文档内容
24.1.2 垂直于弦的直径
——垂径定理及其推论
一、新课导入
1.导入课题：圆是轴对称图形吗？这节课我们从圆的轴对称性出发探究圆的相关性质.
(板书课题)
2.学习目标：
(1)能通过折纸探究圆的轴对称性，能证明圆是轴对称图形.
(2)能由圆的轴对称性推导垂径定理及其推论.
(3)能利用垂径定理解决相应问题.
3.学习重、难点：
重点：圆的轴对称性、垂径定理及其推论.
难点：利用垂径定理进行计算或证明.
二、分层学习
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第81页“探究”——圆的轴对称性.
(2)自学时间：2分钟.
(3)自学方法：完成探究提纲.
(4)探究参考提纲：
①操作：用纸剪一个圆形纸片，沿着圆的任意一条直径所在直线对折，重复几次.
a. 通过上面的折纸，圆是轴对称图形吗？有几条对称轴？
是轴对称图形，有无数条对称轴.
b. “圆的任意一条直径都是它的对称轴”这种说法对吗？若不对，应该怎样说？
不对，应该说圆的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.
②猜想：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
③证明：怎样证明圆是轴对称图形呢？
a. 要证圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线的对称点也在圆上.
b. 怎样证明两点关于已知直线对称？
两点的连线被已知直线垂直平分.
c. 如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上异于点C,D的任意一点，过A作AA′⊥CD，垂足为M.交⊙O于点A′，下面只需证明A′是点A关于直线CD的对称点.
如图，连接OA,OA′.
在△OAA′中，∵OA=OA′，
∴△OAA′是等腰三角形.
又AA′⊥CD,
∴AM=MA′.
即CD是AA′的垂直平分线.
∴点A′、A关于直径所在的直线对称
即圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
2.自学：学生可结合探究提纲，相互研讨学习.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：关注证明过程的逻辑性与规范性.
②差异指导：指导学生探究证明思路.
(2)生助生：小组内相互交流、研讨.
4.强化：
(1)圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
(2)要证某图形是轴对称图形，只需证明该图形上任意一点关于对称轴的对称点也在这
个图形上.
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第82页例2之前的部分.
(2)自学时间：8分钟.
(3)自学方法：完成探究提纲.
(4)探究参考提纲：
①垂径定理：
b.归纳：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
②垂径定理的推论：b. 反例：当弦AA′为直径时，结论还成立吗？为什么？
不成立，因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直.
c. 限定：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.自学：学生可结合自学指导相互研讨学习.
3.助学：
(1)师助生：
①明了学情：了解学生由数学现象概括数学结论时出现的困惑和错误.
②差异指导：依据学情进行个别指导或分类指导.
(2)生助生：小组内相互交流研讨、订正结论.
4.强化:
(1)从图形、文字和式子三个方面对垂径定理及其推论进行解读.
(2)垂径定理的条件：过圆心，垂直于弦；结论：平分弦，平分弦所对的两条弧.
1.自学指导：
(1)自学内容：教材第83页“练习”第1题.
(2)自学时间：4分钟.
(3)自学方法：完成探究提纲.
(4)探究提纲：
①线段OE满足垂径定理的题设条件：条件1：AB是弦；条件2：OE⊥AB.
②依据垂径定理得， AE=12AB=BE.
③要求⊙O的半径，只需连接OA，在Rt△AOE中，由勾股
定理，就可求得⊙O的半径为5.
④给出你的解答过程：2.自学:同学们可结合自学指导进行自学.
3.助学:
(1)师助生：
①明了学情：观察学生是否会构造直角三角形，书写过程是否规范.
②差异指导：从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面给予指导.
(2)生助生：生生互动交流、研讨、订正.
4.强化:
(1)常规辅助线：过圆心作弦的垂线段.
(2)设圆的半径为r，弦长为a，圆心到弦的距离为d，则有 因此，在这
三个量中已知其中两个量就可以求出第三个量.
(3)练习：如图，已知⊙O的半径为1，弦AB的长为 ，求圆心O到弦AB的距离.
解：如图，作OE⊥AB，垂足为E，则OE垂直平分AB.
1.自学指导：
(1)自学范围：教材第82页例2.
(2)自学时间：6分钟.
(3)自学方法：阅读、思考、总结、提高.
(4)自学参考提纲：
2.自学：学生依据自学指导自主学习.
3.助学：(1)师助生：
①明了学情：从解题思路的探究、辅助线的添加和解题过程的书写等方面了解学生的学
习情况.
②差异指导：根据学情合理指导.
(2)生助生：小组内相互交流、研讨.
3.强化：
(1)强调常规辅助线和解题规范.
(2)练习：如图是一条水平铺设的直径为2m的通水管道横截面，其水面宽为1.6m，则这
条管道中的水最深为0.4m.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：在这节课的学习中你有哪些收
获？还有何困惑？
2.教师对学生的评价：
(1)表现性评价：点评学生学习的态度、积极性、小组交流协作情况和存在的问题等.
(2)纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价(教学反思)：
(1)这节课的教学从利用垂径定理来解决赵州桥桥拱半径问题开始，引入课题从实验入
手，得到圆的轴对称性，进而推出垂径定理及推论.教学设计中，从具体、简单、特殊到抽象、
复杂、一般，层层递进，有利于提高学生的数学思维能力，同时，注意加强对学生的启发和引
导，培养学生大胆猜想，小心求证的科学研究素质.
(2)本课时的教学方法是将垂径定理和勾股定理有机结合，将圆的问题转化为直角三角
形，常作的辅助线是半径或垂直于弦的直径.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固(80分)
1.(10分) 下列说法中正确的是(B)
A. 在同一个圆中最长的弦只有一条
B. 垂直于弦的直径必平分弦
C. 平分弦的直径必垂直于弦
D. 圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴2.(10分)如图，⊙O的弦AB垂直于半径OC，垂足为D，则下列结论
中错误的是(C)
A. ∠AOD=∠BOD B. AD=BD
C. OD=DC
3.(10分)半径为5的⊙O内有一点P，且OP=4，则过点P的最长弦的长是10，最短弦的
长是6.
4.(10分)如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC
于E.求证：四边形ADOE是正方形.
证明：∵AB⊥AC，OD⊥AB，OE⊥AC.
∴四边形ADOE是矩形.
又∵OD垂直平分AB，OE垂直平分AC,AB＝AC,
∴AE＝ AC＝ AB＝AD,
∴四边形ADOE是正方形.
5.(10分)如图，在半径为50mm的⊙O中，弦AB的长为50mm.求：
(1)∠AOB的度数；
(2)点O到AB的距离.
解：(1)∵OA=OB=AB=50mm，
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°.
(2)作OM⊥AB，则∠AOM= ∠AOB=30°.
即点O到AB的距离为25 mm.
6.(10分)如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果M是
⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E,并且CD=4m,EM=6m.求⊙O的半径.
解：连接OC.∵OM平分CD,OM⊥CD且CM=MD= CD=2m.
设半径为r，在Rt△OCM中，OC=r，OM=EM-OE=6-r,
由勾股定理得OC2=cm2+Om2，即r2=22+(6-r)2.解得r= ，即⊙O的半径为 m.
8.(10分)如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD.
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB,
则AE=BE，CE=DE，
∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.
二、综合应用(10分)
9.(10分) ⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=24cm，
CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
解：分两种情况讨论.
第一种情况：当AB、CD在圆心O的同侧时.
如图(1)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.
∵AB∥CD. ∴OE⊥AB.
第二种情况：当AB、CD在圆心O的异侧时，
如图(2)，同第一种情况可得OE=5cm,OM=12cm，∴EM=OM+OE=17cm.
即AB和CD之间的距离为7cm或17cm.
三、拓展延伸(10分)
10.(10分) 如图，AB和CD分别是⊙O上的两条弦，圆心O到它们的垂线段分别是OM
和ON，如果AB＞CD，OM和ON的大小有什么关系？为什么？
解：OM＜ON.
理由如下：连接OA、OC.
则OA＝OC. ∵ON⊥CD, OM⊥AB,
∴CN＝ CD,AM＝ AB.
又∵AB＞CD,∴CN＜AM,
∴CN2＜AM2.
在Rt△OCN和Rt△OAM中，OM2＝OA2-AM2,ON2＝OC2-CN2,
∴Om2＜ON2.∴OM＜ON.
