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专题 2.48 二次函数压轴题-相似问题（培优篇）（专项练习）
一、填空题
1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，顶点为D，点P
是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，则点P的坐
标为_______________．
2．点A为y轴正半轴上一点，A，B，两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线 于
P，Q两点．若点A的坐标为 ，且 ，则所有满足条件的直线 的函数解析式为：
_______．
3．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点
在该抛物线上，且位于直线 的上方，过点 作 于点 ，连结 ，若 与
相似，则点 的坐标是________．二、解答题
4．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过点
， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 为 轴上一动点，过点 作 轴，交直线 于点 ，交抛物线于点 ，连接
．
①点 在线段 上运动，若 直角三角形，求点 的坐标；
②点 在 轴的正半轴上运动，若 ．请直接写出 的值．
5．已知抛物线 经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.（1）求此抛物线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH
与△AOB相似，求点P的坐标.
6．已知抛物线 ： 交x轴于点A、B，顶点为M，A、B、M关于原点的对称点
分别是E、F、N．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求出经过E、且以N为顶点的抛物线 的表达式；
（3）抛物线 与y轴交点为D，点P是抛物线 在第四象限部分上一动点，点Q是y轴上一动
点，求出一组P、Q的值，使得以点D、P、Q为顶点的三角形与 相似．
7．如图，直线 与 轴、 轴相交于 、 两点，抛物线 过点 、
，且与 轴另一个交点为 ，以 、 为边作矩形 ， 交抛物线于点 ．
（1）求抛物线的解析式以及点 的坐标；
（2）已知直线 交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，交抛物线（ 上方部分）于点
，请用含 的代数式表示 的长；
（3）在（2）的条件下，连接 ，若 和 相似，求 的值．8．如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点， 与y轴交于点C，点
为抛物线的顶点，且 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设 ， ，求 的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C三点为顶点的三角形与 相似，若存在，
请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
9．如图，在同一直角坐标系中，抛物线 ： 与 轴交于 和点C，且经过
点 ，若抛物线 与抛物线 关于 轴对称，点A的对应点为 ，点B的对应点为 ．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）现将抛物线 向下平移后得到抛物线 ，抛物线 的顶点为M，抛物线 的对称轴与 轴交于点N，试问：在 轴的下方是否存在一点M，使 与 相似？若存在，请求出抛物
线的 表达式；若不存在，说明理由．
10．如图，抛物线 与x轴交于点 ，点 ，与y轴交于点C，且过点
．点P、Q是抛物线 上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求 面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当 与 相似时，求点Q的坐标．
11．如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表
达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求
出点Q的坐标；若不 存在，请说明理由．
12．如图，抛物线y= x2+bx+c与直线y= x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接
AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在
点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，点 ， 分别位于原点的左、右两侧， ，过点 的直线与 轴正半轴和抛物线的交点分别为 ， ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）求直线 的函数解析式；
（3）点 在抛物线的对称轴上且在 轴下方，点 在射线 上，当 与 相似时，请
直接写出所有满足条件的点 的坐标．
14．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，抛
物线的顶点为 ，其对称轴与线段 交于点 ，垂直于 轴的动直线 分别交抛物线和线段
于点 和点 ，动直线 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿 轴正方向移动到 点．
（1）求出二次函数 和 所在直线的表达式；
（2）在动直线 移动的过程中，试求使四边形 为平行四边形的点 的坐标；
（3）连接 ， ，在动直线 移动的过程中，抛物线上是否存在点 ，使得以点 ， ，
为顶点的三角形与 相似，如果存在，求出点 的坐标，如果不存在，请说明理由．
15．如图，已知抛物线y= x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最
大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形
与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
16．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的
直线y=﹣ x﹣1交于点C．
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的
坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样
的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，
请说明理由．17．抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（ ，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且
DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．
18．我们定义：如图1，在 与 中，两三角形有公共顶点 ， 所在射线逆时针旋
转 到 所在射线， 所在射线逆时针旋转 到 所在射线，
，则我们称 与 互为“旋补比例三角
形”．
（1）如图1， 与 互为旋补比例三角形， 时，①________，② ___________；
（2）如图2，在 中， 于点 ， 与 互为旋补比例三角形，延长 至
点 ，使 ，连结 ，求证： 与 互为旋补比例三角形；
（3）如图3，在 中， ，点 在 轴的正半轴上， ，点 在第二象限，
，抛物线 经过点 ，与 轴交点为 ， (点 按逆时
针排列)与 互为旋补比例三角形，点 在抛物线的对称轴上运动，当点 构成的三角形
是以 为腰的等腰三角形时，求点 的坐标．
19．如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y轴交于点C（0，
3），与x轴交于两点A，B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点
E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说
明理由．20．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（ ，0），在第一象限
内与直线y=x交于点B（2，t）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C
的坐标；
（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，
使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0
