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专题 2.47 二次函数压轴题-相似问题（巩固篇）（专项练习）
一、单选题
1．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿A→B→C方向运动，当点E到达点C时停止
运动，过点E作EF⊥AE交CD于点F，设点E运动路程为x，CF＝y，如图2所表示的是y与x
的函数关系的大致图象，给出下列结论：①a＝3；②当CF＝ 时，点E的运动路程为 或 或
，则下列判断正确的是( )
A．①②都对 B．①②都错 C．①对②错 D．①错②对
2．如图，已知二次函数 的图像与 轴交于 、 两点，与 轴交于点
，连接 、 ，若 平分 ，则 的值为( ）
A． B． C． D．
3．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，顶点为 ，连结 ，
．在 轴上是否存在点 ，使以 ， ， 为顶点的三角形与 相似，则满足条件的所
有 点的坐标为（ ）A． ， B． ，
C． ， ， D． ，
4．抛物线 ，设该抛物线与 轴的交点为 和 ，与 轴的交点为
C，若 ，则 的值为 （ ）
A． B． C． D．
5．如图，等边三角形 中， ，点 在边 上，且 ，点 是边 上的一动点，
作射线 ．射线 绕点 顺时针旋转60°得到射线 ，交 于点 ，则点 从 的运
动过程中， 的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
二、填空题
6．如图，在 中， 是 边上的高，且 ， ，矩形 的顶点 、 在
边 上，顶点 、 分别在边 和 上，如果设边 的长为 ，矩形 的面
积为 ，那么 关于 的函数解析式是________．三、解答题
7．如图已知点A （﹣2，4）和点B （1，0）都在抛物线y=mx2+2mx+n上．
（1）求m、n；
（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A
A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；
（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为点C，试在x轴上找点D，使得以点B′、C、
D为顶点的三角形与△ABC相似．
8．如图，抛物线 （a 0）与反比例函数 的图像相交于点A，B．已知点A的坐
标为（1，4），点B（t，q）在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）
（1）求反比例函数的解析式
（2）用含t的代数式表示直线AB的解析式；
（3）求抛物线的解析式；
（4）过抛物线上点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，把△AOB绕点O逆时针旋转
90º，请在图②中画出旋转后的三角形，并直接写出所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标.9．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣
3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC＝
DE，求出点D的坐标；
（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相
似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
10．抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P在抛物线上，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P（1，－3）、B（4，0），
① 求该抛物线的解析式；② 若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
（2） 如图2，已知直线PA、PB与y轴分别交于E、F两点．当点P运动时， 是否为定
值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．
11．抛物线 与x轴交于 两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶
点．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在直线 上方的抛物线上找一点P，使 ，求点P的坐标；
（3）在坐标轴上找一点M，使以点B，C，M为顶点的三角形与 相似，直接写出点M的
坐标．
12．在直角坐标平面内，直线y= x+2分别与x轴、y轴交于点A、C．抛物线y=﹣ +bx+c经
过点A与点C，且与x轴的另一个交点为点B．点D在该抛物线上，且位于直线AC的上方．
（1）求上述抛物线的表达式；
（2）联结BC、BD，且BD交AC于点E，如果△ABE的面积与△ABC的面积之比为4：5，求
∠DBA的余切值；（3）过点D作DF⊥AC，垂足为点F，联结CD．若△CFD与△AOC相似，求点D的坐标．
13．如图1，抛物线 过点 ， ，与 轴相交于点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）在 轴正半轴上存在点 ，使得 是等腰三角形，请求出点 的坐标；
（3）如图2，点 是直线 上方抛物线上的一个动点.过点 作 于点 ，是否存在点
，使得 中的某个角恰好等于 的2倍？若存在，请求出点 的横坐标；若不存在，
请说明理由.
14．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于A（−3，0）、B（1，0）两点，与y
轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）当 时，请直接写出x的范围；
（3）点D是抛物线上位于第二象限的一个动点，连接CD，当∠ACD=90°时，求点D的横坐标．15．如图，抛物线 与x轴的两个交点分别为 ，与y轴交于点C，
点B在y轴正半轴上，且 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，抛物线的顶点为点E，对称轴交x轴于点M，连接 、 ，请在抛物线的对称轴
上找一点Q，使 ，求出点Q的坐标；
（3）如图2，过点C作 轴，交抛物线于点F，连接 ，点G是x轴上一点，在抛物线上
存在点N，使以点B、F、G、N为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点N的坐标．16．如图，以 为顶点的抛物线 交 轴于 、 两点，交 轴于点 ，直线
的表达式为 ．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线 上有一点 ，使 的值最小，求点 的坐标；
（3）在 轴上是否存在一点 ，使得以 、 、 为顶点的三角形与 相似？若存在，请
求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，直线AB的解析式为 ，抛物线 与y轴交于点A，与x轴
交于点 ，点P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为m．
求抛物线的解析式；如图 ，当点P在第一象限内的抛物线上时，求 面积的最大值，并求此时点P的坐标；
过点A作直线 轴，过点P作 于点H，将 绕点A顺时针旋转，使点H的对应
点 恰好落在直线AB上，同时 恰好落在坐标轴上，请直接写出点P的坐标．
18．已知抛物线 经过点 ， ，与 轴的另一个交点为 ．
（1）求出此抛物线的表达式及点 坐标
（2）如图1， 的中点记为 ， ，将 绕点 在 的左侧旋转， 与射
线 交于点 ， 与射线 交于点 ．设 ， ，求 关于 的函
数关系式．
（3）当 的边经过点 时，求 ， 的值（直接写出结果）．19．如图，抛物线 与坐标轴交点分别是 、 、 ，作直线 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 为抛物线上第一象限内一动点，过点 作 轴于点 ，设点 的横坐标为
，求 的面积 与 的函数关系式及 的取值范围；
（3）条件同（2）若 与 相似，求点 的坐标．
20．如图，已知二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，直线AC交
二次函数图象的对称轴于点D，若点C为AD的中点．
（1）求m的值；
（2）若二次函数图象上有一点Q，使得tan∠ABQ＝3，求点Q的坐标；
（3）对于（2）中的Q点，在二次函数图象上是否存在点P，使得△QBP∽△COA？若存在，求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，已知抛物线 经过原点 、 ，直线 经过抛物线的顶点 ，
点 是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结 ， ， ，过点 作 轴，分别交线段 、 于点 、 .
（1）求抛物线的表达式；
（2）当 时，求证： ；
（3）当 时，求点 的坐标.
参考答案
1．A
【分析】由已知，AB=a，AB+BC=5，当E在BC上时，如图，可得△ABE∽△ECF，继而根据相
似三角形的性质可得y=﹣ ，根据二次函数的性质可得﹣
，由此可得a=3，继而可得y=﹣ ，把y= 代入解方程
可求得x= ，x= ，由此可求得当E在AB上时，y= 时，x= ，据此即可作出判断．
1 2
【详解】
解：由已知，AB=a，AB+BC=5，
当E在BC上时，如图，∵E作EF⊥AE，
∴△ABE△ECF，
∴ ，
∴ ，
∴y=﹣ ，
∴当x= 时，﹣ ，
解得a=3，a= （舍去），
1 2
∴y=﹣ ，
当y= 时， =﹣ ，
解得x= ，x= ，
1 2
当E在AB上时，y= 时，
x=3﹣ = ，
故①②正确，
故选A．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，综合性较强，弄清题意，正确
画出符合条件的图形，熟练运用二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．
2．D
【分析】先求出A(1,0),B(3,0)，C(0,3m)，再证△COB∽△ADB，列比例式求解即可.
【详解】解：∵二次函数 的图像与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，
当y=0时，即 ，解得，x 1,x=3,
1= 2
∴A(1,0),B(3,0),
当x=0时，y=3m,
∴C(0,3m),
过点A作AD⊥BD于点D，如图，
∵ 平分 ，
∴AD=OA=1,
又∵AB=2,
∴BD= ,
∵∠COB=∠ADB, ∠B=∠B,
∴△COB∽△ADB,
∴ ,即 ，
∴m= ,
故选D.
【点拨】此题主要考查了二次函数与坐标轴交点和相似三角形的判定与性质.正确的添加辅助线
和证△COB∽△ADB是解决问题的关键.
3．D
【详解】
解：设抛物线的对称轴交 轴于点 ，由题可知，， ， ， ， ， ， ，
∵ ， ，∴ ， ，
又 ，∴ ， ，
则①当 时， ，即 ， ，
②当 时， ，即 ， ，
同样有 ，∴ 点在 点左侧，此时 ，
综上，在 轴上有两点 ， ，满足题意．故选D．
点睛：此题主要考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、相似三角形的判定和性质、以及等
腰三角形的构成情况等重要知识点，要注意的是（2）（3）中都用到了分类讨论的数学思想，所
以考虑问题一定要全面，以免漏解．
4．C
【分析】根据二次函数表达式 可得对称轴为直线 ，由 及二
次函数的对称性可得 ，进而可得 的等量关系式，然后根据 得出
的值，所以得出C的坐标，最后根据 求解即可．
【详解】如图所示： 抛物线 ， 对称轴为直线
抛物线与 轴的交点为 和
，OA=5
当y=0时，-5与2是方程 的两个根
根据韦达定理可得： 即
即
，
解得
．
故选C．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合知识、相似三角形的性质及求角的三角函数值，关键是根
据二次函数解析式得到对称轴，得到A、B的坐标，进而得到参数的等量关系式，最后根据射影
定理得到线段的等量关系求解参数，然后根据求角的三角函数值求解即可．5．C
【分析】由题意易得 ，然后可得 ，则
有 ，设BE=x，则有EC=3-x，进而可得 ，即 ，最后根据二次
函数的性质可进行求解．
【详解】
解：∵等边三角形 中， ，
∴ ，
由旋转的性质可得 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设BE=x，则有EC=3-x，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，CF有最大值，即为 ；
故选C．
【点拨】本题主要考查旋转的性质、二次函数的图象与性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌
握旋转的性质、二次函数的图象与性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
6．
【分析】设边 的长为 （ ），则 ，进而利用已知得出 ，进
而得出 的长，即可得出答案.【详解】
设边 的长为 （ ），则 ，
，
，
，
，
解得： ，
矩形 的面积为 ，
关于 的函数解析式是： .
故答案为： .
【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及根据实际问题列二次函数解析式，根据已
知得出 的长是解题关键.
7．（1） （2） （3）
【分析】（1）已知了抛物线图象上A、B两点的坐标，将它们代入抛物线的解析式中，即可求
得m、n的值．
（2）根据A、B的坐标，易求得AB的长；根据平移的性质知：四边形A A′B′B一定为平行四边
形，若四边形A A′B′B为菱形，那么必须满足AB=BB′，由此可确定平移的距离，根据“左加右
减”的平移规律即可求得平移后的抛物线解析式．
（3）易求得直线AB′的解析式，联立平移后的抛物线对称轴，可得到C点的坐标，进而可求出
AB、BC、AC、B′C的长；在（2）题中已经证得AB=BB′，那么∠BAC=∠BB′C，即A、B′对应，
若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，可分两种情况考虑：①∠B′CD=∠ABC，此时
△B′CD∽△ABC，②∠B′DC=∠ABC，此时△B′DC∽△ABC；根据上述两种不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可求得不同的BD长，进而可求得D点
的坐标．
【详解】
解：（1）由于抛物线经过A （﹣2，4）和点B （1，0），则有：
，解得 ；
故m=﹣ ，n=4．
（2）由（1）得：y=﹣ x2﹣ x+4=﹣ （x+1）2+ ；
由A （﹣2，4）、B （1，0），可得AB= =5；
若四边形A A′B′B为菱形，则AB=BB′=5，即B′（6，0）；
故抛物线需向右平移5个单位，即：
y=﹣ （x+1﹣5）2+ =﹣ （x﹣4）2+ ．
（3）由（2）得：平移后抛物线的对称轴为：x=4；
∵A（﹣2，4），B′（6，0），
∴直线AB′：y=﹣ x+3；
当x=4时，y=1，故C（4，1）；
所以：AC=3 ，B′C= ，BC= ；
由（2）知：AB=BB′=5，即∠BAC=∠BB′C；
若以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，则：①∠B′CD=∠ABC，则△B′CD∽△ABC，可得：
= ，即 = ，B′D=3，
此时D（3，0）；
②∠B′DC=∠ABC，则△B′DC∽△ABC，可得：
= ，即 = ，B′D= ，
此时D（ ，0）；
综上所述，存在符合条件的D点，且坐标为：D（3，0）或（ ，0）．
【点拨】此题考查了二次函数解析式的确定、函数图象的平移、菱形的判定和性质、相似三角形
的判定和性质等知识；（3）题中，在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下，一定要分
类讨论，以免漏解．
8．（1）
（2）y= x+
（3）y=x2+3x
（4）点 的坐标是（8， ），或（2， ）
【分析】（1）将A(1,4)代入双曲线即可求出k值；（2）设点B（t， ）， ，AB所在直线
的函数表达式为 ，将A,B代入即可求出直线AB的解析式；（3）可表示出直线AB与
y轴的交点坐标，根据△AOB的面积为3，得 ，则求出点B的坐标，将点A，B代
入抛物线即可求出a,b的值.（4）画出图形，可得出E的坐标由两个.
【详解】
（1）因为点A（1，4）在反比例函数 上，
所以k=4. 故反比例函数表达式为
（2）设点B（t， ）， ，AB所在直线的函数表达式为 ，则有解得 ， .
直线AB的解析式为y= x+
（3）直线AB与y轴的交点坐标为 ，
故 ，整理得 ，
解得 ，或t＝ （舍去）．所以点B的坐标为（ ， ）．
因为点A，B都在抛物线 （a 0）上，所以 解得
所以抛物线的解析式为y=x2+3x
（4）画出图形
点 的坐标是（8， ），或（2， ）
9．（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）D（0，﹣1）；（3）P点坐标（﹣ ，0）、（ ，﹣2）、（﹣3，
8）、（3，﹣10）．
【分析】(1)将A,B两点坐标代入解析式，求出b,c值，即可得到抛物线解析式；
(2)先根据解析式求出C点坐标，及顶点E的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点
F，利用勾股定理表示出DC,DE的长．再建立相等关系式求出m值，进而求出D点坐标；
(3)先根据边角边证明△COD≌△DFE，得出∠CDE=90°，即CD⊥DE，然后当以C、D、P为顶点
的三角形与△DOC相似时，根据对应边不同进行分类讨论：①当OC与CD是对应边时，有比例式 ，能求出DP的值，又因为DE=DC,所以过点P
作PG⊥y轴于点G，利用平行线分线段成比例定理即可求出DG,PG的长度，根据点P在点D的左
边和右边，得到符合条件的两个P点坐标；
②当OC与DP是对应边时，有比例式 ，易求出DP，仍过点P作PG⊥y轴于点G，利
用比例式 求出DG,PG的长度，然后根据点P在点D的左边和右边，得到符合条
件的两个P点坐标；这样，直线DE上根据对应边不同，点P所在位置不同，就得到了符合条件
的4个P点坐标.
【详解】
解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），
∴ ，解得 ，
故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；
（2）令x2﹣2x﹣3=0，
解得x=﹣1，x=3，
1 2
则点C的坐标为（3，0），
∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴点E坐标为（1，﹣4），
设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F（如下图），
∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，
∵DC=DE，
∴m2+9=m2+8m+16+1，解得m=﹣1，
∴点D的坐标为（0，﹣1）；（3）
∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），
∴CO=DF=3，DO=EF=1，
根据勾股定理，CD= = = ，
在△COD和△DFE中，∵ ，
∴△COD≌△DFE（SAS），
∴∠EDF=∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO=90°，
∴∠EDF+∠CDO=90°，
∴∠CDE=180°﹣90°=90°，
∴CD⊥DE，①当OC与CD是对应边时，
∵△DOC∽△PDC，
∴ ，即 = ，
解得DP= ，
过点P作PG⊥y轴于点G，
则 ，即 ,
解得DG=1，PG= ，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，
所以点P（﹣ ，0），
当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，
所以，点P（ ，﹣2）；
②当OC与DP是对应边时，
∵△DOC∽△CDP，
∴ ，即 = ，
解得DP=3 ，
过点P作PG⊥y轴于点G，则 ，即 ，
解得DG=9，PG=3，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，
所以，点P的坐标是（﹣3，8），
当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，
所以，点P的坐标是（3，﹣10），
综上所述，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，满足条件的
点P共有4个，其坐标分别为（﹣ ，0）、（ ，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2.二次函数动点问题；3.一次函数与二次函数综合题.
10．（1）①y＝ x2- ；②点D的坐标为（-1，-3）或（ ， ）；（2）是定值，等于2.
【详解】
（1）①将P（1，－3）、B（4，0）代入y＝ax2＋c得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为： ；
②如图：D在P左侧，由∠DPO＝∠POB得DP∥OB，D与P关于y轴对称，
由P（1，－3）得D（-1，-3）；
如图，D在P右侧，即图中D，则∠DPO＝∠POB，延长PD 交x轴于Q，则QO＝QP，
2 2 2
设Q（q，0），则（q－1）2＋32＝q2，
解得：q＝5，
∴Q（5，0），
易得直线PD 为 ，
2
再联立 得：x＝1或 ，
∴ D （ ）
2
∴点D的坐标为（-1，-3）或（ ）；
（2）设B（b，0），则A（-b，0）有ab2＋c＝0，
∴b2＝ ，
过点P（x，y）作PH⊥AB，有 ，
0 0
易证：△PAH∽△EAO，则 即 ，
∴ ，
同理得∴ ，
∴ ，则OE＋OF＝
∴ ，
又OC＝－c，
∴ .
∴ 是定值，等于2．
考点：二次函数的综合题.
11．（1） ； ；（2） 或 ；（3）点M
的坐标为 或 ，或 ．
【分析】（1）将 代入抛物线解析式中，利用待定系数法解得抛物线的一般式解析
式，再利用配方法，化为顶点式解析式，即可解题；
（2）令 ，解得抛物线与 轴是交点，再利用勾股定理分别解得 的长，接着根据
勾股定理逆定理判断 为直角三角形，设直线 的解析式为 ，由待定系数法解得
直线 的解析式，并解得线段 的中点N的坐标，过点N作 ，交抛物线于点P，由
待定系数法解得直线 的解析式，联立由 成一元二次方程，据此解题即可；
（3）分三种情况讨论：① ，② ，③ ， 分别利用相
似三角形的性质解题即可．
【详解】
解：（1）将 代入抛物线解析式中得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为
；
当 时， ，
∴顶点 ；
（2）当 时，
∴点C的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形， ．
设直线 的解析式为 ，
根据题意得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，∵ ， ，
∴线段 的中点N的坐标为 ，
过点N作 ，交抛物线于点P，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
由 联立得： ，
解得： ，
∴ 或 ；
（3）分三种情况：
① ，
此时M恰好为原点， ；
② ，
设或 （舍去）
此时 ；
③ ，
设
或 （舍去）
此时M在y轴负半轴上， ；
综上所述，点M的坐标为 或 或 ．
【点拨】本题考查二次函数的综合题，涉及待定系数法解二次函数的解析式、求一次函数解析式、
二次函数与一元二次方程、勾股定理及勾股定理逆定理、相似三角形的性质等知识，是重要考点，
难度一般，掌握相关知识是解题关键．
12．（1）y=﹣ x+2；（2） ；（3）（﹣ ， ）或（﹣3，2）．
【详解】
试题分析：（1）由直线得到A、C的坐标，然后代入二次函数解析式，利用待定系数法即可得；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，由已知可得 ，从而可得 、 的长，
然后再根据三角函数的定义即可得；
（3）分情况讨论即可得.
试题分析：（1）由已知得A(-4，0)，C(0，2) ，
把A、C两点的坐标代入 得，，∴ ，
∴ ；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，
由上可知B（1，0）， ∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ∴ ，
∵ ∴ ；
（3）∵DF⊥AC ， ∴ ，
①若 ，则CD//AO ， ∴点D的纵坐标为2，
把y=2代入 得x=-3或x=0（舍去），
∴D(-3，2) ；
②若 时，过点D作DG⊥y轴于点G，过点C作CQ⊥DG交x轴于点Q，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，设Q(m，0)，则 ， ∴ ， ∴ ，
易证： ∽ ，∴ ，
设D(-4t，3t+2)代入 得t=0(舍去)或者 ，
∴ .
13．（1） （2） 、 （3）2或
【分析】（1）把点 ， 代入抛物线 ，即可求出抛物线的解析式；
（2）求出点C的坐标，求出 的长度，分①当 ②当 两种情况进行讨论即可.
（3）过点 作 轴于点 ，过点 作 轴，交 轴于点 ，交 于点 ，
证明 ，得到 ，求出直线 的解析式是：
设 ，则 ， ，分① ,②
两种情况进行讨论即可.
【详解】
（1）. ∵抛物线 过点 ， ，
∴
解得
∴二次函数的表达式为：（2）抛物线 ，
当 时， ； 当 时， ；
∴ ， ，
∴ ，
①当 时，如图1， 点是线段 的中垂线与 轴的交点，
设 ，则 ，在 中，
，解得 ，
∴
②当 时，
∴
（3）2或如图4，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴，交 轴于点 ，交 于点 ，
易证
∴ ，
在（2）的图1中
∴
∴
∵ ，
∴直线 的解析式是：
设
则 ，
①当 时， ，
∴ ，即
∴ ，
∴ ，∴
将 代入 得：
解得 ，
∴ 点的横坐标是 .
②当 时， ，
方法同①，可确定 的横坐标时
【点拨】考查待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质,
锐角三角函数等，综合性比较强，难度较大.
14．（1） ；（2） 或 ；（3） ．
【分析】（1）用待定系数法解二次函数的解析式即可；
（2）分别计算临界点 、 时，相对应的 的值，再结合图象解题即可；
（3）过点D作DE⊥y轴于点E，由题意设 ，继而证明△AOC∽△CED，最后
根据相似三角形对应边成比例性质及解一元二次方程解题．
【详解】
解：（1）把A（−3，0）、B（−1，0）代入 ，得
，
解得
所以二次函数的解析式为 ；（2）当 时，即抛物线与 轴的交点
当 时，
即
结合图象可得，
当 时， 或 ；
（3）∵A（−3，0），C（0，4），
∴OA=3，OC=4，
如图，过点D作DE⊥y轴于点E，
设 ，
∵点D在第三象限，
∴x<0，
∴
∵∠ACD=90°，
∴∠ACO+∠DCE=90°，
∵∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠ACO=∠CDE，
又∵∠AOC=∠DEC=90°，∴△AOC∽△CED，
∴ ，
即 ，
解得
，
即点D的横坐标是 ．
【点拨】本题考查二次函数综合题，涉及相似三角形的判定与性质、坐标与图形、一元二次方程
等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
15．（1） ；（2） 或 ；（3） 或 或
或 或
【分析】（1）把把 ， 代入 ，利用待定系数法即可解决问题；
（2）如图1中， 过 作 轴于 证明BE⊥AB，分两种情形求解①作BQ⊥EM交EM于
Q，由∠ABQ+∠EBQ=90°，∠EBQ+∠BEM=90°，推出∠ABQ=∠BEM，满足条件，此时 ．
②当点Q在AB的下方时，设 ，AB交EM于K．求解 ，由 ，可得
，列出方程即可解决问题；
（3）当以 为平行四边形的边时，如图2中，如图3，画出符合题意的图形，设，再利用平行四边形的性质与平移的性质表示 的坐标，利用 的纵坐标为
列方程，解方程可得答案，如图4，当以 为平行四边形的对角线时，同理设 ，
，再利用平行四边形的性质以及中点坐标公式列方程，解方程可得答案．
【详解】
解：（1）把 ， 代入
得到 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ．
（2）如图1中， 过 作 轴于
∵ ，
∴顶点 ，
∵ ， ，，
∴ ，
作BQ⊥EM交EM于Q，
∵∠ABQ+∠EBQ=90°，∠EBQ+∠BEM=90°，
∴∠ABQ=∠BEM，满足条件，此时 ．
当点Q在AB的下方时，记 为 ，设 ，AB交EM于K．
设直线 为 ，
，
∴直线 的解析式为 ，
当 时，
∵
∴ ，
∴
，∴
解得
经检验： 符合题意，
∴
综上所述，满足条件的点Q的坐标为 或 ．
（3）当以 为平行四边形的边时，如图2中，
，抛物线的对称轴为
设 ，由平行四边形 及平移的性质可得： 且 在
轴上，如图3，设 ，同理可得：
同理可得：
如图4，当以 为平行四边形的对角线时，
同理设 ， ，
由平行四边形 的性质得： 的中点坐标为 ，的中点坐标为：
综上所述，满足条件的点N的坐标为 或 或 或
或
【点拨】本题考查利用待定系数法求解二次函数与一次函数的解析式，三角形全等的判定与性质，
平行四边形的判定和性质，平移的坐标变化，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，一元
二次方程的解法，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于
中考压轴题．
16．（1） ；（2）点 的坐标为 ；（3）存在， 的坐标为 或【分析】（1）先求出点B，C坐标，再用待定系数法即可得出结论；
（2）作点O关于BC的对称点O′，则O′（6，6），则OP+AP的最小值为AO′的长，然后求得
AP的解析式，联立直线AP和BC的解析式可求得点P的坐标；
（3）先判断出△BCD是直角三角形，求出 ，得出
∠BDC=∠CAO．分两种情况由相似三角形的性质可得出比例线段，求出AQ的长，则可得出答
案．
【详解】
解：（1）把 代入 ，得： ，
∴ ，
把 代入 得： ，
∴ ，
将 、 代入 得： ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图1所示：作点 关于 的对称点 ，则 ，
∵ 与 关于 对称，∴ ．
∴ ．
∴当 、 、 在一条直线上时， 有最小值．
∵ ，
当 时， ，
解得： ， ，
∴ ，
设 的解析式为 ，
把 、 代入得： ，解得： ，
∴ 的解析式为 ，
将 与 联立 ，解得： ，
∴点 的坐标为 ；
（3）如图2，
∵ ，
∴ ，
又∵ 、 ，∴ ， ， ．
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
当 时，有 ，即 ，解得 ，
∴ ；
当 时，有 ，即 ，解得 ，
∴ ；
综上所述，当 的坐标为 或 时，以 、 、 为顶点的三角形与 相似．
【点拨】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，
勾股定理逆定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
17．（1）抛物线解析式为 ；（2）当 时， 面积有最大值，最大值
为8，此时P点坐标为 ；（3）P点坐标为 或 ；
【分析】（1）先利用直线进行确定则A（0，4），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）连接OP，设P（m，- m2+ m+4），解方程− x+4=0得B（3，0），根据三角形面积公式，利用面积的和差得到S =S +S -S = •4•m+ •3•（- m2+ m+4）- •3•4，然后
△ABP △AOP △POB △AOB
根据二次函数的性质解决问题；
（3）先利用勾股定理计算出AB=5，讨论：当点P′落在x轴上，如图2，根据旋转的性质得
P′H′=PH=4-（- m2+ m+4）= m2- m，AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90°，再证明
△BP′H′∽△BAO，利用相似得到BH′= m2-m，然后利用AH′+BH′=AB得到m+ m2-m=5，解方
程求出m即可得到P点坐标；当点P′落在y轴上，如图3，同理可得P′H′=PH= m2- m，
AH′=AH=m，∠P′H′A=∠PHA=90°，通过证明△AH′P′′∽△AOB，然后利用相似比得到（ m2-
m）：3=m：4，然后解关于m的方程即可得到对应P点坐标．
【详解】
解： 当 时， ，则 ，
把 ， 代入 得 ，解得 ，
抛物线解析式为 ；连接OP，设 ，
当 时， ，解得 ，则 ，
，
，
当 时， 面积有最大值，最大值为8，此时P点坐标为 ；
在 中， ，
当点 落在x轴上，如图2，
绕点A顺时针旋转，使点H的对应点 恰好落在直线AB上，同时 恰好落在x轴上
， ， ，
，
∽ ，
： ：OB，即 ： ：3，
，，
，解得 ， 舍去 ，此时P点坐标为 ；
当点 落在y轴上，如图3，
同理可得 ， ， ，
，
∽ ，
： ：AO，即 ： ：4，
整理得 ，解得 ， 舍去 ，此时P点坐标为 ；
综上所述，P点坐标为 或 ；
【点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性
质和旋转的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用相似比表示线段之间的关系；理解坐
标与图形性质．
18．（1） ， ；（2） ；（3） ， ．
【分析】（1）把A、B点的坐标代入抛物线解析式可得关于b、c的二元一次方程组，解得b、c
即可得到抛物线的解析式，令y=0求得相应x后可得C点坐标；
（2）利用三角形相似的判定与性质可以得解；
（3）分DM经过C和DN经过C两种情况讨论．
【详解】
解：（1）分别把A、B坐标代入抛物线解析式可得：
，解之得： ，∴抛物线的表达式为： ，
令y=0，即得： ，解之可得x=2或x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点C的坐标为（-1，0）；
（2）延长 使得 ，连结 ，
， ，
，
（3）当 经过 ，作 轴，
，
， ．
当 经过 ，或 ，【点拨】本题考查二次函数的综合运用，熟练运用待定系数法确定函数解析式、运用三角形相似
的判定与性质、平行线分线段成比例定理求解是解题关键 ．
19．（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）把点 、 、 代入函数解析式进行求解即可；
（2）由（1）可设点 ，然后可得 ，AB=4，进而可根据三角形面积公式可求解；
（3）由题意易得 与 相似， ，则可分① ，②
，然后可进行求解．
【详解】
解：（1）把点 、 、 代入抛物线 得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为： ；
（2）由（1）可设 ，那么 ，AB=4，
∴ ；
（3）当 与 相似，则有 ，
有两种情况：
① ，即 ，
解得 ，则
所以 ；
② ，即 ，
解得 ，则 ，所以 ．
综上所述若 与 相似，点 或 ．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质，熟练掌握二次函数的综合及相似三
角形的性质是解题的关键．
20．（1）m=﹣3；（2）Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；（3）不存在，理由见解析
【分析】（1）函数的对称轴为：x=1，点C为AD的中点，则点A（-1，0），即可求解；
（2）tan∠ABQ=3，点B（3，0），则AQ所在的直线为：y=±3x（x-3），即可求解；
（3）分点Q（2，-3）、点Q（-4，21）两种情况，分别求解即可．
【详解】
（1）设对称轴交x轴于点E，直线AC交抛物线对称轴于点D，
函数的对称轴为：x＝1，点C为AD的中点，则点A（﹣1，0），
将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝﹣3，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；
（2）tan∠ABQ＝3，点B（3，0），
则AQ所在的直线为：y＝±3（x﹣3）…②，
联立①②并解得：x＝﹣4或3（舍去）或2，
故点Q（﹣4，21）或（2，﹣3）；
（3）不存在，理由：
△QBP∽△COA，则∠QBP＝90°①当点Q（2，﹣3）时，
则BP的表达式为：y＝﹣ （x﹣3）…③，
联立①③并解得：x＝3（舍去）或﹣ ，故点P（﹣ ），
此时BP：PQ≠OA：AC，故点P不存在；
②当点Q（﹣4，21）时，
同理可得：点P（﹣ ），
此时BP：PQ≠OA：OB，故点P不存在；
综上，点P不存在．
【点拨】此题考查二次函数综合运用，一次函数的性质、三角形相似、中点公式的运用等，解题
关键在于要注意分类求解，避免遗漏．
21．（1） ；（2）证明见解析；（3） .
【分析】（1）根据抛物线 经过原点 、 ，可知顶点B的横坐标为：
，代入直线 即可求出顶点B的坐标，根据待定系数法即可求解.
（2）根据等腰三角形的性质得到 ， .根据平行线的性质有
，等量代换得到 ，根据两组角对应相等的两个三角形相似即可证
明 .
（3）证明 ，得到 .设 ，作 于 ，则
， ， ， ， ，
，又 ，则 ，即可求出 的值，进而求出点 的坐标.
【详解】
（1）抛物线 经过原点 、 ，
B的横坐标为： ，直线 经过抛物线的顶点 ，
把点A,B，C的坐标代入 ，
由题意得：
解得：
抛物线的表达式为：
（2）
，
，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
（3） ，
∴ .
∵ ，
∴ ，
∴ .
设 ，作 于 ，
则 ， ，
， ，
， ，
，∴ ，
，
解得 .
∴ .
【点拨】属于二次函数的综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，
锐角三角形函数等，综合性比较强，难度中等.
