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专题2.15 《实数》全章复习与巩固（专项练习）
一、单选题
1．实数 ， ， ， ， 中，无理数的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．若a＋1和－5是实数m的平方根，则a的值是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4或－6
3．已知 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．无理数 的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5．实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示．如果 ，那么下列结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．
6．下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
7．若 的两边长 ， 满足 ，则第三边的长是（ ）
A．5 B． C．5或7 D．5或
8． 的算术平方根等于（ ）
A．9 B． C．3 D．
9．若9﹣ 的整数部分为a，小数部分为b，则2a+b等于（ ）A．12﹣ B．13﹣ C．14﹣ D．15﹣
10．已知 表示取三个数中最小的那个数，例如：当 ，
．当 时，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
11．已知：a＝ ，b＝ ，则a与b的关系是（ ）
A．a－b＝0 B．a＋b＝0 C．ab＝1 D．a2＝b2
12．化简 的结果为（ ）
A． B．30 C． D．30
二、填空题
13．在 中无理数的个数是_______个．
14．计算： _________．
15．方程 的根是__________．
16．写出一个比 大且比 小的整数_____________
17．实数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，化简 __________．18．计算 的结果为______．
19．在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是
格点的三角形和矩形分别称为格点三角形和格点矩形．如图，已知 是 网格
图形中的格点三角形，则在该网格图形中，与 面积相等的格点矩形的周长所有可
能值是_________．
20． 的四次方根是__________．
21．一个正数a的两个平方根是 和 ，则 的立方根为_______．
22．公元3世纪，我过古代数学家就能利用近似公式 得到无理数的近似
值，例如： 化为 ，再由近似公式得到 ，若利用此公式
计算 的近似值时， 取正整数，且 取尽可能大的正整数，则 ____________．
23．我们知道，同底数幂的除法法则为 （其中a≠0，m，n为正整数），类
似地，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算： 其中f
（m），f（n）都为正数），请根据这种新运算填空：
（1）若f（2）＝4，f（3）＝8，则f（1）＝_______；
（2）若f（2000）＝k，f（2）＝4，那么f（500）＝______（用含k的代数式表示，其中k＞0）．
24．观察下列各等式：① ；② ；③ …根据
以上规律，请写出第5个等式：______．
三、解答题
25．对于一个实数 （ 为非负实数），规定其整数部分为 ，小数部分为 ，例如：当
时，则 ， ；当 时，则 ， ．
（1）当 时， ；当 时， ；
（2）若 ， ，则 ；
（3）当 时，求 的值．
26．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ．
27．观察下列等式：
；；
；
按照上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第6个等式：________________；
（2）请写出第n个等式：________________；
（3）求 的值．
28．阅读下面的解题过程:化简:
= - .
请回答下列问题.
(1)按上述方法化简 ;
(2)请认真分析化简过程,然后找出规律,写成一般形式.参考答案
1．A
【分析】
分别根据无理数、有理数的定义即可判定各项．
【详解】
−1，是整数，不是无理数，
0.4，是小数，不是无理数，
，是分数，不是无理数，
，−π，是无理数，共2个，
故选：A．
【点拨】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循
环小数为无理数．如π， ，0.8080080008 （每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．D
【分析】
根据平方根的定义可得两个关于 的一元一次方程，解方程即可得．
【详解】
解：由题意得： 或 ，
解得 或 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的定义是解题关键．
3．C
【分析】
先根据立方根的定义求出 的值，再根据算术平方根的定义即可得．
【详解】
解： ，，
解得 ，
则 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了立方根与算术平方根、一元一次方程的应用，熟练掌握立方根与算术
平方根的定义是解题关键．
4．C
【分析】
先计算出（ ）2的值为24，把24夹逼在两个相邻正整数的平方之间，再写出 的范
围即可．
【详解】
解：（ ）2=22×（ ）2=4×6=24，
∵16＜24＜25，
∴4＜ ＜5．
故选：C．
【点拨】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，求出（ ）2是解题的关
键．
5．C
【分析】
根据a+b=0，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．
【详解】
解：∵a+b=0，
∴原点在a，b的中间，
如图，由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，abc＜0， ，
故选：C．
【点拨】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．
6．D
【分析】
根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的
因数或因式逐一判断即可得．
【详解】
解：A、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
【点拨】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
7．D
【分析】
先求出a和b的值，再设第三边为x，讨论斜边情况，利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】
解：∵
又∵ ,
∴
∴
设第三边长为x，由 则共有以下两种情况：①当 时，
②当 时，由 所以 ，
∴第三边长是5或 ；
故选：D．
【点拨】本题考查了平方和算术平方根的非负性特点、利用平方根解方程以及勾股定理的
应用，解题关键是牢记它们的“非负性”，理解并能运用勾股定理求直角三角形的边等，
该题属于中等难度题目，易错点是学生容易误选A，该题蕴含了分类讨论的思想方法等．
8．C
【分析】
根据立方根、算术平方根的定义求解即可．
【详解】
解：因为 ，
所以 =9，
因此 的算术平方根就是9的算术平方根，
又因为9的算术平方根为3，即 ，
所以 的算术平方根是3，
答案：C．
【点拨】本题考查了立方根、算术平方根的定义，理解立方根、算术平方根的意义是得出
答案的关键．
9．C
【分析】
先估算 的大小，再估算9﹣ 的大小，进而确定a、b的值，最后代入计算即可．
【详解】
解：∵3＜ ＜4，∴﹣4＜﹣ ＜﹣3，
∴5＜9﹣ ＜6，
又∵9﹣ 的整数部分为a，小数部分为b，
∴a＝5，b＝9﹣ ﹣5＝4﹣ ，
∴2a+b＝10+（4﹣ ）＝14﹣ ，
故选：C．
【点拨】本题考查估算无理数，掌握无理数估算的方法是解决问题的前提，理解无理数的
整数部分和小数部分的表示方法是得出正确答案的关键．
10．B
【分析】
分别计算 ， ， 的 值，找到满足条件的 值即可．
【详解】
解：当 时， ， ，不合题意；
当 时， ，当 时， ，不合题意；当 时， ，
，符合题意；
当 时， ， ，不合题意，
故选B．
【点拨】本题主要考查实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类
思想的运用．
11．C
【分析】先分母有理化求出a、b，再分别代入求出ab、a+b、a-b、a2、b2各个式子的值，即可得出
选项．
【详解】
解：分母有理化，可得a=2+ ，b=2- ，
∴a-b=（2+ ）-（2- ）=2 ，故A选项错误，不符合题意；
a+b=（2+ ）+（2- ）=4，故B选项错误，不符合题意；
ab=（2+ ）×（2- ）=4-3=1，故C选项正确，符合题意；
∵a2=（2+ ）2=4+4 +3=7+4 ，b2=（2- ）2=4-4 +3=7-4 ，
∴a2≠b2，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了分母有理化的应用，能求出每个式子的值是解此题的关键．
12．C
【详解】
先把根号里因式通分，然后分母有理化，可得 = = ，
故选C．
点睛：此题主要考查了二次根式的化简，解题关键是利用分数的通分求和，然后把其分母
有理化即可求解，比较简单，但是易出错，是常考题.
13．1
【分析】
根据无理数的概念结合有理数的概念逐一进行判断即可．
【详解】
解：0整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是
无限不循环小数，是无理数； 是有理数，
所以无理数有1个．故答案为：1
【点拨】本题考查了无理数的定义，辨析无理数通常要结合有理数的概念进行：初中范围
内学习的无理数主要有三类：①含 的一部分数，如 等；②开方开不尽的数，如
等；③虽有规律但是无限不循环的数，如0.1010010001…，等．
14．1
【分析】
根据负整数指数幂运算法则、算术平方根的运算进行计算即可．
【详解】
解： ﹣2+3=1，
故答案为：1．
【点拨】本题考查负整数指数幂、算术平方根，熟练掌握运算法则是解答的关键．
15．x=2
【分析】
首先整理方程得出x3=8，进而利用立方根的性质求出x的值．
【详解】
解：x3-8=0，
x3=8，
解得：x=2．
故答案为：x=2．
【点拨】此题主要考查了立方根的性质，正确由立方根定义求出是解题关键．
16．答案不唯一，2或3均可
【分析】
先确定 和 的整数部分，在选择符合条件的整数即可．
【详解】
解： ， ，
比 大比 小的整数是2或3，故答案为：2或3．
【点拨】本题主要考查估算无理数的大小，估算无理数大小要用逼近法．思维方法：用有
理数逼近无理数，求无理数的近似值．
17．
【分析】
结合数轴判断a-b和a+c的正负，去根号和绝对值化简即可．
【详解】
由题意可得： ， ，
∴
；
故答案为：-b-c；
【点拨】此题考查的是算术平方根和绝对值的性质，掌握绝对值的性质和算术平方根的非
负性是解题的关键．
18．
【分析】
先计算乘方，再计算减法即可得到答案．
【详解】
解： = ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查二次根式的化简，正确掌握有理数的乘方计算法则是解题的关键．
19．10或
【分析】
由图可得AB、BC、AC的长度，判定三角形ABC是直角三角形，在计算 面积，
再求格点矩形长和宽，再计算出周长.
【详解】解：由题干可得： ， , ，
即 , ,
令矩形的长为a（0＜a＜5），宽为b（0＜b＜5），即ab=6,
当a=1时，则b=6，不符合题意；
当a=2时，则b=3，符合题意，格点矩形的周长=2+2+3+3=10；
当a=3时，则b=2，符合题意，格点矩形的周长=2+2+3+3=10；
当a=4时，则b=1.5，不符合题意；
当a= 时，则b=3 ，符合题意，格点矩形的周长= + +3 +3 =8 ；
当a=5时，则b=1.2，不符合题意.
故答案为：10或 ．
【点拨】本题考查了勾股定理和格点矩形的周长，理解格点矩形的含义是解题的关键．
20．
【分析】
根据分数指数幂的定义直接求解即可
【详解】
解：∵
∴ 的四次方根是：
故答案为：
【点拨】本题考查开方运算的概念，乘方与开方的关系，熟练进行乘方的计算是关键
21．2
【分析】
根据一个正数的平方根互为相反数，将 和 相加等于0，列出方程，解出b，再将b代入任意一个平方根中，进行平方运算求出这个正数a，将 算出后，求立方根即
可．
【详解】
∵ 和 是正数a的平方根，
∴ ，
解得 ，
将b代入 ，
∴正数 ，
∴ ，
∴ 的立方根为： ，
故填：2．
【点拨】本题考查正数的平方根的性质，求一个数的立方根，解题关键是知道一个正数的
两个平方根互为相反数．
22．4.125
【分析】
先把 化为 ，再根据近似公式 得出 ，然后进
行计算即可得出答案．
【详解】
解：根据题意得： 化为 ，
由近似公式得到
故答案为： ．【点拨】本题考查了无理数的估算，熟练掌握近似公式 是解题的关键．
23．
【分析】
（1）由新运算法则直接求解；
（2）同过新定义的运算法则，推导出前几项的结果，同过前几项发现规律，利用规律来解
答．
【详解】
解：（1）根据新运算： ，
，
故答案是： ．
（2）
根据规律得：
，
故答案是： ．
【点拨】本题考查了新定义运算法则，解题的关键是：理解新定义的运算法则，从运算中
找到规律，用来解答．24．
【分析】
根据左边根号外的因数与根号内的分子相同，根号内的分母为分子平方与1的差，右边根
号内为左边根号外与根号内两数之和，即可找到其中规律，从而写出第n个等式，再将
n=6代入即可求出答案．
【详解】
解：猜想第n个为：
（n为大于等于2的自然数）；
理由如下：
∵n≥2，
∴
添项得：
，
提取公因式得：
分解分子得：
；
即：
；
第5个式子，即n=6，代入得：，
故填： ．
【点拨】本题考查二次根式的计算，需要通过观察分析和寻求规律、归纳和论证的抽象思
维能力，得出一般性的结论；解答此题的关键是仔细观察、细致分析，局部找规律，整体
找关系．
25．（1） ； ；（2） ；（3） ．
【分析】
（1）由 ，可得 =3，b=π，由 ，可得 ，可求
，可得 =3，b= 3；
（2）由 ， ， 可得 ；
（3）由 ， 可得 ，可求 ，可求 ，
代入计算即可．
【详解】
解：（1）当m=π时，
∵ ，
∴ =3，b=π，
当 m＝ 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ =3，b= 3，
故答案为：b=π；3；
（2）当 ， ，
∴ ，
故答案为： ；
（3）当 m＝9 + 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求出各无理数的范围．
26．（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5）
【分析】
（1）利用二次根式的加减乘除运算法则计算即可；
（2）先计算负整指数幂、绝对值、化简二次根式然后合并即可；
（3）先计算负整指数幂、绝对值、立方根然后合并即可；
（4）利用二次根式的加减乘除运算法则计算即可；
（5）利用平方差公式计算即可；
【详解】解：（1）原式=3 -6 -3 =-6 ；
（2）
；
（3）
；
（4）原式＝4- -
＝4- ；
（5）原式＝
=
＝
【点拨】本题考查了二次根式的加减乘除运算、负整指数幂、平方差公式等知识，熟练掌
握法则是解题的关键．
27．（1） ；（2）
；（3）
【分析】
（1）（2）从等式中找出规律，比如第三个等式：3×2-1=5，3×2+1=7，3就是a 的3，5就
3是 ，7就是 ，即可得出答案；
（3）根据上面的规律得出
通分，观察分子中的项，互为相反数相
加得0便可解出．
【详解】
解：（1）观察，如 的下标3，与 中被开方数，5和7得出：3×2-1=5，
3×2+1=7，即7等于下标的2倍加1，5等于下标的2倍减1；
，
故答案是： ；
（2）由（1）知，第n个等式的下标是n，被开方数分别为2n+1，2n-1，所以第n个等式
，
故答案是： ；
