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专题 2.43 二次函数压轴题-面积问题（专项练习）
1．如图，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴于点 ，点Q为线
段BC上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的最小值；
（3）过点Q作 交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记 与 的
面积分别为 ， ，设 ，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．
2．如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝
90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函数y＝﹣x2＋bx的图像经过点A，顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；
（2）设这个二次函数图像的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求 的值；
（3）设P是这个二次函数图像的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求
点P的坐标．3．如图，抛物线y＝ax2＋x＋c交y轴于点A（0，2），交x轴于点B（﹣1，0）及点C．
（1）填空：a＝ ，c＝ ，点C的坐标为 ；
（2）把△ABO逆时针旋转90°得△A′B′O'（其中点A与A′，B与B′分别是对应点），当△A′B'O'恰
好有两点落在抛物线上时，求点A′的坐标；
（3）点P（m，n）是位于x轴上方抛物线上的一点，△PAB的面积记为S，△PAC的面积记为
1
S，△PBC的面积记为S，若满足S＋S＝S，求m的值．
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4．已知抛物线F：y＝a（x﹣8）（x+4）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），抛物线顶点
1为C，CD⊥x轴于点D．
（1）若a＝ ，求△ABC的周长；
（2）若△ACD的内心在y轴正半轴上，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若当m≤x≤n（其中mn＜0）时，二次函数y＝a（x﹣8）+（x+4）的函数
值的取值范围为 m≤y＜ n，求m+n的值．
5．已知抛物线 与直线 有一个交点 ．
（1）若点 的坐标为 ，求 的值，并写出抛物线的顶点坐标；
（2）若 ，点 在 轴上，直线 与抛物线的另一交点是 ，当 时，求抛物线的解
析式；
（3）设平行于直线 且经过原点的直线 与抛物线交于 ， 两点， 的面积 ，
若对于任意 的取值，满足 恒成立，求 的值．
6．定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”．
例如，点 是函数 的图像的“等值点”．
（1）分别判断函数 的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值
点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数 的图像的“等值点”分别为点A，B，过点B作 轴，
垂足为C．当 的面积为3时，求b的值；
（3）若函数 的图像记为 ，将其沿直线 翻折后的图像记为 ．当 两
部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
7．已知二次函数 ．
（1）当该二次函数的图像经过点 时，求该二次函数的表达式；
（2）在(1) 的条件下，二次函数图像与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点
A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上
以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面
积的最大值;
（3）若对满足 的任意实数x，都使得 成立，求实数b的取值范围．8．如图，在平面直角坐标系 中，平行四边形 的 边与y轴交于E点，F是 的中
点，B、C、D的坐标分别为 ．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 上；
（3）设过F与 平行的直线交y轴于Q，M是线段 之间的动点，射线 与抛物线交于另
一点P，当 的面积最大时，求P的坐标．
9．定义：对于二次函数 ，其相依函数为一次函数 ，例如：二次
函数 的相依函数为：
（1）求二次函数 的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数 与其相依函数的图像分别交于点 、 ，过该抛
物线的顶点作直线 平行于 轴，已知点 到直线 的距离为8．
①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图像上；
②点 为抛物线 段上的一个动点，求 面积的最大值．10．如图，抛物线 的图像经过 三点，直线 经
过点 ，交抛物线于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 在线段 上，且满足 ，点 在 轴下方的抛物线上，设点 的横坐标
为 ，当 为何值时， 的面积最大？并求出最大值；
（3） 为抛物线上的一动点， 为对称轴上一动点，若以 为顶点的四边形为平行四边
形，求出点 的坐标．
11．直线l：y＝kx+k（k＜0）与x轴交于点B，点A（m，5 ）（m＜0），点C在线段AB上，，过点C作CD⊥y轴于点D，且 ．
（1）求m的值；
（2）经过C、D两点的开口向下的抛物线的顶点为P，且△ADP的面积为3 ，求抛物线的解
析式．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 图像经过 两点．
（1）求b，c的值．
（2）连结 ， ，若P是第一象限内抛物线上一点，直线 把 的面积分成相等的两
部分．
①求直线 的解析式．
②将该抛物线沿着射线 的方向平移m个单位，使其顶点落在 的内部（不包括边界），
求m的取值范围．
13．已知顶点为 的抛物线 ，交 轴于点 ，交 轴正半轴于点 ．
（1）求 的坐标（用含 的代数式表示）；
（2）若 时， 面积的最大值为 ，求 的值；
（3）已知 ，点 在抛物线上，且 ，求点 的坐标．14．如图，平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ， ，与
轴交于点 ．
（1） ____________； _______________；
（2）若直线 经过点 ，点 关于直线 的对称点 恰好在线段 上，直线 与抛物线交于
另一点 ；
①求点 的坐标；
②点 是直线 上一点，若对于在第一象限内的抛物线 上的动点 始终
有 ，请直接写出 的取值范围．
15．如图，抛物线 （其中 ）与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
点 在该抛物线的对称轴 上，且 ．
（1）点 的坐标为______，用含 的式子表示点 的坐标为______；
（2）若 与 的面积之比为 ，求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若动点 在该抛物线上，且当 时，求点 的坐标．16．将抛物线y＝ax2的图像（如图1）绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图像（如图
2），记为C：y2＝ x．
（概念与理解）
将抛物线y=4x2和y=x2按上述方法操作后可得新的抛物线图像，记为：C ：_____________；
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C ：____________．
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（猜想与证明）
在平面直角坐标系中，点M（x，0）在x轴正半轴上，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物
线C 于点A、B，交抛物线C 于点C、D，如图3所示．
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（1）填空：当x=1时， =______；当x=2时， =_______；
（2）猜想：对任意x（x＞0）上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请
说明理由．
（探究与应用）
①利用上面的结论，可得△AOB与△COD面积比为 ；
②若△AOB和△COD中有一个是直角三角形时，求△COD与△AOB面积之差；
（联想与拓展）
若抛物线C ：y2＝mx、C ：y2＝nx（0
