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专题 2.45 二次函数压轴题-特殊三角形问题（专项练习）
1．已知二次函数y＝x2+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A(﹣1，0)，C(4，0)，AC
＝BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请画出抛物线的图像；
（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若
存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图1，抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，
3），连接BC，抛物线的对称轴直线x＝1与BC交于点D，与x轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，把△DEB绕点D顺时针旋转60°得到△DMN，求证：点M在抛物线上；
（3）如图3，点P是抛物线上的动点，连接PN，BN，当∠PNB＝30°时，请直接写出直线PN的
解析式．如图，在平面直角坐标系 中，直线 ： 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，
抛物线 经过点 ，且与直线 的另一个交点为 ．
（1）求 的值和抛物线的解析式；
（2） 是平面内一点，将 绕点 沿逆时针方向旋转90°后，得到 ，点 、 、
的对应点分别是点 、 、 ，若 的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 的横
坐标．
2．如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于
点C，连接BC．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴
于点N，当线段PM的长度最大时，求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，当线段PM的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点Q，使得△CNQ
为直角三角形，直接写出点Q的坐标．3．定义：如果二次函数 （ ， ， ， 是常数）与 （
， ， ， 是常数）满足 ， ， ，则这两个函数互为“N”函数．
（1）写出 的“N”函数的表达式；
（2）若题（1）中的两个“N”函数与正比例函数 的图像只有两个交点，求k的值；
（3）如图，二次函数y 与y 互为“N”函数，A、B分别是“N”函数y 与y 图像的顶点，C是
1 2 1 2
“N”函数 与y轴正半轴的交点，连接 、 、 ，若点 且 为直角三角形，
求点C的坐标．
6．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．抛物线
经过 、 两点，且与 轴交于另一点 （点 在点 右侧）．
（1）求抛物线的解析式及点 坐标；（2）设该抛物线的顶点为点 ，则 ______；
（3）若点 是线段 上一动点，过点 的直线 平行 轴交 轴于点 ，交抛物线于点 ．
求 长的最大值及点 的坐标；
（4）在（3）的条件下：当 取得最大值时，在 轴上是否存在这样的点 ，使得以点 、点
、点 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点 的坐标；若不存在，请说
明理由．
7．如图1，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于点 ， （点 在点
的左侧），交 轴于点 ，且经过点 ．
（1）求抛物线的解析式及点 ， 的坐标；
（2）在平面直角坐标系 中，是否存在点 ，使 是等腰直角三角形?若存在，请直接写
出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线 下方，作正方形 ，并将 沿对称轴平移 个单位长度（规
定向上平移时 为正，向下平移时 为负，不平移时 为0），若平移后的抛物线与正方形
（包括正方形的内部和边）有公共点，求 的取值范围．8．如图，抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ．直线 经过点 、
．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴 与直线 相交于点 ，连接 、 ，判定 的形状，并说明理由；
（3）在直线 上是否存在点 ，使 与直线 的夹角等于 的2倍？若存在，请求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 的图像经过点 和 ，并与
x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，过点A作 交抛物线于点D，E为直线BC下方抛物线上的一个动点，连接DE，交线段BC于点F，连接CE，AF，求四边形ACEF面积的最大值；
（3）直线 与线段BC交于点G，将该抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线刚好经
过点G，点M为平移后的抛物线对称轴上一动点，在（2）的条件下，是否存在以点A，E，M
为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
10．已知抛物线y=a（x﹣h）2﹣2（a，h，是常数，a≠0），x轴交于点A，B，与y轴交于点C，
点M为抛物线顶点．
（Ⅰ）若点A（﹣1，0），B（5，0），求抛物线的解析式；
（Ⅱ）若点A（﹣1，0），且△ABM是直角三角形，求抛物线的解析式；
（Ⅲ）若抛物线与直线y=x﹣6相交于M、D两点．
1
①用含a的式子表示点D的坐标；
②当CD∥x轴时，求抛物线的解析式．
11．如图，已知抛物线与x轴交于 、 两点，与y轴交于点 ．
（1）求该抛物线所对应的函数关系式；
（2）E是线段BC上的一个动点（与点B、C不重合），过点E作 轴于点D，交抛物线于
点F．
①当点E运动到什么位置时， 的面积最大？求出 的最大面积及此时E点的坐标．
②在这条抛物线上是否存在点F，使得以F、E、C为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，
请求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，说明理由；12．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为(2，0)，与y轴交于点
C，抛物线对称轴为直线x ．连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点．过
点P作x轴的垂线PH，垂足为点H，交AC于点Q．过点P作PG⊥AC于点G．
（1）求抛物线的解析式．
（2）求 周长的最大值及此时点P的坐标．
（3）在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角
形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如果抛物线 的顶点在抛物线 上，同时，抛物线 的顶点在抛物线 上，那么，我们称
抛物线 与 关联．
（1）已知抛物线①： 与② ，请判断抛物线①与抛物线②是否关联，并说明理由．
（2）将抛物线 ： 沿x轴翻折，再向右平移 个单位，得到抛物线 ，
若抛物线 与 关联，求m的值．
（3）点A为抛物线 ： 的顶点，点B为与抛物线 关联的抛物线的顶点（点B
位于x轴的下方），是否存在以 为斜边的等腰直角三角形 ，使其直角顶点C在x轴上？
若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线 相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的
横坐标为2，连结AM、BM．
（1）直接写出A点B点坐标及抛物线的函数关系式；
（2）判断△ABM的形状，并说明理由；
（3）把抛物线与直线 的交点称为抛物线的不动点，若将（1）中抛物线平移，使其顶点为
(m，2m)，当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．
15．如图，已知抛物线 与x轴交于点 和点B，与y轴交于点 ，P为
抛物线上任意一点．（1）求抛物线的解析式．
（2）当 是以 为直角边的直角三角形时，求此时P点的坐标．
16．已知直线 ：y＝x﹣1，抛物线c：y＝（x﹣h）2＋k．
1 2
（1）若h＝0，k＝﹣1，求直线 与抛物线c的交点坐标；
（2）若k＝﹣1时，求当x（可用含h的代数式表示）为何值时，y＞y；
2 1
（3）若k＝h2＋1，设直线 与x，y轴与分别交于点A，B，抛物线c的顶点为P，当点A，B，P
三点构成的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．
17．已知，抛物线y=-x²+bx+c经过点A(-1，0)和C(0，3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小?如果存在，请求出点P的坐标，
如果不存在，请说明理由；
（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．18．已知抛物线y＝x2+kx+k﹣1．
（1）当k＝3时，求抛物线与x轴的两个交点坐标；
（2）无论k取任何实数，抛物线过x轴上一定点，求定点坐标；
（3）当k＝5时，设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A，B（点A在点B的左边）两点，连接
AC，在线段AC上是否存在点D，使△ABD是直角三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，
请说明理由．
（4）点E（﹣1，1），点F（﹣2，2），抛物线与线段EF只有一个交点，求k的取值范围
19．如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣3的图像与x轴交于点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交
于点C，D是抛物线的顶点，对称轴与x轴交于E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE上求作一点M，使△AMC的周长最小，并求出点M的坐标
和周长的最小值；
（3）如图2，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点
P的横坐标为m．是否存在点P，使△FCG是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请
说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 两点，与 轴交于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）若点 为抛物线上一动点，当点 运动到某一位置时， ，求此时点 的坐标．
（3）若将 沿射线 方向平移，平移后的三角形记为 ，连接 ，直线 交抛
物线于 点，是否存在点 ，使得为 等腰三角形？若存在，直接写出 点横坐标，若不
存在，请说明理由．21．如图，抛物线与x轴交于点 与点 ，与y轴交于点 ，P为第一象限抛物线
上的点．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）当△PBC的面积最大时，求P点的坐标．
（3）在X轴上是否存在点N，使△NBC是等腰三角形，若存在直接写出所有符合条件的点N的
坐标，若不存在说明理由
参考答案
1．（1）二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）见解析；（3）存在，点P的坐标为(1，8)
或(1，﹣2)或(1，6)或(1，﹣1)
【分析】
（1）先求得点B的坐标，然后将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可得到关于b、c的方程
组，从而可求得b、c的值；
（2）根据函数的表达式取点、描点连线即可画出函数的图像；
（3）存在，设P（1，m），分三种情况：分别以A，B，P为直角顶点，根据勾股定理和两点的
距离公式列方程，解方程即可．
【详解】解：（1）∵点A（-1，0），C（4，0），
∴AC=5，OC=4，
∵AC=BC=5，
∴B（4，5），
把A（-1，0）和B（4，5）代入二次函数y=x2+bx+c中得：
，解得 ，
∴二次函数的解析式为：y=x2-2x-3；
（2）由函数的表达式，取值列表如下：
根据表格数据，绘制函数图像如下：
（3）存在，
y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴设P（1，m），
分三种情况：
①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2=PA2，
∴（4-1）2+（m-5）2+（4+1）2+52=（1+1）2+m2，
解得：m=8，
∴P（1，8）；
②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：PA2+AB2=PB2，
∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52=（4-1）2+（m-5）2，
解得：m=-2，∴P（1，-2）；
③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+PA2=BA2，
∴（1+1）2+m2+（4-1）2+（m-5）2=（4+1）2+52，
解得：m=6或-1，
∴P（1，6）或（1，-1）；
综上，点P的坐标为（1，8）或（1，-2）或（1，6）或（1，-1）．
【点拨】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，二次函数的性
质，勾股定理，解一元二次方程，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法和分
类讨论思想是解本题的关键．
2．（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）见解析；（3）直线NP的表达式为y＝x﹣1或y＝（ ﹣2）x+3
﹣5 ．
【分析】
（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明△DNB为等边三角形，求出点N的坐标，利用 ，求出点M的坐标，进
而求解；
（3）由（2）知， ,故当点P在x轴上方时，直线NP的表达式为 ；当点
在x轴下方时，证明 ,即可求解．
【详解】
解：（1）由题意得： ，解得 ，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵△DEB绕点D顺时针旋转60°得到△DMN，
则DN＝BD，∠DNB＝60°，则△DNB为等边三角形，
对于y＝﹣x2+2x+3，令y＝﹣x2+2x+3＝0，解得x＝3或﹣1，
故点B的坐标为（3，0），
由B、C的坐标得，直线BC的表达式为y＝﹣x+3，
当x＝1时，y＝﹣x+3＝2，故点D（1，2），则点E（1，0），则EB＝2＝DE，故△DBE为等腰直角三角形，则BD＝ ，
过点N作直线NP⊥BD交BD于点H，交抛物线于点P，
∵DN＝NB，DE＝BE，则NP为BD的中垂线，
由BC得表达式知，∠OBC＝∠OCB＝45°，则∠PEB＝45°，
故设直线NP的表达式为y＝x+t，
将点E的坐标代入上式得：0＝1+t，解得t＝﹣1，
故直线NP的表达式为y＝x﹣1，
设点N的坐标为（m，m﹣1），
由BN＝DB得：（m﹣3）2+（m﹣1）2＝（ ）2，解得m＝2± （舍去2+ ），
故点N的坐标为（2﹣ ，1﹣ ）；
过点M作y轴的平行线交过点D与x轴的平行线于点G，交过点N与x轴的平行线于点K，
设点M的坐标为（s，t），
∵∠DMG+∠KMN＝90°，∠DMG+∠GDM＝90°，
∴∠KMN＝∠GDM，
∴∠MKN＝∠DGM＝90°，MD＝MN，
∴△MKN≌△DGM（AAS），
∴GD＝MK，MG＝KN，
∴ ，解得 ，
故点M的坐标为（1﹣ ，1），当x＝s＝1﹣ 时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（1﹣ ）2+2（1﹣ ）+3＝1，
故点M在抛物线上；
（3）由（2）知，∠PNB＝30°，
①故当点P在x轴上方时，
直线NP的表达式为y＝x﹣1，
②当点P（P′）在x轴下方时，
∵∠P′NB＝30°，∠BND＝60°，则∠P′ND＝90°，
由点DN的坐标得，直线ND的表达式为y＝（2+ ）x﹣ ，
则设直线NP′的表达式为y＝（ ﹣2）x+r，
将点N的坐标代入上式并解得r＝3﹣ ，
故直线NP′的表达式为y＝（ ﹣2）x+3﹣5 ；
综上，直线NP的表达式为y＝x﹣1或y＝（ ﹣2）x+3﹣5 ．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合运用，涉及到一次函数的性质，三角形全等，解直角三角
形，图形的旋转等，要注意分类求解避免遗漏．
3．（1）2， ；（2）点 的横坐标 或 ．
【分析】
（1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值，
然后利用待定系数法求二次函数解析式即可解答；
（2）根据逆时针旋转角为90°可得 轴时， 轴，设点A 的横坐标为x，然后分
1
点O、B 在抛物线上时，点O 的横坐标为x，点B 的横坐标为x+1，再根据纵坐标相同列出方程
1 1 1 1
求解即可；，点A、B 在抛物线上时，点B 的横坐标为x+1，再根据两点的纵坐标相差AO 的长
1 1 1 1 1
度列出方程求解即可．
【详解】
解：∵直线 ： 过点 ，
∴ ，∴直线 的解析式为： ，
将 代入 ，得： ，
∴ ，
将点B、C代入抛物线 ，得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）∵将 绕点 沿逆时针方向旋转90°后，得到 ，
∴ 轴时， 轴，设点A 的横坐标为x，
1
∵点 ，
∴ ，
如图2，点O、B 在抛物线上时，点O 的横坐标为x，点B 的横坐标为x+1，
1 1 1 1
∴ ，
解得： ；
如图3，点A、B 在抛物线上时，点B 的横坐标为x+1，
1 1 1∵直线 ： 与 轴交于点A，
∴点A ，即 ，
∴点A 的纵坐标比点B 的纵坐标大 ，
1 1
∴
解得： ，
综上所述，点 的横坐标 或 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数的综合题，一次函数的图像上的坐标特征，待定系数法求函数
解析式，二次函数的性质，旋转等知识，熟练掌握方程思想和分类讨论思想是解题的关键．
4．（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）；（2）点M坐标（ ， ）；（3）点Q坐标为
（1，- ）或（1， ）或（1， ）或（1， ）．
【分析】
（1）在抛物线解析式中，令x=0可求得点C坐标，令y=0则可求得A、B的坐标；
（2）由B、C的坐标可求得直线BC的解析式为y=-x+3，则可表示出点M坐标，则可求得PM的
长，从而可用t表示出△BCM的面积，再利用二次函数的性质可求得当△BCM面积最大值时t的
值，可求得点M坐标；
（3）由（2）可知点N坐标，设点Q坐标为（1，m），则可用m分别表示出QN、QC及CN，分
点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于m
的方程，可求出m的值，可求得点Q坐标．
【详解】
解：（1）对于y=-x2+2x+3，令x=0，则y=3，
∴C（0，3），
令y=0，则-x2+2x+3=0，解得：x=3，x=-1，
1 2
∴A（-1，0），B（3，0）；
（2）设BC的表达式为y=kx+b，则，解得 ，
∴直线BC的表达式为y=-x+3，
设点P的坐标为（t，-t+3），则点M的坐标为（t，-t2+2t+3），
∴PM=-t2+2t+3+t-3=-t2+3t=-(t- )2+ ，
t= 时，PM最大，
此时点M坐标（ ， ）；
（3）∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
∴设Q（1，m），且C（0，3），N（ ，0），
∴CN= ，CQ= ，
NQ= ，
∵△CNQ为直角三角形，
∴分点C为直角顶点、点Q为直角顶点和点N为直角顶点三种情况，
①当点C为直角顶点时，则有CN2+CQ2=NQ2，
即( )2+(m2-6m+10)=m2+ ，解得：m= ，
此时点Q坐标为（1， ）；
②当点Q为直角顶点时，则有CQ2+NQ2=CN2，
即（m2-6m+10）+m2+ =( )2，解得：m= ，m= ，
1 2
此时点Q坐标为（1， ）或（1， ）；
③当点N为直角顶点时，则有CN2+NQ2=CQ2，即( )2+m2+ =（m2-6m+10），解得：m=- ，
此时点Q坐标为（1，- ）；
综上所述，点Q坐标为（1，- ）或（1， ）或（1， ）或（1， ）．
【点拨】本题是二次函数综合应用题，主要考查了待定系数法函数与坐标轴的交点、三角形的面
积、二次函数的性质、勾股定理、方程思想以及分类讨论思想等知识．本题考查知识点较多，综
合性较强．
5．（1） ；（2）k的值为3或－1；（3）点C的坐标为（0， ）或（0，5）．
【分析】
（1）根据“N”函数的定义即可求得答案；
（2）根据中心对称的性质可得 的图像与 的图像只有一个交点，
由此联立方程即可求得答案；
（3）先根据中心对称的性质求得点B的坐标，进而可分别表示出y 与y 的函数关系式，以及点
1 2
C的坐标，再根据 为直角三角形分类讨论，利用直角三角形的勾股定理列出方程求解即可．
【详解】
解：（1）∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ 的“N”函数的表达式为 ；
（2）
，同理： ，
∴ 与 关于原点成中心对称，
又∵正比例函数 的图像也是关于原点成中心对称，且题（1）中的两个“N”函数与正
比例函数 的图像只有两个交点，
∴ 的图像与 的图像只有一个交点，
∴方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
整理，得： ，
∴ ，
解得： ， ，
∴k的值为3或－1；
（3）由（2）可知，若二次函数y 与y 互为“N”函数，
1 2
则二次函数y 与y 的图像关于原点成中心对称，
1 2
∵A、B分别是“N”函数y 与y 的图像的顶点，点 ，
1 2
∴点 ，点O为AB的中点，
∴设 （ ），则 ，
当 时， ，
∴点C（0， ），
∵C是“N”函数 与y轴正半轴的交点，
∴若 为直角三角形，则∠ACB＝90°或∠BAC＝90°，
当∠ACB＝90°时，
又∵点O为AB的中点，∴AB＝2OC，
∵AB＝ ，
∴OC＝ ，
∴点C的坐标为（0， ），
当∠BAC＝90°时，则 ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴点C的坐标为（0，5），
综上所述：点C的坐标为（0， ）或（0，5）．
【点拨】本题考查了二次函数的图像性质，理解题意，能够发现二次函数y 与y 的图像关于原点
1 2
成中心对称是解决本题的关键．
6．（1） ， ；（2）3；（3） 的最大值为 ，点 的坐标为 ；
（4）存在， ； ； ；
【分析】
（1）由直线y=-3x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，得A（-1，0）、C（0，-3），将A（-1，
0）、C（0，-3）代入y=x2+bx+c，列方程组求b、c的值及点B的坐标；
（2）设抛物线的对称轴交BC于点F，求直线BC的解析式及抛物线的顶点坐标，再求出点F的
坐标，推导出S = FH•OB，可求出△BCH的面积；
△BCH
（3）设点E的横坐标为x，用含x的代数式表示点E、点M的坐标及线段ME的长，再根据二次
函数的性质求出线段ME的最大值及点M的坐标；（4）在x轴上存在点P，使以点M、B、P为顶点的三角形是等腰三角形．由（3）得D（ ，
0），M（ ，- ），由勾股定理求出OM=BM= ，由等腰三角形PBM的腰长为 或 求
出OP的长即可得到点P的坐标．
【详解】
解：（1）∵直线y=-3x-3与x轴、y轴分别交于点A、C，
当 时，
∴
当 时，
∴
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A、C，
∴
∴
∴抛物线的解析式是：
当 时，
解得：
∴
（2）设抛物线的对称轴交BC于点F，交x轴于点G．
设直线BC的解析式为y=kx-3，则3k-3=0，解得k=1，
∴y=x-3；
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线的顶点H（1，-4），
当x=1时，y=1-3=-2，∴F（1，-2），
∴FH=-2-（-4）=2，
∴ ．
故答案为：3．
（3）由（1）知 ， 直线 的解析式是：
设 ，则
∴
当 时， 的最大值
∴点 的坐标为
（4）存在，如图3，由（2）得，当ME最大时，则D（ ，0），M（ ，− ），
∴DO=DB=DM= ；
∵∠BDM=90°，
∴OM=BM= ．
点P、P、P、P 在x轴上，
1 2 3 4
当点P 与原点O重合时，则PM=BM= ，P（0，0）；
1 1 1
当BP=BM= 时，则OP= ，
2 2
∴P（ ，0）；
2
当点P 与点D重合时，则PM=PB= ，
3 3 3
∴P（ ，0）；
3
当BP=BM= 时，则OP= ，
4 4∴P ．
4
综上所述， ．
【点拨】此题重点考查二次函数的图像与性质、等腰三角形的判定、用待定系数法求函数解析式、
求抛物线的顶点坐标以及勾股定理、二次根式的化简等知识和方法，解最后一题时要注意分类讨
论，求出所有符合条件的点P的坐标．
7．（1） ， ， ；（2）存在， ， ， ，
， ， ；（3）
【分析】
（1）利用待定系数法求函数解析式，然后令y=0，求得x的值，从而求解；
（2）求得直线AD的解析式，然后利用一次函数的性质求得 ，然后根据等腰直角三
角形的判定和性质求解；
（3）根据正方形的性质求得点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，然后设平移后的抛物线
解析式为 ，结合二次函数和一次函数的性质联立方程组求解．
【详解】
解：（1）依题意，将点 代入 ，
得 ，解得 ，
抛物线的解析式为 ．
令 ，得 ，解得 ， ．
， ．
（2）设直线 的式为 ，
将 ， 两点坐标代入得， ，解得直线 的解析式为 ．
如图1，设直线 与 轴交于点 ，
令 ，得 ，
，
，
过点 作 轴，过点 作 轴，
过点 作 轴， 与 交于点 ，
延长 至 ，使 ，连接 ，
延长 至 ，使 ，连接 ，
延长 至 ，使 ，连接 ，
延长 至 ，使 ，连接 ，
则 ， ， ， ， ，
为所有符合题意的等腰直角三角形．
， ， ， ， ， ．
（3）如图2，由（2）可知，
∵在正方形 中，A（-1，0），点D（5，6）
∴点 的坐标是 ，点 的坐标是 ，直线 的解析式是 ，
设平移后的抛物线解析式为 ，
结合图像可知，当抛物线经过点 时，是抛物线平移后与正方形 有公共点的最低位置，
将点 代入 ，
得 ，解得 ．
当抛物线与 边有唯一公共点时，
是抛物线平移后与正方形 有公共点的最高位置，
将 与 联立方程组，
化简，得 ，
只有唯一解，即此一元二次方程有两个相等的实数根，
，解得 ．
的取值范围 ．
【点拨】本题考查二次函数综合，掌握待定系数法求函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征，
利用数形结合思想解题是关键．
8．（1）y＝﹣x2+6x﹣5；（2）△APC为直角三角形，理由见详解；（3）存在点M的坐标为（， ）或（ ， ）
【分析】
（1）利用一次函数解析式确定C（0，﹣5），B（5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB＝
OC得到∠ABP＝45°，进一步说明∠APB＝90°，则∠APC＝90°即可判定△APC的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M，交AC于E，如图2，利
1
用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AMB＝2∠ACB，再确定N（3，﹣2），AC的解析
1
式为y＝5x﹣5，E点坐标为（ ， ），利用两直线垂直的问题可设直线EM 的解析式为y
1
x+b，把E（ ， ）代入求出b得到直线EM 的解析式为y x ，则解方程组
1
得M 点的坐标；作直线BC上作点M 关于N点的对称点M，如图2，利用对称性
1 1 2
得到∠AMC＝∠AMB＝2∠ACB，设M（x，x﹣5），根据中点坐标公式得到3 ，然后求
2 1 2
出x即可得到M 的坐标，从而得到满足条件的点M的坐标．
2
【详解】
解：（1）当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，则C（0，﹣5），
当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）△APC为直角三角形，理由如下：
∵解方程﹣x2+6x﹣5=0，则x＝1，x＝5．
1 2
∴A（1，0），B（5，0）．
∵抛物线y＝-x2+6x-5的对称轴直线l为x＝3，
∴△APB为等腰三角形．∵C的坐标为（0，-5），B的坐标为（5，0），
∴OB＝CO＝5，即∠ABP＝45°．
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠ABP＝45°，
∴∠APB＝180°﹣45°﹣45°＝90°．
∴∠APC＝180°﹣90°＝90°．
∴△APC为直角三角形；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M，交AC于E，如图2，
1
∵ME垂直平分AC
1
∴MA＝MC，
1 1
∴∠ACM ＝∠CAM ，
1 1
∴∠AMB＝2∠ACB，
1
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝NH＝2，
∴N（3，﹣2），
∵A（1，0）C（0，-5）
∴AC的解析式为y＝5x﹣5，中点E点坐标为（ ， ），
设直线EM 的解析式为y x+b，
1
把E（ ， ）代入得 b ，解得b ，
∴直线EM 的解析式为y x ，
1解方程组 得 ，则M（ ， ）；
1
在直线BC上作点M 关于N点的对称点M，如图2，则∠AMC＝∠AMB＝2∠ACB，
1 2 2 1
设M（x，x﹣5），
2
∵3 ，
∴x ，
∴M（ ， ），
2
综上所述，点M的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性
质、等腰直角的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分
类讨论的思想解决数学问题．
9．（１） ；（２）当 时， ；（３）存在这样的
，理由见解析．
【分析】
（1）将点 和 代入抛物线 中，利用待定系数法解题即可；
（2）令 ，结合韦达定理解得 ，根据已知条件可得 ，由此得
到点 的坐标，再利用待定系数法解得直线 的解析式为： ，由两直线平行，
斜率相等解得 ，联立方程组 即可解得点 ，设 由方程组 解得交点坐标 ，设 与 相交于点 ，作
交 于点 ，可知 ，继而解得点 ，最后根据
结合配方法解题即可；
（3）分当 时或当 时，或当 时，结合一次函数的性质解题
即可．
【详解】
解：（1）将点 和 代入抛物线 中，得
；
（2）令 ，
设直线 的解析式为： ，代入点 得，解得
设
在 上，
联立方程组
整理得：
设
E为直线BC下方联立方程组
设 与 相交于点 ，作 交 于点 ，当 时， ；
（3）由（2）知
或 （舍去）
即对称轴为：
设设 ，代入 ， 得
同理解得
当 时，
由公式法解得 ；
当 时，
解得： ；
当 时，
解得
综上所述，存在这样的 ．
【点拨】本题考查二次函数的综合，涉及一次函数、一元二次方程的解法、直角三角形的判断等
知识，是重要考点，难度较大，掌握相关知识是解题关键．10．（Ⅰ）y （x﹣2）2﹣2；（Ⅱ）y （x﹣1）2﹣2；（Ⅲ）①D点坐标为（ ，
）；②y （x﹣4）2﹣2．
【分析】
（Ⅰ）先根据点A（﹣1，0），B（5，0），得到抛物线的对称轴为直线x=2，把A（﹣1，0）代
入y=a（x﹣2）2﹣2求出a ，得到函数解析式；
（Ⅱ）根据函数的对称性知点A与点B为对称点，得到△ABM是等腰直角三角形，利用M（h，
﹣2），列得AB=2×|﹣2|=4，，求出点B的坐标，分两种情况将点A、B的坐标代入求出解析式；
（Ⅲ）①把M（h，﹣2）代入y=x﹣6求出h=4，再解方程组 即可求出点D的坐
标；
②令x=0求出C（0，16a﹣2），根据CD∥x轴得到 16a﹣2，求出a=± ，当a 时，
C、D两点重合，舍去，故a ，由此得到函数的解析式．
【详解】
（Ⅰ）∵抛物线过点A（﹣1，0），B（5，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
把A（﹣1，0）代入y=a（x﹣2）2﹣2得a（﹣1﹣2）2﹣2=0，
解得：a ，
∴抛物线解析式为y （x﹣2）2﹣2；
（Ⅱ）∵点A与点B为对称点，
∴△ABM是等腰直角三角形，
而M（h，﹣2），
∴AB=2×|﹣2|=4，∴B点坐标为（﹣5，0）或（3，0），
把A（﹣1，0），B（﹣5，0）代入y=a（x﹣h）2﹣2，得，解得：h=﹣3，a ，
此时抛物线解析式为y （x+3）2﹣2；
把A（﹣1，0），B（3，0）代入y=a（x﹣h）2﹣2，得
，解得：h=1，a ，
此时抛物线解析式为y （x﹣1）2﹣2；
（Ⅲ）①把M（h，﹣2）代入y=x﹣6得h﹣6=﹣2，解得：h=4，
解方程组 得 或 ，∴D点坐标为（ ， ）；
②当x=0时，y=a（0﹣4）2﹣2=16a﹣2，则C（0，16a﹣2）．
∵CD∥x轴，
∴ 16a﹣2，
解得：a=± ，
当a 时，C、D两点重合，舍去，
∴a ，
∴抛物线解析式为y （x﹣4）2﹣2．
【点拨】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像的对称性，等腰直角三角形的
性质，一次函数与二次函数图像交点问题，平行于坐标轴的图像上点的特征，这是一道二次函数
的综合题．
11．（1） ；（2）① ， ；②存在， ， ．
【分析】（1）根据抛物线与x轴交于 ， 两点，设函数解析式为 ，再将点
代入求解即可．
（2）先求出直线BC的解析式，设点F的坐标为（ 、 ）则点E作标为（ 、 ），
结合图形得到 ，在根据二次函数的性质即可求解．
（3）根据图像可得 为等腰直角三角形，若要使 为等腰直角三角形，则只能是以点F
和点C为直角顶点，当以点F为直角顶点时可证四边形CODF是矩形，则点F的纵坐标可求，进
而求出点F的坐标；当以点C为直角顶点时，作CG ，可得 ，进而列出关于 的
一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】
（1）∵抛物线与x轴交于 ， 两点，
∴设该抛物线的解析式为： ．
∵过点 ，
∴ ，
解得 ，
∴该抛物线的解析式为： ．
（2）①设直线BC的解析式为： ，
把点 ， 代入，得
，解得 ，
∴直线BC的解析式为： ．
设点E为 ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴当 时， 的面积最大，最大为 ，此时 ．
②存在．
∵ ， ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ．
又∵ 轴，
∴ ，
∴ 只能是以F、C为直角顶点的等腰三角形．
（i）当 时，
∵ 轴， ，
∴四边形CODF是矩形，
∴ ，
∴点F的纵坐标为3，把 代入 ，
得 ，
解得 ， （舍去）
∴ ．
（ii）当 时，如图：作 于点G，
则 ，∴ ，
解得 ， （舍去）
∴ ．
综上所述，符合条件的点F的坐标为 ， ．
【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，函数的思想求最值，解题关键是
在求等腰直角三角形的存在性时，注意分类讨论的思想的运用，要把所有符合条件的点求全．
12．（1）y x2 x+3；（2） ，P( ， )；（3）存在，Q( ，
1
3)，Q(﹣1，2)
2
【分析】
（1）将已知点B（2，0）代入，抛物线对称轴为直线x ，即 ，联立方程组，求出
a，b，即可确定二次函数的解析式；
（2）首先根据△PQG是等腰直角三角形，设P（m， m2 m+3）得到F（m，m+3），进而
得到PQ m2 m+3﹣m﹣3 m2 m，从而得到△PQG周长 m2 m （ m2
m）＝（ 1）（ m2 m），配方后即可确定其最大值；
（3）利用两点间距离公式可求得：CQ2＝2m2，CB2＝13，BQ2＝2m2+2m+13 ，根据等腰三角形
的性质分3类讨论，联立方程组即可求得Q．
【详解】
解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点B（2，0），对称轴为直线x ，
∴ ，解得 ，
∴y x2 x+3．（2）令y＝0，即 x2 x+3＝0，
∴x＝﹣3，x＝2，
1 2
∴A（﹣3，0），
令x＝0，得C（0，3），
∵直线AC经过A（﹣3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为：y＝kx+b，
则 ，
∴ ，
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
∴∠BAO＝45°，
∵PH⊥AO，PG⊥AB，
∴∠AQH＝∠PQG＝∠QPG＝45°，
∴△PQG是等腰直角三角形，
设P（m， m2 m+3），
∴Q（m，m+3），
∴PQ m2 m+3﹣m﹣3 m2 m ，
∴当m 时，PQ ，此时P（ ， ），
max
∵△PQG是等腰直角三角，
∴△PQG周长 m2 m （ m2 m），
＝（ 1）（ m2 m），
＝（ 1）PQ，
∴△PFG周长的最大值为： （ 1）．
（3）∵B（2，0），C（0，3），Q（m，m+3），
由两点间距离公式可求得：CQ2＝2m2，CB2＝13，BQ2＝2m2+2m+13，①当CQ＝CB时，
∴2m2＝13，
∴m （舍去），m ，
1 2
∴Q（ ， 3）；
1
②当BQ＝CB时，
∴2m2+2m+13＝13，
∴m＝0（舍去），m＝﹣1，
1 2
∴Q（﹣1，2）；
2
③当CQ＝BQ时，
∴2m2+2m+13＝2m2，
∴2m+13＝0，
∴m ，
∴Q（ ， ）（不合题意舍去），
3
综上所述，当Q（ ， 3），Q（﹣1，2）时，以B，C，Q为顶点的三角形是等腰
1 2
三角形．
【点拨】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次
函数的解析式，二次函数的性质，三角形的面积，综合性较强，难度适中．
13．（1）关联，理由见解析；（2） ；（3）存在， 或 ， 或 或 ，
【分析】
（1）根据两抛物线的关联依次判断即可；
（2）根据两抛物线关联的定义直接列式得出结论；
（3）分当点 位于 左侧和当点 位于 右侧，借助关联的意义设出点 坐标，表示出点
坐标代入抛物线解析式即可求出点 坐标．
【详解】解：（1）由①知， ，
抛物线①： 的顶点坐标为 ，
把 代入抛物线②： ，得 ，
抛物线①的顶点在抛物线②上，
又由② ，
抛物线②的顶点坐标为 ，
把 代入抛物线①中，得， ，
抛物线②的顶点在抛物线①上，
抛物线①与抛物线②关联．
（2）抛物线 沿 轴翻折后抛物线为 ，
即： ，
设平移后的抛物线解析式为 ，
把 ， 代入得 ，
，
，
，
（3）①当点 位于 左侧时，过点 作 轴于 ，过点 作 轴于 ，如图1，
∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，又∵∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠BCE=∠CAD，又∠ADC=∠BEC，AC=BC，
（AAS），
，
设 ，
点 在 轴下方，
点 的纵坐标为 ；
，
把 ，代入 中得， ，
或 ，
或 ， ，
②当点 位于 右侧时，
设 ，同①的方法得出 ，
将 代入 中得， ，
或 ，
或 ， ，
即：点 的坐标为： 或 ， 或 或 ， ．
【点拨】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，全等三角形的判定和性质，解一元二次方
程，分类讨论的思想，理解两抛物线关联是解本题的关键．
14．（1）A（-1，0），B（2，3）， ；（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°，
理由见解析；（3）
【分析】
（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）根据OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分别得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝
90°，进而得到△ABM是直角三角形；（3）根据抛物线平移以后的顶点可得平移后的解析式为 ，由抛物线的不动点是
抛物线与直线 的交点，则 ，方程 总有实数根，则
≥0，得到m的取值范围即可．
【详解】
（1）∵点A是直线 与 轴的交点，
∴A点为（-1，0）
∵点B在直线 上，且横坐标为2，
∴B点为（2，3）
∵过点A、B的抛物线的顶点M在 轴上，故设其解析式为：
∴ ，解得：
∴抛物线的解析式为 ．
（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：
作BC⊥ 轴于点C，
∵A（-1，0）、B（2，3）
∴AC＝BC＝3，
∴∠BAC＝45°；
点M是抛物线 的顶点，
∴M点为（0，-1）
∴OA＝OM＝1，∵∠AOM＝90°
∴∠MAC＝45°；
∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°
∴△ABM是直角三角形．
（3）将抛物线的顶点平移至点（ ， ），则其解析式为
∵抛物线的不动点是抛物线与直线 的交点
∴
化简得：
∴ ＝ ＝
当 时，方程 总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点，解得：
，
∴ ．
【点拨】本题考查二次函数的综合应用，包括待定系数法，直角三角形的判定，一元二次方程根
的判别式，熟记基本的性质与运算公式是解题关键．
15．（1） ；（2）点P 或
【分析】
（1）把点 和点 代入抛物线 进行求解即可；
（2）由（1）易得点B的坐标为 ，然后可设点P ，进而根据题意可分当
∠PCB=90°时和当∠PBC=90°时两种情况，最后根据勾股定理及两点距离公式进行求解即可．
【详解】
解：（1）把点 和点 代入抛物线 可得：
，解得： ，∴抛物线解析式为 ；
（2）由（1）可得抛物线解析式为： ，
∴当y=0时，则有 ，解得： ，
∴点B ，
设点P ，
当 是以 为直角边的直角三角形时，可分：
①当∠PCB=90°时，由勾股定理 及两点距离公式可得：
，
解得： （不符合题意，舍去），
∴点P ；
②当∠PBC=90°时，由勾股定理 及两点距离公式可得：
，
解得 （不符合题意，舍去），
∴点P ，
综上所述：当 是以 为直角边的直角三角形时，此时点P 或 ．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数与几何的综合是解题的关键．
16．（1）(0，﹣1)和(1，0)；（2）x＜ 或x＞ ；（3）(0，1)
【分析】
（1）若h＝0，k＝﹣1，则y＝x2﹣1，联立两个函数表达式并整理得x2﹣x＝0，解一元二次方程
2
即可求出交点坐标；（2）联立y＝x﹣1和y＝（x﹣h）2﹣1并整理得：x2﹣（2h＋1）x＋h2＝0，解得x＝
1 2
，由抛物线的表达式知，抛物线开口向上，即可求解；
（3）由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标P(h，h2＋1)，即点P在抛物线y＝x2＋1上，如下
图，画出过点AB的圆和抛物线的图像，利用数形结合的方法即可求解．
【详解】
解：（1）若h＝0，k＝﹣1，则y＝x2﹣1．
2
联立两个函数表达式
整理得：x2﹣x＝0，解得x＝0或1，
当x＝0时 =-1；当x=1时 =0
故交点坐标为(0，﹣1)和(1，0)；
（2）联立y＝x﹣1和y＝（x﹣h）2﹣1并整理得：x2﹣（2h＋1）x＋h2＝0，
1 2
解得x＝ ，
由抛物线的表达式知，抛物线开口向上，
则当x＜ 或x＞ 时，y＞y；
2 1
（3）由抛物线的表达式知，抛物线的顶点坐标为P(h，h2＋1)，即点P在抛物线y＝x2＋1上，如
下图，画出过点A、B、O的圆和抛物线的图像，①当∠PAB为直角时，
从图像看，点P的坐标为(0，1)；
②当∠ABP为直角时，
从图像看，直线P′B不可能与y＝x2＋1相交，故点P′不存在；
③当∠ABP″为直角时，
则ABOP″四点共圆，
则点P″是抛物线与圆的交点，
从图像看，抛物线和圆不可能相交，故点P″不存在，
故点P的坐标为(0，1)．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、圆的基本知识、直角三角形
的性质以及一次函数与二次函数的交点问题等，综合性强，难度适中．
17．（1） ；（2）存在，当 的值最小时，点 的坐标为 ；（3）点
的坐标为 、 、 或
【分析】
（1）由点 、 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）连接 交抛物线对称轴于点 ，此时 取最小值，利用二次函数图像上点的坐标特
征可求出点 的坐标，由点 、 的坐标利用待定系数法即可求出直线 的解析式，利用配方
法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图像上点的坐标特征即可求出点 的坐标；
（3）设点 的坐标为 ，则 ， ，
，分 、 和 三种情况，利用勾股
定理可得出关于 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出 的值，进而即可得出点 的
坐标．
【详解】
解：（1）将 、 代入 中，
得： ，解得： ，抛物线的解析式为 ．
（2）连接 交抛物线对称轴于点 ，此时 取最小值，如图1所示．
当 时，有 ，
解得： ， ，
点 的坐标为 ．
抛物线的解析式为 ，
抛物线的对称轴为直线 ．
设直线 的解析式为 ，
将 、 代入 中，
得： ，解得： ，
直线 的解析式为 ．
当 时， ，
当 的值最小时，点 的坐标为 ．
（3）设点 的坐标为 ，
则 ， ， ．
分三种情况考虑：
①当 时，有 ，即 ，
解得： ， ，
点 的坐标为 或 ；②当 时，有 ，即 ，
解得： ，
点 的坐标为 ；
③当 时，有 ，即 ，
解得： ，
点 的坐标为 ．
综上所述：当 是直角三角形时，点 的坐标为 、 、 或 ．
【点拨】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图像的点的坐标特
征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数
法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点 的位置；（3）分
、 和 三种情况，列出关于 的方程．
18．（1）（﹣1，0），（﹣2，0）；（2）见解析；（3）（﹣1，3）或（﹣2.5，1.5）；（4）
k≤1．
【分析】
（1）把k＝3代入y＝x2+kx+k﹣1，得到y＝x2+3x+2，令y＝0，得x2+3x+2＝0，再解方程求出x的
值，即可求解；
（2）令x2+kx+k﹣1＝0，解方程求得两根有一常数，问题得证；
（3）k＝5时，抛物线的解析式为y＝x2+5x+4，求出抛物线与坐标轴的交点坐标，分两种情形，
根据等腰直角三角形的性质求解即可；
（4）观察图像可知，当x＝﹣2时，y≥2即可满足条件，构建不等式，即可解决问题．
【详解】
（1）解：∵y＝x2+kx+k﹣1，
∴当k＝3时，y＝x2+3x+2，
令y＝0，得x2+3x+2＝0，
解得x＝﹣1，x＝﹣2，
1 2
∴抛物线与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（﹣2，0）．（2）证明：∵y＝x2+kx+k﹣1，
∴当y＝0时，x2+kx+k﹣1＝0，
解得x＝﹣1，x＝1﹣k，
1 2
∴无论k取任何实数，抛物线过x轴上一定点（﹣1，0）．
（3）解：k＝5时，抛物线的解析式为y＝x2+5x+4，
令y＝0，可得x2+5x+4＝0，
解得x＝﹣1或﹣4，
∴A（﹣4，0），B（0，﹣1），
令x＝0，得到y＝4，可得C（0，4），
如图1中，
∵OA＝OC＝4，∠AOC＝90°，
∴∠CAO＝45°，
当∠ABD′＝90°时，AB＝BD′＝3，
∴D′（﹣1，3），
当∠ADB＝90°时，AD＝BD，可得D（﹣2.5，1.5）．
综上所述，满足条件的点D的坐标为（﹣1，3）或（﹣2.5，1.5）．
（4）如图2或图3中，观察图像可知，当x＝﹣2时，y≥2即可满足条件，
∴4﹣2k+k﹣1≥2，
∴k≤1，
∴k≤1时，抛物线与线段EF只有一个交点．
【点拨】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到抛物线与x轴交点坐标的求法，二次函数解析
式的确定、图形面积的求法、相似三角形的判定和性质等知识，渗透分类讨论及数形结合的思想．
19．（1）y＝﹣x2+4x﹣3；（2）M（2，﹣1）， ；（3）存在，m＝5或m＝4或
或3
【分析】
（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，用待定系数法求出解析式；
（2）连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，可以根据轴对称的性质证明此时线段和最小，
再利用几何的性质求出此时的周长最小值和点M的坐标；
（3）设点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），然后用m表示出 、 、 ，再
分类讨论列式求出m的值．
【详解】
解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得： ，
解得 ，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）如下图，连接BC交DE于点M，此时MA+MC最小，
又因为AC是定值，所以此时△AMC的周长最小．
由题意可知OB＝OC＝3，OA＝1，
∴ ，同理 ，
∵DE是抛物线的对称轴，与x轴交点A（1，0）和点B（3，0），
∴AE＝BE＝1，对称轴为 x＝2，
由OB＝OC，∠BOC＝90°得∠OBC＝45°，
∴EB＝EM＝1，
又∵点M在第四象限，在抛物线的对称轴上，
∴M（2，﹣1），
∴此时△AMC的周长的最小值＝AC+AM+MC＝AC+BC＝ ；
（3）存在这样的点P，使△FCG是等腰三角形，
∵点P的横坐标为m，故点F（m，﹣m2+4m﹣3），点G（m，m﹣3），
则FG 2＝（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2，CF 2＝（m2﹣3m）2，GC 2＝2m2，
当FG＝FC时，则（﹣m2+4m﹣3+3﹣m）2＝（m2﹣3m）2，解得m＝0（舍去）或4；
当GF＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或 ；
当FC＝GC时，同理可得m＝0（舍去）或5，
综上，m＝5或m＝4或 或3 ．
【点拨】本题考查二次函数的综合题，解题的关键是掌握求二次函数解析式的方法，利用轴对称
解决线段和最小值的方法和等腰三角形存在性问题的解决方法．20．（1）直线 的解析式为： ；（2） ；（3）
或 或 或 ．
【分析】
（1）根据抛物线与x轴和y轴的交点分别纵坐标为0和横坐标为0求得A、B、C坐标，设直线
BC的解析式为： ，代入B、C坐标即可求得BC解析式；（2）两三角形均以AB为底，
根据A、B坐标求得线段AB长度，根据C点纵坐标可求 ，再根据已知面积关系可得P点到
x轴距离为4，最后讨论P在x轴上下位置都在抛物线上，满足解析式，列式求横坐标即可；
（3）根据平移可知 ，即可得证 ，通过A点坐标即可求得直线AM
的解析式和M点坐标，根据点到点距离公式可求AM距离，P再射线CB上，根据BC直线解析
式设 ，分类讨论 两两相等，再次利用点到点的距离公式即可得出5
个P点坐标，因为 沿射线 方向平移，P点横坐标大于0故舍去 ．
【详解】
解：（1）当 时，抛物线与y轴交于点C，
则 ，点C坐标为：（0，－3），
当 时，抛物线与x轴交于A、B，
∴
解得， ，
∴A坐标为：（－1，0），B坐标为：（3，0），
设直线BC的解析式为： ，则
解得 ，
∴BC的解析式为： ．
（2）由（1）可知A（－1，0）、B（3，0）、C（0，－3），∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴P到x轴的距离为： ，
当P点纵坐标为4时，代入抛物线解析式得：
，解得 ，
当P点纵坐标为－4时，代入抛物线解析式得：
，解得 ，
∴ ，此时点 的坐标为：（ ，4）、（ ，4）或（1，－4）．
（3）存在点 ，使得为 等腰三角形．
∵ 沿射线 方向平移，
∴
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
设直线AM的解析式为： ，且过A（－1，0），
即 ，解得 ，
∴直线AM的解析式为： ，
联立直线AM与抛物线解析式得：
解得 或 ，
∴M点坐标为（4，5），
即 ，设 ，
当 时，
，
解得 ，
当 时，
，
解得 ，
当 时，
解得 （舍去），
∴ 沿射线 方向平移， 为等腰三角形时，
点横坐标为： 或 或 或 ．
【点拨】本题主要考查一次函数解析式、二次函数综合、图形的平移、直线上与已知两点组成等
腰三角形的点、坐标系两点间的距离、分类讨论等．这类题目综合性强，难度相对较大，计算繁
琐，要求学生对各个知识点都能掌握．
21．（1） ；（2）当 的面积最大时，求 点的坐标为： ；（3）
在 轴上存在点 ，使 是等腰三角形，符合条件的点 的坐标为： 、
、
【分析】
（1）根据抛物线上的 、 、 三点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）先根据已知条件设出点 的坐标，然后列出 的面积关于点 的横坐标之间的二次函数
关系式，再利用二次函数图像的顶点坐标即可求得答案；
（3）对等腰三角形 进行分类讨论，从而确定符合要求的点 坐标．
【详解】
解：（1）设抛物线解析式为：
∵抛物线与 轴交于点 与点 ，与 轴交于点
∴
∴
∴抛物线的函数解析式为： ．
（2）∵由（1）可知抛物线的函数解析式为： ，点 为第一象限抛物线上的点
∴设点 的坐标为： ，其中的取值范围是：
∴过点 作 ，垂足为点 ，如图：
∴∴
∵
∴当 时， 取最大值
∴当 时，
∴当 的面积最大时， 点的坐标为 ．
（3）①当 时，如图：
∵点 在 轴上
∴设点 的坐标为：
∵ ，
∴
∴点 在 负半轴上∴
∴
∴ ；
②当 时，如图：
∴
∵
∴
∴ ；
③当 时，如图：
∵ 既是等腰三角形，又是直角三角形
∴ ，
∴ ．
∴综上所述，在 轴上存在点 ，使 是等腰三角形，符合条件的点 的坐标为：、 、 ．
【点拨】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式、利用面积相等列出二次函数关系式、二次
函数图像特征、动点问题、最值问题、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，注意第三问需分
类讨论，是一道压轴题，综合性较强，难度较大，是中考常考题目．
