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专题 2.46 二次函数压轴题-特殊四边形问题（专项练习）
1．如图，二次函数 的图像交x轴于点 ， ，交y轴于点C．点
是x轴上的一动点， 轴，交直线 于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段 上运动，如图1．求线段 的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．
若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴相交于A（－1，0），B（5，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内取一点C，作CD垂直x轴于点D，链接AC，且AD＝5，CD＝8，将
Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位，当点C落在抛物线上时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，当点C第一次落在抛物线上记为点E，点P是抛物线对称轴上一点．试
探究：在抛物线上是否存在点Q，使以点B、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，
请出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是(0，4)、(－1，
0)，将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′.
(1)若抛物线过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
(2)点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积
是多少？并求出此时点M的坐标；
(3)若P为抛物线上的一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为(1，0)，当P、N、B、Q构成平
行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．
4．在平面直角坐标系中， 为坐标原点，直线 交二次函数 的图像于点 ，
，点 在该二次函数的图像上，设过点 （其中 ）且平行于 轴的直线交
直线 于点 ，交直线 于点 ，以线段 、 为邻边作矩形 ．
（1）若点 的横坐标为8．
①用含 的代数式表示 的坐标；
②点 能否落在该二次函数的图像上？若能，求出 的值；若不能，请说明理由；
（2）当 时，若点 恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有直线
的函数表达式．5．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y＝
x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点B坐标；
（2）若点M是线段BC上一动点，过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F，交抛物线于点E．
求ME长的最大值；
（3）试探究当ME取最大值时，在x轴下方抛物线上是否存在点P，使以M，F，B，P为顶点的
四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．
6．如图 ，抛物线 与 轴交于 ，与 轴交于点 ．已知直线
过 两点．
（1）求抛物线和直线 的表达式；
（2）点 是抛物线上的一个动点，
①如图 ，若点 在第一象限内，连接 ，交直线 于点 ．设 的面积为 ， 的
面积为 ，求 的最大值；
②如图2，抛物线的对称轴 与 轴交于点 ，过点 作 ，垂足为 ．点 是对称轴 上
的一个动点，是否存在以点 为顶点的四边形是平行四边形?
若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．7． 阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角
平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=
﹣x+4．
问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和
y轴上，抛物线 经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；
（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的
位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距
离，其顶点落在OP上？
8．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为
D（0，4），AB=4 ，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，
得到新的抛物线C′．（1）求抛物线C的函数表达式；
（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．
（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的
对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形？若能，
求出m的值；若不能，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，
3），tan∠OAC= ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的
最大值；
（3）点M是抛物线上任意一点，连接CM，以CM为边作正方形CMEF，是否存在点M使点E
恰好落在对称轴上？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．10．在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于坐标原点对称，我们就说其中一条抛物线是另一
条抛物线的“友好抛物线”，
（1）若抛物线 的“友好抛物线”为 ，则 与 的数量关
系为 ． 与 的数量关系为 ．
（2）若抛物线 的“友好抛物线”为 ，则 与 的数
量关系为 ． 与 的数量关系为 ．
（3）由以上分析，我们可以得到抛物线 ： 的“友好抛物线”为 ：
．如图，若抛物线 的顶点为 ，抛物线 的顶点为 ，直线 与抛物线 相交于点 、
（点 在点 左侧），与抛物线 相交于点 、 （点 在点 左侧）．
①若四边形 为菱形，求线段 的长（提示：已知直线 和
），若 ，则两直线垂直）；
②当四边形 的面积为 时，求 的值．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 （ ）与x轴交于A，B两点
（点A在点B的左侧），经过点A的直线l： 与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一
个交点为D，且CD=4AC（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k，b用含a的式子表示）；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能
否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
12．如图，已知抛物线 与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对
称轴是直线x=1．
（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．
（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出
发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．
过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．
②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．13．如图，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为
，点C的坐标为 ，直线1经过B，C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作 轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作 交线
段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；
（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，
使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点P的横坐标；若不存在，请
说明理由．
14．如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点 , , ．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2） 是抛物线对称轴上的一点，求满足 的值为最小的点 坐标（请在图1中探索）；
（3）在第四象限的抛物线上是否存在点 ，使四边形 是以 为对角线且面积为 的平
行四边形？若存在，请求出点 坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）15．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形
为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图1，抛物线 与 轴交于A,B两点，与 轴交于点C，AB=4，矩形OBDC
的边CD=1，延长DC交抛物线于点E.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，点P是直线EO上方抛物线上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线EO于点
G，作PH EO，垂足为H.设PH的长为l，点P的横坐标为m，求l与m的函数关系是（不必写
出m的取值范围），并求出l的最大值；
（3）如果点N是抛物线对称轴上的一点，抛物线上是否存在点M，使得以M,A,C,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的M的坐标；若不存在，请说明理由.
17．已知，如图，抛物线 的顶点为 ，经过抛物线上的两点
和 的直线交抛物线的对称轴于点 ．
（1）求抛物线的解析式和直线 的解析式．
（2）在抛物线上 两点之间的部分（不包含 两点），是否存在点 ，使得
？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点 在抛物线上，点 在 轴上，当以点 为顶点的四边形是平行四边形时，直
接写出满足条件的点 的坐标．
18．如图，已知直线 交 轴于点 ，交 轴于点 ，抛物线 经过点
，与直线 交于 、 两点，点 为抛物线上的动点，过点 作 轴，交直线 于点 ，垂足为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点 位于抛物线对称轴右侧时，点 为抛物线对称轴左侧一个动点，过点 作 轴，
垂足为点 ．若四边形 为正方形时求点 的坐标；
（3）若 是以点 为顶角顶点的等腰直角三角形时，请直接写出点 的横坐标．
19．已知二次函数 的图像与 轴交于 两点，与 轴交于点
，
（1）求二次函数的表达式；
（2） 是二次函数图像上位于第三象限内的点，求点 到直线 的距离取得最大值时点 的
坐标；
（3） 是二次函数图像对称轴上的点，在二次函数图像上是否存在点 ．使以 为
顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点 的坐标（不写求解过程）．
20．如图，在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（ ，0），直线BC的解析式为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD//BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，
BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）向左平移 个单位，已知点M为抛物线y=ax2+bx+2（a≠0）
的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大
时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点N的坐标；若
不存在，请说明理由．
21．如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（
，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为 ，
四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及
△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，
Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．22．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图像与x轴交于A、B两点，B点的
坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数解析式；
（2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形 .是否存在点P，使四边形
为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC
的最大面积.
23．如图，直线y=﹣ x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=ax2+ x+c经过B、C两
点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标
和△BEC面积的最大值；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对
称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？
如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．24．已知函数 均为一次函数，m为常数．
（1）如图1，将直线 绕点 逆时针旋转45°得到直线 ，直线 交y轴于点B．若直线
恰好是 中某个函数的图像，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得 成立，求函数 图像
间的距离；
（3）当 时，函数 图像分别交x轴，y轴于C，E两点， 图像交
x轴于D点，将函数 的图像最低点F向上平移 个单位后刚好落在一次函数
图像上，设 的图像，线段 ，线段 围成的图形面积为S，试利用初
中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，
写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴正半轴交于点 ，且点 的坐
标为 ，过点 作垂直于 轴的直线 ． 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为 ，过点
作 于点 ； 是直线 上的一点，其纵坐标为 ，以 ， 为边作矩形 ．
（1）求 的值．
（2）当点 与点 重合时，求 的值．
（3）当矩形 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求 的值．
（4）当抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值 随 的增大而减小时，直接写出 的取
值范围．
26．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交
AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为
顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
27．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与直线AB相交于A，B两点，其中
， ．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求 面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 ，平移后的抛物线与
原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使
以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明
理由．参考答案
1．（1） ；（2）① ，②存在，
【分析】
（1）把 代入 中求出b，c的值即可；
（2）①由点 得 ，从而得 ，整
理，化为顶点式即可得到结论；
②分MN=MC和 两种情况，根据菱形的性质得到关于m的方程，求解即可．
【详解】
解：（1）把 代入 中，得
解得
∴ ．
（2）设直线 的表达式为 ，把 代入 ．
得， 解这个方程组，得
∴ ．
∵点 是x轴上的一动点，且 轴．
∴ ．
∴．
∵ ，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段 上运动，且
∴当 时， 有最大值 ．
②∵点 是x轴上的一动点，且 轴．
∴ ．
∴
（i）当以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形，则有MN=MC，如图，
∵C（0，-3）
∴MC=
∴
整理得，
∵ ，∴ ，
解得， ，
∴当 时，CQ=MN= ，
∴OQ=-3-( )=
∴Q(0， )；
当m= 时，CQ=MN=- ，
∴OQ=-3-(- )=
∴Q(0， )；
(ii)若 ，如图，
则有
整理得，
∵ ，
∴ ，
解得， ，当m=-1时，MN=CQ=2，
∴Q（0，-1），
当m=-5时，MN=-10＜0（不符合实际，舍去）
综上所述，点Q的坐标为
【点拨】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用线段
的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用菱形的性质得出关于m
的方程，要分类讨论，以防遗漏．
2．（1）y＝－x2＋4x＋5（2）m的值为7或9（3）Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或
（4，5）
【分析】
（1）由A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）由题意可求得C点坐标，设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物
线解析式可求得C′点的坐标，则可求得平移的单位，可求得m的值；
（3）由（2）可求得E点坐标，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行
四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，则可证得△PQN≌△EFB，可求得QN，即可求
得Q到对称轴的距离，则可求得Q点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点坐标；当BE为对
角线时，由B、E的坐标可求得线段BE的中点坐标，设Q（x，y），由P点的横坐标则可求得Q
点的横坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．
【详解】
（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，
∴ ，解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5；
（2）∵AD=5，且OA=1，
∴OD=6，且CD=8，
∴C（﹣6，8），
设平移后的点C的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，
代入抛物线解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，
∴C′点的坐标为（1，8）或（3，8），
∵C（﹣6，8），∴当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，
∴m的值为7或9；
（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线对称轴为x=2，
∴可设P（2，t），
由（2）可知E点坐标为（1，8），
①当BE为平行四边形的边时，连接BE交对称轴于点M，过E作EF⊥x轴于点F，当BE为平行
四边形的边时，过Q作对称轴的垂线，垂足为N，如图，
则∠BEF=∠BMP=∠QPN，
在△PQN和△EFB中
∴△PQN≌△EFB（AAS），
∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，
设Q（x，y），则QN=|x﹣2|，
∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，
当x=﹣2或x=6时，代入抛物线解析式可求得y=﹣7，
∴Q点坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）；
②当BE为对角线时，
∵B（5，0），E（1，8），
∴线段BE的中点坐标为（3，4），则线段PQ的中点坐标为（3，4），设Q（x，y），且P（2，t），
∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物线解析式可求得y=5，
∴Q（4，5）；
综上可知Q点的坐标为（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．
考点：二次函数综合题．
3．（1）y＝－x2＋3x＋4.；（2）x＝2时，△AMA′的面积最大，最大值为8， M(2，6)．（3）P
1
（0，4），P（3，4），P（ ，﹣4），P（ ，﹣4）；点N的坐标为：（0，0）
2 3 4
或（3，0）．
【详解】
试题分析：（1）先由OA′＝OA得到点A′的坐标，再用点C、A、A′的坐标即可求此抛物线的解
析式；（2）连接AA′, 过点M 作MN⊥x轴，交AA′于点N,把△AMA′分割为△AMN和△A′MN,
△AMA′的面积＝△AMA′的面积＋△AMN的面积＝ OA′•MN,设点M的横坐标为x，借助抛物线
的解析式和AA′的解析式，建立MN的长关于x的函数关系式，再据此建立△AMA′的面积关于x
的二次函数关系式，再求△AMA′面积的最大值以及此时M的坐标；（3）在P、N、B、Q 这四
个点中，B、Q 这两个点是固定点，因此可以考虑将BQ作为边、将BQ作为对角线分别构造符
合题意的图形，再求解.
试题解析：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，点A的
坐标是（0，4），∴点A′的坐标为（4，0），点B的坐标为（1，4）.
∵抛物线过点C，A，A′，设抛物线的函数解析式为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）,可得：
. 解得： .∴抛物线的函数解析式为y＝－x2＋3x＋4.（2）连接AA′，设直线AA′的函数解析式为y＝kx＋b，可得
.解得： .
∴直线AA'的函数解析式是y＝－x＋4.
设M（x，－x2＋3x＋4），
S ＝ ×4×[－x2＋3x＋4一（一x＋4）]＝一2x2＋8x＝一2（x－2）2＋8.
△AMA′
∴x＝2时，△AMA′的面积最大S ＝8．
△AMA′
∴M（2，6）.
（3）设P点的坐标为（x，－x2＋3x＋4），当P、N、B、Q构成平行四边形时，
①当BQ为边时，PN∥BQ且PN＝BQ，
∵BQ＝4，∴一x2＋3x＋4＝±4.
当一x2＋3x＋4＝4时，x＝0，x＝3，即P（0,4），P（3，4）；
1 2 1 2
当一x2＋3x＋4＝一4时，x＝ ，x＝ ，即P（ ,－4），P（ ，－
3 4 3 4
4）；
②当BQ为对角线时，PB∥x轴，即P（0，4），P（3，4）;
1 2
当这个平行四边形为矩形时，即P（0，4），P（3，4）时，N（0，0），N（3，0）.
l 2 1 2
综上所述，当P（0，4），P（3，4），P（ ,－4），P（ ，－4）时，P、N、
1 2 3 4
B、Q构成平行四边形；当这个平行四边形为矩形时，N（0，0），N（3，0）.
1 2
考点：二次函数综合题.
4．（1）① ；②能， ；（2） 或 ．【分析】
（1）①求出点 的坐标，直线直线 的解析式即可解决问题．
②求出直线 的解析式，求出点 的坐标，利用矩形的性质求出点 的坐标，再利用待定系数
法求出 的值即可．
（2）分两种情形：①当点 在 轴的右侧时，设 ，求出点 的坐标利用待定系数法构建
方程求出 即可．②当点 在 轴的左侧时，即为①中点 的位置，利用①中结论即可解决问题．
【详解】
解：（1）① 点 在 的图像上，横坐标为8，
，
直线 的解析式为 ，
点 的纵坐标为 ，
， ；
②假设能在抛物线上，
，
直线 的解析式为 ，
点 在直线 上，纵坐标为 ，
，
的中点的坐标为 ， ，
， ，把点 坐标代入抛物线的解析式得到 ．
（2）①当点 在 轴右侧时，设 ，所以直线 解析式为 ，
∴ ，
，
直线 的解析式为 ，可得 ， ，
， ，代入抛物线的解析式得到， ，解得 ，
直线 的解析式为 ．
②当点 在 轴左侧时，即为①中点 位置，
∴直线 的解析式为 ；
综上所述，直线 的解析式为 或 ．
【点拨】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，矩
形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
5．（1） ，B(3, 0)；（2） ；（3）不存在，理由见解析
【详解】
.解：(1) 当y＝0时，
∴A(－1, 0)
当x＝0时， ∴ C(0,－3)
∴ ∴
抛物线的解析式是：
当y＝0时，解得： x＝－1 x＝3 ∴ B(3, 0)
1 2
（2）由（1）知 B(3, 0) ， C(0,－3) 直线BC的解析式是：
设M（x,x-3）(0≤x≤3),则E（x,x2-2x-3）
∴ME=(x-3)-( x2-2x-3)=-x2+3x =
∴当 时，ME的最大值＝
（3）答：不存在.
由（2）知 ME 取最大值时ME＝ ，E ，M
∴MF＝ ，BF=OB-OF= .
设在抛物线x轴下方存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形，
则BP∥MF，BF∥PM. ∴P 或 P
1 2
当P 时，由（1）知
1
∴P 不在抛物线上.
1
当P 时，由（1）知
2
∴P 不在抛物线上.
2
综上所述：抛物线x轴下方不存在点P，使以P、M、F、B为顶点的四边形是平行四边形.
6．（1） ， ；（2）① ；②存在，点P的坐标为(2， )，点Q的坐标
为(1，2)或(1， )
【分析】
（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入 可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，
把B(3，0)，C的坐标代入 即可求解；
（2）①设点D的坐标为( ， )，利用待定系数法求得直线PA的表达式为
，解方程 ，求得点P的横坐标为 ，利用平等线分线段成比例定理求得 ，得到 ，整理得（t+1）
m2+（2t-3）m+t=0，根据△≥0，即可解决问题．
②根据等腰直角三角形的性质求得点 的坐标为(2， )，分当EF为边和EF为对角线时两种情况
讨论，即可求解．
【详解】
（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的表达式为 ，
令 ，则 ，
∴点C的坐标为(0，3)，
把B(3，0)，C(0，3)代入 得：
，
解得： ，
∴直线 的表达式为 ；
（2）①∵PA交直线BC于点 ，
∴设点D的坐标为( ， )，
设直线PA的表达式为 ，
∴ ，解得： ，
∴直线PA的表达式为 ，
∴ ，
整理得： ，
解得： (不合题意，舍去)，
∴点D的横坐标为 ，点P的横坐标为 ，
分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图：
∴DM∥PN，OM= ，ON= ，OA=1，
∴
设
整理得，（t+1）m2+（2t-3）m+t=0，
∵△≥0，
∴（2t-3）2-4t（t+1）≥0，解得
∴ 有最大值，最大值为 ；
②存在，理由如下：
作 于G，如图，
∵ 的对称轴为： ，
∴OE=1，
∵B(3，0)，C(0，3)
∵OC=OB=3，∠OCB=90 ，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∵∠EFB=90 ，BE=OB-OE=2，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴EG=GB=EG=1，
∴点 的坐标为(2， )，
当EF为边时，
∵EFPQ为平行四边形，
∴QE=PF，QE∥PF∥ 轴，
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，
当 时， ，
∴点P的坐标为(2， )，
∴QE=PF=3-1=2，
点Q的坐标为(1，2)；
根据对称性当P（0，3）时，Q（1，4）时，四边形EFQP也是平行四边形．当EF为对角线时，如图，
∵四边形PEQF为平行四边形，
∴QE=PF，QE∥PF∥ 轴，
同理求得：点P的坐标为(2， )，
∴QE=PF=3-1=2，
点Q的坐标为(1， )；
综上，点P的坐标为(2， )，点Q的坐标为(1，2)或(1， )，P（0，3）时，Q（1，4）时；
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形
的判定和性质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的
性质以及平行四边形的对边的判定和性质，（3）注意要分AB是对角线与边两种情况讨论．
7．（1）x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=﹣x+m+n；（2） ；（3）抛物线向下平移
或 距离，其顶点落在OP上．
【详解】
试题分析：（1）根据特征线直接求出点D的特征线；
（2）由点D的一条特征线和正方形的性质求出点D的坐标，从而求出抛物线解析式；
（2）分平行于x轴和y轴两种情况，由折叠的性质计算即可．
试题解析：解：（1）∵点D（m，n），∴点D（m，n）的特征线是x=m，y=n，y=x+n﹣m，y=
﹣x+m+n；（2）点D有一条特征线是y=x+1，∴n﹣m=1，∴n=m+1．∵抛物线解析式为 ，
∴ ，∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D（m，n），
∴B（2m，2m），∴ ，将n=m+1带入得到m=2，n=3；
∴D（2，3），∴抛物线解析式为 ．
（3）①如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时：
根据题意可得，D（2，3），∴OA′=OA=4，OM=2，∴∠A′OM=60°，∴∠A′OP=∠AOP=30°，
∴MN= = ，∴抛物线需要向下平移的距离= = ．
②如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′（p，3），则OA′=OA=4，OE=3，EA′=
= ，∴A′F=4﹣ ，设P（4，c）（c＞0），，在Rt△A′FP中，（4﹣ ）2+（3
﹣c）2=c2，∴c= ，∴P（4， ），∴直线OP解析式为y= x，∴N（2，
），∴抛物线需要向下平移的距离=3﹣ = ．综上所述：抛物线向下平移 或 距离，其顶点落在OP上．
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，解答本题的关键是用正
方形的性质求出点D的坐标．
8．（1） ；（2）2＜m＜ ；（3）m=6或m= ﹣3．
【分析】
（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（ ，0），设抛物线的解析式为 ，把A
（ ，0）代入可得a= ，由此即可解决问题；
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为 ，
由 ，消去y得到 ，由题意，抛物线C′与抛物线C在y
轴的右侧有两个不同的公共点，则有 ，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，
2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°，易
证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即
可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定
系数法即可解决问题．
【详解】
（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（ ，0），设抛物线的解析式为 ，把A
（ ，0）代入可得a= ，
∴抛物线C的函数表达式为 ．
（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为 ，
由 ，
消去y得到 ，
由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有
，
解得2＜m＜ ，
∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜ ．
（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．理由：1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．
由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF=FM，
∠PFM=90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，∴M（m+2，m﹣2），∵点
M在 上，∴ ，解得m= ﹣3或﹣ ﹣3（舍弃），
∴m= ﹣3时，四边形PMP′N是正方形．
情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），
把M（m﹣2，2﹣m）代入 中， ，解得m=6或0（舍弃），
∴m=6时，四边形PMP′N是正方形．
综上所述：m=6或m= ﹣3时，四边形PMP′N是正方形．9．(1)y=﹣ x2﹣ x+3；(2) ；(3)存在，点M的坐标是（﹣4，0），（﹣ ， ），（﹣
， ）或（2，0）．
【分析】
（1）由点C的坐标以及tan∠OAC= 可得出点A的坐标，结合点A、C的坐标利用待定系数法
即可求出抛物线的解析式；
（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，由点A、C的解析式利用待定系数法即可求出直线AC的解
析式，设N（x，0）（﹣4＜x＜0），可找出H、P的坐标，由此即可得出PH关于x的解析式，
利用配方法即二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，根据角的计算依据正方形的性质即可得出
△MCK≌△MEG（AAS），进而得出MG=CK．设出点M的坐标利用正方形的性质即可得出点
G、K的坐标，由正方形的性质即可得出关于x的含绝对值符号的一元二次方程，解方程即可求
出x值，将其代入抛物线解析式中即可求出点M的坐标．
【详解】
解：（1）∵C（0，3），
∴OC=3，
∵tan∠OAC= ，
∴OA=4，
∴A（﹣4，0）．
把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，
得 ，解得： ，
∴抛物线的解析式为y=﹣ x2﹣ x+3．（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，
把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，
得： ，解得： ，
∴直线AC的解析式为y= x+3．
设N（x，0）（﹣4＜x＜0），则H（x， x+3），P（x，﹣ x2﹣ x+3），
∴PH=﹣ x2﹣ x+3﹣（ x+3）=﹣ x2﹣ x=﹣ （x﹣2）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴PH有最大值，
当x=2时，PH取最大值，最大值为 ．
（3）过点M作MK⊥y轴于点K，交对称轴于点G，则∠MGE=∠MKC=90°，
∴∠MEG+∠EMG=90°，
∵四边形CMEF是正方形，
∴EM=MC，∠MEC=90°，
∴∠EMG+∠CMK=90°，
∴∠MEG=∠CMK．
在△MCK和△MEG中， ，
∴△MCK≌△MEG（AAS），
∴MG=CK．
由抛物线的对称轴为x=﹣1，设M（x，﹣ x2﹣ x+3），则G（﹣1，﹣ x2﹣ x+3），K（0，﹣ x2﹣ x+3），
∴MG=|x+1|，CK=|﹣ x2﹣ x+3﹣3|=|﹣ x2﹣ x|=| x2+ x|，
∴|x+1|=| x2+ x|，
∴ x2+ x=±（x+1），
解得：x=﹣4，x=﹣ ，x=﹣ ，x=2，
1 2 3 4
代入抛物线解析式得：y=0，y= ，y= ，y=0，
1 2 3 4
∴点M的坐标是（﹣4，0），（﹣ ， ），（﹣ ， ）或（2，0）．
【点拨】本题考查二次函数综合题．
10．（1） ， ；（2） ， ；（3） ；① ；②
【分析】
（1）直接根据题意进行解答即可；
（2）根据题中所给定义可直接进行解答；
（3）由（1）（2）易得 的解析式，①由 的解析式先求出点E、F坐标，进而可得直线EF
的解析式，当四边形 为菱形时， ，直线 经过原点 ，则可求AD解析式，
设点 ，点 ，进而根据根与系数的关系及两点之间的距离公式可进行求解；②由题意可得 ， ，则四边形 为平行四边形，设点 ，当四边
形 的面积为 时， ，如图，过点 作 轴于点 ，进而可得点 必在第
一象限，过点 作 轴交于点 ，过点 作 轴于点 ，然后由面积法及代入
的解析式可进行求解．
【详解】
解：（1） ， ；
（2） ， ；
（3）
①
点
点
易得直线 的解析式为
当四边形 为菱形时，
直线 经过原点
易得直线 的解析式为
由题意可设点 ，点
当 时
得 ，②由题意可得 ，
四边形 为平行四边形
设点
当四边形 的面积为 时，
如图，过点 作 轴于点
点 不可能位于 轴下方
即点 必在第一象限
过点 作 轴交于点
过点 作 轴于点
①
又 点 在抛物线上
②由①②式得
得
点 在点 左侧
将 代入①式
解得 ．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质及两点距离公式是解题的
关键．
11．（1）A（－1，0）， ；（2） ；（3）P的坐标为（1， ）或
（1，－4）．
【分析】
（1）在 中，令y=0，得到 ， ，得到A（－1，0），B（3，
0），由直线l经过点A，得到 ，故 ，令 ，即，由于CD＝4AC，故点D的横坐标为4，即有 ，得
到 ，从而得出直线l的函数表达式；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（ ， ），则F（ ， ），
EF＝ = ，
S ＝S －S ＝ ＝ ，
△ACE △AFE △CFE
故△ACE的面积的最大值为 ，而△ACE的面积的最大值为 ，
所以 ，解得 ；
（3）令 ，即 ，解得 ， ，得到D（4，
5a），因为抛物线的对称轴为 ，设P（1，m），然后分两种情况讨论：①若AD是矩形的
一条边，②若AD是矩形的一条对角线．
【详解】
解：（1）∵ = ，令y=0，得到 ， ，
∴A（－1，0），B（3，0），
∵直线l经过点A，
∴ ， ，
∴ ，
令 ，即 ，
∵CD＝4AC，
∴点D的横坐标为4，∴ ，
∴ ，
∴直线l的函数表达式为 ；
（2）过点E作EF∥y轴，交直线l于点F，设E（ ， ），则F（ ， ），
EF＝ = ，
S ＝S －S ＝
△ACE △AFE △CFE
＝ ＝ ，
∴△ACE的面积的最大值为 ，
∵△ACE的面积的最大值为 ，
∴ ，解得 ；
（3）令 ，即 ，解得 ， ，∴D（4，5a），
∵ ，
∴抛物线的对称轴为 ，设P（1，m），
①若AD是矩形的一条边，则Q（－4，21a），m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ为矩形，
∴∠ADP＝90°，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴P（1， ）；
1
②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为（ ， ），Q（2， ），m＝，则P（1，8a），
∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，∴ ，∴P（1，－4）．
2
综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1， ）或
（1，－4）．
考点：二次函数综合题．
12．（1） ，B点坐标为（3，0）；（2）①；②．
【分析】
（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B
点坐标；
（2）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可
得ON=PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB=OA，故当△BOQ为等腰三
角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分
别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】（1）∵抛物线 对称轴是直线x=1，
∴﹣ =1，解得b=2，
∵抛物线过A（0，3），
∴c=3，
∴抛物线解析式为 ，令y=0可得 ，解得x=﹣1或x=3，
∴B点坐标为（3，0）；
（2）①由题意可知ON=3t，OM=2t，
∵P在抛物线上，
∴P（2t， ），
∵四边形OMPN为矩形，
∴ON=PM，
∴3t= ，解得t=1或t=﹣ （舍去），
∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；
②∵A（0，3），B（3，0），
∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3，
∴当t＞0时，OQ≠OB，
∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，
∴Q（2t，﹣2t+3），
∴OQ= ，BQ= |2t﹣3|，又由题意
可知0＜t＜1，当OB=QB时，则有 |2t﹣3|=3，解得t= （舍去）或t= ；
当OQ=BQ时，则有 = |2t﹣3|，解得t= ；综上可知当t的值为 或 时，△BOQ为等腰三角形．
13．（1） ；（2） ， ；（3）存在， 或1．
【分析】
（1）将点 ，点 代入 中，即可求解析式；
（2）求出BC的直线解析式为 ，设 ，则 ，所以
，即可求面积的最大值；
（3）设 ，①当 时， ，可求P点横坐标；②当
时， ，可求P点横坐标．
【详解】
解：（1）将点 ，点 代入 中，
则有 ，
，
；
（2） ，
对称轴为 ，
轴，，
，
点 ，点 ，
的直线解析式为 ，
设 ，
交线段BC于点F，
，
，
当 时，四边形ECFD的面积最大，最大值为 ；
此时 ；
（3）设 ，
①当 时，
，
，
，
，
点横坐标为1；
②当 时，，
，
或 （舍），
点横坐标为 ．
综上所述：P点横坐标为 或1．
【点评】
本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图像及性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
14．（1） ，函数的对称轴为： ；（2）点 ；（3）存在，点 的
坐标为 或 ．
【分析】
根据点 的坐标可设二次函数表达式为： ，由C点坐
标即可求解；
连接 交对称轴于点 ，此时 的值为最小，即可求解；
，则 ，将该坐标代入二次函数表达式即可求解．
【详解】
解： 根据点 , 的坐标设二次函数表达式为： ，
∵抛物线经过点 ，则 ，解得： ，
抛物线的表达式为： ，
函数的对称轴为： ；
连接 交对称轴于点 ，此时 的值为最小，
设BC的解析式为： ，
将点 的坐标代入一次函数表达式： 得：
解得：
直线 的表达式为： ，
当 时， ，
故点 ；
存在，理由：四边形 是以 为对角线且面积为 的平行四边形，
则 ，
点 在第四象限，故：则 ，
将该坐标代入二次函数表达式得：
，
解得： 或 ，
故点 的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，
其中 ，求线段和的最小值，采取用的是点的对称性求解，这也是此类题目的一般解法．
15．（1）抛物线的解析式为： ．
（2）P（2， ）．
（3）存在点N的坐标为（4， ），（ ， ）或（ ， ）
【分析】
本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边
的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．（1）设抛物线的解析
式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0， ）三点代入求出a、b、c
的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点B的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于
点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，
）三点在抛物线上，
∴ ，
解得 ．
∴抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣ ；
（2）∵抛物线的解析式为：y= x2﹣2x﹣ ，
∴其对称轴为直线x=﹣ =﹣ =2，
连接BC，如图1所示，
∵B（5，0），C（0，﹣ ）
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∴ ，解得 ，
∴直线BC的解析式为y= x﹣ ，当x=2时，y=1﹣ =﹣
∴P（2，﹣ ）；（3）存在．如图2所示，
①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣ ）
∴N（4，﹣ ）；
1
②当点N在x轴上方时，如图2，
过点N 作ND⊥x轴于点D，在△AN D与△MCO中，
2 2 2 2
∴△AN D≌△M CO（ASA）
2 2
∴ND=OC= ，即N 点的纵坐标为 ．
2 2
∴ x2﹣2x﹣ = ，
解得x=2+ 或x=2﹣ ，∴N（2+ ， ），N（2﹣ ， ）
2 3
．综上所述，符合条件的点N的坐标为N（4，﹣ ），N（2+ ， ）或N（2﹣ ，
1 2 3
）．
考点：二次函数综合题．
16．（1）抛物线解析式为y=﹣ x2﹣ x+2；（2）l=﹣ （m+ ）2+ ，最大值为；（3）（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）或（﹣2，2）．
【分析】
（1）由条件可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）可先求得E点坐标，从而可求得直线OE解析式，可知∠PGH=45°，用m可表示出PG的长，
从而可表示出l的长，再利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）分AC为边和AC为对角线，当AC为边时，过M作对称轴的垂线，垂足为F，则可证得
△MFN≌△AOC，可求得M到对称轴的距离，从而可求得M点的横坐标，可求得M点的坐标；
当AC为对角线时，设AC的中点为K，可求得K的横坐标，从而可求得M的横坐标，代入抛物
线解析式可求得M点坐标．
【详解】
解：（1）∵矩形OBDC的边CD=1，
∴OB=1，
∵AB=4，
∴OA=3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得
，
解得 ，
∴抛物线解析式为y=﹣ x2﹣ x+2；
（2）在y=﹣ x2﹣ x+2中，令y=2可得2=﹣ x2﹣ x+2，解得x=0或x=﹣2，
∴E（﹣2，2），
∴直线OE解析式为y=﹣x，由题意可得P（m，﹣ m2﹣ m+2），
∵PG∥y轴，
∴G（m，﹣m），
∵P在直线OE的上方，
∴PG=﹣ m2﹣ m+2﹣（﹣m）=﹣ m2﹣ m+2=﹣ （m+ ）2+ ，
∵直线OE解析式为y=﹣x，
∴∠PGH=∠COE=45°，
∴l= PG= [﹣ （m+ ）2+ ]=﹣ （m+ ）2+ ，
∴当m=﹣ 时，l有最大值，最大值为 ；
（3）①当AC为平行四边形的边时，则有MN∥AC，且MN=AC，如图，过M作对称轴的垂线，
垂足为F，设AC交对称轴于点L，
则∠ALF=∠ACO=∠FNM，
在△MFN和△AOC中
∴△MFN≌△AOC（AAS），∴MF=AO=3，
∴点M到对称轴的距离为3，
又y=﹣ x2﹣ x+2，
∴抛物线对称轴为x=﹣1，
设M点坐标为（x，y），则|x+1|=3，解得x=2或x=﹣4，
当x=2时，y=﹣ ，当x=﹣4时，y= ，
∴M点坐标为（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）；
②当AC为对角线时，设AC的中点为K，
∵A（﹣3，0），C（0，2），
∴K（﹣ ，1），
∵点N在对称轴上，
∴点N的横坐标为﹣1，
设M点横坐标为x，
∴x+（﹣1）=2×（﹣ ）=﹣3，解得x=﹣2，此时y=2，
∴M（﹣2，2）；
综上可知点M的坐标为（2，﹣ ）或（﹣4，﹣ ）或（﹣2，2）．
考点：二次函数综合题．
17．（1）抛物线的表达式为： ，直线 的表达式为： ；（2）存在，
理由见解析；点 或 或 或 ．
【分析】
（1）二次函数表达式为：y=a（x-1）2+9，即可求解；（2）S =2S ，则
△DAC △DCM
，，即可求解；
（3）分AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）二次函数表达式为： ，
将点 的坐标代入上式并解得： ，
故抛物线的表达式为： …①，
则点 ，
将点 的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线 的表达式为： ；
（2）存在，理由：
二次函数对称轴为： ，则点 ，
过点 作 轴的平行线交 于点 ，
设点 ，点 ，
∵ ，则 ，
解得： 或5（舍去5），
故点 ；
（3）设点 、点 ， ，
①当 是平行四边形的一条边时，
点 向左平移4个单位向下平移16个单位得到 ，
同理，点 向左平移4个单位向下平移16个单位为 ，即为点 ，
即： ， ，而 ，
解得： 或﹣4，
故点 或 ；
②当 是平行四边形的对角线时，
由中点公式得： ， ，而 ，
解得： ，
故点 或 ；
综上，点 或 或 或 ．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算
等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
18．（1）抛物线的解析式为 ；（2）四边形 为正方形时点 的坐标为
和 ；（3）点 的横坐标为2或－1或 或 .
【分析】（1）先由二次函数解析式求出C点坐标，进而求出一次函数解析式，再求出B点坐标，最后把
A、B坐标代入抛物线解析式解方程即可；
（2）四边形 为正方形时， ， 轴，且P、Q两点关于对称轴对称，设出P
点坐标，表示出 ，解方程即可；
（3）由 是以点 为顶角顶点的等腰直角三角形，可得∠QPF=∠PEB,即 轴，可得
P、Q两点关于对称轴对称，设 ，用 分别表示Q、F坐标即可，最后根据
PQ=PF列方程计算即可解题.
【详解】
（1）抛物线 经过点 ，则点 坐标为(0，3)，
代入 可得 ，则直线 的解析式为 .
直线 经过点 ，则点 坐标为(3，0)
将点 、 代入抛物线
解得 ，
∴抛物线的解析式为 .
（2）抛物线的对称轴为 .
∵四边形 为正方形，∴ ， 轴.
∴点 与点 关于直线 对称.
设点 ，则 ， .
∴ ，解得： 或 （舍去）或 或 （舍去）
当 时，点 ，
当 时，点 ，
∴四边形 为正方形时点 的坐标为 和
（3）点 的横坐标为2或－1或 或 .
∵ 是以点 为顶角顶点的等腰直角三角形
∴∠QPF=∠PEB=90°
∴ 轴
∴点 与点 关于直线 对称.
设点 ，则 ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
解得： 或 或 或
综上所述，点 的横坐标为2或－1或 或 .
【点拨】本题是二次函数综合题，熟记一次函数、正方形、等腰三角形的性质是解题的关键，难
度一般，但是计算量比较大，需要注意.
19．（1） ；（2）（ ， ）；（3）（-2，-3）或（0，-3）或（2，5）.
【分析】（1）把A,C点带入方程，列方程组即可求解；
（2）根据题意得出当点 到直线 的距离取得最大值时，求出AC表达式，将直线AC向下
平移m（m＞0）个单位，得到直线l，当直线l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点
D，此时点D到直线AC的距离最大，联立直线l和二次函数表达式，得到方程 ，
当方程有两个相同的实数根时，求出m的值，从而得到点D的坐标；
（3）分当OB是平行四边形的边和OB是平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质求出点
N的坐标即可.
【详解】
解：（1）将B（1，0）， 带入函数关系式得，
，
解得： ，
∴二次函数表达式为： ；
（2）当点 到直线 的距离取得最大值时，
∵A（-3，0）， ，
设直线AC的表达式为：y=kx+n，，将A和C代入，
，解得： ，
∴直线AC的表达式为y=-x-3，将直线AC向下平移m（m＞0）个单位，得到直线l，
当直线l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，
此时直线l的表达式为y=-x-3-m，
联立： ，得： ，令△= ，解得：m= ，
则解方程： ，得x= ，
∴点D的坐标为（ ， ）；
（3）∵M在抛物线对称轴上，设M坐标为（-1，t），
当OB为平行四边形的边时，
如图1，可知MN和OB平行且相等，
∴点N（-2，t）或（0，t），代入抛物线表达式得：
解得：t=-3，
∴N（-2，-3）或（0，-3）；
当OB为平行四边形对角线时，
线段OB的中点为（ ，0），对角线MN的中点也为（ ，0），
∵M坐标为（-1，t），可得点N（2，-t），代入抛物线表达式得：
4+4-3=-t，
解得：t=-5，
∴点N的坐标为（2，5），
综上：以 为顶点的四边形是平行四边形时，点N的坐标为（-2，-3）或（0，-3）
或（2，5）.
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数表达式，二次函数与一元二次方程的关系，
平行四边形的性质，最值问题，解题的关键是要结合函数图像，得到结论.
20．（1） ；（2）四边形BECD面积的最大值为 ，E（ ，
）；（3）存在．N的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（ ， ）．
【分析】
（1）由直线解析式求得B、C两点坐标，结合A点坐标利用待定系数法进行求解即可；
（2）易求AD的解析式为 ，进而D（ ， ）．求得CD的解析式为，进
而求出CD与x轴的交点坐标，易求△BCD的面积为 ，设E（x， ），表
示出S ，进而利用二次函数的性质即可求得答案；
BECD的面积（3）存在．先求出抛物线 的顶点坐标，根据平移规律求平移后抛物线解
析式，设M（ ，m），N（x，y），易根据平行四边形对角线互相平分及中点公式．分类讨
n n
论即可得答案．
【详解】
（1） ，当x=0时，y=2，
当y=0时， ，解得：x= ，
所以B（ ，0），C（0，2），
将A（ ，0），B（ ，0）代入y=ax2+bx+2，
得 ，
解得： ，
所以抛物线的解析式为 ；
（2）∵AD//BC，
∴设直线AD解析式为： ．
将A（ ，0）代入得： ，
解得：m=- ，所以AD的解析式为 ，
联立 ，
解得： ， ，
∵A（ ，0），
∴D（ ， ）．
设CD解析式为y=kx+2，
将点D坐标代入得： ，
解得：k= ，
所以CD的解析式为： ，
当y=0时，即 ，
解得：x= ，
则CD与x轴的交点为（ ，0）．
所以S = = ，
△BCD设E（x， ），
则S =
BECD
= ，
当x= 时，四边形BECD面积最大，其最大值为 ，此时E（ ， ）．
（3）存在．N的坐标为（ ， ），或（ ， ），或（ ， ）．
过程如下： ，
所以抛物线的顶点是（ ， ），
将抛物线 向左平移 个单位，
则平移后抛物线解析式为 ．
设M（ ，m），N（x，y），
n n
①当AM为对角线时，则 ，
解得：x= ，代入解析式得y= ．
n n
所以N（ ， ），如图对角线交点坐标为（0， ），M坐标为（ ， ）
②当AE为对角线时，则 ，
解得：x= ，代入解析式得y= ．
n n
所以N（ ， ），如图
对角线交点坐标为（ ， ），M坐标为（ ，0）
③当AN为对角线时，则 ，
解得：x= ，代入解析式得y= ．
n n所以N（ ， ）．如图
对角线交点坐标为（ ， ），M坐标为（ ，-8）．
【点拨】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，一次函数图像与坐标轴的交点，二
次函数图像的平移，二次函数的最值，平行四边形的性质等，综合性较强，有一定的难度，准确
识图，把握并灵活运用相关知识是解题的关键，注意数形结合思想与分类讨论思想的运用．
21．（1）（ ，﹣ ）；y＝﹣x2+2 x+1 （2）（ ， ）； （3）Q
，R 或Q（ ，﹣10），R（ ）
【分析】
（1）由待定系数法求出直线AB的解析式为y＝﹣ x+1，求出F点的坐标，由平行四边形的
性质得出﹣3a+1＝ a﹣8a+1﹣（﹣ ），求出a的值，则可得出答案；
（2）设P（n，﹣n2+2 n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'（n，﹣ n+1），得出PP'＝﹣n2+ n，由二次函数的性质可得出答案；
（3）联立直线AC和抛物线解析式求出C（ ，﹣ ），设Q（ ，m），分两种情况：
①当AQ为对角线时，②当AR为对角线时，分别求出点Q和R的坐标即可．
【详解】
解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
∵A（0，1），B（ ，0），
设直线AB的解析式为y＝kx+m，
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y＝﹣ x+1，
∵点F的横坐标为 ，
∴F点纵坐标为﹣ +1＝﹣ ，
∴F点的坐标为（ ，﹣ ），
又∵点A在抛物线上，
∴c＝1，
对称轴为：x＝﹣ ，
∴b＝﹣2 a，∴解析式化为：y＝ax2﹣2 ax+1，
∵四边形DBFE为平行四边形．
∴BD＝EF，
∴﹣3a+1＝ a﹣8a+1﹣（﹣ ），
解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2 x+1；
（2）设P（n，﹣n2+2 n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，
则P'（n，﹣ n+1），
∴PP'＝﹣n2+ n，
S ＝ OB•PP'＝﹣ n＝﹣ ，
△ABP
∴当n＝ 时，△ABP的面积最大为 ，此时P（ ， ）．
（3）∵ ，∴x＝0或x＝ ，
∴C（ ，﹣ ），
设Q（ ，m），
①当AQ为对角线时，
∴R（﹣ ），
∵R在抛物线y＝ +4上，
∴m+ ＝﹣ +4，
解得m＝﹣ ，
∴Q ，R ；
②当AR为对角线时，
∴R（ ），
∵R在抛物线y＝ +4上，
∴m﹣ +4，
解得m＝﹣10，
∴Q（ ，﹣10），R（ ）．综上所述，Q ，R ；或Q（ ，﹣10），R（ ）．
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐
标特征，平行四边形的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质及方程思想，分类讨论思想是解题
的关键．
22．（1） ；（2）存在这样的点，此时P点的坐标为（ ， ）；
（3）P点的坐标为( ，− )，四边形ABPC的面积的最大值为 ．
【分析】
（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；.
（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分
线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；.
（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y
轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然
后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横
坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的
函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．
【详解】
（1）将B、C两点的坐标代入 ，得
， 解得 .
∴二次函数的解析式为 .
（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；.
设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E.
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；.
连接PP′，则PE⊥CO于E，.
∵C（0，-3），.
∴CO=3，.
又∵OE=EC，.
∴OE=EC= .
∴y=− ；.
∴x2-2x-3=− ，
解得 （不合题意，舍去）.
∴存在这样的点，此时P点的坐标为（ ， ）.
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3），
设直线BC的解析式为：y=kx+d，.
则 ，.解得： .
∴直线BC的解析式为y=x-3，.
则Q点的坐标为（x，x-3）；.
当0=x2-2x-3，.
解得：x=-1，x=3，.
1 2
∴AO=1，AB=4，.
S =S +S +S .
四边形ABPC △ABC △BPQ △CPQ
= AB•OC+ QP•BF+ QP•OF.
= ×4×3+ (−x2+3x)×3.
=− (x− )2+ .
当x＝ 时，四边形ABPC的面积最大.
此时P点的坐标为( ，− )，四边形ABPC的面积的最大值为 ．
23．（1） ；（2）点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积
是3；（3）P的坐标是（﹣3， ）、（5， ）、（﹣1， ）．
【详解】
解：（1）∵直线y=﹣ x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
∴点B的坐标是（0，3），点C的坐标是（4，0），
∵抛物线y=ax2+ x+c经过B、C两点，∴ ，解得 ，
∴y=﹣ x2+ x+3．
（2）如图1，过点E作y轴的平行线EF交直线BC于点M，EF交x轴于点F，
，
∵点E是直线BC上方抛物线上的一动点，∴设点E的坐标是（x，﹣ x2+ x+3），则点M的
坐标是（x，﹣ x+3），∴EM=﹣ x2+ x+3﹣（﹣ x+3）=﹣ x2+ x，
∴S =S +S = = ×（﹣ x2+ x）×4=﹣ x2+3x=﹣ （x﹣2）2+3，
△BEC △BEM △MEC
∴当x=2时，即点E的坐标是（2，3）时，△BEC的面积最大，最大面积是3．
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．
①如图2，，
由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣ x+3上，∴点M的坐标是（2， ），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM=
，∴AM所在的直线的斜率是： ；∵y=﹣ x2+ x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ x2+ x+3），
则 ，
解得 或 ，
∵x＜0，∴点P的坐标是（﹣3，﹣ ）．
②如图3，，
由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣ x+3上，∴点M的坐标是（2， ），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM= ，
∴AM所在的直线的斜率是： ；
∵y=﹣ x2+ x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ x2+ x+3），则
，
解得 或 ，∵x＞0，∴点P的坐标是（5，﹣ ）．
③如图4，
，
由（2），可得点M的横坐标是2，∵点M在直线y=﹣ x+3上，
∴点M的坐标是（2， ），
又∵点A的坐标是（﹣2，0），∴AM= ，
∵y=﹣ x2+ x+3的对称轴是x=1，
∴设点Q的坐标是（1，m），点P的坐标是（x，﹣ x2+ x+3），
则
解得 ，∴点P的坐标是（﹣1， ）．
综上，可得在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐
标是（﹣3，﹣ ）、（5，﹣ ）、（﹣1， ）．
【点拨】本题考查二次函数综合题．
24．（1）（0,1）；1或0 （2） （3）
【分析】
（1）由题意，可得点B坐标，进而求得直线 的解析式，再分情况讨论即可解的m值；
（2）由非负性解得m和b的值，进而得到两个函数解析式，设 与x轴、y轴交于T，P， 分
别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH，证得四边形GPTH是正方形，求出GP即为距离；
（3）先根据解析式，用m表示出点C、E、D的坐标以及y关于x的表达式为
，得知y是关于x的二次函数且开口向上、最低点为其
顶点 ,根据坐标平移规则，得到关于m的方程，解出m值，即可得知
点D 、E的坐标且抛物线过D、E点，观察图像，即可得出S的大体范围，如： ，
较小的可为平行于DE且与抛物线相切时围成的图形面积．
【详解】
解：（1）由题意可得点B坐标为（0,1），
设直线 的表达式为y=kx+1，将点A（-1,0）代入得：k=1，
所以直线 的表达式为：y=x+1,若直线 恰好是 的图像，则2m-1=1,解得：m=1，
若直线 恰好是 的图像，则2m+1=1,解得：m=0，
综上， ， 或者
（2）如图，
，
，
，
设 与x轴、y轴交于T，P， 分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH
，
四边形GPTH是正方形
， ，即
；
（3） ，分别交x轴，y轴于C，E两点
，
图像交x轴于D点
二次函数 开口向上，它的图像最低点在顶点
顶点
抛物线顶点F向上平移 ,刚好在一次函数 图像上
且
，
∴ ，
由 ， 得到 ， ，
由 得到与x轴，y轴交点是 ， ， ，抛物线经过 ， 两点
的图像，线段OD，线段OE围成的图形是封闭图形，则S即为该封闭图形的面积
探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积．
探究过程：
①观察大于S的情况．
很容易发现
，
，
（若有S小于其他值情况，只要合理，参照赋分．）
②观察小于S的情况．
选取小于S的几个特殊值来估计更精确的S的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，
选取以下三种特殊位置：
位置一：如图
当直线MN与DE平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN与x，y轴分别交于M，N
，
直线
设直线，
直线
点
，
位置二：如图
当直线DR与抛物线有唯一交点时，直线DR与y轴交于点R
设直线 ，
直线
，
直线点
，
位置三：如图
当直线EQ与抛物线有唯一交点时，直线EQ与x轴交于点Q
设直线
，
直线
点
，
我们发现：在曲线DE两端位置时的三角形的面积远离S的值，由此估计在曲线DE靠近中间部
分时取值越接近S的值
探究的结论：按上述方法可得一个取值范围（备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案．只要来龙去脉清晰、合理，即
可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得分．）
【点拨】本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、
坐标平移规则、非负数的性质、一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质、一元二次方程、
不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定系数法、数形
结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计算．
25．（1） ；（2） ；（3） ；（4） 或 ．
【分析】
（1）将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值；
（2）分别表示出P、Q、M的坐标，根据Q、M的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出
方程求解即可；
（3）分别表示出PQ和MQ的长度，根据矩形 是正方形时 ，即可求得m的值，
再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m的值；
（4）分 ， ， ， 四种情况讨论，结合图形分析即可．
【详解】
解：（1）将点 代入
得 ，
解得b=1,；
（2）由（1）可得函数的解析式为 ，
∴ ,
∵ 于点 ，∴ ,
∵ 是直线 上的一点，其纵坐标为 ，
∴ ，
若点 与点 重合，则
，
解得 ；
（3）由（2）可得 ， ，
当矩形 是正方形时，
即 ，
即 或 ，
解 得 ，
解 得 ，
又 ，
∴抛物线的顶点为(1，2)，
∵抛物线的顶点在该正方形内部，∴P点在抛物线对称轴左侧，即 ，且M点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即
，
解得 ，故m的值为 ；
（4）①如下图
当 时，若抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值 随 的增大而减小，
则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，且P点应该在x轴上侧，
即 且 ，
解 得 ，
解 得 ，
∴ ，
②如下图当 时，若抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值 随 的增大而减小，
则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，
即 ，解得 ，
∴ ；
③当 时，P点和M点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意；
④如下图
当 时，若抛物线在矩形 内的部分所对应的函数值 随 的增大而减小，
则M点的纵坐标应该大于P点纵坐标，即 ，解得 或 ，
故 ，
综上所述 或 ．
【点拨】本题考查二次函数综合，正方形的性质定理，求二次函数解析式．能分别表示出M、
P、Q的坐标并结合图形分析是解决此题的关键，注意分类讨论．
26．（1）y=2x2﹣8x+6；（2）点E(2，2)或(3，4)；（3）存在，当点P坐标为(5，16)或(﹣1，16)
或(3，0)时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形
【分析】
（1）设抛物线解析式为：y＝a(x﹣1)(x﹣3)，把点C坐标代入解析式，可求解；
（2）先求出点M，点N坐标，利用待定系数法可求AD解析式，联立方程组可求点D坐标，可
求S ＝ ×2×6＝6，设点E(m，2m﹣2)，分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解；
△ABD
（3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像经过A(1，0)，B(3，0)，
∴设抛物线解析式为：y＝a(x﹣1)(x﹣3)，
∵抛物线y＝a(x﹣1)(x﹣3)(a≠0)的图像经过点C(0，6)，
∴6＝a(0﹣1)(0﹣3)，
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2(x﹣1)(x﹣3)＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2(x﹣2)2﹣2，
∴顶点M的坐标为(2，﹣2)，
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点N(2，2)，
设直线AN解析式为：y＝kx+b，
由题意可得： ，解得： ，
∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，
联立方程组得： ，
解得： ， ，
∴点D（4，6），
∴S ＝ ×2×6＝6，
△ABD
设点E(m，2m﹣2)，
∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，
∴S ＝ S ＝2或S ＝ S ＝4，
△ABE △ABD △ABE △ABD
∴ ×2×(2m﹣2)＝2或 ×2×(2m﹣2)＝4，
∴m＝2或3，
∴点E(2，2)或(3，4)；
（3）若AD为平行四边形的边，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD＝PQ，
∴x ﹣x ＝x ﹣x 或x ﹣x ＝x ﹣x ，
D A P Q D A Q P
∴x ＝4﹣1+2＝5或x ＝2﹣4+1＝﹣1，
P P
∴点P坐标为(5，16)或(﹣1，16)；
若AD为平行四边形的对角线，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD与PQ互相平分，
∴ ，
∴x ＝3，
P∴点P坐标为(3，0)，
综上所述：当点P坐标为(5，16)或(﹣1，16)或(3，0)时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行
四边形．
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，平行四边形的
性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
27．（1） ；（2） 面积最大值为 ；（3）存在，
【分析】
（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）设 ，求得解析式，过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F，设点
，则 ， ，即可求解；
（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线过 ，
∴
∴
∴
（2）设 ，将点 代入
∴
过点P作x轴得垂线与直线AB交于点F设点 ，则
由铅垂定理可得
∴ 面积最大值为
（3）（3）抛物线的表达式为：y＝x2＋4x−1＝（x＋2）2−5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2−5，
联立上述两式并解得： ，故点C（−1，−4）；设点D（−2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，−1）、（−1，−4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单
位得到E（D），
即−2＋1＝s且m＋3＝t①或−2−1＝s且m−3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2＋（t＋1）2＝12＋32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22＋（m＋1）2＝12＋32④，
联立①③并解得：s＝−1，t＝2或−4（舍去−4），故点E（−1，2）；
联立②④并解得：s＝-3，t＝-4± ，故点E（-3，-4＋ ）或（-3，-4− ）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：−1＝s−2且−4−1＝m＋t⑤，
此时，BD＝BE，即22＋（m＋1）2＝s2＋（t＋1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝−3，
故点E（1，−3），
综上，点E的坐标为：（−1，2）或 或 或（1，−3）．
∴存在，
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、
面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
