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专题 2.15 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与性质（专项练习
2）
一、单选题
1．函数y＝kx﹣k与y＝kx2的图像大致是( )
A． B． C． D．
2．在同一直角坐标系中，函数 与 的图像大致如图（ ）
A． B． C． D．
3．一次函数y＝ax+c（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系的图像可能
是（ ）
A． B． C． D．
4．在同一直角坐标系中，a≠0，函数y＝ax与y＝ax2的图像可能正确的有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知函数y=ax+b的大致图像如图所示，那么二次函数y=ax2+bx+1的图像可能是A． B． C． D．
6．函数 与 在同一平面直角坐标系内图像大致是
A． B． C． D．
7．如图，抛物线y＝a（x+2）2﹣3与y＝ （x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平
1 2
行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结沦：①无论x取何值，y 的值总是正数；②2a＝
2
1；③当x＝0时，y﹣y＝4；④2AB＝3AC；其中正确结论是（ ）
2 1
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋b与y＝bx2＋ax的图像可能是( )A．A B．B C．C D．D
9．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和抛物线y＝ x2
（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛物线y
＝x2于点D，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．在同一平面直角坐标系中，若抛物线 与
关于x轴对称，则符合条件的m，n的值为（ ）
A． B． C． D．
11．如果两个不同的二次函数的图像相交，那么它们的交点最多有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个12．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点
（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；
④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，
0)，其部分图像如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x＝－1，x
1 2
＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．
其中结论正确的个数是( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：
①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．如图，抛物线 的对称轴是 ．下列结论：① ；② ；③ ；④ ，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
16．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）
与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③
若点M（ ，y），点N（ ，y）是函数图像上的两点，则y＜y；④﹣ ＜a＜﹣ ．其中
1 2 1 2
正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
17．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B
在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0
②4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④ ＜a＜ ⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤18．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②b0；④2c–3b<0；⑤a+b>n（an+b）（n≠1），其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
19．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图，下列结论正确的是( )
A．a<0 B．b2－4ac<0 C．当－10D．－ =1
20．已知点A(﹣3，y)，B(2，y)均在抛物线y＝ax2+bx+c上，点P(m，n)是该抛物线的顶点，若
1 2
y＞y≥n，则m的取值范围是( )
1 2
A．﹣3＜m＜2 B．﹣ ＜m＜- C．m＞﹣ D．m＞2
21．若方程 ax2+bx+c=0 的两个根是﹣3 和 1，那么二次函数 y=ax2+bx+c 的图像的对称轴是
直线（ ）
A．x=﹣3 B．x=﹣2 C．x=﹣1 D．x=1
22．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，对称轴为直线x＝1．有下列4个
结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③2c＜3b；④a+b＞m（am+b）（m是不等于1的实数）．其
中正确的结论个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
23．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：则下列说法错误的是（ ）
x … -1 0 1 2 3 …
y … …
A．二次函数图像与x轴交点有两个
B．x≥2时y随x的增大而增大
C．二次函数图像与x轴交点横坐标一个在－1~0之间，另一个在2~3之间
D．对称轴为直线x=1.5
24．抛物线 与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴是直线 ，其部分
图像如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
25．二次函数 （ ）的图像如图所示，对称轴为 ，给出下列结论：①； ②当 时， ；③ ；④ ，其中正确的结论有__________．
26．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线
向右平移2个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c，则下列结论正确的是_________．（写出所有正
1 1 1
确结论的序号）
①b＞0；②a﹣b+c＜0；③阴影部分的面积为4；④若c=﹣1，则b2=4a．
27．二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图，对称轴是直线x＝﹣1，有以下结论：①abc＞0；②4ac
＜b2；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＞0；⑤9a﹣3b+c＞0．其中正确的结论有_____．
28．如图是抛物线 图像的一部分，抛物线的顶点坐标为 ，与 轴的
一个交点为 ，点 和点 均在直线 上.① ；② ；③
抛物线与 轴的另一个交点时 ；④方程 有两个不相等的实数根；⑤
；⑥不等式 的解集为 .上述六个结论中，其中正确的结论是_____________.（填写序号即可）
29．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b＜
a+c；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论有_____．（填序号）
30．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图，有下列6个结论：
①abc＜0；
②b＜a﹣c；
③4a+2b+c＞0；
④2c＜3b；
⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）
⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有_____．
31．二次函数 的图像与x轴相交于 ， 两点，则该抛物线的对称轴
是________．
32．在平面直角坐标系中，已知 和 是抛物线 上的两点，将抛物线 的图像向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图像与x轴没有交点，则
n的最小值为_____．
33．抛物线y=ax2+bx+3与x轴的公共点是（﹣3，0），（5，0），该抛物线的对称轴是直线
_____．
34．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且与x轴的一个交点为（3，0），那
么它对应的函数解析式是__．
35．二次函数y＝ax2+bx+c的图像与x轴相交于（﹣1，0）和（5，0）两点，则该抛物线的对称
轴是_____．
36．已知函数图像如图所示，根据图像可得：
（1）抛物线顶点坐标_____．
（2）对称轴为_____．
（3）当_____时，y随着x得增大而增大
（4）当_____时，y＞0．
三、解答题
37．已知抛物线 经过点 ，与 轴交于点 ．
求这条抛物线的解析式；如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形 的面积最大时，求点 的
坐标；
如图2，线段 的垂直平分线交 轴于点 ，垂足为 为抛物线的顶点，在直线
上是否存在一点 ，使 的周长最小？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
38．如图1，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B，与y轴交于C，抛物线的顶点为D，直线l
过C交x轴于E（4，0）．
（1）写出D的坐标和直线l的解析式；
（2）P（x，y）是线段BD上的动点（不与B，D重合），PF⊥x轴于F，设四边形OFPC的面积
为S，求S与x之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）点Q在x轴的正半轴上运动，过Q作y轴的平行线，交直线l于M，交抛物线于N，连接
CN，将△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′．在图2中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在
y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．39．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）当 时，
①抛物线 的对称轴为 ______；
②若在抛物线 上有两点 ， ，且 ，则 的取值范围是______；
（2）抛物线 的对称轴与 轴交于点 ，点 与点 关于 轴对称，将点 向右平移3个
单位得到点 ，若抛物线 与线段 恰有一个公共点，结合图像，求 的取值范围．40．已知抛物线 与 轴交于点 ，其关于 轴对称的抛物线为 ： ，且
经过点 和点 ．
（1）求抛物线 的解析式；
（2）将抛物线 沿 轴向右平移得到抛物线 ，抛物线 与 轴的交点记为点 和点 （
在 的右侧），与 轴交于点 ，如果满足 与 相似，请求出平移后抛物线
的表达式．
41．已知抛物线y=a(x−3) 2+2经过点（1，-2）．
（1）求a的值；
（2）若点A（m，y）、B（n，y）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y 与y 的大小．
1 2 1 2
42．如图，抛物线 与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点
C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线AF的解析式；
（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，
说明理由．参考答案
1．B
【解析】
【分析】
由选项中的二次函数图像可得k＞0，可判定出一次函数的正确图像．
解：由选项中的二次函数图像可得k＞0，
所以y＝kx﹣k过一，三，四象限．
故选：B．
【点拨】
本题主要考查了二次函数及一次函数的图像，解题的关键是熟记二次函数及一次函数的图像的特
征．
2．C
【分析】
根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断．
解：A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，该选项错误；
B、由抛物线可知，a<0，由直线可知，a＞0，该选项错误；
C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b<0，该选项正确；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b>0，该选项错误．
故选C．
【点拨】
本题考查了一次函数和二次函数的图像．解答该题时，一定要熟记一次函数、二次函数的图像的
性质．
3．D
【分析】
根据直线和抛物线解析式知y＝ax+c与y＝ax2+bx+c与y轴交于同一点（0，c），据此可得．
在y＝ax+c中，当x＝0时，y＝c，∴y＝ax+c与y轴的交点为（0，c）；
在y＝ax2+bx+c中，当x＝0时，y＝c，∴y＝ax2+bx+c与y轴的交点为（0，c），则y＝ax+c与y
＝ax2+bx+c与y轴交于同一点（0，c）．
故选D．【点拨】
本题考查了二次函数的图像和一次函数的图像，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
4．C
【分析】
分a＞0和a＜0时，分别判断两函数的图像即可求得答案．
解：当a＞0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而增大，函数y＝ax2开口向上，故①正确，④错
误；
当a＜0时，则函数y＝ax中，y随x的增大而减小，函数y＝ax2开口向下，故③不正确，②正确；
∴两函数图像可能是①②，
故选：C．
【点拨】
本题主要考查了一次函数的图像和二次函数的图像，掌握一次函数的图像和二次函数的图像是解
题的关键.
5．D
【分析】
根据y=ax+b的函数图像得到a>0，b<0，即可确定二次函数y=ax2+bx+1的图像.
根据一次函数的图像可得a>0，b<0．则二次函数开口向上，对称轴在y轴的右侧．
故选D．
【点拨】
此题考查函数图像与系数之间的关系.
6．B
【解析】
【分析】
根据一次函数和二次函数的性质分别判断即可得．
解：当 时， 的图像是抛物线，顶点在原点，开口向下，
函数 的图像是一条过 和 的直线，在第二、三、四象限，
符合条件的是B选项，
故选：B．
【点拨】
本题主要考查二次函数的图像，解题的关键是掌握一次函数和二次函数图像与其系数间的关系．7．D
【解析】
试题解析：：①∵抛物线y= （x-3）2+1开口向上，顶点坐标在x轴的上方，∴无论x取何值，
2
y 的值总是正数，故本结论正确；
2
②把A（1，3）代入，抛物线y=a（x+2）2-3得，3=a（1+2）2-3，解得a= ，故本结论错误；
1
③由两函数图像可知，抛物线y=a（x+2）2-3解析式为y= （x+2）2-3，当x=0时，y=
1 1 1
（0+2）2-3=- ，y= （0-3）2+1= ，故y-y= + = ，故本结论错误；
2 2 1
④∵物线y=a（x+2）2-3与y= （x-3）2+1交于点A（1，3），
1 2
∴y 的对称轴为x=-2，y 的对称轴为x=3，
1 2
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本结论正确．
故选D．
8．D
【分析】
根据两个函数的开口方向及第一个函数与y轴的交点，第二个函数的对称轴可得相关图像．
解：A、两个函数的开口方向都向上，那么a＞0，b＞0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y
轴交于正半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
B、两个函数的开口方向都向下，那么a＜0，b＜0，可得第一个函数的对称轴是y轴，与y轴交
于负半轴，第二个函数的对称轴在y轴的左侧，故本选项错误；
C、D、两个函数一个开口向上，一个开口向下，那么a，b异号，可得第二个函数的对称轴在y
轴的右侧，故C错误，D正确．
故选D．【点拨】
本题考查二次函数图像的性质，用到的知识点为：二次函数的二次项系数大于0，开口方向向上，
小于0，开口方向向下；二次项系数和一次项系数同号，对称轴在y轴的左侧，异号在y轴的右
侧；一次项系数为0，对称轴为y轴；常数项是二次函数与y轴交点的纵坐标．
9．C
【解析】
【分析】
设A（m，m2），则B（m， m2），根据题意得出C（2m，m2），D（ m， m2），即可求得
BD＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，从而求得 ＝ ．
设A（m，m2），则B（m， m2），
∵AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，BD∥x轴交抛物线y＝x2于点D，
∴C（2m，m2），D（ m， m2），
∴BD＝m﹣ m＝ m，AC＝2m﹣m＝m，
.
故选C．
【点拨】
本题考查了二次函数图像上点的坐标特征.根据特征表示出A、B、C、D点的坐标是解题的关键．
10．B
【分析】根据关于x轴对称，函数值y互为相反数，将抛物线 化成关于x轴
对称的抛物线的解析式为 ，列出方程组，求解即可得出结论．
解：∵抛物线 与 关于x轴对称，
∴ ，
∴ 与 相同，
∴ ，
解得 ，
故选：B．
【点拨】
本题考查了二次函数图像与几何变换，根据关于x轴对称的坐标特征把抛物线
化成关于x轴对称的抛物线的解析式是解题的关键．
11．B
【分析】
根据二次函数图像的特点进一步求解即可.
∵二次函数的图像为抛物线，
∴两个不同二次函数的图像的交点最多只能有2个，
故选：B.
【点拨】
本题主要考查了二次函数图像的性质与特点，熟练掌握相关概念是解题关键.
12．A
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对
称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a﹣b+c；然后由图像确定当x取何值时，y
＞0．①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴
∴2a+b=0；故正确；
③∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；
④根据图示知，当m=1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选A．
【点拨】
本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定
抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项
系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y
轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
13．B
解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方
程ax2+bx+c=0的两个根是x=﹣1，x=3，所以②正确；
1 2
∵x=﹣ =1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故选：B．
【点拨】
本题考查了二次函数图像与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定
抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项
系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与
y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交
点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
14．C
试题解析：①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
所以①错误；
②∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴a、b同号，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，
所以②正确；
③∵x=﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
∵对称轴为直线x=﹣1，
∴ ，
∴b=2a，
∴a﹣2a+c＜0，即a＞c，
所以③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，
∴x=﹣2和x=0时的函数值相等，即x=﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，所以④正确．
所以本题正确的有：②③④，三个，
故选C．
15．B
【分析】
由抛物线的性质和对称轴是 ，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个
交点，可判断②；由 ，得 ，令 ，求函数值，即可判断③；令
时，则 ，令 时， ，即可判断④；然后得到答案．
解：根据题意，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则 ，故②正确；
∵ ，
令 时， ，
∴ ，故③正确；
在 中，
令 时，则 ，
令 时， ，
由两式相加，得 ，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；故选：B．
【点拨】
本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子
的符号．
16．D
【分析】
根据二次函数的图像与系数的关系即可求出答案．
①由开口可知：a＜0，
∴对称轴x=− ＞0，
∴b＞0，
由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），
对称轴为x=2，
∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），
∴x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，故②正确；
③由于 ＜2＜ ，
且（ ，y）关于直线x=2的对称点的坐标为（ ，y），
2 2
∵ ＜ ，
∴y＜y，故③正确，
1 2
④∵− =2，
∴b=-4a，
∵x=-1，y=0，∴a-b+c=0，
∴c=-5a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-5a＜3，
∴- ＜a＜- ，故④正确
故选D．
【点拨】
本题考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟练运用图像与系数的关系，本题属于中等题型．
17．D
①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧，∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴
负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；
②∵图像与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图像与x轴的另一个交点为（3，
0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；
③∵图像与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y= =0，∴a﹣
b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1，∴ =1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）
﹣a=﹣3a，∴4ac﹣ =4•a•（﹣3a）﹣ = ＜0，∵8a＞0，∴4ac﹣ ＜8a，故③正
确；④∵图像与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1，∴﹣2＜﹣3a＜
﹣1，∴ ＞a＞ ，故④正确；⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c，故⑤正确.
故选D．
【点拨】
本题考查二次函数的图像与系数的关系，熟练掌握图像与系数的关系，数形结合来进行判断是解
题的关键.
18．B
【分析】①观察图像可知a＜0，b＞0，c＞0，由此即可判定①；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c由此可判定②；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，由此可判定③；④当x=3时函数值小
于0，即y=9a+3b+c＜0，且x=﹣ =1，可得a=﹣ ，代入y=9a+3b+c＜0即可判定④；⑤当
x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，当x=n时，y=an2+bn+c，由此即可判定⑤.
①由图像可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项错误；
②当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故此选项错误；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此选项正确；
④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣ =1即a=﹣ ，代入得9（﹣ ）+3b+c＜
0，得2c＜3b，故此选项正确；
⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=n时，y=an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，
故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故此选项正确．
∴③④⑤正确．
故选B．
【点拨】
本题主要考查了抛物线的图像与二次函数系数之间的关系，熟知抛物线的图像与二次函数系数之
间的关系是解决本题的关键．
19．D
【解析】
试题分析：根据二次函数的图像和性质进行判断即可.
解：∵抛物线开口向上，
∴
∴A选项错误，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴
∴B选项错误，
由图像可知，当－10，可作判断；
④根据对称轴为：x=1可得：a=- b，结合x=-1时，y<0，可作判断；
⑤根据顶点坐标的纵坐标为最大值可作判断；
⑥根据2a+b=0和c>0可作判断．
解：①∵该抛物线开口方向向下，∴a<0.
∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴b>0；
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c>0，
∴abc<0；
故①正确；
②∵a<0，c>0，∴a−c<0，
∵b>0，∴b>a−c，
故②错误；
③根据抛物线的对称性知，当x=2时，y>0，即4a+2b+c>0；故③正确；
④∵对称轴方程x=− =1，∴b=−2a，∴a=− b，
∵当x=−1时，y=a−b+c<0，∴− b+c<0，
∴2c<3b，
故④正确；
⑤∵x=m对应的函数值为y=am2+bm+c，
x=1对应的函数值为y=a+b+c，
又x=1时函数取得最大值，
∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm=m(am+b)，故⑤错误；
⑥∵b=−2a，∴2a+b=0，
∵c>0，
∴2a+b+c>0，
故⑥正确.
综上所述，其中正确的结论的有：①③④⑥.
故答案为①③④⑥.
【点拨】
本题考查了二次函数图像与系数的关系.
31．直线
【分析】
由抛物线对称性质可知，抛物线与横轴的交点到对称轴的距离相等，可知其对称轴为与横轴两交
点的和的一半．
解： 二次函数 的图像与 轴相交于 和 两点，
其对称轴为：直线 ．
故答案为：直线 ．
【点拨】
本题考查了抛物线与 轴的交点，解题的关键是知道关于对称轴对称的两点到原点的距离相等．
32．4
【分析】
通过A、B两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出b,由此可得出二次函数表达式,从而算出最小值
即可推出n的最小值．
∵A、B的纵坐标一样,
∴A、B是对称的两点,
∴对称轴 ,即 ,
∴b=﹣4．
．∴抛物线顶点(2,﹣3)．
满足题意n得最小值为4,
故答案为4．
【点拨】
本题考查二次函数对称轴的性质及顶点式的变形,关键在于根据对称轴的性质从题意中判断出对
称轴．
33．x=1
【解析】
【分析】
根据抛物线与坐标轴的交点确定出对称轴即可．
∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴的公共点是（-3，0），（5，0），
∴该抛物线的对称轴是直线x= .
故答案是：x=1.
【点拨】
考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
34． ．
【分析】
由对称轴公式可求解参数b，再代入（3,0）即可求解参数c．
解：由题意得：
=1，解得b=2；
代入点坐标（3,0），则0=-9+6+c，解得c=3；
故答案为： ．
【点拨】
本题考查了用待定系数法求解二次函数解析式．
35．直线x＝2
【分析】
根据二次函数图像的轴对称性，即可得到答案．∵二次函数y＝ax2+bx+c的图像与x轴相交于(﹣1，0)和(5，0)两点，
∴其对称轴为：直线x＝ ．
故答案为：直线x＝2．
【点拨】
本题主要考查二次函数的轴对称性，掌握二次函数y＝ax2+bx+c的图像与x轴的交点关于抛物线
的对称轴对称，是解题的关键．
36．（﹣3，2） x＝﹣3 x＜﹣3 ﹣5＜x＜﹣1
【分析】
（1）根据抛物线的对称性即可求出顶点坐标的横坐标；
（2）由抛物线的顶点坐标的横坐标即可得到对称轴；
（3）观察图像即可；
（4）观察图像即可；
解：（1）如图所示，抛物线的对称轴方程是： ＝﹣3．
则抛物线的顶点坐标是（﹣3，2）．
故答案是：（﹣3，2）．
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝﹣3．
故答案是：x＝﹣3；
（3）如图所示，当x＜﹣3时，y随着x得增大而增大．
故答案是：x＜﹣3；
（4）如图所示，当﹣5＜x＜﹣1时，y＞0．
故答案是：﹣5＜x＜﹣1．
【点拨】此题考查的是二次函数图像的性质，通过图像观察并计算是解决此题的关键.
37．(1) ;（2）点 的坐标为 ；（3）
【分析】
（1） 用待定系数法即可得到答案;
（2）连接 ，设点 ，由题意得到
．即可得到答案.
（3）用待定系数法求解析式，再结合勾股定理即可得到答案.
解： 抛物线 经过点 ，
，
解得
抛物线解析式为 ；
如图1，连接 ，设点 ，其中 ，四边形 的面积为 ，
由题意得 ，，
，
，
．
，开口向下， 有最大值，
当 时，四边形 的面积最大，
此时， ，即 ．
因此当四边形 的面积最大时，点 的坐标为 ．
，
顶点 ．
如图2，连接 交直线 于点 ，此时， 的周长最小．
设直线 的解析式为 ，且过点 ， ，直线 的解析式为 ．
在 中， ．
为 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
由图可知
设直线 的函数解析式为 ，
解得：直线 的解析式为 ．
解得：
．
【点拨】
本题考查一次函数和勾股定理，解题的关键是掌握用待定系数法求一次函数解析式.
38．（1）y=﹣ x+3；（2） ；（3）点Q的坐标为（ ，0）或（4，0）．
【解析】
试题分析：（1）先把抛物线解析式配成顶点式即可得到D点坐标，再求出C点坐标，然后利用
待定系数法求直线l的解析式；
（2）先根据抛物线与x轴的交点问题求出B（3，0），再利用待定系数法求出直线BD的解析式
为y=-2x+6，则P（x，-2x+6），然后根据梯形的面积公式可得S=-x2+ x（1≤x≤3），再利用而
此函数的性质求S的最大值；
（3）如图2，设Q（t，0）（t＞0），则可表示出M（t，- t+3），N（t，-t2+2t+3），利用两点
间的距离公式得到MN=|t2- t|，CM= t，然后证明NM=CM得到|t2- t|= t，再解绝对值方程
求满足条件的t的值，从而得到点Q的坐标．试题解析：（1）∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴D（1，4），
当x=0时，y=-x2+2x+3=3，则C（0，3），
设直线l的解析式为y=kx+b，
把C（0，3），E（4，0）分别代入得 ，解得 ，
∴直线l的解析式为y=- x+3；
（2）如图（1），当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x=-1，x=3，则B（3，0），
1 2
设直线BD的解析式为y=mx+n，
把B（3，0），D（1，4）分别代入得 ，解得 ，
∴直线BD的解析式为y=-2x+6，
则P（x，-2x+6），
∴S= （-2x+6+3） x=-x2+ x（1≤x≤3），
∵S=-（x- ）2+ ，
∴当x= 时，S有最大值，最大值为 ；
（3）存在．如图2，设Q（t，0）（t＞0），则M（t，- t+3），N（t，-t2+2t+3），
∴MN=|-t2+2t+3-（- t+3）|=|t2- t|，
CM= = t，
∵△CMN沿CN翻转，M的对应点为M′，M′落在y轴上，
而QN∥y轴，
∴MN∥CM′，NM=NM′，CM′=CM，∠CNM=∠CNM′，
∴∠M′CN=∠CNM，
∴∠M′CN=∠CNM′，
∴CM′=NM′，
∴NM=CM，
∴|t2- t|= t，
当t2- t= t，解得t=0（舍去），t=4，此时Q点坐标为（4，0）；
1 2
当t2- t=- t，解得t=0（舍去），t= ，此时Q点坐标为（ ，0），
1 2
综上所述，点Q的坐标为（ ，0）或（4，0）．
考点：二次函数综合题．
39．（1）①1；② 或 ；（2） 或 ．
【分析】
（1）①根据抛物线对称轴公式解题即可；
②根据抛物线的增减性解题，分两种情况讨论；（2）先解得抛物线与x轴的交点坐标M，再根据题意解得A、B两点的坐标，将这三个点分别
代入抛物线解析式中，解得 的值，结合图像解题即可．
（1）①抛物线 的对称轴为： ，
故答案为：1；
（2）根据抛物线图像特征，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的
增大而减小，故在抛物线 上有两点 ， ，且 ，则 的取值范围是
或 ，
故答案为： 或 ；
（2） 抛物线 的对称轴为： ，且对称轴与x轴交于点M，
点 与点 关于 轴对称，
M向右平移3个单位得到点 ，
，
依题意，抛物线G与线段AB恰有一个公共点，
把点 代入抛物线 ，可得 ，
把点 代入抛物线 ，可得 ，
把点 代入抛物线 ，可得 ，
根据所画图像可知抛物线G与线段AB的交点恰有一个时， 或 ．【点拨】
本题考查二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征、二次函数图像与几何变换
等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
40．（1） 的解析式为 ；（2）平移后抛物线 的表达式为
或 .
【分析】
（1）根据抛物线关于 轴对称的原则可以得到 均互为相反数，所以可以设 ：
，同时 经过点 和点 ，那么 也经过点 和点 ，
将这两点代入 即可求解；
（2）首先根据函数图像的平移原则，设抛物线 沿 轴向右平移 个单位得到抛物线，继而写出 的解析式，然后分别求出点 和点 的坐标，再结合 与 相似，
可得△DOQ为等腰直角三角形，利用坐标建立方程，求解即可.
解：（1） 抛物线 和抛物线 关于 轴对称，且 ： ，
： ，
经过点 和点 ，
经过点 和点 ，
把点 和点 代入 ： 可得：
，
解得： ，
： ；
（2）设抛物线 沿 轴向右平移 个单位得到抛物线 ，
： ，
的解析式可以表示为：
，
抛物线 与 轴的交点为点 和点 ，且 在 的右侧，
，
抛物线 与 轴交于点 ，
，∵A（-3，0），C（0，3），
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴当△AOC和△DOQ相似时，
△DOQ为等腰直角三角形，
∴OQ=OD，
当点Q在y轴正半轴上时，
OQ=OD=OA=OC，
∴ ，
解得：a=0（舍）或2，
此时 ： ；
当点Q在y轴负半轴时，
OD=OQ，
则 ，
解得：a=-1（舍）或4，
此时 ： ；综上：平移后抛物线W 的表达式为： 或 .
3
【点拨】
本题主要考查二次函数的图像变化，以及二次函数和相似三角形的存在性问题，熟练掌握二次函
数的图像平移和对称变化规律，同时对相似三角形的存在性进行正确的分类讨论是求解本题的关
键.
41．（1）a=-1；（2）y＜y．
1 2
【解析】
试题分析：(1)、将点(1，－2)，利用待定系数法求出函数解析式；(2)、首先得出二次函数的对称
轴，然后根据函数的性质求出大小.
试题解析：(1)、∵抛物线y=a(x−3) 2+2经过点（1，-2）， ∴−2=a(1−3) 2+2，解得a=-1；
(2)、∵函数y=−(x−3) 2+2的对称轴为x=3，
∴ A（m，y）、B（n，y）（m＜n＜3）在对称轴左侧，
1 2
又∵抛物线开口向下，∴ 对称轴左侧y随x的增大而增大， ∵ m＜n＜3，∴ y＜y．
1 2
考点：二次函数的性质
42．（1）y=x2﹣4x﹣5（2）y=﹣x﹣1 (3) 直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP
是直角三角形
【解析】
解：（1）在y=x2﹣bx﹣5中令x=0，得y=5，∴|OC|=5．
∵|OC|：|OA|=5：1，∴|OA|=1．∴A（﹣1，0）．把A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣5得（﹣1）2+b﹣5=0，解得b=4．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5．
（2）∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴抛物线的的对称轴为x=2．
∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5）∴F（4，﹣5）．
设直线AF的解析式为y=kx+b，
把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，得
，解得 ．∴直线FA的解析式为y=﹣x﹣1．
（3）存在．理由如下：
①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，
∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点，∴E（0，﹣1）．∴P（0，﹣1）．
②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P．
设P（x，﹣x﹣1），
1 1
∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5），
∴CE=CF．∴EP=PF．∴CP=PF．
∴点P在抛物线的对称轴上．∴x=2．
1
把x=2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3．∴P（2，﹣3）．
1
综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形．
（1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，
然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式．
（2）由y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9可得对称轴为x=2，根据点C、F关于对称轴对称可得点F的
坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可．
（3）分①点P与点E重合和②CF是斜边两种情况讨论即可．
