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专题 29 圆锥曲线求定值七种类型大题 100 题
类型一:斜率的和与积为定值1-22题
1．已知椭圆 经过点M（﹣2，﹣1），离心率为 ．过点M作倾斜角互补的两条直
线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．
(1)求椭圆C的方程；
（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．
2．已知点 是椭圆 上的一点，椭圆 的离心率与双曲线 的离心率互
为倒数，斜率为 直线 交椭圆 于 ， 两点，且 ， ， 三点互不重合.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若 ， ，分别为直线 ， 的斜率，求证： 为定值.
3．已知椭圆 ： ( )的左右焦点分别为 ，焦距为2，且经过点 .直线 过
右焦点且不平行于坐标轴， 与椭圆 有两个不同的交点 ， ，线段 的中点为 .
（1）点 在椭圆 上，求 的取值范围；
（2）证明：直线 的斜率与直线 的斜率的乘积为定值；4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 ，短轴长为
（1）求椭圆C的标准方程
（2）直线 与椭圆C交于P、Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为
①求四边形APBQ的面积的最大值
②设直线PA的斜率为 ，直线PB的斜率为 ，判断 的值是否为常数，并说明理由.
5．已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 ，直线 交椭圆于不
同的两点 ， ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求 的取值范围；
（3）若直线 不过点 ，试问直线 ， 的斜率之和是否为定值，若是定值求出定值，若不是定值说
明理由．6．如图所示，椭圆 的离心率为 ，其右准线方程为 ，A、B分别为椭圆的左、
右顶点，过点A、B作斜率分别为 、 ，直线AM和直线BN分别与椭圆C交于点M，N（其中M在x轴
上方，N在x轴下方）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线MN恒过椭圆的左焦点 ，求证： 为定值.
7．已知椭圆 ： 的焦点为 ， ，且过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆的上顶点为 ，过点 作直线交椭圆于 ， 两点，记直线 ， 的斜率分别为 ，
，试判断 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.8．椭圆 ： 过点 ，离心率为 ，其左、右焦点分别为 ， ，且过焦点
的直线 交椭圆于 ， ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若点 的坐标为 ，设直线 与直线 的斜率分别为 ， ，试证明： ．
9．已知椭圆 的左、右焦点分别是 ， ，点 在椭圆上，且 ．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点 且不过点 的直线 交椭圆于 ， 两点，求证：直线 与 的斜率之和为定值．
10．已知圆 与椭圆 相交于点M(0，1)，N(0，-1)，且椭圆的离
心率为 .（1）求 的值和椭圆C的方程；
（2）过点M的直线 交圆O和椭圆C分别于A，B两点.
①若 ，求直线 的方程；
②设直线NA的斜率为 ，直线NB的斜率为 ，问： 是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请
说明理由.
11．已知圆 ，动圆 与圆 相外切，且与直线 相切.
(1)求动圆圆心 的轨迹 的方程.
(2)已知点 ，过点 的直线 与曲线 交于两个不同的点 （与 点不重合），直线
的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
12．已知 、 分别是椭圆 的左右顶点， 、 是分别是上下顶点，且 为
等边三角形， 是 上异于 、 的一点．
（1）求椭圆 的离心率；
（2）证明：直线 与直线 的斜率的积为定值，并求出该定值．
13．已知椭圆 的离心为 ，且经过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆交于 两点(均异于点 )，直线 与 分别交直线 于 点和 点，求证： 为定值.
14．已知椭圆E： 的离心率为 ，直线l：y=2x与椭圆交于两点A，B，且 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设C，D为椭圆E上异于A，B的两个不同的点，直线AC与直线BD相交于点M，直线AD与直线
BC相交于点N，求证：直线MN的斜率为定值．
15．已知点Q是圆 上的动点，点 ，若线段QN的垂直平分线MQ于点P.
(I)求动点P的轨迹E的方程
(II)若A是轨迹E的左顶点，过点D（-3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜
率之和为定值.
16．设椭圆 的左右焦点分别为 ， 椭圆上点 到两焦点的距离之和为 ，椭
圆的离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 与椭圆 在第一象限交于点 ，点 是第四象限的点且在椭圆 上，线段 被直线 垂
直平分，直线 与椭圆 交于点 （异于点 ），求证直线 的斜率为定值.17．已知点 ， 为椭圆 的左、右焦点， ， 都在圆 上，
椭圆 和圆 在第一象限相交于点 ，且线段 为圆 的直径.
（1）求椭圆 的方程；
（2）椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，过定点 的直线 与椭圆 分别交于点 ， ，
且点 ， 位于第一象限，点 在线段 上，直线 与 交于点 .记直线 ， 的斜率分别为 ，
.求证： 为定值.
18．已知椭圆 的左右焦点分别是 ， ，点 为椭圆短轴的端点，且
的面积为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）点 是椭圆上的一点， 是椭圆上的两动点，且直线 关于直线 对称，试证明：
直线 的斜率为定值.19．如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右顶点分别为A、B．已知
，且点 在椭圆上，其中e是椭圆的离心率．
（1）求椭圆C的方程．
（2）设P是椭圆C上异与A、B的点，与x轴垂直的直线l分别交直线 、 于点M、N，求证：直线
与直线 的斜率之积是定值．
20．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为2，直线 与椭圆
有且只有一个公共点.
（1）求椭圆的方程；
（2）圆 的方程为 ，若圆 与直线 相交于 ， 两点(两点均不在坐标轴上)，试探究 ，
的斜率之积是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由.
21．在平面直角坐标系 中，椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ，点 是椭圆上一点，且 的面积等于 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过圆 上任意一点 作椭圆 的两条切线，若两条切线都存在斜率，求证：两切线斜率
之积为定值.
22．已知椭圆 的中点在原点，焦点在 轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦
点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知点 ， 在椭圆上，点 、 是椭圆上不同的两个动点，且满足 ，试
问直线 的斜率是否为定值，请说明理由.类型二:面积为定值1-15题
1．在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段， 为垂足.当点 在圆上运动时，线段 的中
点 的轨迹为曲线 .
（1）求中点 的轨迹曲线 的方程；
（2）斜率为 的直线 过点 且与曲线 交于 、 两点，求 的面积.
2．已知椭圆 的两个顶点分别为 ， ，焦点在 轴上，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）点 为 轴上一点，过 作 轴的垂线交椭圆 于不同的两点 ， ，过 作 的垂线交 于
点 .求 与 的面积之比.
3．已知椭圆 ： 离心率为 ，点 在椭圆 上， 点坐标 ，直线 ：
交椭圆 于 、 两点，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）求 的面积.4．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，离心率为 ，且 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆的下顶点为 ，过右焦点 作与直线 关于 轴对称的直线 ，且直线 与椭圆分别交于点
， ， 为坐标原点，求 的面积．
5．如图，已知点 ， 以线段 为直径的圆内切于圆 .
（1）证明 为定值，并写出点G的轨迹E的方程；
（2）设点A，B，C是曲线E上的不同三点，且 ，求 的面积.
6．在直角坐标系 中，椭圆 : 的离心率为 ，左、右焦点分别是 ， ， 为
椭圆 上任意一点， 的最小值为8.（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆 : ， 为椭圆 上一点，过点 的直线交椭圆 于 ， 两点，
且 为线段 的中点，过 ， 两点的直线交椭圆 于 ， 两点.当 在椭圆 上移动时，四边形
的面积是否为定值？若是，求出该定值；不是，请说明理由.
7．如图，椭圆C： 的离心率 ，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，又P，M，
N为椭圆C上非顶点的三点．设直线 ， 的斜率分别为 ， ．
（1）求椭圆C的方程，并求 的值；
（2）若 ， ，判断 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
8．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆 的左顶点与上顶点的距离为 ，且经过
点 .
（1）求椭圆C的方程.
（2）直线 与椭圆C相交于P、Q两点，M是PQ的中点.若椭圆上存在点N满足 ，求证：△PQN
的面积S为定值.
9．已知椭圆 经过点 ， .
（1）求椭圆 的方程及其离心率；
（2）若 为椭圆 上第一象限的点，直线 交 轴于点 ，直线 交 轴于点 .求证：四边形
的面积 为定值.10．已知椭圆C： 过点 ，点B为其上顶点，且直线AB斜率为 .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P为第四象限内一点且在椭圆 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求四边
形 的面积.
11．已知椭圆 ： 的离心率为 ，点 在椭圆上， 为坐标原点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）已知点 为椭圆 上的三点，若四边形 为平行四边形，证明：四边形 的面积
为定值，并求该定值.
12．已知椭圆 ．离心率为 ，点 与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三
角形．（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 交于 两点， 为坐标原点直线 的斜率之积等于 ，试探求
的面积是否为定值，并说明理由．
13．已知点 在椭圆 上，设 ， ， 分别为椭圆的左顶点､上顶点､下顶点，且点
到直线 的距离为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）设 为坐标原点， ， 为椭圆上的两点，且 ，求
证： 的面积为定值，并求出这个定值.
14．已知椭圆 的左焦点F在直线 上，且 .
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆交于A、C两点，线段 的中点为M，射线 与椭圆交于点P，点O为 的重心，
探求 面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围.
15．已知①如图，长为 ，宽为 的矩形 ，以 ､ 为焦点的椭圆 恰好过 两点②设圆 的圆心为 ，直线 过点 ，且与 轴不重合，直线 交圆 于 两点，过
点 作 的平行线交 于 ，
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求点 的轨迹方程；
（2）根据（1）所得点 的轨迹方程，直线 与点M轨迹交于 ､ 两点，且
.求证： 的面积为定值.类型三:线段关系与距离为定值1-25题
1．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，且经过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为椭圆 的右焦点，直线 与椭圆 相切于点 （点 在第一象限），过原点 作直线 的平行
线与直线 相交于点 ，问：线段 的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
2．如图，过抛物线 的焦点F任作直线l，与抛物线交于A，B两点，AB与x轴不垂直，且点A位
于x轴上方.AB的垂直平分线与x轴交于D点.
（1）若 求AB所在的直线方程；
（2）求证： 为定值.
3．已知椭圆 的离心率 ， 为椭圆上一点.
(1)求椭圆 的方程；(2)已知 为椭圆 的右焦点，过点 的直线 交椭圆(异于椭圆顶点)于 、 两点，试判断 是否
为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
4．已知椭圆 的左顶点为A，右焦点为F，过点A作斜率为 的直线与C相交于
A，B，且 ，O坐标原点.
（1）求椭圆的离心率e；
（2）若 ，过点F作与直线 平行的直线l，l与椭圆C相交于P，Q两点.
（ⅰ）求 的值；
（ⅱ）点M满足 ，直线 与椭圆的另一个交点为N，求 的值.
5．已知圆 和定点 ，平面上一动点 满足以线段 为直径的圆内切于圆 ，动点 的
轨迹记为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）直线 与曲线 交于不同两点 、 ，直线 ， 分别交 轴于 ， 两点．
求证： ．
6．已知椭圆C： 的离心率为 ，过焦点且与x轴垂直的直线被椭圆C截得的线段长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点 ， ，过点A的任意一条直线 与椭圆C交于M，N两点，求证：
．
7．已知椭圆E： 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点 在
椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM
与椭圆E交于C，D，证明： ．
8．已知椭圆 的左、右焦点分别为F 、F ，直线y＝kx交椭圆于P，Q两点，M是椭圆上不同于
1 2
P，Q的任意一点，直线MP和直线MQ的斜率分别为k ，k ．
1 2
（1）证明：k ·k 为定值；
1 2
（2）过F 的直线l与椭圆交于A，B两点，且 ，求|AB|．
29．已知点 在抛物线 ： 上，直线 ： 与抛物线 有两个不同的交点.
（1）求 的取值范围；
（2）设直线 与抛物线 的交点分别为 ， ，过点 作与 的准线平行的直线，分别与直线 和 交
于点 和 （ 为坐标原点），求证： .
10．如图所示，在平面直角坐标系 中，已知点 为椭圆 的上顶点.椭圆 以椭圆 的长
轴为短轴，且与椭圆 有相同的离心率.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 作斜率分别为 的两条直线 ，直线 与椭圆 分别交于点 ，直线 与椭圆
分别交于点 .
（i）当 时，求点 的纵坐标；
（ii）若 两点关于坐标原点 对称，求证： 为定值.11．已知椭圆 与直线 有且只有一个交点，点 为椭圆 上任意一点，
， ，且 的最小值为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设直线 与椭圆 交于不同两点 ， ，点 为坐标原点，且 ，当
的面积 最大时，判断 是否为定值，若是求出其值并证明，若不是请说明理由.
12．已知椭圆 的两个焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 的直线 与椭圆 交于
， 两点，且 的周长为8．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若一条直线与椭圆 分别交于 ， 两点，且 ，试问点 到直线 的距离是否为定值，证
明你的结论．
13．已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 .（1）求椭圆 的方程.
（2）设 为椭圆 上非顶点的任意一点，若 ､ 分别为椭圆 的左顶点和上顶点，直线 交 轴
于 ，直线 交 轴于 ， ，问： 的值是不是定值？若为定值，求之，若不为定值，说明
理由.
14．在圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，当 在圆上运动时，线段
上有一点 ，使得 ，
（1）求 的轨迹的方程；
（2）若直线 与椭圆 相交于 ， 两点，且以 为直径的圆经过原点 ，求证：点 到直线 的距离
为定值.
15．在平面直角坐标系xOy中，已知R（x ，y ）是椭圆C： （a＞b＞0）上一点，从原点O向
0 0
圆R：（x﹣x ）2+（y﹣y ）2＝8作两条切线，分别交P、Q两点．
0 0
（1）若R点在第一象限，且直线OP⊥OQ，求圆R的方程；
（2）若直线OP、OQ的斜率存在，并记为k 、k ，求k •k ；
1 2 1 2
（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．16．已知双曲线 的方程为： ，其左右顶点分别为： ， ，一条垂直于 轴的直线交双曲线
于 ， 两点，直线 与直线 相交于点 .
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）过点 的直线，与轨迹 交于 ， 两点，线段 的垂直平分线交 轴于 点，试探讨
是否为定值.若为定值，求出定值，否则说明理由.
17．已知动点 (其中 )到定点 的距离比点 到 轴的距离大1.
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）过椭圆 的右顶点作直线交曲线 于 ､ 两点，其中 为坐标原点
①求证： ；
②设 ､ 分别与椭圆相交于点 ､ ，证明：原点到直线 的距离为定值.
18．已知椭圆 的左，右焦点分别是 ， ，离心率为 ，直线 被椭圆 截
得的线段长为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 且斜率为 的直线 交椭圆 于 ， 两点，交 轴于 点，点 关于 轴的对称点为 ，直线 交 轴于 点.求证： 为坐标原点）为常数.
19．已知椭圆 的长轴长为4，上顶点为 ，左、右焦点分别为 ， ，且
， 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设点 ， 为椭圆 上的两个动点， ，问：点 到直线 的距离 是否为定值？若
是，求出 的值；若不是．请说明理由．
20．已知 、 是椭圆 的左、右焦点，离心率为 ，点 在椭圆 上，且
的周长为 ．
（1）求椭圆 的方程：
（2）若点 为椭圆 的上顶点，过点 且与 轴不垂直的直线 与椭圆 交于两个不同的点 、 ，
直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证： 为定值．21．已知椭圆C： 的的离心率为 ，且其右顶点到右焦点的距离为1.
（1）求C的方程；
（2）点M、N在C上，且 ，证明：存在定点P，使得P到直线 的距离为定值.
22．已知点P是圆 上任意一点，定点 ，线段 的垂直平分线l与半径 相交于
M点，P在圆周上运动时，设点M的运动轨迹为 .
（1）求点M的轨迹 的方程；
（2）若点N在双曲线 (顶点除外)上运动，过点N，R的直线与曲线 相交于 ，过点 的
直线与曲线相 交于 ，试探究 是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说
明理由.
23．设椭圆 的左､右焦点分别为 ，下顶点为 为坐标原点，点 到直线
的距离为 为等腰三角形.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）若倾斜角为 的直线经过椭圆 的右焦点 ，且与椭圆 交于 两点( 点在 点的上方)求线
段 与 的长度之比.24．已知椭圆E： 过点 ，离心率 为 ．
（1）求椭圆方程；
（2）已知不过原点的直线 与椭圆 相交于 两点，点 关于 轴的对称点为 ，直
线 分别与 轴相交于点 ，求 的值．
25．已知椭圆M： ，圆N是椭圆M长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆.
（1）求圆N的方程；
（2）过圆N上的任一点A作圆N的切线交椭圆M于B，C两点，求证 为定值.类型四:向量关系为定值1-10题
1．设抛物线 ， 为 的焦点，过 的直线 与 交于 两点.
（1）设 的斜率为 ，求 的值；
（2）求证： 为定值.
2．如图，过点 的直线 与抛物线 交于 两点.
（1）若 ，求直线 的方程;
（2）记抛物线 的准线为 ，设直线 分别交 于点 ，求 的值.3．已知椭圆方程为 ，直线 与 轴的交点记为 ，过右焦点 的直线与椭圆交于 ， 两
点.
（1）设若 且交直线 于 ，线段 中点为 ，求证： ， ， 三点共线；
（2）设 点的坐标为 ，直线 与直线 交于点 ，试问 是否为定值，若是，求出这个定值，
若不是，请说明理由.
4．已知椭圆 的右焦点为 ，离心率 ，点A、B分别是椭圆E的上、
下顶点，O为坐标原点.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过F作直线l分别与椭圆E交于C、D两点，与y轴交于点P，直线AC和BD交于点Q，求
的值.
5．已知双曲线 ，点 的坐标为 ，过 的直线 交双曲线 于点 .
（1）若直线 又过 的左焦点 ，求 的值；
（2）若点 的坐标为 ，求证： 为定值.6．已知椭圆 ，离心率为 ，短轴长为 ． 为椭圆的左右顶点，P为椭圆上
任一点（不同于 ），直线 分别与直线 交于 两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若F为椭圆右焦点，试判断 是否为定值，若为定值，求出该值；若不为定值，请说明理由．
7．已知抛物线 的焦点为 ，且点 与圆 上点的距离的最大值为
.
（1）求 ；
（2）若 为坐标原点，直线 与 相交于 ， 两点，问： 是否为定值？若为定
值，求出该定值;若不为定值，试说明理由
8．设双曲线C： ，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点.
（1）求直线l倾斜角θ的取值范围；（2）直线l交直线 于点P，且点A在点P，F之间，试判断 是否为定值，并证明你的结论.
9．已知椭圆E： （ ）的焦点为 ， ，且点 在E上．
（1）求E的方程；
（2）已知过定点 的动直线l交E于A，B两点，线段 的中点为N，若 为定值，
试求m的值．
10．已知椭圆 ： （ ）上的点 到 的两焦点的距离之和为6， 的离心率为 ．
（1）求 的标准方程；
（2）设坐标原点为 ，点 在 上，点 满足 ，且直线 ， 的斜率之积为 ，证明：
为定值．
类型五:角度关系为定值1-10题
1．已知椭圆 中心为原点，离心率 ，焦点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过定点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，在 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，
总有 ？说明理由.2．已知椭圆 的中心为原点，离心率 ，焦点 ，斜率为 的直线 与 交于 两点．
（1）若线段 的中点为 为 上一点，且 成等差数列，求点 的坐标；
（2）若 过点 轴上是否存在点 ，使得当 变动时，总有 ？说明理由．
3．已知双曲线的方程 .
（1）求点 到双曲线C上点的距离的最小值；
（2）已知圆 的切线 (直线 的斜率存在)与双曲线C交于A，B两点，那么∠AOB是否为定值?
如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.
4．已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长
为半径的圆与直线 相切.（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，过定点 的直线l交椭圆C于A，B两点，连接 并延长交C于M，求证：
.
5．设椭圆 的离心率为 ，圆 与 轴正半轴交于点 ，圆 在点 处
的切线被椭圆 截得的弦长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设圆 上任意一点 处的切线交椭圆 于点 、 ，求证： 为定值．
6．已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，点 ，且 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 (不与 轴重合)交椭圆 于点 ､ ，直线 ､ 分别与直线 交于点 ､ ，求
的大小.7．如图，已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的离心率为 ，左、右焦点分别为F，F，A为椭圆C上一点，
1 2
AF 与y轴相交于点B，|AB|＝|FB|，|OB|＝ .
1 2
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A，A，过A，A 分别作x 轴的垂线l，l，椭圆C的一条切线l：y＝
1 2 1 2 1 2
kx＋m(k≠0)与l，l 分别交于M，N两点，求证：∠MF N＝∠MF N.
1 2 1 2
8．已知动圆Q经过定点 ，且与定直线 相切（其中a为常数，且 ）.记动圆圆心Q的
轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？
（2）设点P的坐标为 ，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N
两点，证明： .
9．已知抛物线 的焦点为 ．点 在 上， ．
（1）求 ;
（2）过 作两条互相垂直的直线 ， 与 交于 两点， 与直线 交于点 ，判断是否为定值?若是，求出其值；若不是，说明理由．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的圆与抛物线C∶x2=2py(p>0)交于点M，N(异
于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，过A，B两点分别做拋物线C的切
线交于点P.
（1）求证∶点P的纵坐标为定值；
（2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB.
类型六:坐标关系为定值1-10题1．已知P为圆 ： 上一动点，点 坐标为 ，线段 的垂直平分线交直线 于
点Q.
（1）求点Q的轨迹 方程；
（2）已知 ，过点 作与 轴不重合的直线 交轨迹 于 两点，直线 分别与 轴交
于 两点.试探究 的横坐标的乘积是否为定值，并说明理由.
2．设椭圆 ，椭圆的右焦点恰好是抛物线 的焦点．椭圆的离心率为 ．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点 的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不
重合），证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值．
3．已知直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ，过椭圆 的
右顶点 的直线l交于抛物线 于 ， 两点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若射线 ， 分别与椭圆 交于点 ， ，点 为原点， ， 的面积分别为 ， ，问是否存在直线 使 ？若存在求出直线 的方程，若不存在，请说明理由；
（3）若 为 上一点， ， 与 轴相交于 ， 两点，问 ， 两点的横坐标的乘积 是
否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.
4．如图，椭圆 的离心率为 ，右焦点到相应准线 的距离为1，点A， B，C
分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C的直线 交椭圆于点D，交x轴于点M（x，0），直线AC
1
与直线BD交于点N（x，y）.
2 2
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）求证： 为定值.
5．在直角坐标系 中，曲线 的点均在 外，且对 上任意一点 ， 到直线
的距离等于该点与圆 上点的距离的最小值．
（1）求曲线 的方程；（2）设 为圆 外一点，过 作圆 的两条切线，分别与曲线 相交于点 、 和 、
．证明：当 在直线 上运动时，四点 、 、 、 的纵坐标之积为定值．
6．已知椭圆 ： 的焦距为 ，点 关于直线 的对称点在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）如图，椭圆 的上、下顶点分别为 ， ，过点 的直线 与椭圆 相交于两个不同的点 ， .
求 面积的最大值
②当 与 相交于点 时，试问：点 的纵坐标是否是定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
7．在平面直角坐标系 中，已知点 ，P是动点，且三角形 的三边所在直线的斜率满足
．
（Ⅰ）求点P的轨迹 的方程；（Ⅱ）若Q是轨迹 上异于点 的一个点，且 ，直线 与 交于点M，试探
究：点M的横坐标是否为定值？并说明理由．
8．已知椭圆 过点 ，过右焦点且垂直于 轴的直线截椭圆所得弦长是1．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设点 分别是椭圆 的左，右顶点，过点 的直线 与椭圆交于 两点（ 与 不重
合），证明：直线 和直线 交点的横坐标为定值．
9．过抛物线 上一定点 作两条直线分别交抛物线于 ， ，
（1）若横坐标为 的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；
（2）若 为抛物线的顶点， ，试证明：过 、 两点的直线必过定点 ；
（3）当 与 的斜率存在且倾斜角互补时，求 的值，并证明直线 的斜率是非零常数.10．已知 ， 分别是椭图 ： 的左，右焦点， 的顶点都在椭圆 上，且边
， 分别经过点 ， .当点 在 轴上时， 为直角三角形且面积为 .
（1）求 的方程；
（2）设 、 两点的横坐标分别为 、 ，求证： 为定值.
类型七:系数关系为定值1-10题
1．已知椭圆C： ( )的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点F的距离为 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F的直线l交椭圆于A､B两点，交y轴于P点，设 ， ，试判断 是否为
定值？请说明理由.
2．已知椭圆 经过点 ，且右焦点 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过 且斜率存在的直线 交椭圆 于 ， 两点，记 ，若 的最大值和最小值分别为， ，求 的值.
3．已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆C经过点 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）已知过点 的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，与直线 交于点Q，设 ，
，求证： 为定值．
4．已知直线 与圆 相切，动点 到 与 两点的距离之和等于 、 两点到直
线 的距离之和．
（1）求动点 的轨迹 的方程；
（2）过点 的直线 交轨迹 于不同两点 、 ，交 轴于点 ，已知 ， ，试问
是否等于定值，并说明理由．5．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦
点，
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆C的右焦点 作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若
为定值．
6．焦点在x轴上的椭圆C： 经过点 ，椭圆C的离心率为 ． ， 是椭圆的左、右焦
点，P为椭圆上任意点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点M为 的中点（O为坐标原点），过M且平行于OP的直线l交椭圆C于A，B两点，是否存
在实数 ，使得 ；若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
7．已知抛物线 ： 的焦点为 ， 为坐标原点．过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点．
（1）若直线 与圆 ： 相切，求直线 的方程；
（2）若直线 与 轴的交点为 ．且 ， ，试探究： 是否为定值？若为定值，求
出该定值；若不为定值，试说明理由．8．已知点 在抛物线 上，过点 的直线 与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直
线PA交 轴于M，直线PB交 轴于N.
（1）求抛物线C的方程；
（2）求直线 的斜率的取值范围；
（3）设O为原点， ，求证： 为定值.
9．已知椭圆 的长轴长与短轴长之比为2，过点 且斜率为1的直线与椭圆
相切．
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，与直线 交于 点，若 ， ．
证明： 为定值．
10．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 ，直线 的倾斜角为
60°，原点 到直线 的距离是 ．（1）求 的方程；
（2）过 上任一点 作直线 ， 分别交 于 ， （异于 的两点），且 ，
，探究 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
