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专题 2.49 《二次函数》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
2．会用描点法画出二次函数的图像，能从图像上认识二次函数的性质；
3．会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单
的实际问题；
4．会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.
【要点梳理】
要点一、二次函数的定义
一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.
特别说明：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是
二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
要点二、二次函数的图像与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
① ；② ；③ ；④ ，
其中 ；⑤ .（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图像特征如下：
函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标
( 轴) (0，0)
( 轴) (0， )
当 时
开口向上 ( ，0)
当 时
开口向下 ( ， )
( )2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1) 的符号决定抛物线的开口方向：当 时，开口向上；当 时，开口向下； 相
等，抛物线的开口大小、形状相同.
(2)平行于 轴(或重合)的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .
y ax2 bxc(a≠0) a,b,c
3.抛物线 中， 的作用：
(1) 决定开口方向及开口大小，这与 中的 完全一样.
(2) 和 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 的对称轴是直线
，
故：① 时，对称轴为 轴；② (即 、 同号)时，对称轴在 轴左侧；③
(即 、 异号)时，对称轴在 轴右侧.
(3) 的大小决定抛物线 与 轴交点的位置.
当 时， ，∴抛物线 与 轴有且只有一个交点(0， )：
① ，抛物线经过原点； ② ，与 轴交于正半轴；③ ，与 轴交于负半
轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 轴右侧，则 .
4.用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式： （a≠0）.已知图像上三点或三对 、 的值，通常选择一般
式.
(2)顶点式： （a≠0）.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成 的图像平移后所对应的函数.)
(3)“交点式”：已知图像与 轴的交点坐标 、 ，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系： ).
特别说明：
y ax2 bxc
求抛物线 （a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、
代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点三、二次函数与一元二次方程的关系
函数 ，当 时，得到一元二次方程 ，
那么一元二次方程的解就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，因此二次函数图像与x轴的交
点情况决定一元二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图像与x轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实
根；
(2)当二次函数的图像与x轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相
等实根；(3)当二次函数的图像与x轴没有交点，这时 ，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图像和一元二次方程的关系：
的图像
方程有两个相等实数解
方程有两个不等实数解 方程没有实数解
的解
特别说明：
二次函数图像与x轴的交点的个数由 的值来确定.
(1)当二次函数的图像与x轴有两个交点，这时 ，则方程有两个不相等实
根；
(2)当二次函数的图像与x轴有且只有一个交点，这时 ，则方程有两个相
等实根；
(3)当二次函数的图像与x轴没有交点，这时 ，则方程没有实根.
要点四、利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题
中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图像及性质去研究问题.
在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图像及其性质去分析问题、解决问题.
特别说明：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛
物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相
关的函数关系式.【典型例题】
类型一、二次函数的定义
1．已知函数 ．
（1）当 为何值时，这个函数是关于 的一次函数；
（2）当 为何值时，这个函数是关于 的二次函数．
【答案】（1） ；（2） 且 ．
【分析】
（1）根据一次函数的定义列出不等式组，然后求解即可；
（2）根据一次函数的定义列出不等式，然后求解即可．
解：（1）∵函数 是一次函数，
∴ ，解得： ．
即当 时，这个函数是关于 的一次函数．
（2）函数 是二次函数，
∴ ，解得： 且 ．
即当 且 时，这个函数是关于 的二次函数．
【点拨】本题考查了一次函数和二次函数的定义，掌握一次函数的一次项系数不能为0成为解答
本题的关键．
举一反三：
【变式1】 已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
（1）若这个函数是一次函数，求m的值；
（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【答案】(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1.
【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解．
解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m=0
解得m=0或m=1
又∵m﹣1≠0即m≠1；∴当m=0时，这个函数是一次函数；
（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0
解得m≠0，m≠1
1 2
∴当m≠0，m≠1时，这个函数是二次函数．
1 2
【点拨】考点：二次函数的定义；一次函数的定义
【变式2】已知函数 ．
当函数是二次函数时，求 的值；
当函数是一次函数时，求 的值．
【答案】 ； 或 或 ．
【分析】
（1）根据二次函数的定义得到m2+m-4=2且m+3≠0，由此求得m的值；
（2）根据一次函数的定义得到m2+m-4=0或m2+m-4=1或m+3=0，由此求得m的值．
解： 依题意得： 且 ．
即 且 ，
解得 ；
依题意得： 或 或 ，
解得 或 或 ．
【点拨】二次函数的定义, 一次函数的定义．
【变式3】 已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图像的交点．
（1）求t；
（2）若函数y＝ax2+bx+4的图像与x轴只有一个交点，求a，b；
（3）若1≤a≤2，设当 ≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，
求m﹣n的最小值．【答案】（1）t＝1；（2） 或 ；（3）m﹣n的最小值
【分析】
（1）把A（t，1）代入y＝x即可得到结论；
（2）根据题意得方程组，解方程组即可得到结论；
（3）把A（1，1）代入y＝ax2＋bx＋4得，b＝−3−a，得到y＝ax2−（a＋3）x＋4的对称轴为
直线x＝ ，根据1≤a≤2，得到对称轴的取值范围 ≤x≤2，当x＝ 时，得到m＝−
， 当x＝2时，得到n＝− ，即可得到结论．
解：（1）把A（t，1）代入y＝x得t＝1；
（2）∵y＝ax2+bx+4的图像与x轴只有一个交点，
∴ ，
∴ 或 ；
（3）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4得，b＝﹣3﹣a，
∴y＝ax2﹣（a+3）x +4＝a（x﹣ ）2﹣ ，
∴对称轴为直线x＝ ，
∵1≤a≤2，
∴ ≤x＝ ≤2，
∵ ≤x≤2，∴当x＝ 时，y＝ax2+bx+4的最大值为m＝﹣ ，
当x＝2时，n＝﹣ ，
∴m﹣n＝ ，
∵1≤a≤2，
∴当a＝2时，m﹣n的值最小，
即m﹣n的最小值 ．
【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值，正确的理解题意是解题的关键．
类型二、二次函数的性质
2．二次函数y＝x2的图像如图所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移4个单位．
（1）请直接写出经过两次平移后的函数解析式；
（2）请求出经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，并指出当x满足什么条件时，函数值小
于0？
（3）若A（x，y），B（x，y）是经过两次平移后所得的函数图像上的两点，且x＜x＜0，请
1 1 2 2 1 2
比较y、y的大小关系．（直接写结果）
1 2
【答案】（1）y＝（x﹣1）2﹣4；（2）（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值小于
0；（3）y＞y
1 2
【分析】（1）根据函数平移的特点：左加右减、上加下减，可以写出平移后的函数解析式；
（2）根据（1）中的函数解析式可以求得经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，并指出当x
满足什么条件时，函数值小于0；
（3）根据平移后函数的图像可知，当x＜1时，y随x的增大而减小，从而可以写出y、y的大
1 2
小关系．
解：（1）平移后的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；
（2）平移后的函数图像如图所示，
当y＝0时，0＝（x﹣1）2﹣4，得x＝﹣1，x＝3，
1 2
即经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（3，0），当﹣1＜x＜3时，函数值
小于0；
（3）由图像可得，
A（x，y），B（x，y）是经过两次平移后所得的函数图像上的两点，且x＜x＜0，则y＞y．
1 1 2 2 1 2 1 2
【点拨】本题考查的是二次函数的图像与性质，属于基础题型，记住平移的口诀“左加右减、
上加下减”.
举一反三：
【变式1】在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图像经过点 ， ．
（1）求代数式mn的值；
（2）若二次函数 的图像经过点B，求代数式 的值；
（3）若反比例函数 的图像与二次函数 的图像只有一个交点，且该交点在直
线 的下方，结合函数图像，求 的取值范围．【答案】（1）4；（2）8；（3） 或 ．
【解析】
试题分析：（1）由A的坐标求出k的值，再把B的坐标代入反比例函数即可求出mn的值；
（2）把 代入二次函数 ，可得 ，即 ，再由
，原式可变形为 ，即可求出表达式的值；
（3）先求出反比例函数与直线 的两个交点 ， ，再结合图像可得出结论．
试题解析：（1）∵反比例函数 的图像经过点 ，∴ ，∴反比例函数的解析式
为 ，∵反比例函数 的图像经过点 ，∴ ；
（2）∵二次函数 的图像经过点 ，∴ ，∴ ，∴
，由（1）得 ，∴原式- ；
（3）由（1）得反比例函数的解析式为 ．令 ，可得 ，解得 ．∴反比例函数 的图像与直线 交于点 ， ．当二次函数 的图像经过
点 时，可得 ；
当二次函数 的图像经过点 时，可得 ．
∵二次函数 的顶点为 ，∴由图像可知，符合题意的 的取值范围是
或 ．（注：只写 或只写 ，减1分．）
考点：二次函数综合题．
【变式2】 如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图像经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点
B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．
（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；
（2）连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C，若四边形POP′C为菱形，请求
出此时点P的坐标；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的
最大面积．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3（2）（ ， ）（3）当点P的坐标为（ ， ）时，四边形
ACPB的最大面积值为
【分析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，
可得P点坐标；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根
据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
解：（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得
解得
二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，∵C（0，3），
∴
∴点P的纵坐标 ，
当 时，即
解得 （不合题意，舍），
∴点P的坐标为
（3）如图2，
P在抛物线上，设P（m，﹣m2+2m+3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得解得
直线BC的解析为y=﹣x+3，
设点Q的坐标为（m，﹣m+3），
PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．
当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得x=﹣1，x=3，
1 2
OA=1，
S =S +S +S
四边形ABPC △ABC △PCQ △PBQ
当m= 时，四边形ABPC的面积最大．
当m= 时， ，即P点的坐标为
当点P的坐标为 时，四边形ACPB的最大面积值为 ．
【点拨】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形
的性质得出P点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的
和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．
【变式3】如图，已知抛物线y= +mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)m=2,顶点为(1,4)；(2)（1,2）.
【分析】
（1）首先把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y= +mx+3，利用待定系数法即可求得m的值，
继而求得抛物线的顶点坐标；
（2）首先连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得
直线BC的解析式，继而求得答案．
解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y= +mx+3得：0= +3m+3，
解得：m=2，
∴y= +2x+3= ，
∴顶点坐标为：（1，4）．
（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
∵点C（0，3），点B（3，0），
∴ ，解得： ，
∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，
当x=1时，y=﹣1+3=2，
∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．考点：二次函数的性质．
3、如图，在平面直角坐标系中，已知点 的坐标为 ，且 ，抛
物线 图像经过 三点．
（1）求 两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）若点 是直线 下方的抛物线上的一个动点，作 于点 ，当 的值最大
时，求此时点 的坐标及 的最大值．
【答案】（1）A（4，0）,C（0，﹣4）；（2） ；（3）PD的最大值为 ，此时
点P（2，﹣6）．
【分析】
（1）OA＝OC＝4OB＝4，即可求解；
（2）抛物线的表达式为： ，即可求解；（3） ，即可求解．
解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，
故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；
（2）抛物线的表达式为： ，
即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，
故抛物线的表达式为： ；
（3）直线CA过点C，设其函数表达式为： ，
将点A坐标代入上式并解得：k＝1，
故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，
过点P作y轴的平行线交AC于点H，
∵OA＝OC＝4，
，
∵
，
设点 ，则点H（x，x﹣4），∵ ＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为 ，
此时点P（2，﹣6）．
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形、图像的面积计
算等，其中（3），用函数关系表示PD，是本题解题的关键
举一反三：
【变式1】如图，抛物线y=x2 +bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P在该抛物线上滑动到什么位置时，满足
S =8，并求出此时P点的坐标．
△PAB
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）；（3）（
，4）或（ ，4）或（1，﹣4）．
【分析】
（1）由于抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程
x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c的值．
（2）根据S =8，求得P的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P点的坐标．
△PAB
解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0的两根为x=﹣1或x=3，
∴﹣1+3=﹣b，
﹣1×3=c，∴b=﹣2，c=﹣3，
∴二次函数解析式是y=x2﹣2x﹣3．
（2）∵y=﹣x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P的纵坐标为|y|，
P
∵S =8，
△PAB
∴ AB•|y|=8，
P
∵AB=3+1=4，
∴|y|=4，
P
∴y=±4，
P
把y=4代入解析式得，4=x2﹣2x﹣3，
P
解得，x=1±2 ，
把y=﹣4代入解析式得，﹣4=x2﹣2x﹣3，
P
解得，x=1，
∴点P在该抛物线上滑动到（1+2 ，4）或（1﹣2 ，4）或（1，﹣4）时，满足
S =8．
△PAB
【点拨】考点：1.待定系数法求二次函数解析式；2.二次函数的性质；3.二次函数图像上点的坐
标特征．
【变式2】已知二次函数 （ 为常数）.
（1）求证：不论 为何值，该函数的图像与 轴总有公共点；
（2）当 取什么值时，该函数的图像与 轴的交点在 轴的上方？
【答案】（1）证明见解析；（2） 时，该函数的图像与 轴的交点在 轴的上方.
解：分析：（1）首先求出与x轴交点的横坐标 ， ,即可得出答案;
(2)求出二次函数与y轴的交点纵坐标.根据交点纵坐标大于0即可求出.
详解：
（1）证明：当 时， .解得 ， .
当 ，即 时，方程有两个相等的实数根；当 ，即 时，方程有两
个不相等的实数根.
所以，不论 为何值，该函数的图像与 轴总有公共点.
（2）解：当 时， ，即该函数的图像与 轴交点的纵坐标是 .
当 ，即 时，该函数的图像与 轴的交点在 轴的上方.
点拨：本题考查了抛物线与x轴的交点坐标,熟练掌握抛物线与x轴的交点的证明方法，求出抛
物线与y轴交点的纵坐标是解决问题（2）的关键.
【变式3】如图，已知抛物线 与 轴交于 、 两点（点 在点 左侧），与
轴交于点 ．连接 ，点 是线段 上方抛物线上的点，过点 作 轴垂线交 于点 ，
交 轴于点 ．求线段 的最大值．
【答案】
【分析】
先令y=0求出点A、点B的坐标，再令x=0求得点C的坐标，利用待定系数法求得直线BC的解析
式，设点P的横坐标为m，根据点P在抛物线上表示出点P的纵坐标，点D的横坐标也为m，根据
点D在直线BC上表示出点D的纵坐标，进而可以用含m的代数式表示出线段PD的长，最后利用
二次函数的最值即可得出答案.
解： 与 轴交于 、 两点，令 ，即 ．
解得 ， ．
点 在点 左侧，
、 ．
与 轴交于点 ，
．
易得直线 的解析式为 ．
设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ，
．
，
当 时， 长取得最大值，最大值为 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像与坐标轴的交点，待定系数法求函数的解析式，二次函数
的最值问题，设出点P和点D的坐标，用含m的式子表示出PD的长，将线段的最值问题转化为二
次函数的最值问题是解决此题的关键.
类型三、二次函数的应用
4、“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条
40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．
据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为 元( 为正整
数)，每月的销售量为 条．
(1)直接写出 与 的函数关系式；
(2)设该网店每月获得的利润为 元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？
(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．为了保证捐款后每
月利润不低于4220元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？
【答案】(1) ；(2)当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；(3)当销售单价
定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
【分析】
(1)直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条得出 与 的函数关系式；
(2)利用销量×每件利润＝总利润进而得出函数关系式求出最值；
(3)利用总利润 ，求出 的值，进而得出答案．
解：(1)由题意可得： 整理得 ；
(2)由题意，得：
∵ ，
∴ 有最大值，
即当 时， ，
∴应降价 (元)
答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元；
(3)由题意，得：
解之，得： ， ，
∵抛物线开口向下，对称轴为直线 ，∴当 时，符合该网店要求
而为了让顾客得到最大实惠，故 ，
∴当销售单价定为66元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．
【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然
后结合实际选择最优方案，正确得出 与 之间的函数关系式是解题关键．
举一反三：
【变式1】一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10
元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调
查发现，该产品每天的销售量 （件 与销售价 （元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求 与 之间的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元 与销售价 （元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为
多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1） （2） ， ，144元
【分析】
（1）利用待定系数法求解可得 关于 的函数解析式；
（2）根据“总利润 每件的利润 销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函
数的性质进一步求解可得．
解：（1）设 与 的函数解析式为 ，
将 、 代入，得： ，解得： ，
所以 与 的函数解析式为 ；
（2）根据题意知，
，
，
当 时， 随 的增大而增大，
，
当 时， 取得最大值，最大值为144，
答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相
等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．
【变式2】如图，已知抛物线 与 轴交于点 、 ，顶点为M．
（1）求抛物线的解析式和点M的坐标；
（2）点E是抛物线段BC上的一个动点，设 的面积为S，求出S的最大值，并求出此
时点E的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？若
存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1） ，M(1，4)；（2）当 时，S = ，E( ， )；（3）
最大
存在，P(1， )，P(1， )，P(1，1)，P(1，2)．
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【分析】
（1）将点 、 的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得 、 的值即可；利
用配方法将函数解析式转化为顶点式，即可得到点 的坐标；
（2）利用待定系数法确定直线 解析式，由函数图像上点的坐标特征求得点 、 的坐标，
然后根据两点间的距离公式求得 长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最
值的求法求得点 的横坐标，易得其纵坐标，则点 的坐标迎刃而解了；
（3）需要分类讨论：点 、 、 分别为直角顶点，利用勾股定理求得答案．
解：（1） 抛物线 与 轴交于点 、 ，
．
解得 ．
，则 ；
（2）如图，作 轴交 于点
， ，
直线 解析式为： ．
设 ，则 ．
．．
当 时，S ．
最大
此时，点 的坐标是 ， ；
（3）设 ， 、 ，
， ， ．
①当 时， ，即 ．解得 ．
②当 时， ，即 ．解得 ．
③当 时， ，即 ．解得 或2．
综上所述，存在，符合条件的点 的坐标是 或 或 或 ，
【点拨】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利
用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出
线段之间的关系．
【变式3】某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进
行预测，并建立如下模型：设第t个月该原料药的月销售量为P（单位：吨），P与t之间存在如图所示的函数关系，其图像是函数P= （0＜t≤8）的图像与线段AB的组合；设第t个月销
售该原料药每吨的毛利润为Q（单位：万元），Q与t之间满足如下关系：Q=
（1）当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；
（2）设第t个月销售该原料药的月毛利润为w（单位：万元）
①求w关于t的函数解析式；
②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范
围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．
【答案】（1）P=t+2；（2）①当0＜t≤8时，w=240；当8＜t≤12时，w=2t2+12t+16；当12＜
t≤24时，w=﹣t2+42t+88；②此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨．
【解析】
分析：（1）设8＜t≤24时，P=kt+b，将A（8，10）、B（24，26）代入求解可得P=t+2；
（2）①分0＜t≤8、8＜t≤12和12＜t≤24三种情况，根据月毛利润=月销量×每吨的毛利润可
得函数解析式；
②求出8＜t≤12和12＜t≤24时，月毛利润w在满足336≤w≤513条件下t的取值范围，再根据
一次函数的性质可得P的最大值与最小值，二者综合可得答案．
解：（1）设8＜t≤24时，P=kt+b，
将A（8，10）、B（24，26）代入，得：
，解得： ，
∴P=t+2；
（2）①当0＜t≤8时，w=（2t+8）× =240；
当8＜t≤12时，w=（2t+8）（t+2）=2t2+12t+16；
当12＜t≤24时，w=（-t+44）（t+2）=-t2+42t+88；
②当8＜t≤12时，w=2t2+12t+16=2（t+3）2-2，
∴8＜t≤12时，w随t的增大而增大，
当2（t+3）2-2=336时，解题t=10或t=-16（舍），
当t=12时，w取得最大值，最大值为448，
此时月销量P=t+2在t=10时取得最小值12，在t=12时取得最大值14；
当12＜t≤24时，w=-t2+42t+88=-（t-21）2+529，
当t=12时，w取得最小值448，
由-（t-21）2+529=513得t=17或t=25，
∴当12＜t≤17时，448＜w≤513，
此时P=t+2的最小值为14，最大值为19；
综上，此范围所对应的月销售量P的最小值为12吨，最大值为19吨．
点拨：本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出分段函
数的解析式是解题的前提，利用二次函数的性质求得336≤w≤513所对应的t的取值范围是解题
的关键．
