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专题 2.48 二次函数压轴题-相似问题（培优篇）（专项练习）
一、填空题
1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，顶点为D，点P
是抛物线的对称轴上一点，以点P为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，则点P的坐
标为_______________．
2．点A为y轴正半轴上一点，A，B，两点关于x轴对称，过点A任作直线交抛物线 于
P，Q两点．若点A的坐标为 ，且 ，则所有满足条件的直线 的函数解析式为：
_______．
3．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，点
在该抛物线上，且位于直线 的上方，过点 作 于点 ，连结 ，若 与
相似，则点 的坐标是________．二、解答题
4．如图，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过点
， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2） 为 轴上一动点，过点 作 轴，交直线 于点 ，交抛物线于点 ，连接
．
①点 在线段 上运动，若 直角三角形，求点 的坐标；
②点 在 轴的正半轴上运动，若 ．请直接写出 的值．
5．已知抛物线 经过点A（1,0）和B（0,3），其顶点为D.（1）求此抛物线的表达式；
（2）求△ABD的面积；
（3）设P为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴右侧，作PH⊥对称轴，垂足为H，若△DPH
与△AOB相似，求点P的坐标.
6．已知抛物线 ： 交x轴于点A、B，顶点为M，A、B、M关于原点的对称点
分别是E、F、N．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求出经过E、且以N为顶点的抛物线 的表达式；
（3）抛物线 与y轴交点为D，点P是抛物线 在第四象限部分上一动点，点Q是y轴上一动
点，求出一组P、Q的值，使得以点D、P、Q为顶点的三角形与 相似．
7．如图，直线 与 轴、 轴相交于 、 两点，抛物线 过点 、
，且与 轴另一个交点为 ，以 、 为边作矩形 ， 交抛物线于点 ．
（1）求抛物线的解析式以及点 的坐标；
（2）已知直线 交 于点 ，交 于点 ，交 于点 ，交抛物线（ 上方部分）于点
，请用含 的代数式表示 的长；
（3）在（2）的条件下，连接 ，若 和 相似，求 的值．8．如图，已知抛物线 与x轴交于A、B两点， 与y轴交于点C，点
为抛物线的顶点，且 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设 ， ，求 的值；
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C三点为顶点的三角形与 相似，若存在，
请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
9．如图，在同一直角坐标系中，抛物线 ： 与 轴交于 和点C，且经过
点 ，若抛物线 与抛物线 关于 轴对称，点A的对应点为 ，点B的对应点为 ．
（1）求抛物线 的表达式；
（2）现将抛物线 向下平移后得到抛物线 ，抛物线 的顶点为M，抛物线 的对称轴与 轴交于点N，试问：在 轴的下方是否存在一点M，使 与 相似？若存在，请求出抛物
线的 表达式；若不存在，说明理由．
10．如图，抛物线 与x轴交于点 ，点 ，与y轴交于点C，且过点
．点P、Q是抛物线 上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在直线OD下方时，求 面积的最大值．
(3)直线OQ与线段BC相交于点E，当 与 相似时，求点Q的坐标．
11．如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表
达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；
（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求
出点Q的坐标；若不 存在，请说明理由．
12．如图，抛物线y= x2+bx+c与直线y= x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接
AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；
（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在
点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐
标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，点 ， 分别位于原点的左、右两侧， ，过点 的直线与 轴正半轴和抛物线的交点分别为 ， ， ．
（1）求 ， 的值；
（2）求直线 的函数解析式；
（3）点 在抛物线的对称轴上且在 轴下方，点 在射线 上，当 与 相似时，请
直接写出所有满足条件的点 的坐标．
14．如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ，抛
物线的顶点为 ，其对称轴与线段 交于点 ，垂直于 轴的动直线 分别交抛物线和线段
于点 和点 ，动直线 在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿 轴正方向移动到 点．
（1）求出二次函数 和 所在直线的表达式；
（2）在动直线 移动的过程中，试求使四边形 为平行四边形的点 的坐标；
（3）连接 ， ，在动直线 移动的过程中，抛物线上是否存在点 ，使得以点 ， ，
为顶点的三角形与 相似，如果存在，求出点 的坐标，如果不存在，请说明理由．
15．如图，已知抛物线y= x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最
大时，求点P的坐标；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形
与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
16．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的
直线y=﹣ x﹣1交于点C．
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的
坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样
的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，
请说明理由．17．抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（ ，0），且与y轴相交于点C．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求∠ACB的度数；
（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且
DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标．
18．我们定义：如图1，在 与 中，两三角形有公共顶点 ， 所在射线逆时针旋
转 到 所在射线， 所在射线逆时针旋转 到 所在射线，
，则我们称 与 互为“旋补比例三角
形”．
（1）如图1， 与 互为旋补比例三角形， 时，①________，② ___________；
（2）如图2，在 中， 于点 ， 与 互为旋补比例三角形，延长 至
点 ，使 ，连结 ，求证： 与 互为旋补比例三角形；
（3）如图3，在 中， ，点 在 轴的正半轴上， ，点 在第二象限，
，抛物线 经过点 ，与 轴交点为 ， (点 按逆时
针排列)与 互为旋补比例三角形，点 在抛物线的对称轴上运动，当点 构成的三角形
是以 为腰的等腰三角形时，求点 的坐标．
19．如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，－1），并且与y轴交于点C（0，
3），与x轴交于两点A，B．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；
（3）点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点
E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似．若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说
明理由．20．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（ ，0），在第一象限
内与直线y=x交于点B（2，t）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C
的坐标；
（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，
使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点
A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP⊥x轴，垂足为点P，连接
AD、BC．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；
（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.22．在平面直角坐标系中，已知抛物线L： 经过点A（-3，0）和点B（0，-
6），L关于原点O对称的抛物线为 .
（1）求抛物线L的表达式；
（2）点P在抛物线 上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相
似，求符合条件的点P的坐标.
参考答案
1．
解：抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点
，解得∴y=
∴抛物线的对称轴为直线x=1，D点坐标为（1，4），
设P（1，a），过点P作PH⊥DM于H，连接PA、PB，如图，
则MP=4-a，又∠HMP=45°，
∴HP=AP= ，
Rt△APE中，AP2=AE2+PE2，即：( )2＝a2+4，
解得：
∴P（1，-4+2 ），P（1，-4-2 ）
1 2
【点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质和切线的性质；理解坐标与图
形性质，记住两点间的距离公式；会应用相似比建立线段之间的关系．
2． 或
【分析】
利用抛物线 的图象上点的坐标特征，待定系数法球函数解析式，根与系数的关系和相似
三角形的判定与性质得到 =30°，继续由相似三角形，根与系数的关系、函数解析
式求得结果．
解：如图，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ， ．
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ．设直线 的函数解析式为 ，并设 ， 的坐标分别为 ， ， ， ．由
，
得 ，
于是 ，即 ．
于是 ．，
又因为 ，所以 ．
因为 ，
所以 ，
故 =30°，
设 ， ，不妨设 ，
∴ ， ，
所以 ， ．
因为 ，所以 ．
于是 ，即 ，
所以 ．
又 ，即 ，所以 ，
于是可求得 ．将 代入 ，得到点 的坐标 ， ．
再将点 的坐标代入 ，求得 ．
所以直线 的函数解析式为 ．
根据对称性知，所求直线 的函数解析式为 或 ．
【点拨】此题主要考查相似三角形的判定与性质、根与系数的关系、待定系数法求函数解析式以
及对称解决问题．
3．（ ， ）或（-3，2）
【分析】
利用 进行讨论：若 时， ，如图2，过点 作
轴于点 ，过点 作 交 轴于点 ，先证明 ，设 ，解方程
可确定 ， ，再证明 ，利用相似比得到 ，设 ，
，可表示出 ，然后把 代入抛物线解析式得到 ，
解方程求出 即可得到此时 点坐标；当 时， ，则 ，利用
点的纵坐标与 点的纵坐标相同可确定此时点 的纵坐标．
解： ，
若 时， ，
如图1，过点 作 轴于点 ，过点 作 交 轴于点 ，
，
，即 ，
而 ，，
，
设 ，则 ，解得 ，
， ，
， ，
，
，
，即 ，
设 ， ，则 ，
把 代入 得 ，
整理得 ，解得 （舍去）， ，
， ；
当 时， ，则 ，
点 的纵坐标为2，
把 代入 得 ，解得 ， （舍去），
，
综上所述，点 的坐标为 ， 或 ．
故答案为： ， 或 ．【点拨】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性
质和相似三角形的判定与性质；灵活应用相似比表示线段之间的关系；理解坐标与图形的性质；
会利用分类讨论的思想解决数学问题．
4．（1） ；（2）① 或 ；② 或 ．
【分析】
（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；
（2）①分两种情况讨论，由两点距离公式和勾股定理可求解；②分两种情况讨论，由相似三角
形的性质和等腰三角形的性质，可求BP解析式，联立方程可求解．
解：（1） 直线 与 轴交于点 ，
，
，
直线解析式为： ，
当 时， ，
点 ，
抛物线 经过点 ， ，则 ，
解得 ，
抛物线的解析式为： ①；
（2）① 轴，
，
，设点 ，点 ，则点 ，
， ， ，
当 时， ，
，
， （舍去）
点 的坐标为 ，
当 时， ，
同理可得： （舍去）或3或4（舍去），
点 的坐标为 ，
综上所述：点 的坐标为 或 ；
②当点 在 轴上方时，如图1，连接 ，延长 交 轴于 ，
点 ，点 ，
，
，
抛物线 与 轴交于点 ，点 ，
，
， ，
点 ，
，
， ，
，
又 ，，
，
，
，
点 ，
直线 解析式为： ②，
联立①②并解得： （舍去）或 ，
；
当点 在 轴下方时，如图2，连接 ，设 与 轴交于点 ，
， ，
，
又 ， ，
，
，
点 ，
直线 解析式为： ③，
联立①③并解得： （舍去）或7，
点 的横坐标为7，
，
综上所述： 或 ．【点拨】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的
判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点距离公式，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解
决问题是本题的关键．
5．（1） ；（2）点P的坐标为（5,8）， .
【分析】
（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）直线BD交x轴于E，如图，先把解析式配成顶点式得到D（2，-1），再利用待定系数法
求出直线BD的解析式，则可确定E点坐标，然后根据三角形的面积公式，利用
S =S +S 进行计算即可；
△ABD △ABE △ADE
（3）先确定抛物线的对称轴为直线x=2，设P（x，x2-4x+3）（x＞2），则H（2，x2-4x+3），
再表示出PH=x-2，HD=x2-4x+4，根据相似三角形的判定方法，当 时，
△PHD∽△AOB，即 ；当 时，△PHD∽△BOA，即 ，
然后分别解方程即可得到满足条件的P点坐标．
解：（1）把A（1，0）和B（0，3）代入y=x2+bx+c得 ，
解得： ，
∴抛物线解析式为y=x2-4x+3；
（2）直线BD交x轴于E，如图，∵y=（x-2）2-1，
∴D（2，-1），
设直线BD的解析式为y=mx+n，
把B（0，3），D（2，-1）代入得 ，解得 ，
∴直线BD的解析式为y=-2x+3，
当y=0时，-2x+3=0，解得x= ，则E（ ，0），
∴S =S +S = ×（ -1）×3+ ×（ -1）×1=1；
△ABD △ABE △ADE
（3）抛物线的对称轴为直线x=2，
设P（x，x2-4x+3）（x＞2），则H（2，x2-4x+3），
∴PH=x-2，HD=x2-4x+3-（-1）=x2-4x+4，
∵∠PHD=∠AOB=90°，
∴当 时，△PHD∽△AOB，即 ，解得x=2（舍去），x=5，此时P点
1 2
坐标为（5，8）；
当 时，△PHD∽△BOA，即 ，解得x=2（舍去），x= ，此时P点
1 2
坐标为（ ，- ）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（5，8）或（ ，- ）．
6．（1） 、 ；（2） ；（3）
【分析】
（1）令 ，由 求得的解就是点A、B的横坐标；
（2）由（1）得到点A、B、M关于原点的对称点的坐标，然后利用顶点式求得抛物线 的表达
式；（3）先结合图形的特点，构造出与 相似且顶点分别在y轴上和抛物线上的三解形，再利
用相似三角形的性质求解．
解：（1）当 时，由 ，得 ，
∴ 、 ．
（2）由 ，得抛物线 的顶点 ，
∵点E、F、N分别与点A、B、M关于原点对称，
∴ 、 、 ；
设经过点E且顶点为N的抛物线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
∴抛物线 的解析式为 ．
（3）如图，作 交抛物线 于点P，作 轴于点R，在点R上方的y轴上取一点
Q，使 ，则 ；
由 ，得 ．
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
作 交y轴于点H，则 ；
∵ ，
∴ ，
∴ ．设直线 的解析式为 ，则 ，解得 ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ；
由 ，得 ， （不符合题意，舍去）．
∴ ；
∵ ，
∴点Q的纵坐标为 ，
∴ ．
综上所述， ．
【点拨】本题考查二次函数综合问题以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握基本性质是解题关
键．
7．（1） ， 的坐标为 ；（2） ；（3） 的值为 或
1．
【分析】（1）先求出点B、C的坐标，再利用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后令 即可求出
点A的坐标；
（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而可得点M的坐标，再根据抛物线可得点P
的坐标，然后根据 即可得；
（3）先根据点的坐标、正方形的性质分别求出AE、ME、CF、PF的长，再根据相似三角形的性
质即可得．
解：（1）对于直线
当 时， ，解得 ，则点 的坐标为
当 时， ，则点 的坐标为
将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得： ，解得
则抛物线的解析式为
令 得 ，解得 或
∴点 的坐标为 ；
（2）设直线 的解析式为
把 ， 代入得 ，解得
∴直线 的解析式为
∵点 的横坐标为 ，点 在 上
∴点 的坐标为
∵点 的横坐标为 ，点 在抛物线 上∴点 的坐标为
∴
即 ；
（3）由题意得 ， ， ，
根据相似三角形的性质，分以下两种情况：
①若 ，则
即
∵ 且
∴ ；
②若 ，则
即
∵ 且
∴综上， 的值为 或1．
【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质、利用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的性
质等知识点，掌握待定系数法求函数的解析式是解题关键．
8．（1） ；（2） ；（3）存在， ， ，
【分析】
（1）将点A、E的坐标代入抛物线解析式求出a、b即可；
（2）首先求出BD、EC、BC、BE的长，证明 得出 ，将求
的值转化为求 的值，计算即可；
（3）首先证明∠ACO＝∠EBC，∠OAC＝∠CEB，可得以P、A、C三点为顶点与 相似的
三角形必为直角三角形，然后分情况讨论：①以A为直角顶点时，②以C为直角顶点时，③以Р
为直角顶点时，利用射影定理求出OP的长即可.
解：（1）将 ， 代入 可得 ，
解得：
∴抛物线的解析式为： ；
（2）∵ ， ，
∴ ，
令 ，
解得： ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）∵OA=OD=1，OC=OB=3，∠AOC＝∠DOB，
∴△AOC≌△DOB，
∴∠ACO＝∠DBO，∠OAC＝∠ODB，
∵ ，
∴∠DBO＝∠EBC，∠ODB＝∠CEB，
∴∠ACO＝∠EBC，∠OAC＝∠CEB，
∵ 为直角三角形，则以P、A、C三点为顶点与 相似的三角形必为直角三角形，
∴分三种情况讨论：
①以A为直角顶点时，
在 中， ，即： ，
∴ ，
∴ ；
②以C为直角顶点时，在 中， ，即： ，
∴ ，
∴ ；
③以Р为直角顶点时，则P与O重合，
即 ；综上所述：满足条件的Р点有 ， ， ．
【点拨】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象和性质、
相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义和性质以及射影定理的应用等知识，熟练掌握待
定系数法和相似三角形判定定理是解答本题的关键.
9．（1）抛物线 的解析式为 ．（2）函数 的解析式为：
或 ．
【分析】
（1）利用待定系数法求出抛物线 的解析式，确定顶点坐标，利用轴对称的性质得到抛物线
的表达式；
（2）先根据点坐标求出 ， ， ，再分两种情况利用相似三角形的性质求
解即可．
解：（1）将 ， 分别代入 中得，
，
解得 ，
抛物线 的解析式为 ，
则：顶点为 ，
抛物线 与抛物线 关于 轴对称，顶点也关于 轴对称，开口方向及大小均相同，即二次项
系数相同，
抛物线 的顶点为 ，
抛物线 的解析式为 ．故抛物线 的解析式为 ．
（2）如图，存在点M，使 与 相似．
由题意得： ， ， ， ，
， ， ，
，
与 相似，可以分两种情况：
①当 时，则 ，
，
即点 ，
此时，抛物线 的表达式为 ．
②当 时，
同理可得：点 ；
此时，抛物线 的表达式为 ，
故：函数 的解析式为： 或 ．
【点拨】此题考查二次函数的综合知识，待定系数法求抛物线的解析式，轴对称的抛物线的特点，
相似三角形的判定及性质，在解题中运用分类思想解决问题．
10．(1)抛物线的表达式为： ；(2) 有最大值，当 时，其最大值为 ；(3)或 或 或 ．
【分析】
（1）函数的表达式为：y=a（x+1）（x-3），将点D坐标代入上式，即可求解；
（2）设点 ，求出 ，根据
，利用二次函数的性质即可求解；
（3）分∠ACB=∠BOQ、∠BAC=∠BOQ，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线OQ倾
斜角，进而求解．
解：(1)函数的表达式为： ，将点D坐标代入上式并解得： ，
故抛物线的表达式为： …①；
(2)设直线PD与y轴交于点G，设点 ，
将点P、D的坐标代入一次函数表达式： 并解得，直线PD的表达式为： ，
则 ，
，
∵ ，故 有最大值，当 时，其最大值为 ；
(3)∵ ，∴ ，∵ ，故 与 相似时，分为两种情况：
①当 时， ， ， ，
过点A作AH⊥BC与点H，
，解得： ，
∴CH＝
则 ，
则直线OQ的表达式为： …②，
联立①②并解得： ，
故点 或 ；
② 时，
，
则直线OQ的表达式为： …③，
联立①③并解得： ，
故点 或 ；综上，点 或 或 或 ．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面积的计算等，
其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
11．（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P ( , )；（3）当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、
C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
【分析】
（1）先求得点B和点C的坐标，然后将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于b、c的
方程，从而可求得b、c的值；（2）作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3），则OP+AP的
最小值为AO′的长，然后求得AO′的解析式，最后可求得点P的坐标；（3）先求得点D的坐标，
然后求得CD、BC、BD的长，依据勾股定理的逆定理证明△BCD为直角三角形，然后分为
△AQC∽△DCB和△ACQ∽△DCB两种情况求解即可．
解：（1）把x=0代入y=﹣x+3，得：y=3，
∴C（0，3）．
把y=0代入y=﹣x+3得：x=3，
∴B（3，0），A（﹣1，0）.
将C（0，3）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c得： ，解得b=2，c=3．
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）如图所示：作点O关于BC的对称点O′，则O′（3，3）．
∵O′与O关于BC对称，
∴PO=PO′．
∴OP+AP=O′P+AP≤AO′．∴OP+AP的最小 值=O′A= =5．
O′A的方程为y=
P点满足 解得：
所以P ( , )
（3）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4）．
又∵C（0，3，B（3，0），
∴CD= ，BC=3 ，DB=2 ．
∴CD2+CB2=BD2，
∴∠DCB=90°．
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴OA=1，CO=3．
∴ ．
又∵∠AOC=DCB=90°，
∴△AOC∽△DCB．
∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．
如图所示：连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．
∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，
∴△ACQ∽△AOC．
又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽△DCB．
∴ ，即 ，解得：AQ=10．
∴Q（9，0）．
综上所述，当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似．
【点拨】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式、
轴对称图形的性质、相似三角形的性质和判定，分类讨论的思想．
12．（1）抛物线的解析式是y= x2+ x+3；（2）|MB﹣MD|取最大值为 ；（3）存在点P
（1，6）．
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据对称性，可得MC=MD，根据解方程组，可得B点坐标，根据两边之差小于第三边，
可得B，C，M共线，根据勾股定理，可得答案；
（3）根据等腰直角三角形的判定，可得∠BCE，∠ACO，根据相似三角形的判定与性质，可得
关于x的方程，根据解方程，可得x，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
解：（1）将A（0，3），C（﹣3，0）代入函数解析式，得
，解得 ，
抛物线的解析式是y= x2+ x+3；
（2）由抛物线的对称性可知，点D与点C关于对称轴对称，
∴对l上任意一点有MD=MC，
联立方程组 ，
解得 （不符合题意，舍）， ，
∴B（﹣4，1），
当点B，C，M共线时，|MB﹣MD|取最大值，即为BC的长，过点B作BE⊥x轴于点E，
，
在Rt△BEC中，由勾股定理，得
BC= ，
|MB﹣MD|取最大值为 ；
（3）存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
在Rt△BEC中，∵BE=CE=1，
∴∠BCE=45°，
在Rt△ACO中，
∵AO=CO=3，
∴∠ACO=45°，
∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，
过点P作PG⊥y轴于G点，∠PGA=90°，
设P点坐标为（x， x2+ x+3）（x＞0）
①当∠PAQ=∠BAC时，△PAQ∽△CAB，
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，
∴△PGA∽△BCA，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得x=1，x=0（舍去），
1 2
∴P点的纵坐标为 ×12+ ×1+3=6，∴P（1，6），
②当∠PAQ=∠ABC时，△PAQ∽△CBA，
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，
∴△PGA∽△ACB，
∴ ，
即 =3，
∴ ，
解得x=﹣ （舍去），x=0（舍去）
1 2
∴此时无符合条件的点P，
综上所述，存在点P（1，6）．
【点拨】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式；解（2）
的关键是利用两边只差小于第三边得出M，B，C共线；解（3）的关键是利用相似三角形的判定
与性质得出关于x的方程，要分类讨论，以防遗漏．
13．（1） ； （2） （3） ， ，
，
【分析】
（1）根据 ，得出 ， ，将A，B代入 得出关于b，
c的二元一次方程组求解即可；
（2）根据二次函数是 ， ， ，得出 的横坐
标为 ，代入抛物线解析式求出 ，设 得解析式为： ，将B，D代入求解即可；
（3）由题意得tan∠ABD= ，tan∠ADB=1，由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与
x轴交点为M，P（1，n）且n<0，Q（x，0）且x<3，分①当△PBQ∽△ABD时，②当
△PQB∽△ABD时，③当△PQB∽△DAB时，④当△PQB∽△ABD时四种情况讨论即可．
解：（1）∵ ，
∴ ， ，
∴将A，B代入 得 ，
解得 ，
∴ ， ；
（2）∵二次函数是 ， ， ，
∴ 的横坐标为 ，
代入抛物线解析式得
∴ ，
设 得解析式为：将B，D代入得 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ；
（3）由题意得tan∠ABD= ，tan∠ADB=1，
由题意得抛物线的对称轴为直线x=1，设对称轴与x轴交点为M，P（1，n）且n<0，Q（x，0）
且x<3，
①当△PBQ∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即 = ，
解得n= ，
tan∠PQB=tan∠ADB即 ，
解得x=1- ，
此时Q的坐标为（1- ，0）；
②当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ADB即 =1，
解得n=-2，
tan∠QPB=tan∠ABD即 = ，
解得x=1- ，此时Q的坐标为（1- ，0）；
③当△PQB∽△DAB时，tan∠PBQ=tan∠ABD即 = ，
解得n= ，
tan∠PQB=tan∠DAB即 ，
解得x= -1，
此时Q的坐标为（ -1，0）；
④当△PQB∽△ABD时，tan∠PBQ=tan∠ABD即 =1，
解得n=-2，
tan∠PQB=tan∠DAB即 ，
解得x=5- ，
Q的坐标为（5- ，0）；
综上：Q的坐标可能为 ， ， ， ．
【点拨】本题考查了二次函数，一次函数，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，掌握知识
点灵活运用是解题关键．
14．（1） ， ；（2） ；（3）存在，点 的坐标是 ．
【分析】
（1）将 ， 代入 ，解出a，b得值即可；求出C点坐标，将C，B代入线段 所在直线的表达式 ，求解即可；
（2）根据题意只要 ，四边形 即为平行四边形，先求出点D坐标，然后求出DE，
设点 的横坐标为 ，则 ， ，得出 ，根据 ，得
，求解即可；
（3）由（2）知， ，根据 与 有共同的顶点 ，且 在 的
内部，只有当 时， ，利用勾股定理，可得
， ，根据 ，即 ，解出t值，
即可得出答案．
解：（1）由题意，将 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴二次函数的表达式 ，
当 时， ，得点 ，又点 ，
设线段 所在直线的表达式 ，
∴ ，解得 ，
∴ 所在直线的表达式 ；
（2）∵ 轴， 轴，
∴ ，只要 ，此时四边形 即为平行四边形，
由二次函数 ，
得点 ，
将 代入 ，即 ，得点 ，
∴ ，
设点 的横坐标为 ，则 ， ，
由 ，得 ，
解之，得 （不合题意舍去）， ，
当 时， ，
∴ ；
（3）由（2）知， ，
∴ ，又 与 有共同的顶点 ，且 在 的内部，
∴ ，
∴只有当 时， ，
由 ， ， ，
利用勾股定理，可得 ， ，
由（2）以及勾股定理知， ，
，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当 时， ，
∴点 的坐标是 ．
【点拨】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，平行四
边形的判定和性质，勾股定理，灵活运用知识点是解题关键．
15．(1) 抛物线的解析式为y= x2+2x+1，(2) 四边形AECP的面积的最大值是 ，点P（ ，﹣ ）；(3) Q（-4,1）或（3，1）.
【分析】
(1)把点A，B的坐标代入抛物线的解析式中，求b，c；(2)设P(m， m2−2m＋1)，根据S
四边形AECP
＝S ＋S ，把S 用含m式子表示，根据二次函数的性质求解；(3)设Q(t，1)，分别求
△AEC △APC 四边形AECP
出点A，B，C，P的坐标，求出AB，BC，CA；用含t的式子表示出PQ，CQ，判断出∠BAC＝
∠PCA＝45°，则要分两种情况讨论，根据相似三角形的对应边成比例求t.
解：(1)将A(0，1)，B(-9，10)代入函数解析式得：
×81-9b＋c＝10，c＝1，解得b＝2，c＝1，
所以抛物线的解析式y＝ x2+2x＋1；
(2)∵AC∥x轴，A(0，1)，
∴ x2+2x＋1＝1，解得x＝-6，x＝0(舍)，即C点坐标为(-6，1)，
1 2
∵点A(0，1)，点B(-9，10)，
∴直线AB的解析式为y＝-x＋1，设P(m， m2+2m＋1)，∴E(m，-m＋1)，
∴PE＝-m＋1−( m2+2m＋1)＝− m2-3m.
∵AC⊥PE，AC＝6，
∴S ＝S ＋S ＝ AC⋅EF＋ AC⋅PF
四边形AECP △AEC △APC
＝ AC⋅(EF＋PF)＝ AC⋅EP
＝ ×6(− m2-3m)＝−m2-9m.
∵-6<m<0，
∴当m＝ 时，四边形AECP的面积最大值是 ，此时P( )；
(3)∵y＝ x2+2x＋1＝ (x+3)2−2，
P(-3，−2)，PF＝y −y＝3，CF＝x −x ＝3，
F p F C
∴PF＝CF，∴∠PCF＝45∘，同理可得∠EAF＝45∘，∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的点Q，
设Q(t，1)且AB＝ ，AC＝6，CP＝ ，
∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
CQ:AC＝CP:AB，(t+6):6＝ ，解得t＝-4，所以Q(-4，1)；
②当△CQP∽△ABC时，
CQ:AB＝CP:AC，(t+6) 6，解得t＝3，所以Q(3，1).
综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形
与△ABC相似，Q点的坐标为(-4，1)或(3，1).
【点拨】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积
的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的
坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例，要分类讨论，
以防遗漏．
16．（1）抛物线解析式为：y= ，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P点坐标为
（1，﹣ ）；（3）N点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1）
解：分析：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；
（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N坐标，表示点M坐标代入抛物
线解析式即可．
详解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得
解得∴抛物线解析式为：y= x2− x−1
∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1
（2）存在
使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小
∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P点．
设过点C′、O直线解析式为：y=kx
∴k=-
∴y=- x
则P点坐标为（1，- ）
（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E
∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标为（a，- a-1）由△EDN∽△OAC
∴ED=2a
∴点D坐标为（0，- a−1）
∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a， a−1）
把M代入y= x2− x−1，解得
a=4
则N点坐标为（4，-3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
由（2）N（2，-1）
∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）
点拨：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相
似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
17．（1）y=﹣2x2+x+3；（2）∠ACB=45°；（3）D（ ， ）．
解：试题分析： 把点 的坐标代入即可求得抛物线的解析式.
作BH⊥AC于点H，求出 的长度，即可求出∠ACB的度数.
延长CD交x轴于点G，△DCE∽△AOC，只可能∠CAO=∠DCE.求出直线 的方程，和抛物
线的方程联立即可求得点 的坐标.
试题解析：（1）由题意，得
解得 ．
∴这条抛物线的表达式为 ．（2）作BH⊥AC于点H，
∵A点坐标是（－1，0），C点坐标是（0，3），B点坐标是（ ，0），
∴AC= ，AB= ，OC=3，BC= ．
∵ ，即∠BAD= ，
∴ ．
Rt△ BCH中， ，BC= ，∠BHC=90º，
∴ ．
又∵∠ACB是锐角，∴ ．
（3）延长CD交x轴于点G，
∵Rt△ AOC中，AO=1，AC= ，
∴ ．
∵△DCE∽△AOC，∴只可能∠CAO=∠DCE．
∴AG = CG．
∴ ．
∴AG=5．∴G点坐标是（4，0）．
∵点C坐标是（0，3），∴ ．
∴ 解得 ， （舍）.
∴点D坐标是18．（1）① ；②
（2）见解析
（3） ， ．
【分析】
（1）根据题意直接可得出结论；
（2）结合旋补比例三角形的定义，找出 ， 即可；
（3）结合题意，分析出 为等腰直角三角形，在此基础上进行分类讨论，利用“一线三垂
直”构造全等，得出结论．
解：（1）由题意可知： ，
（2） ， ，
和 互为旋补比例三角形， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
与 互为旋补比例三角形．
（3） ， ，
，过 作 轴于点 ，
， ，，
经过 与 ，
，对称轴为直线 ，
与 互为旋补比例三角形，
， ，
， ，
如图，过点 作 于点 ，
， ，即点 与点 重合，
，即 为等腰直角三角形，
为以点 为顶点的等腰三角形，
，
，
① 在 轴上方，如图：易证： ，
， ，
， ，
② 在 轴下方，如图：
易证：
， ，
， ，
综上， ， ．
【点拨】本题考查了对新定义图形的理解与运用，前面两个小题属于较为基础的题型，结合题干
中给出的概念，紧紧围绕概念展开证明即可；最后一问还考查了对二次函数解析式的求解，以及
与“一线三垂直”模型的综合运用问题，掌握等腰三角形中常考的几何模型是比较关键的．
19．（1）y=x2－4x＋3；（2） =2；（3）存在符合条件的点E，且坐标为：
、 、 、 ．
【分析】
（1）根据题意可设函数解析式为 ，然后把点C代入解析式求解即可；（2）由（1）及题意可设直线BC的解析式为y=kx＋3，然后求解，进而可求证△ACD为直角三
角形，然后利用面积计算公式求解即可；
（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有当∠DFE=90°，即
DF∥x轴和当∠EDF=90°，然后进行分类讨论求解即可．
解：（1）依题意，设抛物线的解析式为 ，代入C（0，3）后，
得： ，解得：a=1，
∴抛物线的解析式： ；
（2）由（1）知，A（1，0）、B（3，0）；
设直线BC的解析式为：y=kx＋3，代入点B的坐标后，得：
3k＋3=0，k= －1，
∴直线BC：y=－x＋3；
由（1）知：抛物线的对称轴：x=2，则 D（2，1）；
∴ ， ， ，
即： ，△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴ = AD•CD= =2；
（3）由题意知：EF∥y轴，则∠FED=∠OCB，若△OCB与△FED相似，则有：
①∠DFE=90°，即 DF∥x轴；
将点D纵坐标代入抛物线的解析式中，得：
，解得
当x=2+ 时，y=－x+3=1－ ；
当x=2－ 时，y=－x+3=1+ ；
∴ 、 ；
②∠EDF=90°，
易知，直线AD：y=x－1，联立抛物线的解析式有：，解得 ；
当x=1时，y=-x+3=2；
当x=4时，y=-x+3=-1；
∴ 、 ；
综上，存在符合条件的点E，且坐标为： 、 、 、
．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质及
相似三角形存在性的讨论是解题的关键．
20．（1）y=2x2﹣3x；（2）C（1，﹣1）；（3）（ ， ）或（﹣ ， ）．
【分析】
（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；
（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可设出C点坐标，
利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由条件可得到关于C点坐标的方
程，可求得C点坐标；
（3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析
式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标
可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得 的值，当点P在第一象限内时，过P作
PH⊥x轴于点H，由条件可证得△MOG∽△POH，由 的值，可求得PH和OH，可
求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标．
解：（1）∵B（2，t）在直线y=x上，
∴t=2，
∴B（2，2），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得： ，解得： ，
∴抛物线解析式为 ；
（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，∵点C是
抛物线上第四象限的点，
∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），
∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，
∴S =S +S = CD•OE+ CD•BF= （﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，
△OBC △CDO △CDB
∵△OBC的面积为2，
∴﹣2t2+4t=2，解得t=t=1，
1 2
∴C（1，﹣1）；
（3）存在．设MB交y轴于点N，
如图2，
∵B（2，2），
∴∠AOB=∠NOB=45°，
在△AOB和△NOB中，
∵∠AOB=∠NOB，OB=OB，∠ABO=∠NBO，
∴△AOB≌△NOB（ASA），
∴ON=OA= ，∴N（0， ），
∴可设直线BN解析式为y=kx+ ，把B点坐标代入可得2=2k+ ，解得k= ，
∴直线BN的解析式为 ，联立直线BN和抛物线解析式可得： ，解得：
或 ，
∴M（ ， ），
∵C（1，﹣1），
∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），
∴OB= ，OC= ，
∵△POC∽△MOB，
∴ ，∠POC=∠BOM，
当点P在第一象限时
，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，如图3
∵∠COA=∠BOG=45°，
∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，
∴△MOG∽△POH，
∴
∵M（ ， ），
∴MG= ，OG= ，
∴PH= MG= ，OH= OG= ，∴P（ ， ）；
当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，
同理可求得PH= MG= ，OH= OG= ，
∴P（﹣ ， ）；
综上可知：存在满足条件的点P，其坐标为（ ， ）或（﹣ ， ）．
【点拨】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等
三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中
注意待定系数法的应用，在（2）中用C点坐标表示出△BOC的面积是解题的关键，在（3）中
确定出点P的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况．
21．（1）（1）A（a，0），B（3,0），D（0,3a）.（2）a的值为 .（3）当a= 时，D、O、
C、B四点共圆.
解：【分析】（1）根据二次函数的图象与x轴相交，则y=0，得出A（a，0），B（3，0），与
y轴相交，则x=0，得出D（0，3a）.
（2）根据（1）中A、B、D的坐标，得出抛物线对称轴x= ，AO=a，OD=3a，代
入求得顶点C（ ，- ），从而得PB=3- = ，PC= ；再分情况讨论：①当△AOD∽△BPC时，根据相似三角形性质得 ， 解得：
a= 3（舍去）；
②△AOD∽△CPB，根据相似三角形性质得 ，解得：a=3（舍），a=
1 2
；
（3）能；连接BD，取BD中点M，根据已知得D、B、O在以BD为直径，M（ ，
a）为圆心的圆上，若点C也在此圆上，则MC=MB，根据两点间的距离公式得一个关
于a的方程，解之即可得出答案.
【详解】（1）∵y=（x-a）（x-3）（0<a<3）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），
∴A（a，0），B（3，0），
当x=0时，y=3a，
∴D（0，3a）；
（2）∵A（a，0），B（3，0），D（0，3a）.∴对称轴x= ，AO=a，OD=3a，
当x= 时，y=- ，
∴C（ ，- ），
∴PB=3- = ，PC= ，
①当△AOD∽△BPC时，
∴ ，即 ，
解得：a= 3（舍去）；
②△AOD∽△CPB，
∴ ，
即 ，
解得：a=3（舍），a= .
1 2
综上所述：a的值为 ；
（3）能；连接BD，取BD中点M，
∵D、B、O三点共圆，且BD为直径，圆心为M（ ， a），
若点C也在此圆上，
∴MC=MB，
∴ ，
化简得：a4-14a2+45=0，
∴（a2-5）（a2-9）=0，
∴a2=5或a2=9，
∴a= ，a=- ，a=3（舍），a=-3（舍），
1 2 3 4∵0<a<3，
∴a= ，
∴当a= 时，D、O、C、B四点共圆.
【点拨】本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等，综合性较强，有一定
的难度，正确进行分析，熟练应用相关知识是解题的关键.
22．(1) y=－x2－5x－6；(2)符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或( ， )或(4，2)．
【分析】
(1)利用待定系数法进行求解即可得；
(2)由关于原点对称的点的坐标特征可知点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、
B′(0，6)，利用待定系数法求得抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，设P(m，m2－5m＋6)(m＞
0)，根据PD⊥y轴，可得点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，可得PD＝m，OD＝m2－5m＋6，再由
Rt△POD与Rt△AOB相似，分Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，根据相似
三角形的性质分别进行求解即可得.
解：(1)由题意，得 ，
解得： ，
∴L：y=－x2－5x－6；
(2)∵抛物线L关于原点O对称的抛物线为 ，
∴点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，
∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6，
将A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5，
∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，
∵A(－3，0)，B(0，－6)，
∴AO＝3，OB＝6，
设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，
∵PD⊥y轴，
∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6，
∵Rt△PDO与Rt△AOB相似，
∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，
①当Rt△PDO∽Rt△AOB时，则 ，即 ，
解得m＝1，m＝6，
1 2
∴P(1，2)，P(6，12)；
1 2
②当Rt△ODP∽Rt△AOB时，则 ，即 ，
解得m＝ ，m＝4，
3 4
∴P( ， )，P(4，2)，
3 4
∵P 、P、P、P 均在第一象限，
1 2 3 4
∴符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或( ， )或(4，2).
【点拨】本题考查的是二次函数综合题，涉及了待定系数法、关于原点对称的抛物线的特点、相
似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键.
