文档内容
专题 25 椭圆（七大题型+模拟精练）
目录：
01 椭圆的定义
02 椭圆的标准方程
03 椭圆的焦点、焦距、离心率等
04 直线与椭圆
05 焦点弦、弦长问题
06 中点弦问题
07 椭圆的综合应用
01 椭圆的定义
1．已知 是椭圆 ： 上一点， ， 分别为 的左、右焦点，则 （ ）
A．8 B．6 C．4 D．3
2．已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 为 上一点，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．5 D．6
3．已知 、 ，动点 满足 ，则点 的轨迹是 （ ）
A．椭圆 B．圆 C．直线 D．线段
4．已知点 为椭圆 上一点， 为该椭圆的两个焦点，若 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．13
5．已知点 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点P在此椭圆上，则 的周长等于（ ）
A．16 B．20 C．18 D．14
02 椭圆的标准方程
6．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 ， ，则椭圆的标准方程
为 ．
7．若抛物线 的焦点是椭圆 的一个顶点，则 的值为
8．若 为椭圆 上一点， ， 为 的两个焦点，且 ，则 ．
9．已知 为椭圆 的两焦点，P为椭圆C上一点，若 的最大值为3，且焦距
为2，则椭圆C的方程为10．经过椭圆M： 的左焦点和上顶点的直线记为l.若椭圆M的中心到直线l的距离等
于2，且短轴长是焦距的2倍，则椭圆M的方程为 .
11．设 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点且在第二象限．若 为等腰三角形，
则点 的坐标为 ．
12．已知F为椭圆 的右焦点，P为C上的一点，若 ，则点P的坐标为 ．
03 椭圆的焦点、焦距、离心率等
13．已知椭圆 的左、右焦点为 ，右顶点为 为 上一动点（不与左、右
顶点重合），设 的周长为 ，若 ，则 的离心率为 ．
14．已知椭圆C的左焦点为F，右顶点为A，上顶点为B，若 为等腰三角形，则C的离心率为 ．
15．已知椭圆 的上顶点为 ，左焦点为 ，线段 的中垂线与 交于 两点，则
的周长为 ．
16．已知椭圆 的左、右焦点分别为 为 上一动点，则 的取值范围是
．
17．已知 分别为椭圆 的左､右焦点， 为椭圆上一点且 ，则 的面积为
.
18．已知椭圆 的两个焦点 ， ，点 在椭圆上，且 ，则 ．
19．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，上顶点为 ，过 作 的垂线，与
轴交于点 ，若 ，则椭圆 的离心率为 ．
20．已知椭圆 ： 的离心率为 ，F是椭圆C的右焦点，P为椭圆C上任意一点，
的最大值为 ．设点 ，则 的最小值为 ．
21．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，长轴长为 ，过点 且斜率为
的直线与椭圆 交于点 ，且 ，则 = ．
22．已知直线 ： 与椭圆 ： 有公共点，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
04 直线与椭圆
23．直线l： 与椭圆C： 的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
24．已知直线 与椭圆 恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
25．若直线 和圆 没有交点，则过点 的直线与椭圆 的交点个
数为（ ）
A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个
05 焦点弦、弦长问题
26．椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆上且 轴，则 到直线 的距离为（ ）
A． B．3 C． D．
27．已知椭圆 的左、右顶点分别是 是坐标原点， 在椭圆 上，且 ，则
的面积是（ ）
A． B．4 C． D．8
28．已知斜率为1的直线 过椭圆 的右焦点，交椭圆于 两点，则弦 的长为（ ）
A． B． C． D．
29．过椭圆 的一个焦点 作弦 ，若 ， ，则 的数值为
（ ）
A． B． C． D．与弦 斜率有关
30．已知F1 ，F2 分别是椭圆 的左，右焦点，点A，B是椭圆C上异于长轴端点的两点，且
满足 ，则下列结论错误的是（ ）
A． ABF2 的周长为定值 B．AB的长度最小值为2
C．若△ AB AF2 ，则 D．λ的取值范围是
06 中 ⊥ 点弦问题31．已知过椭圆 左焦点F且与长轴垂直的弦长为 ，过点 且斜率为-1的
直线与 相交于 两点，若 恰好是 的中点，则椭圆 上一点 到 的距离的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．
32．已知椭圆 ， 是椭圆 的一条弦 的中点，点 在直线
上，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
33．不与坐标轴垂直的直线 过点 ， ，椭圆 上存在两点 关于
对称，线段 的中点 的坐标为 ．若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
34．已知椭圆 的离心率为 ，过点 的直线与椭圆C交于A，B两点，且
满足 ，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则 的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
35．椭圆 ，M，N是椭圆上关于原点对称的两动点，P为椭圆上任意一点，直线 ， 的斜
率分别为 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
36．已如椭圆 的左，右两焦点分别是 ，其中 ，直线
与椭圆交于A，B两点．则下列说法中正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 的中点为M，则
C． 的最小值为
D． ，则椭圆的离心率的取值范围是
07 椭圆的综合应用
37．已知椭圆 的右焦点为 ，且该椭圆过点 ，直线l交椭圆E于
A，B两点.(1)求椭圆E的方程；
(2)若AB的中点坐标为 ，求直线l的方程；
(3)若直线l方程为 ，过A、B作直线 的垂线，垂足分别为P、Q，点R为线段
PQ的中点，求证：四边形ARQF为梯形.
38．已知椭圆 ，直线 与椭圆 相交于 两点， 为线段 的中点.
(1)设直线 的斜率为 ，已知 ，求证： ；
(2)直线 不与坐标轴重合且经过 的左焦点 ，直线 与椭圆 相交于 两点，且
，求直线 的方程.
39．已知椭圆 的焦距为2，不经过坐标原点 且斜率为1的直线 与 交于P，Q
两点， 为线段PQ的中点，直线 的斜率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 ，直线PB与 的另一个交点为 ，直线QB与 的另一个交点为 ，其中 ， 均不为椭
圆 的顶点，证明：直线MN过定点.
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）若椭圆 的长轴长为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏南京·二模）设 分别为椭圆 的左，右焦点， 为椭圆上一点，
直线 与以 为圆心、 为半径的圆切于点 为坐标原点 ，且 ，则椭圆 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·青海海西·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 的射线分别与
椭圆 和圆 相交于点 ，过点 作 ，垂足为 为坐标原点，则
（ ）
A． B． C．2 D．4．（2024·浙江绍兴·三模）已知 ， 为曲线 ： 的焦点，则下列说法错误的是
（ ）
A．若 ，则曲线 的离心率
B．若 ，则曲线 的离心率
C．若曲线 上恰有两个不同的点 ，使得 ，则
D．若 ，则曲线 上存在四个不同的点 ，使得
5．（2023·安徽合肥·三模）已知 为坐标原点，椭圆 ： ，平行四边形 的三
个顶点A， ， 在椭圆 上，若直线 和 的斜率乘积为 ，四边形 的面积为 ，则椭圆
的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，M为 的上顶
点，P，N是椭圆 上不同于M的两点，若 是以M为直角顶点的等腰直角三角形，则满足条件的
有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2023·江西九江·二模）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷
器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似
看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的
长筷子
在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为 ，盘子的中心为 ，筷子与大椭圆的两交点为 、 ，点
关于 的对称点为 ．给出下列四个命题：
①两椭圆的焦距长相等；
②两椭圆的离心率相等；
③ ；
④ 与小椭圆相切.
其中正确的个数是（ ）A． B． C． D．
8．（2024·湖南长沙·二模）设椭圆 与双曲线 有相同
的焦距，它们的离心率分别为 ， ，椭圆 的焦点为 ， ， ， 在第一象限的交点为 ，若点
在直线 上，且 ，则 的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
二、多选题
9．（2024·四川·一模）已知椭圆 的左顶点为 ，左、右焦点分别为 ，过点 的直线与
椭圆相交于 两点，则（ ）
A．
B．
C．当 不共线时， 的周长为
D．设点 到直线 的距离为 ，则
10．（2023·河南·模拟预测）已知椭圆 的上顶点为 ，右顶点为A，左、右
焦点分别为 ， ．若P为C上与点A，B不重合的动点，直线PA与y轴交于点M，直
线PB
与x轴交于点N，则（ ）
A．C的方程为 B． 面积的最大值为2
C．坐标原点O到直线AB的距离为 D．
11．（2023·全国·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ， 为椭圆的左、右顶点， 为椭圆
的左、右焦点， 是椭圆上异于 的任意一点，过 作直线 的垂线，垂足为 ，直线 交
于点 ，交椭圆于 两点， 的面积最大值为12，则（ ）
A． △
B．若 ，则 的最大值为C． 在圆上运动
D．
三、填空题
12．（2024·山东·二模）已知椭圆 的焦点分别是 ， ，点 在椭圆上，如果
，那么点 到 轴的距离是 .
13．（2024·西藏·模拟预测）已知椭圆 ： 的离心率为 ，F是椭圆C的右焦点，P
为椭圆C上任意一点， 的最大值为 ．设点 ，则 的最小值为 ．
14．（2024·山东淄博·二模）“若点P为椭圆上的一点， 为椭圆的两个焦点，则椭圆在点 处的切线
平分 的外角”，这是椭圆的光学性质之一．已知椭圆 ，点P是椭圆上的点，在点 处
的切线为直线 ，过左焦点 作 的垂线，垂足为 ，设点 的轨迹为曲线 ．若 是曲线 上一点，
已知点 ，则 的最小值为 ．
四、解答题
15．（2024·广东梅州·二模）已知椭圆C： （ ）的离心率为 ，且经过点 ．
(1)求椭圆C的方程：
(2)求椭圆C上的点到直线l： 的距离的最大值．
16．（2024·广东·二模）已知双曲线 的焦点与椭圆 的焦点重合，其渐
近线方程为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若 为双曲线 上的两点且不关于原点对称，直线 过 的中点，求直线 的斜率.
17．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重
合，离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率为 的直线交椭圆 于 两点，求弦 中点坐标.18．（2024·江苏苏州·模拟预测） 已知椭圆 与圆 在第一、第
二象限分别交于 Q、P 两点，且满足
(1)求椭圆γ的标准方程；
(2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值.
19．（2023·四川绵阳·三模）在平面直角坐标系 中：①已知点 ， 直线 ，动点 满
足到点 的距离与到直线 的距离之比 ；②已知点 分别在 轴， 轴上运动， 且 ， 动点
满 ； ③已知圆 的方程为 ， 直线 为圆 的切线， 记点
到直线 的距离分别为 ， 动点 满足 ．
(1)在①，②，③这三个条件中任选一个， 求动点 的轨迹方程；
(2)记 （1）中动点 的轨迹为 ， 经过点 的直线 交 于 两点， 若线段 的垂直平分
线与 轴相交于点 ， 求点 纵坐标的取值范围．
