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专题 2.43 二次函数压轴题-面积问题（专项练习）
1．如图，抛物线 交x轴于 ， 两点，交y轴于点 ，点Q为线
段BC上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求 的最小值；
（3）过点Q作 交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记 与 的
面积分别为 ， ，设 ，求点P坐标，使得S最大，并求此最大值．
2．如图，在直角坐标平面xOy内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限内，且∠OAB＝
90°，∠BOA＝30°，OB＝4.，二次函数y＝﹣x2＋bx的图像经过点A，顶点为点C．
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点C的坐标；
（2）设这个二次函数图像的对称轴l与OB相交于点D，与x轴相交于点E，求 的值；
（3）设P是这个二次函数图像的对称轴l上一点，如果△POA的面积与△OCE的面积相等，求
点P的坐标．3．如图，抛物线y＝ax2＋x＋c交y轴于点A（0，2），交x轴于点B（﹣1，0）及点C．
（1）填空：a＝ ，c＝ ，点C的坐标为 ；
（2）把△ABO逆时针旋转90°得△A′B′O'（其中点A与A′，B与B′分别是对应点），当△A′B'O'恰
好有两点落在抛物线上时，求点A′的坐标；
（3）点P（m，n）是位于x轴上方抛物线上的一点，△PAB的面积记为S，△PAC的面积记为
1
S，△PBC的面积记为S，若满足S＋S＝S，求m的值．
2 3 1 2 3
4．已知抛物线F：y＝a（x﹣8）（x+4）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），抛物线顶点
1为C，CD⊥x轴于点D．
（1）若a＝ ，求△ABC的周长；
（2）若△ACD的内心在y轴正半轴上，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若当m≤x≤n（其中mn＜0）时，二次函数y＝a（x﹣8）+（x+4）的函数
值的取值范围为 m≤y＜ n，求m+n的值．
5．已知抛物线 与直线 有一个交点 ．
（1）若点 的坐标为 ，求 的值，并写出抛物线的顶点坐标；
（2）若 ，点 在 轴上，直线 与抛物线的另一交点是 ，当 时，求抛物线的解
析式；
（3）设平行于直线 且经过原点的直线 与抛物线交于 ， 两点， 的面积 ，
若对于任意 的取值，满足 恒成立，求 的值．
6．定义：若一个函数图像上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图像的“等值点”．
例如，点 是函数 的图像的“等值点”．
（1）分别判断函数 的图像上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值
点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数 的图像的“等值点”分别为点A，B，过点B作 轴，
垂足为C．当 的面积为3时，求b的值；
（3）若函数 的图像记为 ，将其沿直线 翻折后的图像记为 ．当 两
部分组成的图像上恰有2个“等值点”时，直接写出m的取值范围．
7．已知二次函数 ．
（1）当该二次函数的图像经过点 时，求该二次函数的表达式；
（2）在(1) 的条件下，二次函数图像与x轴的另一个交点为点B，与y轴的交点为点C,点P从点
A出发在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，在线段BC上
以每秒1个单位长度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求△BPQ面
积的最大值;
（3）若对满足 的任意实数x，都使得 成立，求实数b的取值范围．8．如图，在平面直角坐标系 中，平行四边形 的 边与y轴交于E点，F是 的中
点，B、C、D的坐标分别为 ．
（1）求过B、E、C三点的抛物线的解析式；
（2）试判断抛物线的顶点是否在直线 上；
（3）设过F与 平行的直线交y轴于Q，M是线段 之间的动点，射线 与抛物线交于另
一点P，当 的面积最大时，求P的坐标．
9．定义：对于二次函数 ，其相依函数为一次函数 ，例如：二次
函数 的相依函数为：
（1）求二次函数 的相依函数表达式；
（2）如图，二次函数 与其相依函数的图像分别交于点 、 ，过该抛
物线的顶点作直线 平行于 轴，已知点 到直线 的距离为8．
①证明：该二次函数的顶点在其相依函数的图像上；
②点 为抛物线 段上的一个动点，求 面积的最大值．10．如图，抛物线 的图像经过 三点，直线 经
过点 ，交抛物线于点 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点 在线段 上，且满足 ，点 在 轴下方的抛物线上，设点 的横坐标
为 ，当 为何值时， 的面积最大？并求出最大值；
（3） 为抛物线上的一动点， 为对称轴上一动点，若以 为顶点的四边形为平行四边
形，求出点 的坐标．
11．直线l：y＝kx+k（k＜0）与x轴交于点B，点A（m，5 ）（m＜0），点C在线段AB上，，过点C作CD⊥y轴于点D，且 ．
（1）求m的值；
（2）经过C、D两点的开口向下的抛物线的顶点为P，且△ADP的面积为3 ，求抛物线的解
析式．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 图像经过 两点．
（1）求b，c的值．
（2）连结 ， ，若P是第一象限内抛物线上一点，直线 把 的面积分成相等的两
部分．
①求直线 的解析式．
②将该抛物线沿着射线 的方向平移m个单位，使其顶点落在 的内部（不包括边界），
求m的取值范围．
13．已知顶点为 的抛物线 ，交 轴于点 ，交 轴正半轴于点 ．
（1）求 的坐标（用含 的代数式表示）；
（2）若 时， 面积的最大值为 ，求 的值；
（3）已知 ，点 在抛物线上，且 ，求点 的坐标．14．如图，平面直角坐标系 中，抛物线 与 轴交于 ， ，与
轴交于点 ．
（1） ____________； _______________；
（2）若直线 经过点 ，点 关于直线 的对称点 恰好在线段 上，直线 与抛物线交于
另一点 ；
①求点 的坐标；
②点 是直线 上一点，若对于在第一象限内的抛物线 上的动点 始终
有 ，请直接写出 的取值范围．
15．如图，抛物线 （其中 ）与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ，
点 在该抛物线的对称轴 上，且 ．
（1）点 的坐标为______，用含 的式子表示点 的坐标为______；
（2）若 与 的面积之比为 ，求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，若动点 在该抛物线上，且当 时，求点 的坐标．16．将抛物线y＝ax2的图像（如图1）绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图像（如图
2），记为C：y2＝ x．
（概念与理解）
将抛物线y=4x2和y=x2按上述方法操作后可得新的抛物线图像，记为：C ：_____________；
1 2 1
C ：____________．
2
（猜想与证明）
在平面直角坐标系中，点M（x，0）在x轴正半轴上，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物
线C 于点A、B，交抛物线C 于点C、D，如图3所示．
1 2
（1）填空：当x=1时， =______；当x=2时， =_______；
（2）猜想：对任意x（x＞0）上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请
说明理由．
（探究与应用）
①利用上面的结论，可得△AOB与△COD面积比为 ；
②若△AOB和△COD中有一个是直角三角形时，求△COD与△AOB面积之差；
（联想与拓展）
若抛物线C ：y2＝mx、C ：y2＝nx（0<m<n），M（k，0）在x轴正半轴上，如图所示，过点M
3 4
作平行于y轴的直线，分别交抛物线C 于点A、B，交抛物线C 于点C、D．过点A作x轴的平行
3 4
线交抛物线C 于点E，过点D作x轴的平行线交抛物线C 于点F．对于x轴上任取一点P，均有
4 3
△PAE与△PDF面积的比值1:3，请直接写出m和n之间满足的等量关系是______．参考答案
1．（1） ；（2）5；（3） 时，S有最大值
【分析】
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）作点O关于直线BC的对称点D，连接AD，交BC于点Q，此时|QO|+|QA|有最小值为AD，
利用勾股定理即可求解；
（3）先求得直线BC的表达式为y=x−3，直线AC的表达式为y=−3x−3．可设P(m，m2−2m−3)得
到直线PQ的表达式可设为y=−3x+ m2+m−3，由 得到二次函数，再
利用二次函数的性质求解即可．
解：（1）由已知：y=a(x−3)(x+1)，
将(0，−3)代入上式得：−3=a(0−3)(0+1)，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y= −2x−3；
（2）作点O关于直线BC的对称点D，连接DC 、DB，∵B(3，0)，C(0，−3)，∠BOC=90°，
∴OB=OC=3，
∵O、D关于直线BC对称，
∴四边形OBDC为正方形，
∴D(3，−3)，
连接AD，交BC于点Q，由对称性|QD|=|QO|，此时|QO|+|QA|有最小值为AD，
AD= ，
∴|QO|+|QA|有最小值为5；
（3）由已知点A(−1，0)， B(3，0)，C(0，−3)，
设直线BC的表达式为y=kx−3，
把B(3，0)代入得：0=3k−3，
解得： ，
∴直线BC的表达式为y=x−3，
同理：直线AC的表达式为y=−3x−3．
∵PQ∥AC，
∴直线PQ的表达式可设为y=−3x+b，
由（1）可设P(m，m2−2m−3)代入直线PQ的表达式可得b= m2+m−3，
∴直线PQ的表达式可设为y=−3x+ m2+m−3，
由 ，解得 ，
即 ，由题意： ，
∵P，Q都在四象限，
∴P，Q的纵坐标均为负数，
∴ ，
即 ，
根据已知条件P的位置可知 ．
∴ 时，S最大，
即 时，S有最大值 ．
【点拨】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数，
二次函数的解析式，二次函数的最值等知识，数形结合，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
2．（1） ；（ ，3）；（2） ；（3）（ ， ）或（ ， ）
【分析】
（1）由∠OAB=90°，在直角三角形OAB中求得点A，代入函数式解得．
（2）直角三角形OAB中求得AB的长度，由抛物线的对称轴可知DE∥AB，OE=AE．求得DE，
进而求得CD，从而求得；
（3）利用三角形OCE和三角形POA的面积相等即求得．
解：（1）∵∠OAB＝90°，∠BOA＝30°，OB＝4，
∴AB=2
∴
∴A（ ，0）．
∵二次函数y＝﹣x2+bx的图像经过点A，
∴ ．
解得， ．
∴二次函数的解析式为 ．∴
∴顶点C的坐标是（ ，3）．
（2）∵DE是二次函数 的图像的对称轴，
∴DE∥AB，OE＝AE．
∴ ．
∵AB=2，OE＝OA=
∴DE＝1．
又∵C（ ，3），
∴CE＝3．
即得CD＝2．
∴ ．
（3）根据题意，可设P（ ，n）．
∵ ，CE＝3，
∴ ．
∴ ．
解得, ．
∴点P的坐标为（ ， ）或（ ， ）
【点拨】本题考查二次函数的顶点坐标，对称轴，面积公式，平行线分线段成比例，解题的关键
是熟练掌握二次函数的性质．
3．（1）-1，2， ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设 ， ， 的解析式为 ，求出 的解析式联立方程求解即
可；
（3）连接BP交y轴于点M，过点P作 轴，交AC于N，则 ，求出BP和AC的解
析式，根据S＋S＝S 计算即可；
1 2 3
解：（1）将 ， 代入y＝ax2＋x＋c得，
，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，
当 时，即 ，
解得： ， ，
∵点C在正半轴，
∴点C的坐标为 ，点B的坐标为 ；
故答案是：-1，2， ；
（2）如图所示，
由（1）知， ， ，
∴ ，设 ， ， 的解析式为 ，
则 ，整理得 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的解析式为 ，
∴ ，
解得： ， ，
当 时， ，
∴ ；
（3）连接BP交y轴于点M，过点P作 轴，交AC于N，则 ，
∴ ，，
设直线BP为 ，将 ， 代入得，
，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
设直线AC为 ，
将 ， 代入得，
，
解得 ，
∴ ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
，
，，
，
，
解得： 或 ；
故m的值为 或 ．
【点拨】本题主要考查了二次函数综合，结合一次函数的图像与性质计算是解题的关键．
4．（1） ；（2） ；（3） 或 ．
【分析】
（1）把a= 代入解析式，求出A，B，C的坐标，算出周长即可；
（2）先根据题意分析a的符号，然后推导出内心的坐标，根据面积法列出关于a的方程，求出a
即可；
（3）根据n的取值分三种情况讨论即可．
解：（1）当a＝ 时，有y＝
∴A（﹣4，0），B（8，0）
又y＝ =
∴C（2，6）
∴AB=8-(-4)=12，AC=BC=
∴ ；
（2）∵△ACD为直角三角形，
∴内心在三角形的内部，∴a＜0，图像开口向下，
设内心为点E（0，t），
∴t＝2，
∴E（0，2），
又AD=2-（-4）=6，CD=-36a，AC=
∵
∴
∴
整理得， ，
解得： ，
经检验， 是原方程的根，但a=0不符合题意，舍去
∴
∴ ；
（3）根据n的值分三种情况讨论，
∵m≤x≤n，且mn＜0，
∴m＜0＜n，
①若n＜2，则有：，
解得n＝ ，不合题意，
②若2＜n＜4﹣m，则有：
，
解得 ，且 ，
∴m+n＝9﹣4 ，
③若4﹣m＜n，则有：
，
解得 ，且 ，
∴m+n＝9﹣4 ，且
∴m+n＝ ，
综上，m+n的值为 或 ．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，用待定系数法求解析式以及三角形内心的性质，要学会
灵活运用各种知识点，学会分析各个知识点之间的联系．
5．（1） ，顶点 ；（2） 或 ；（3）
【分析】
（1）把点 代入抛物线解析式，求出 的值，得到解析式，从而求出抛物线顶点坐标；（2）由点 在 轴上，写出点 的坐标，由 推出直线 与 轴成 角，过点 作 轴的平
行线，过点 作 轴的平行线交于点 ，得到 为等腰直角三角形，结合 ，表达
出 点坐标，把 代入抛物线求出 ，得到抛物线的解析式；
（3）由 恒成立得直线 与抛物线相切，联立得到关于 、 、 的方程备用，
结合 用 、 表示 的面积，求出 ．
解：（1）把点 代入 得：
，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴抛物线的顶点为 ，
（2） 时， ，
当 时， ，当 时， ，
记直线 与 轴的交点为 ，则： ， ，
∴ ，
∴ ，
①如图1，过点 、 分别作 轴、 轴的平行线交于点 ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 是直线 与抛物线的交点，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ．
如图2，同①理可知： ， ，∴ ，
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ．
（3）∵对于任意 的取值，满足 恒成立，
∴ 只有一个解，
∴ ，
化简得： ，
如图2，过点 作 轴交 于点 ，∵直线 平行于直线 且经过原点，并与抛物线交于 ， 两点，
∴ ， ， 有两个不同的解，
∴ ， ，
∴ ，
∵
，
∴ ，
解得： ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的性质、二次函数与一次
函数图像与不等式的关系、三角形的面积，对于特殊的直线要熟练掌握其特征是解题的关键．
6．（1）函数y=x+2没有“等值点”； 函数 的“等值点”为(0，0)，(2，2)；（2）
或 ；（3） 或 ．．
【分析】
（1）根据定义分别求解即可求得答案；
（2）根据定义分别求A( ， )，B( ， )，利用三角形面积公式列出方程求解即可；
（3）由记函数y=x2-2（x≥m）的图像为W，将W 沿x=m翻折后得到的函数图像记为W，可得
1 1 2
W 与W 的图像关于x=m对称，然后根据定义分类讨论即可求得答案．
1 2
解：（1）∵函数y=x+2，令y=x，则x+2=x，无解，
∴函数y=x+2没有“等值点”；
∵函数 ，令y=x，则 ，即 ，解得： ，
∴函数 的“等值点”为(0，0)，(2，2)；
（2）∵函数 ，令y=x，则 ，
解得： (负值已舍)，
∴函数 的“等值点”为A( ， )；
∵函数 ，令y=x，则 ，
解得： ，
∴函数 的“等值点”为B( ， )；
的面积为 ，
即 ，
解得： 或 ；
（3）将W 沿x=m翻折后得到的函数图像记为W．
1 2
∴W 与W 两部分组成的函数W的图像关于 对称，
1 2
∴函数W的解析式为 ，
令y=x，则 ，即 ，解得： ，
∴函数 的“等值点”为(-1，-1)，(2，2)；
令y=x，则 ，即 ，
当 时，函数W的图像不存在恰有2个“等值点”的情况；
当 时，观察图像，恰有2个“等值点”；
当 时，
∵W 的图像上恰有2个“等值点”(-1，-1)，(2，2)，
1
∴函数W 没有“等值点”，
2
∴ ，
整理得： ，
解得： ．
综上，m的取值范围为 或 ．
【点拨】本题属于二次函数的综合题，考查了二次函数、反比例函数、一次函数的性质以及函数
的对称性．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
7．（1） ；（2） ；（3）-3≤b≤1．
【分析】
（1）根据待定系数法，即可求解；（2）先求出A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，BP=4-2t，过点M
作MQ⊥x轴，可得MQ= t，从而得到△BPQ的面积的表达式，进而即可求解；
（3）设 ，结合函数图像的对称轴，开口方向，分两种情况： 或
，进而即可求解．
解：（1）把 代入 ，
得： ，解得：b=1，
∴该二次函数的表达式为： ；
（2）令y=0代入 ，
得： ，
解得： 或 ，
令x=0代入 得：y=-3，
∴A(1，0)，B(-3，0)，C(0，-3)，
设运动时间为t，则AP=2t，BQ=t，
∴BP=4-2t，
过点M作MQ⊥x轴，
∵OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∴ 是等腰直角三角形，
∴MQ= BQ= t，∴△BPQ的面积= = ，
∴当t=1时，△BPQ面积的最大值= ；
（3）抛物线 的对称轴为：直线x=-b，开口向上，
设 ，
∵对 的任意实数x，都使得 成立，
∴ 或 ，
∴-1≤b≤1或-3≤b＜-1，
∴-3≤b≤1．
【点拨】本题主要考查二次函数综合，掌握待定系数法，二次函数的性质以及根据图像对称轴位
置，列出不等式组，是解题的关键．
8．（1） ；（2）顶点是在直线 上，理由见解析；（3）P点坐标为（9，
）．【分析】
（1）先求出A点坐标，再求出直线AB的解析式，进而求得E的坐标，然后用待定系数法解答即
可；
（2）先求出点F的坐标，再求出直线EF的解析式，然后根据抛物线的解析式确定顶点坐标，然
后进行判定即可；
（3）设P点坐标为（p， ），求出直线BP的解析式，进而求得M的坐标；再求
FQ的解析式，确定Q的坐标，可得|MQ|= +6，最后根据S = S + S 列出关于p
△PBQ △MBQ △PMQ
的二次函数并根据二次函数的性质求最值即可．
解：（1）∵平行四边形 ，B、C、D的坐标分别为
∴A（3，10），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则 ，解得 ，
∴直线AB的解析式为y=2x+4，
当x=0时，y=4，则E的坐标为（0,4），
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，
，解得 ，
∴过B、E、C三点的抛物线的解析式为 ；
（2）顶点是在直线 上，理由如下：
∵F是 的中点，
∴F（8,10），
设直线EF的解析式为y=mx+n，则 ，解得 ，
∴直线EF的解析式为y= x+4，
∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为（3， ），
∵ = ×3+4，
∴抛物线的顶点是否在直线 上；
（3）∵ ，则设P点坐标为（p， ），直线BP
的解析式为y=dx+e，
则 ，解得 ，
∴直线EF的解析式为y= x+ ，
当x=0时，y= ，则M点坐标为（0， ），
∵AB//FQ ，
∴设FQ的解析式为y=2x+f，则10=2×8+f，解得f=-6，
∴FQ的解析式为y=2x-6 ，
∴Q的坐标为（0，-6），
∴|MQ|= +6，
∴S = S + S
△PBQ △MBQ △PMQ
=
==
=
∴当p=9时， 的面积最大时，
∴P点坐标为（9， ）．
【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数求最值等知识点，灵活求得所
需的函数解析式成为解答本题的关键．
9．（1） ；（2）①见解析；②
【分析】
（1）根据相依函数的定义求解；
（2）①利用顶点式求得二次函数的顶点坐标，然后利用一次函数图像上的点的坐标特点求解；
②联立方程组求得 ， ，然后求得m的值，设P点坐标为 ，
过点P作PM⊥x轴，交AB于点M，然后利用三角形面积公式及二次函数的性质求最值
解：（1）
∴二次函数 的相依函数表达式为： ；（2）①在 中，
其顶点坐标为 ，
∴该二次函数的相依函数为： ，
当 时， ，
∴该二次函数的顶点在其相依函数图像上。
②联立方程组得 ，解得 ，
∴ ，
又∵点 到直线 的距离为8
∴-3m+8=-2m，解得：m=8
∴
设P点坐标为
过点P作PM⊥x轴，交AB于点M
∴M点坐标为
∴PM=
∴
∴当x= 时，S有最大值为1，即【点拨】本题考查二次函数新定义题目的理解，掌握二次函数的性质、利用数形结合思想解题是
关键．
10．（1） ；（2）当 时， 有最大值为 ；（3）当点 的坐标为 或
或 时，以 为顶点的四边形为平行四边形．
【分析】
（1）利用顶点式函数解析式求解即可；
（2）先求出点D的坐标，利用面积关系求出点E的坐标，得到直线BE的函数解析式，过点
作 轴交直线 于点 ，根据 求出函数解析式，再利用函数的性质
得到答案；
（3）求利用函数解析式求出点Q的横坐标，分两种情况：若 为平行四边形的边，若 为平
行四边形的对角线，根据平行四边形的性质求出点P的横坐标，由此得到答案
解：（1）∵抛物线 的图像经过点 ，
∴设抛物线的解析式为 ．
把点 代入，
．
．
∴抛物线的解析式为 ．（2）∵直线 经过点 ，
．
∴直线 的解析式为 ．
联立
解得 ，
∴点
．
设点 ．
，
．
．
．
∴点 ．
∴直线 的解析式为 ．
如图，过点 作 轴交直线 于点 ．
∵点 ，
．
设点B的横坐标为x ，点E的坐标为x ，
B E．
∴当 时，
有最大值为 ．
（3）∵ ，
∴点Q的横坐标为2，
设点A，D，P，Q的横坐标分别为x ,x ,x,x ，
A D P Q
若 为平行四边形的边，
∵以 为顶点的四边形为平行四边形，
．
或 ．
或 ．
∴点 的坐标为 或 ；
若 为平行四边形的对角线，∵以 为顶点的四边形为平行四边形，
与 互相平分．
．
．
∵点 的坐标为 ．
综上，当点 的坐标为 或 或 时，以 为顶点的四边形为平行四边形．
【点拨】此题考查了二次函数的综合知识，求二次函数的解析式，函数的最值问题，函数图像的
交点问题，平行四边形的性质，熟练掌握各部分知识点，并在解题中运用分类思想解决问题是解
题的关键．
11．（1）m的值为﹣6；（2） ．
【分析】
（1）过点C作CE⊥x轴于E，根据平行线分线段成比例得出点C的横坐标x ，再求出BC，根据
C
得出关于m的方程，即可求解；（2）由题意得抛物线的对称轴 ，求出直线AD的解析式，进而得出AD与对称轴的交点Q
的坐标，根据S =S +S 可得点P的坐标，即可得抛物线的解析式．
△ADP △AQP △DQP
解：（1）过点C作CE⊥x轴于E，过点A作AM⊥x轴于点M，AN⊥y轴于点N，则CD∥AN，
∴ ，
∵点A（m，5 ）， ，
∴ ，CE＝2 ，
∵y＝kx+k（k＜0）与x轴交于点B，
令y=0，则x=-1
∴点B的坐标（﹣1，0），
∴ ，
∴x ＝ ，
C
∴CD＝ ，BC＝ ，
∵ ，
∴ ，
化简得（m+6）（7m﹣108）＝0，
解得：m＝﹣6，m＝ （不合题意），
1 2
∴m的值为﹣6；
（2）由（1）可得∵抛物线开口向下，经过C，D
∴对称轴为x＝ ，
设直线AD的解析式为 ，
把 代入得，
解得，
∴直线AD的解析式为 ，
设AD与对称轴的交点为Q，
当 时，
∴ ，
设 ，
则 ，
解得：t＝ 或
∵ ，
∴ 不符合题意，舍去
∴顶点 ，
设抛物线的解析式为 ，
将 代入得： ，
∴抛物线的解析式为 ．【点拨】本题综合考查二次函数和一次函数性质．在解答过程中，应注意利用平行线分线段成比
例和三角形的面积公式构造方程，求出未知量．
12．（1） ；（2）① ；② ．
【分析】
（1）将 代入 中，列方程组求解即可．
（2）直线 把 的面积分成相等的两部分．则此直线必过AB中点，求出中点坐标求解即
可．
（3）因为平移，所以过点Ｄ的直线必然与 平行，顶点要在三角形内部，画图分析即可.
解：（1）将 代入 ，得
解得： ．
（2）①取 的中点C，
∵
∴
又∵P是第一象限内抛物线上一点，且直线 把 的面积分成相等的两部分．
∴直线OP必过AB的中点C
∴直线OP的表达式为：
②由（1）可得抛物线的一般式为： ，将一般式转化为顶点式如下：
∴顶点坐标为
设过抛物线的顶点 ，且与直线 平行的直线解析式为：
将顶点 代入 ，得 ，解得∴
设 ，将 ， 代入，得
， 解得
∴
联立： ，得： ，
设直线 与直线AB的交点坐标为点M，与x轴的交点坐标为N，则 ,
抛物线顶点落在 的内部，即顶点在点M，点N之间，如图：
∴ ,
∴
【点拨】本题考查的是二次函数的综合，二次函数的解析式求法，两点之间的距离公式，中点坐
标公式等相关知识点，根据题意数形结合是解题的关键．
13．（1） ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）把抛物线的解析式化为顶点式即可求解；
（2）由（1）及题意易得 ， ， ，进而可求解直线BC的解析式为
，然后利用铅垂法可得 ，最后根据二次函数的性质可进行求
解；
（3）由（2）及题意易得 ，则有 ， ， ，进而可得 ，然后根据
铅垂法可得 ，则问题可求解．
解：（1）由题意得：
，
∴顶点A的坐标为 ；
（2）由题意得抛物线的对称轴为直线 ，设其与直线BC的交点为F，如图所示：
由抛物线 可得：当y=0时，则有 ，解得： ，
∵抛物线交 轴于点 ，交 轴正半轴于点 ，
∴ ， ， ，
设直线BC的解析式为 ，则把点B、C代入得： ，
解得： ，
∴直线BC的解析式为 ，
∴ ，
由铅垂法可知点B、C的水平距离作为 的水平宽，即为 ，线段AF的长为 的铅垂
高，即为 ，
∴ ，
∵ ，开口向上，且对称轴为直线 ，
∴当 时， 面积随 的增大而增大，
∴当 时， 面积有最大值，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
（3）过点D作DE∥y轴，交CB的延长线于点E，如图所示：由（2）可得直线BC的解析式为 ， ， ，
设直线AB的解析式为 ，则把点A、B代入得： ，
解得： ，
∴直线AB的解析式为 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 ，
∴ ， ， ，
∴直线BC的解析式为 ，
∴根据两点距离公式可得 ， ，∴ ，
设点 ，则有 ，
由铅垂法可知点B、C的水平距离作为 的水平宽，即为 ，线段DE的长作为 的铅
垂高，即为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
当 时，解得 ，
当 时，由一元二次方程根的判别式可得方程无解，
∴综上所述：点 或 ．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握利用铅垂法进行求解面积是解题的关键．
14．（1） ， ；（2）① ；② 或
【分析】
（1）用待定系数法直接求出二次函数的解析式即可；
（2）①根据对称性求出点A的坐标，再求出AA'的解析式，即可求出E点；
②先求出△QCA'面积的最大值，再求出直线BE的解析式，得到△PCA'的面积等于△QCA'面积的
最大值时P'的坐标，即得到x 的值，数形结合即求出此时x 的范围，根据对称性可得P''坐标，即
0 0
可得到满足条件的x 的范围．
0
解：（1）将点A（﹣1，0），B（4，0）代入y x2+bx+c得：
，
解得b ，c＝2，故答案为： ，2；
（2）①如图：
∵A和A′关于直线l的对称点，
∴AC＝A′C，
由抛物线y x2 x+2得C(0，2)，
∴AC ，
设直线BC解析式为y＝mx+n,将B(4，0),C(0，2)代入得：
，解得 ，
∴直线BC为y x+2，
设A′（a， a+2），
∴ ，
解得a＝2，a＝﹣2（不在线段BC上，舍去），
1 2
∴A′（2，1），
由A(﹣1，0)，A'(2，1)可得直线AA′为：y ，
由 解得： ， （舍去），∴E（ ）；
②如图：
由①知；直线BC的解析式：y x+2,
设直线BC的平行线l′ ；
当直线l′与抛物线 相切时，设切点为Q，此时△QCA′的面积达到最大值，
联立直线l′与抛物线解析式可得 ,
整理得： ，
当二者相切时，判别式△＝4+4• 0；
解得n＝4，
∴直线l′的解析式为y x+4；
设直线BE的解析式为y＝kx+b，
2 2
将B(4，0)，E( )代入得：
，解得： ；
∴直线BE：y x ，设直线BE与直线l′交于点P′，联立两直线解析式得：
,
此时P′（ ），此时S ＝S ，
△P′CA′ △QCA′max
为使S ≥S ，x ，
△P′CA′ △QCA′max 0
根据对称性，当直线l'与直线BC的距离等于直线l''与直线BC的距离时，直线l''解析式为y
x,
同理可得P''( ， ),
为使S ≥S ，此时x ，
△P′CA′ △QCA′max 0
综上所述，x 或x ．
0 0
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，其中用待定系数法求解析式是基础，一定要掌握，对称
性的性质也要掌握，包括等腰三角形等在二次函数的综合题里都经常考．
15．（1） ， ；（2） ；（3） 和
【分析】
（1）解方程可求点A、B坐标，并且可以把对称轴表示出来，此时代入解析式表示D点坐标即可；
（2）通过（1）表示出来的点坐标将 与 的求面积过程所需的线段都用含有 的式
子表示出来，根据 与 的面积之比联立方程求解出 的值，进而写出抛物线的表达
式；
（3）点 的位置分在第一象限和第二象限内的抛物线上两种情况来进行讨论．当点 在第一象
限内抛物线上时，通过证明 ，根据对应线段的比例关系可求点 坐标；当点
在第二象限内抛物线上时，通过推导出 ，表示直线 的表达式，再联立方程组求解
出 的坐标．
解：（1）由题意可知抛物线解析式为： ，
令 ，∴ ，解得： ， ，
又∵ ，
∴观察图像可得 ， ，
∴抛物线的对称轴可表示为 ，
将 代入 ，
解得 ，
故 ．
（2）如图，∵ ， ， ， ，且 ，
∴ ， ，
∴ ，
则 是等腰直角三角形，
∴ ，
又 是等腰直角三角形，且 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
则抛物线的表达式为 ．
（3）如图，在（2）的条件下，
∵ ，
∴ ， ，又 ．
①当点 在第一象限内抛物线上时，作 轴，垂足为 ，
设 ，则 ， ，
∵ ，而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
解得 （ 不符题意，舍去），
此时，点 的坐标为 ；
②当点 在第二象限内抛物线上时，记 与 的交点为 ，
∵ ，且 ， ，
∴ ，
则 ，即 ，垂足为 ，
∵ ， ，
∴直线 的表达式为 ，∵ ， ，
∴直线 的表达式为 ，
由
解得 ， （舍去）
∴此时，点 的坐标为 ；
综上，符合条件的点 的坐标为 和 ．
【点拨】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的
性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
16．【概念与理解】 ， ；【猜想与证明】（1） ， ；（2）成立，证明见解析；
【探究与应用】① ；②△COD与△AOB面积之差为 或 ；【联想与拓展】n3=9m3．
【分析】
【概念与理解】：根据题意信息即可得出答案；
【猜想与证明】：（1）当x=1时，求出A，B，C，D的坐标进而得出AB ,CD即可得出答案；当
x=2时，求出A，B，C，D的坐标进而得出AB ,CD即可得出答案；
（2）任意x（x＞0），求出A，B，C，D的坐标进而得出AB ,CD即可得出答案；
【探究与应用】：①根据已知条件表示出△AOB与△COD面积即可得出答案；
②设M（x，0）（x＞0），根据已知条件可得出 ，分两种情况当△AOB是直
角三角形时解得 ，当△COD是直角三角形时，解得 ，把 代入即可；
【联想与拓展】：根据题意求出AEDF的坐标然后表示出面积再利用△PAE与△PDF面积的比值1:3，即可得出关系式；
解：【概念与理解】
∵y=4x2
1
∴由题意可得C ：
1
∵y=x2
2
∴由题意可得C ：
2
故答案为：C ： ，C ： ；
1 2
【猜想与证明】
（1）当x=1时，
∵点A、B在抛物线C 上
1
∴令x=1，则
∴A ，B
∴AB=1
∵点C、D在抛物线C 上
2
∴令x=1，则
∴C ，D
∴CD=2
∴ =
当x=2时，
∵点A、B在抛物线C 上
1
∴令x=2，则
∴A ，B∴AB=
∵点C、D在抛物线C 上
2
∴令x=2，则
∴C ，D
∴CD=
∴ =
（2）对任意x（x＞0）上述结论仍然成立
理由如下：
对任意x（x＞0），
∴A ，B
∴AB=
对任意x（x＞0），
∴C ，D
∴CD=
∴ =
【探究与应用】
①连接OA，OB，OC，OD∴
故答案为：
②设M（x，0）（x＞0），
∵M（x，0）
∴
∴AB=∵M（x，0），
∴
∴CD=
∵
∴
当△AOB是直角三角形时，由题意可知OA=OB
∴△△AOB为等腰直角三角形
∴OM=AM
∴
解得：
∴
当△COD是直角三角形时，由题意可知OD=OC
∴△△COD为等腰直角三角形
∴OM=CM
∴
解得：
∴
综上所述：△COD与△AOB面积之差为 或
【联想与拓展】
∵M（k，0）且点A、B在抛物线C 上
3
∴令x=k，则
∴A∵AE∥x轴，且交C 于点E
4
∴E
∵M（k，0）且点C、D在抛物线C 上
4
∴令x=k，则
∴D
∵DF∥x轴，且交C 于点F
3
∴F
∵AE∥x轴，且交C 于点E
4
∴△PEA的高=
∵DF∥x轴，且交C 于点F
3
∴△PDF的高=
∴
∵△PAE与△PDF面积的比值1:3
∴
∴
∴
故答案为：
【点拨】本题考出了抛物线性质的综合运用以及旋转等知识，由特殊到一般的数学思想的运用，等腰直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，轴对称的性质的运用，在解答本题时
运用两个抛物线上的点的特征不变建立方程求解是关键．
