本题主要考查了两个数的比较，可以利用平方的方法比较两个二次根式的大小．
46． .【详解】
原式= = ，
故答案为 ．
47．4
【分析】
按顺序先分别进行算术平方根和平方运算，然后再进行减法运算即可．
【详解】
，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
48．- ；
【分析】
根据定义分别求出每一项的结果，然后准确计算即可；
【详解】
：：[2△（-4）]=2-4= ，
[（-4）△（-1）]=（-4）1=-4，
∴[2△（-4）]×[（-4）△（-1）]= ×（-4）=- ；
故答案为- ；
【点拨】此题考查实数的运算，能够根据题中定义将所求转化为实数的运算是解题关键．
49．2
【详解】【分析】将x=2代入程序框图中计算即可得到结果．
【详解】将x=2代入得：
3×22﹣10=12﹣10=2，
故答案为2．
【点拨】本题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
50．8+
【分析】
根据程序框图的流程逐步进行计算,判断根式的大小即可解题.
【详解】
解：输入n= ,n(n+1)=2+ 15,
输入n=2+ , n(n+1)= 8+ 15,
∴输出结果为8+ .
【点拨】本题考查了根式的大小判断,程序框图的应用,中等难度,读懂流程图,会判断根式的
大小是解题关键.
51．
【分析】
直接将x=64代入流程图进行运算即可．
【详解】
解：当输入x的值为64时， ＝8是有理数，则 ＝2是有理数；由2的算术平方根为
是无理数．
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和
无理数的分类以及读懂流程图是解答本题的关键．
52．x2﹣1
【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可．
【详解】
解：根据题意得：
（x﹣1）※x=（x﹣1）（x+1）=x2﹣1．
故答案为：x2﹣1．
【点拨】本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键．
53．1
【分析】
(1)由 ≈1.414，及题中所给信息，可得答案；
(2)先解出 的取值范围后得出x的取值范围.
【详解】
解：（1） ≈1.414，由题中所给信息，
可得 =1；
（2）由题意得:6≤ ＜7，
可得：3≤ ＜4，
可得：9≤x＜16.
【点拨】本题主要考查新定义及不等式的性质，找出规律是解题的关键
54．－ ＋4
【解析】
【分析】
根据题意，先比较出 ＞ ，2 ＜3 ，再代入相应的运算法则进行计算，再根据
二次根式的混合运算进行化简.
【详解】
∵当a＞b时，a△b＝a＋b；当a≤b时，a△b＝a－b， ＞ ，2 ＜3 ，∴( △ )－(2 △3 )
＝ ＋ －(2 －3 )
＝－ ＋4 .
【点拨】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是根据题意进行运算化简，再利用二
次根式的运算法则进行计算.
55． -1.
【分析】
由A、B两正方形的面积得出相应边长，再根据图形计算出剩余部分面积.
【详解】
解：∵ ， 两正方形区域的面积分别是1和6，
则 ， 两正方形区域的边长分别是1和 ，
则剩余区域的面积为：（1+ ）× -1-6= -1.
故答案为： -1.
【点拨】本题考查了实数的混合运算的应用，解题的关键是读懂图形.
56．6 4 +2
【解析】
【分析】
根据题意，由矩形的面积公式计算，用矩形的长乘以宽即可得到面积；矩形的周长是两个
长加上两个宽，把数代入即可
【详解】
这个矩形的面积= × = =6
周长=2× +2× =4 +2
故答案为：6 ，4 +2
【点拨】本题考查了矩形的面积和周长公式以及实数的运算，注意有理数运算与实数运算之间的联系
57．
【解析】
【分析】
根据已知等式，归纳总结得到结果即可．
【详解】
解：根据题意得：
【点拨】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
58．6
【解析】
被开方数依次为0，3，6，9，12，15，18，…，每两数相差3，所以第13个数为√36＝6.
故答案为6.
【点拨】：本题是数字规律探究题，观察题目找出规律被开方数依次增加3是解题的关键.．
59．
【分析】
根据已知算式得出规律，根据规律求出即可．
【详解】
解：∵观察下列等式：
…∴第n个等式是 =1+ - =1+ .
故答案是： =1+ - =1+ ．
【点拨】本题考查了二次根式的性质的应用，关键是能根据题意得出规律．
60．
【解析】
试题分析：当n=3时，A= ≈0.3178，B=1，A＜B；
当n=4时，A= ≈0.2679，B= ≈0.4142，A＜B；
当n=5时，A= ≈0.2631，B= ≈0.3178，A＜B；
当n=6时，A= ≈0.2134，B= ≈0.2679，A＜B；
……
以此类推，随着n的增大，a在不断变小，而b的变化比a慢两个数，所以可知当n≥3时，
A、B的关系始终是A＜B.
61．当x＜-2时， ；当-2≤x≤1时， ；当x＞1时，
【分析】
根据已知等式可得关于a和b的方程，求出a，b的值，再代入，根据x的范围分类讨论，
去绝对值化简即可．
【详解】
解： ，a，b均为有理数，
∴ ，
∴ ， ，
∴a=-4，b=1，
∴ = ，当x＜-2时， = = ；
当-2≤x≤1时， = = ；
当x＞1时， = = ．
【点拨】本题考查了实数的运算，化简绝对值，解题的关键是根据实数的对应形式得到a
和b的值．
62．见解析
【分析】
根据实数的定义及其分类解答即可．
【详解】
解：有理数集合 ；
无理数集合 ；
整数集合 ；
负实数集合 ．
【点拨】本题考查了实数的定义和分类，属于基本题型，熟知实数的分类是解此题的关键．
63．
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
解：根据题意，得解得
则b ＝ × ＝－ .
【点拨】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
64．b-a+2c
【分析】
根据数轴得出a-b＜0，b+c＜0，b-c>0，进而化简得出即可．
【详解】
解：
=
=b-a+b+c-b+c
=b-a+2c
【点拨】此题主要考查了二次根式以及绝对值的性质与化简，正确化简二次根式是解题关
键．
65．－|－3|＜－1＜－(－ )＜ ＜π.
【分析】
先在数轴上表示出来，再比较即可．
【详解】
－|－3|＜－1＜－(－ )＜ ＜π.
【点拨】本题考查了实数的大小比较和数轴的应用，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大．
66．
【分析】
可以把两个括号里面的式子根据符号的不同用添括号的法则分组，构成平方差公式
，根据平方差公式进行计算；或根据整式的乘法中多项式乘以多
项式，用第一个多项式的每一项分别乘以第二个多项式的每一项，再合并同类项即可求解．
【详解】
解：
= [ ][ ]
=
．
考点：平方差公式（多项式乘以多项式）
67．（1） （2）x＝0或1时，始终输不出y的值 （3）81
【分析】
（1）根据运算的定义即可直接求解；
（2）始终输不出y值，则x的任何次方根都是有理数，则只有0和1；
（3）写出一个无理数，平方是有理数，然后两次平方即可．
【详解】
解：(1)由输入x＝25得 ＝5.因为5是有理数，不能输出，再取5的算术平方根得 .
因为 是无理数，所以输出y，所以输入x＝25时，输出的y的值是 .(2)x＝0或1时，始终输不出y的值．
(3)81(答案不唯一)
【点拨】本题考查无理数，正确理解题目中规定的运算是关键．
68．(1) ； ；(2) = ；理由见解析.
【分析】
（1）根据 ，，可得答案；
（2）根据 ，，可得同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得答案．
【详解】
（1）根据题中的新定义得： 1012 103=1015；
（2）相等，理由如下：
∵
∵
∴ =
【点拨】此题考查了同底数幂的乘法．此题比较简单，注意同底数幂的乘法法则：同底数
幂相乘，底数不变，指数相加．
69．（1）①-1，②x﹣2；（2）不是，见解析
【分析】（1）①根据平衡数的定义，可得3与﹣1是关于1的平衡数，
②4﹣x与x﹣2是关于1的平衡数；
（2）将两式相减得出a+b≠2，根据平衡数的定义，即可进行判断.
【详解】解：（1）①∵2-3=（﹣1），
∴3与﹣1是关于1的平衡数；
②∵
∴4﹣x与x﹣2是关于1的平衡数．
故答案为：﹣1；x﹣2；
（2）a＝2x2﹣3（x2+x）﹣4＝﹣x2﹣3x﹣4，
b＝2x﹣[3x﹣（4x+x2）﹣2]＝x2+3x+2，a+b＝（﹣x2﹣3x﹣4）+（x2+3x+2）＝﹣2≠2．
因此，a与b不是关于1的平衡数．
【点拨】本题为材料理解题，理解平衡数的意义是解题的关键.
70．（1） 4 ， 5 ，验证见解析；（2）
【分析】（1）观察不难发现，被减数放到根号外，减少作为被开方数即可；
（2）减数的分子与被减数相同，分母是被减数的平方加1，根据此规律写出即可，再按照
题目提供的信息进行验证．
