文档内容
专题 20 专题 20 平行线的证明
题型一 定义与命题
1．下列命题中，是假命题的是
A．对顶角相等 B．两点之间，线段最短
C．互补的两个角不一定相等 D．同位角相等
【解答】解： 、对顶角相等，是真命题；
、两点之间，线段最短，是真命题；
、互补的两个角不一定相等，是真命题；
、两直线平行，同位角相等，本选项说法是假命题；
故选： ．
2．下列命题为真命题的是
A．若 ，则
B．等角的余角相等
C．同旁内角相等，两直线平行
D． ， ，则 组数据更稳定
【解答】解： 、若 ，则 ，故错误，是假命题；
、等角的余角相等，正确，是真命题；
、同旁内角互补，两直线平行，故错误，是假命题；
、 ， ，则两组数据一样稳定，故错误，是假命题，
故选： ．
3．下列四个命题中，真命题有
①内错角一定相等；②如果 和 是对顶角，那么 ；③三角形的一个外角大于任何一个与它不
相邻的内角；④若 ，则 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：两直线平行，内错角相等，①是假命题；
如果 和 是对顶角，那么 ，②是真命题；
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角，③是真命题；
若 ，则 ，④是假命题；
故选： ．
4．下列命题是假命题的是
A．同角（或等角）的余角相等
B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．三角形的内角和为
D．两直线平行，同旁内角相等
【解答】解： 、同角（或等角）的余角相等，正确，是真命题；
、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题；
、三角形的内角和为 ，正确，是真命题；
、两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题，
故选： ．
题型二 平行线的性质和判定
5．如图， ， 平分 ，且 ，则 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解： 平分 ，
，
，
，
，
，又 ，
，
故选： ．
6．乐乐同学的爸爸加工了一个如图所示的工件，爸爸经测量知道 ， ， ，
正在说 不好测量，小乐告诉爸爸不用量了， 一定是 6 0 度．
【解答】解：如图，连接 ．
，
．
．
．
又 ， ，
．
．
．
又 ，
．
故答案为： ．
7．将一把直尺和一块含 角的三角板 按如图所示的位置放置，如果 ，那么 的度
数为 ．【解答】解：由题意知 ， ，
，
，
，
故答案为： ．
8．如图，已知 ， ， ，则 的度数为 ．
【解答】解： ， ， ，
， ，
．
故答案为：
9．如图，在下列条件中，能判断 的是
A． B．
C． D．
【解答】解： ．由 可判断 ，不符合题意；
． 不能判定图中直线平行，不符合题意；
．由 可判定 ，符合题意；
．由 可判定 ，不符合题意；
故选： ．
10．如图，下列条件：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；其中
能判断直线 的有A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【解答】解：① 不能得到 ，故本条件不合题意；
② ， ，故本条件符合题意；
③ 不能得到 ，故本条件不合题意；
④ ， ，故本条件符合题意；
⑤ ， ， ，故本条件符合题意．
故选： ．
11．如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：① ；②如果 ，则有 ；③如
果 ，则有 ；④如果 ，必有 ．其中正确的有 ①②④ ．（填序号）
【解答】解：① ，
， ，
．
①正确．
② ，
，
，
，
．②正确．
③ ，
，
，
不平行于 ．
③错误．
④由②得 ．
．
④正确．
故答案为：①②④．
12．填写推理理由：
如图， ， ，求证： ．
证明： ，
两直线平行，同位角相等
，
．
．
．
【解答】证明： ，
（两直线平行，同位角相等），
， （等量代换）．
（内错角相等，两直线平行）．
（两直线平行，同位角相等）．
故答案为两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
13．已知：如图， ， ，请说明 的理由．【解答】解： （已知），
（两直线平行内错角相等），
（已知），
，
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行内错角相等）．
14．将一副直角三角板 ， ， ，点 在边 上）按图中所示位置摆
放，两条斜边为 ， ，且 ，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示， 与 交点为 ，
，
，
又 是 的外角， ，
，
故选： ．
15．如图，在 中， 于点 ，点 在 的延长线上， 交 于点 且 于点 ，，试说明 平分 ．
【解答】证明： 于点 ， 于点 （已知），
， （垂直定义），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（两直线平行，同位角相等），
又 ，
，
又 ，
，
，
即： 平分 ．
16．一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：
如图，已知在 中， ， ， 于点 ，点 、 分别在 和 上，
， 于点 ，求证： ．（1）理清思路，完成解答（2）本题证明的思路可用下列框图表示：
根据上述思路，请你完整地书写本题的证明过程．
（2）特殊位置，证明结论
若 平分 ，其余条件不变．求证： ．
（3）知识迁移，探索新知
若点 是一个动点，点 运动到 的中点 时，满足题中条件的点 也随之在直线 上运动到点 ，
请直接写出 与 的数量关系．（不必写解答过程）
【解答】（1）证明： ，
，
， ，
，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
在 和 中；
（2）证明：由（1）可得： ，
平分 ，
，
，
在 和 中
，
．
（3）解： 与 的数量关系是 ．
理由是：设 ，则 ，
则 ，
由 ，得 ，
， ，
， ，
，由勾股定理得： ，
即 ， ，
与 的数量关系是17．如图所示， ，直线 与 交于点 ，与 交于点 ， 是 的角平
分线，且与 交于点 ， 交 于点 ．
（1）如图①，求证：点 是 的中点；
（2）如图②，过点 作 交 于点 ，试猜想线段 、 、 有怎样的数量关
系，并证明自己的猜想；
（3）如图③，过点 作 交 于点 ，试猜想线段 、 、 又有怎样的数量
关系，并证明自己的猜想．
【解答】（1）证明： ，
，
平分 ，
，
，
，
，
， ，，
，
，
为 的中点；
（2）解：结论： ．
理由：连接 ，如图②：
，
又 是 中点，
垂直平分 ，
，
在 中， ，
由勾股定理得： ，
；
（3）解：结论： ．
理由：如图③，延长 ，使 ，连接 ， ，在 和 中，
，
，
， ，
，
，
，
， ，
，
在 中， ，
．
题型三 三角形内角和定理及推论
18．如图，在 中， 平分 交 于点 ， 交 于点 ，若 ，则
2 5 ．【解答】解： ，
，
平分 ，
，
，
，
，
．
故答案为：25．
19．如图，在 中， ， 平分 ．
（1）若 ， ，
求① 的度数；
② 的度数；
（2）探究：如果只知道 ，也能求出 的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，
请说明理由．
【解答】解：（1）① ，
，
平分 ，
；
② ，
，，
；
（2）能．
， ，
，
，
，
平分 ，
，
在 中， ，
．
20．如图， ， ， ，则 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
，
，
故选： ．
21．如图， 中， 是 边上的高， 、 分别是 、 的平分线， ，
，则A． B． C． D．
【解答】解： 是 边上的高， ，
，
， 平分 ，
，
，
中， ，
，
故选： ．
22．在 中， ， 与 的平分线交于点 ，则 13 0 度．
【解答】解： 在 中， ，
，
与 的平分线交于点 ，
， ，
，则 ，
故答案为：130
23．如图，在 中， ， 、 分别平分 ， ，则 ．
【解答】解：
在 中， ，
，
、 分别平分 ， ，
，
，
，
故答案为： ．
24．如图，在 中， ， 、 分别平分 、 ， 、 、 分别在 、 、
的延长线上， 、 分别平分 、 ， 、 分别平分 、 ，则
．
【解答】解： ，
，
、 分别平分 、 ，
，，
，
、 分别平分 、 ，
，
，
、 分别平分 、 ，
， ，
， ，
，
，
故答案为： ．
25．如图，已知 中， ， 于 ， 于 ， 、 交于点 ， 、
的平分线交于点 ，则 的度数为 ．
【解答】解： ， 于 ， 于 ，
， ，
，
、 的平分线交于点 ，
，
故答案为 ．26．直线 与直线 垂直相交于点 ，点 在射线 上运动（点 不与点 重合），点 在射线
上运动（点 不与点 重合）．
（1）如图1， ，若 ， 与 的角平分线相交于点 ， 的度数为
，
（2）如图2， ， 与 的角平分线相交于点 ，点 、 在运动的过程中， 的
大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；
（3）如图3，若 ， 与 的角平分线相交于点 ，延长 至点 ， 的角平
分线与射线 相交于点 ，点 、 在运动的过程中，试探索 与 之间的等量关系，并证明你
的结论．
【解答】解：（1） ，
，
，
，
、 分别是 和 的角平分线，
， ，
．
故答案为： ．
（2）不会发生变化．
与 的角平分线相交于点 ，
， ，，
，
， ，
，
，
，
．
（3） ．如图：
与 的角平分线相交于点 ，
， ，
由外角的性质可得： ， ，
．
平分 ， 平分 ，
，
，即 ．
27．（1）如图1，则 、 、 、 之间的数量关系为 ．
（2）如图2， 、 分别平分 、 ．若 ， ，求 的度数；
（3）如图3， 、 分别平分 、 ， 反向延长线交 于点 ，请猜想 、 、
之间的数量关系．并说明理由．【解答】解：（1） ， ，
，
故答案为 ；
（2） 、 分别平分 、 ，
， ，
由（1）可得： ， ，
，
即 ，
， ，
；
（3） ．
理由： 、 分别平分 、 ，
， ，
，
，
，
，
，
，
．
