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专题2.14 《实数》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某
些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.
3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点
一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
【要点梳理】
要点一、平方根和立方根
类型
平方根 立方根
项目
被开方数 非负数 任意实数
符号表示 a 3 a
一个正数有两个平方根，且互 一个正数有一个正的立方
为相反数； 根；
性质 零的平方根为零； 一个负数有一个负的立方
负数没有平方根； 根；
零的立方根是零；
( a)2 a(a 0) (3 a)3 a
重要结论 a(a 0) 3 a3 a
a2 a
a(a 0)
3 a 3 a
要点二、实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
实数
按与0的大小关系分：
实数
特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．
其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理
数．
（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如 ， 等；
②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…
（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数
形式.
（4）实数和数轴上点是一一对应的.
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与
之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
a a
（1）任何一个实数 的绝对值是非负数，即| |≥0；
a a2
（2）任何一个实数 的平方是非负数，即 ≥0；
a 0 a0
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( ).
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
a a
数 的相反数是－ ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相
反数；0的绝对值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、
开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的
数 大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反
而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
【典型例题】
类型一、与实数有关的基本概念
1、有下列各数:一 ，3.14，一 ，0，一 ，π，1.3030030003，，，
（每两个3之间多一个0）.
(1)其中无理数有
(2)请将正实数按从小到大的顺序排列，并用“< ”连接。
【分析】（1）依据无理数的三种类型进行解答即可；
（3）先找出其中的整数，然后再比较大小即可．解，（1）其中无理数有- 、π、1.3030030003，，，（每两个3之间多一个0）
（2）1.3030030003，，，< 一 <3.14<π
【点拨】本题主要考查的是实数的相关概念，熟练掌握实数的有关概念是解题的关键．
22
【变式1】有六个数：0.142 7，(-0.5)3，3.141 6， ，-2π，0.102 002 000 2…，若无理
7
数的个数为x,整数的个数为y,非负数的个数为z,求x+y+z的值.
【答案】x+y+z=6.
【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：π，2π等；
开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数，由此即可判定无理数x的值，
根据整数的定义非负数的定义即可判定y、z的值，然后即可求解．
解：由题意得无理数有2个,所以x=2；整数有0个,所以y=0,非负数有4个,所以z=4,所
以x+y+z=2+0+4=6.
【点拨】本题主要考查实数的分类．无理数和有理数统称实数．有一定的综合性．
【变式2】有6个实数：﹣32，﹣ ， ，0.313131…， ，﹣ ，请计算这列
数中所有无理数的和．
【答案】
试题分析：首先根据“无理数的定义”，找出上述各数中的无理数，再把它们相加即
可.
解：∵上述各数中：﹣ ， ，﹣ 是无理数，
∴上述各数中，所有无理数的和为：
== .
2、（1）已知 ， ，则
____________．
（2）已知 ，则 _________．
（3）从以上的结果可以看出：被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点
则向_________移动____________位．
（4）如果 ，则 _________， ____________．
【答案】（1）200（2）0.05（3）左或右；1．（4） ；
【分析】（1）观察式子发现，当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的
小数点则向左或右移动1位， 可以理解为被开方数小数点向右移动3位后又向
右移动3位，则立方根的小数点向右移动1位后又向右移动1位，直接写出得数即可．
（2）当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1
位， 可以理解为被开方数小数点向左移动3位后又向左移动3位，则立方根的
小数点向左移动1位后又向左移动1位，直接写出得数即可．
（3）通过前两个小题的观察、验证，总结规律，被开方数的小数点向左或右移动3位，
立方根的小数点则向左或右移动1位．
（4）把发现、总结的规律进行应用，直接写出得数即可．
解：（1）根据题意，观察式子发现，当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立
方根的小数点则向左或右移动1位．
可以看作为被开方数8的小数点向右移动3位后又向右移动3位，
则立方根2的小数点向右移动1位后又向右移动1位，
∴ ．
（2）根据题意，观察式子发现，当被开三次方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位，
可以理解为被开方数125的小数点向左移动3位后又向左移动3位，
则立方根5的小数点向左移动1位后又向左移动1位，
∴ ．
（3）通过前两个小题的观察、验证，
总结规律：被开方数的小数点向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1
位．
（4）根据以上小题发现的规律，
可看作被开方数 向右移动3位，
， 的立方根 向右移动1位，
∴ ；
∵ ，
可看作被开方数 向左移动3位，
， 的立方根 向左移动1位，
∴ ．
【点拨】本题考查了立方根的实际应用，根据观察得出规律，被开三次方数的小数点
向左或右移动3位，立方根的小数点则向左或右移动1位，观察发现并总结应用规律是解
题关键．
【变式1】按要求填空：
（1）填表：
（2）根据你发现规律填空：
a 0.0004 0.04 4 400
已知： =2.638，则 =__，=__；
已知： =0.06164， =61.64，则x=__．
【答案】（1）0.02，0.2，2，20；
（2）26.38,0.02638； 3800．
【分析】
（1）分别用计算器将0.0004、0.04、4、400开方即可得出答案．
（2）将720化为7.2×100，将0.00072化为7.2×10-4，继而可得出答案；再根据61.64化为
0.06164×10-3可得答案．
【详解】
（1） =0.02， =0.2， =2， =20；
（2） = =2.638×10=26.38，
= =2.638×10﹣2=0.02638；
∵ =0.06164， =61.64，61.64=0.06164×103
∴x=3800．
故答案为0.02、0.2、2、20；26.38、0.02638；3800．
【变式2】(1) 观察被开方数a的小数点与算术平方根 的小数点的移动规律:
a 0.0001 0.01 1 100 10000
0.01 x 1 y 100
填空:x= _______， y=______.
(2)根据你发现的规律填空:
①已知 ≈1.414，则 =________， =_______；
② = 0.274，记 的整数部分为x,则 =___________.【答案】（1） 0.1；10；（2）①14.14；0.1414；② .
【分析】
（1）根据被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律，即可
得到答案；
（2）根据（1）中发现的规律，即可得到答案；
（3）利用（1）中的规律，求出 的值，然后得到整数x，即可得到答案.
解：（1）根据表格可知，被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位；
∴ ， ；
故答案为：0.1，10；
（2）由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵ ，
∴ ， ；
故答案为： ， ；
（3）由被开方数小数点每移两位，其结果小数点相应移一位，可知，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： .
【点拨】本题主要考查了算术平方根的性质，解题需注意被开方数的小数点和相应的
算术平方根的小数点之间的互换关系．
类型二、与实数有关的问题3、讲解完本节，王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个整数a、
b，如果a＞b，那么 ．”然后讲了下面的一个例题：比较 和 的大小．
方法一： ．
又∵8＜12，∴ ．
方法二： 200=8， 4×3=12．
又∵8＜12，∴ ．
根据上面的例题解答下列各题：
（1）比较 和 的大小；
（2）比较 1与 的大小．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）根据负数的乘方，幂越大，负数越小，可得答案；
（2）根据乘方，可得实数的减法，根据被减数相同，减数越大，差越小，可得答案．
【详解】
（1）（﹣5 ）2=150，（﹣6 ）2=180，150＜180，∴ ；
（2）（ 1）2=8﹣2 ，（ ）2=8﹣2
∵ ，∴ ．
【点拨】本题考查了实数比较大小，掌握平方法比较实数大小是解答本题的关键．【变式 】比较 与 的大小．
【答案】>
【分析】根据二次根式被开方数为非负数得出a的取值范围，可知 0，即可作
出判断.
解：∵5－a≥0，∴a≤5，∴a－6 0，∴ 0，
又∵ ≥0，∴ ＞ .
【点拨】此题主要考察无理数的大小比较.
4、阅读材料：
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如
.善于思考的小明进行了以下探索：
设 (其中a、b、m、n均为整数),则有
.
∴ .这样小明就找到了一种把类似 的式子化为平方式的
方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（a,b,m,n均为正整数）
(1) ，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=___，b=___；
(2)当a=7,n=1时，填空：7+ =（ + ）2
(3)若 ，求a的值.
【答案】（1）m2+3n2,2mn（2）4,2 (3)28或12
【分析】
（1）利用完全平方公式展开得到（m+n ）2=m2+3n2+2 mn，从而可用m、n表示a、b；
（2由（1）可知：n=1，由a=m2+3n2=7，得出m的值，从而得到b的值，然后填空即
可；
（3）利用a=m2+3n2，2mn=6和a、m、n均为正整数可先确定m、n的值，然后计算对
应的a的值．
解：（1）（m+n ）2=m2+3n2+2 mn，∴a=m2+3n2，b=2mn；
（2）由（1）可知：n=1，∴a=m2+3n2=7，解得：m=2（负数舍去），∴m=2，n=1，
∴b=2mn =4，∴7+4 =（2+ ）2；
（3）a=m2+3n2，2mn=6．
∵a、m、n均为正整数，∴m=3，n=1或m=1，n=3．
①当m=3，n=1时，a=9+3=12；
②当m=1，n=3时，a=1+3×9=28．
∴a的值为28或12．
【点拨】本题考查了二次根式的混合运算．先把二次根式化为最简二次根式，然后进
行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵
活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
【变式1】在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条
件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为为
显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐
含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目
中的隐含条件．
（阅读理解）
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：
解：隐含条件 解得：原式
（启发应用）
（1）按照上面的解法，试化简： ；
（类比迁移）
（2）实数 ， 在数轴上的位置如图所示，化简 ；
（3）已知 ， ， 为 的三边长，
化简：
【答案】(1)1；（2）-a-2b；（3）2a+2b+2c.
【分析】求绝对值题， 要看 中a的符号
（1）根据 ，由隐含条件 解得： ，再求绝对值化简；
（2）根据a，b在数轴上的位置，确定他们的正负，再求绝对值；
（3）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．推出各个式子的正负，
再分别求绝对值．
解：（1）隐含条件 解得：
∴ <0
∴原式=
=
=1 ；
（2）观察数轴得隐含条件：a<0，b>0， ，∴ <0， ，
∴原式=
=
= ，
（3）由三角形三边之间的关系可得隐含条件：
，
∴ ，
∴原式=
=
= ．
【点拨】此题考核知识点：求绝对值； ．解题关键：求绝对值题，
要弄清 中a的符号( = 或 =- )；从题中发掘隐含条件，从而得出关键式子的正负．
【变式2】阅读下列材料，并解答问题：
① ；
② ；
③ ；
④ ；……
(1)直接写出第⑤个等式___________________________________；(2)用含n(n为正整数)的等式表示你探索的规律；
(3)利用你探索的规律，求 ＋ ＋ ＋…＋ 的值．
【答案】（1） ；（2） = ；（3） .
【分析】
（1）根据前4个式子的规律即可写第⑤个等式；
（2）观察可知第n个等式左边是 ，右边是 ，据此即可得；
（3）根据上面的规律进行计算即可得.
解：（1）观察前4个等式，可知第⑤个等式是
，
故答案为 ；
（2）观察可知等式左边是 ，右边是 ，
所以用含n的等式表示为： = ；
（3） ＋ ＋ ＋…＋
= + + +…+
== .
【点拨】本题考查了规律题，仔细观察，从等式中发现规律并推广是解题的关键.
类型三、二次根式的综合计算题
5、计算题
（1） （2）
【答案】（1）1（2）-2
【分析】（1）直接利用算术平方根以及立方根的定义逐项进行化简后再计算即可得出
答案；
（2）直接利用算术平方根以及立方根的定义逐项进行化简，计算后即可得出答案．
解：（1）
=2+0﹣ ﹣
=1；
（2）
=﹣3﹣0﹣ +0.5+
=﹣2 ．
【点拨】本题考查了实数的运算，熟练掌握立方根的定义、算术平方根的定义正确化
简是解题的关键.
【变式1】计算：(1) (2)(3) (4)
(5) (6)
【答案】(1) ；(2)2+ ；(3)1； ⑷ ；(5)2；(6)11-4 .
【分析】(1)先将二次根式化简为最简二次根式,再进行二次根式加减计算,
（2）先将括号里的二次根式进行化简,再进行加减计算,最后再计算二次根式除法,
(3)将二次根式的被开方数化为假分数,然后根据二次根式的乘除法法则进行计算,
(4)先将二次根式进行化简,再根据二次根式的乘除法法则进行计算,
(5)根据平方差公式进行二次根式的计算,
(6)根据完全平方公式对二次根式进行计算.
解：（1） ,
= ,
= ,
（2） ,
= ,
= ,
=2+ ,
（3） ,
= ,= ,
=1,
（4） ,
= ,
= ,
= ,
（5） ,
= ,
=3-1,
=2,
（6） ,
= ,
=11 .
【点拨】本题主要考查二次根式的加减乘除运算,解决本题的关键是要熟练掌握二次根
式加减乘除计算法则.
【变式2】计算
（1）（ ）2﹣（ ﹣ ）（ ） （2）（ ）﹣（ ﹣
）【答案】（1）4 +6（2）5 -
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的运算法则计算即可.（2）根据二次根式的运算法则计算
即可.
解：（1）原式=2+4 +6﹣（5﹣3）
=2+4 +6﹣2
=4 +6.
（2）原式=2 ﹣ ﹣ +3
=5 ﹣ .
【点拨】本题考查二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键.
6、先化简，再求值：
，其中
．
【答案】 ； ．
【分析】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可．
解：
原式当 时，
原式
。
【点拨】本题考查的是整式的混合运算，完全平方公式的应用和二次根式的运算，掌
握相关的性质和运算法则是解题的关键．
【变式1】先化简，再求值（ +m﹣2）÷ ；其中m＝ +1.
【答案】 ,原式＝ .
【分析】先把括号里通分化简，再把除法转化为乘法约分化简，然后把m＝ +1代
入化简的结果中计算即可.
解：原式＝（ ）÷
＝
＝ ，
当m＝ +1时，
原式＝ ＝ ．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，以及二次根式的除法，熟练掌握运算法则是解
答本题的关键.【变式2】计算下列各题：
(1) ＋ － ； (2) ＋ － ；
(3)( －2 )× －6 ； (4)(5 －6 ＋ )÷ .
【答案】 (1) 5 ；(2) 2.6；(3)－6 ；(4) 4.
【解析】
试题分析:(1)先化简二次根式,然后根据二次根式的加减法法则合并同类二次根式,
(2) 先化开方,然后再计算加减,
(3)先根据乘法分配律对二次根式进行乘法计算,然后再化简二次根式,最后再合并同类
二次根式,
(4)先对括号里的二次根式进行化简,然后合并同类二次根式,最后根据二次根式的除法
法则计算.
试题解析:
(1)原式＝ ,
(2)原式＝ ＋0.3－ ＝2.6,
(3)原式＝ ,
(4)原式＝ .
类型四、与实数有关的综合题
7、阅读下列材料，然后解答下列问题：
在进行代数式化简时，我们有时会碰上如 ， 这样的式子，其实
我们还可以将其进一步化简：
(一) ；(二) ；
(三) .
以上这种化简的方法叫分母有理化．
(1)请用不同的方法化简 ：
①参照(二)式化简 ＝__________.
②参照(三)式化简 ＝_____________
(2)化简： .
【分析】（1）原式各项仿照题目中的分母有理化的方法计算即可得到结果；
（2）原式各项分母有理化，计算即可.
解：解:(1)① ;
②
;
(2)原式
故答案为:(1)① ;②
【点拨】此题主要考查了二次根式的有理化，解答此题要认真阅读前面的分析，根据题目的要求选择合适的方法解题.
【变式 】阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如 、 这样的式子，其实我们还可
以将其进一步化简： ；
.
以上这种化简过程叫做分母有理化.
还可以用以下方法化简：
.
（1）请用其中一种方法化简 ；
（2）化简： .
【答案】(1) ＋ ；(2) 3 －1.
【分析】(1)运用了第二种方法求解，即将4转化为 ；
（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第
一项抵消，然后即可得出答案.
解：（1）原式= = ；（2）原式= + + +…
= ﹣1+ ﹣ + ﹣ +… ﹣ = ﹣1
=3 ﹣1
【点拨】本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.
类型五、实数的应用
8、观察下列各式：
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1） _____________
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用 （ 为正整数）表示的等式：
______________；
（3）利用上述规律计算： （仿照上式写出过程）
【答案】（1） ；（2） ；（3） ，过程见解
析
【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．
解：（1） ；
故答案为： ；
（2） ；
故答案为： ；
（3）
【点拨】此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都
要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来．
【变式1】观察下列一组等式，然后解答后面的问题
，
，
，
（1）观察以上规律，请写出第 个等式： 为正整数）．
（2）利用上面的规律，计算：
（3）请利用上面的规律，比较 与 的大小．
【答案】（1） ；（2）9；（3）
【分析】(1)根据规律直接写出,(2)先找出规律，分母有理化，再化简计算.(3)先对两个式子变形，分子有理化，变为分子为1，再比大小.
解：（1）根据题意得：第 个等式为 ；
故答案为 ；
（2）原式 ；
