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专题 2.17 二次函数的图像与性质知识点分类专项训练（基础
篇）（专项练习 1）
一、单选题
1．抛物线y=x2﹣2x+2的顶点坐标为（ ）
A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，3）
2．已知二次函数 ，关于该函数在﹣1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是（
）
A．有最大值﹣1，有最小值﹣2 B．有最大值0，有最小值﹣1
C．有最大值7，有最小值﹣1 D．有最大值7，有最小值﹣2
3．对于抛物线 ，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下，顶点坐标 B．开口向上，顶点坐标
C．开口向下，顶点坐标 D．开口向上，顶点坐标
4．函数y=ax2（a≠0）的图像与a的符号有关的是（ ）
A．对称轴 B．顶点坐标 C．开口方向 D．开口大小
5．在同一坐标系中，作y＝x2， ， 的图像，它们的共同特点是( )
A．抛物线的开口方向向上
B．都是关于x轴对称的抛物线，且y随x的增大而增大
C．都是关于y轴对称的抛物线，且y随x的增大而减小
D．都是关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点
6．点 均在抛物线 上，下列说法正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
7．已知(﹣3， )，(﹣2， )，(1， )是抛物线 上的点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线 （ ）过 ， 两点，则下列关系式一定正确的是
（ ）
A． B． C． D．
9．将抛物线 向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得的抛物线为（ ）
A． B． C． D．
10．把函数 的图像，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数 的图像
（ ）
A．向左平移 个单位，再向下平移 个单位
B．向左平移 个单位，再向上平移 个单位
C．向右平移 个单位，再向上平移 个单位
D．向右平移 个单位，再向下平移 个单位
11．将抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表
达式为（ ）A．
B．
C．
D．
12．二次函数y=x2的图像平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ）
A．向左平移2个单位，向下平移2个单位
B．向左平移1个单位，向上平移2个单位
C．向右平移1个单位，向下平移1个单位
D．向右平移2个单位，向上平移1个单位
13．若二次函数y=ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：则下列说法错误的是（ ）
x … -1 0 1 2 3 …
y … …
A．二次函数图像与x轴交点有两个
B．x≥2时y随x的增大而增大
C．二次函数图像与x轴交点横坐标一个在－1~0之间，另一个在2~3之间
D．对称轴为直线x=1.5
14．已知点A（ ，m），B （ l，m），C （2，1）在同一条抛物线上，则下列各点中一定在
这条抛物线上的是（ ）
A． B． C． D．
15．已知二次函数y＝ax2+bx+c的x、y的部分对应值如表：
则该函数的对称轴为（ ）
A．y轴 B．直线x＝ C．直线x＝1 D．直线x＝16．已知函数 的图像经过点P(-1,4)，则该图像必经过点( )
A．(1,4) B．(-1，-4) C．(-4,1) D．(4，-1)
17．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如下图所示，那么（ ）
A．a＜0，b＞0，c＞0
B．a＜0，b＜0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
18．如图是二次函数 的图像，下列结论：
① ，② ，③ ，④ ，⑤当 时， 随 的增大而减小；
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0 B．b2﹣4ac＜0 C．a﹣b+c＜0 D．2a+b＝020．二次函数 的图像如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．函数的最大值为
C．当 时， D．
21．已知二次函数 的图像如图所示，则反比例函数 与一次函数
在同一平面直角坐标系内的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
22．抛物线y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y= 在同一平面直角
坐标系内的图像大致为（ ）A． B． C． D．
23．二次函数y＝ax2+bx的图像如图所示，则一次函数y＝ax+b的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
24．在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数 的图像如图所示，则二次
函数 的图像可能是（ ）A． B． ． D．
二、填空题
25．二次函数 的图像的顶点坐标是_________．
26．二次函数y＝2x2+bx+3的图像的对称轴是直线x＝1，则常数b的值为_____．
27．如果抛物线y＝（m﹣1）x2有最低点，那么m的取值范围为_____．
28．抛物线 的开口方向向______，对称轴是__________，最高点的坐标是
_________，函数值得最大值是________．
29．抛物线的部分图像如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是_____．30．若实数x，y满足x+y2＝3，设s＝x2+8y2，则s的取值范围是_____．
31．设A（﹣2，y），B（1，y），C（2，y）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y，
1 2 3 1
y，y 的大小关系为_____．
2 3
32．若 ， ， 为二次函数 的图像上的三点，则 ， ，
的大小关系是______．
33．把抛物线 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解
析式为___．
34．将抛物线 的图像，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得图像的解析式为
_______．
35．抛物线y＝2x2＋3的顶点坐标为______，对称轴为______．当x______时，y随x的增大而减
小；当x＝______时，y有最______值是______，它可以由抛物线y＝2x2向______平移______个
单位得到．
36．抛物线 沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线
的“同簇抛物线”．如果把抛物线 沿直线 向上平移，平移距离为 时，那么它的
“同簇抛物线”的表达式是_____．
37．二次函数 的图像与x轴相交于 ， 两点，则该抛物线的对称轴是
________．
38．已知二次函数y＝ax2+bx+c图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，可知
它的图像与x轴有两个交点，其中一个交点是（﹣1，0）那么它的图像与x轴的另一个交点坐标
是_____．39．在平面直角坐标系中，已知 和 是抛物线 上的两点，将抛物线
的图像向上平移n（n是正整数）个单位，使平移后的图像与x轴没有交点，则n的
最小值为_____．
40．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像过点
（1，0）……，求证：这个二次函数的图像关于直线x=2对称，根据现有信息，得出有关这个二
次函数的下列结论：①过点（3，0）；②顶点（2，2）；③在x轴上截得的线段的长是2；④与
y轴的交点是（0，3），其中正确的是______（填序号）．
41．如图为二次函数 的图像，则下列说法：① ；② ；③
；④ ，其中正确的有___________．（填序号）
42．如图，是二次函数y=ax2+bx+c的大致图像，则下列结论：①a＜0；②b＞0；③c＜0；④b2
﹣4ac＞0中，正确的有_____．（写上所有正确结论的序号）
43．二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④
其顶点坐标为（ ，﹣2）；⑤当x＜ 时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有______．（只填序号）
44．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图像如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下
结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＞0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结
论的序号是_____．
45．如图已知二次函数y＝x2+c与一次函数y＝x+c的图像如图所示，则当y＜y 时x的取值范
1 2 1 2
围_____．
46．已知二次函数 的图像开口向下，则直线 不经过的象限是第______象限．
47．如图是二次函数 和一次函数y＝kx+t的图像，当y≥y 时，x的取值范围是
2 1 2
_____．48．函数y＝x2+bx+c与y＝x的图像如图所示，有以下结论：
①bc＞0；②b2﹣4c＞0；③b+c+1＝0；④3b+c+6＝0；⑤当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．其
中正确的是_____．
三、解答题
49．设k≠0，若函数y＝kx+3，y＝（x﹣k）2+k和y＝（x+k）2﹣k的图像与y轴依次交于A，B
1 2 3
和C三点，设函数y，y 的图像的顶点分别为D，E．
2 3
（1）当k＝1时，请在直角坐标系中，分别画出函数y，y，y 的草图，并根据图像，写出你发
1 2 3
现的两条结论；
（2）BC长与k之间是正比例函数关系吗？请作出判断，并说明理由；
（3）若△ADE的面积等于9，求y 随x的增大而减小时，x的取值范围．
2
50．如图，抛物线y＝﹣x2+(m﹣1)x+m与y轴交于点(0，3)．
（1）m的值为________；
（2）当x满足________时，y的值随x值的增大而减小；
（3）当x满足________时，抛物线在x轴上方；
（4）当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是________．51．在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ．
（1）当 时，
①抛物线 的对称轴为 ______；
②若在抛物线 上有两点 ， ，且 ，则 的取值范围是______；
（2）抛物线 的对称轴与 轴交于点 ，点 与点 关于 轴对称，将点 向右平移3个单
位得到点 ，若抛物线 与线段 恰有一个公共点，结合图像，求 的取值范围．参考答案
1．A
分析：把函数解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．
解：∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1，
∴顶点坐标为（1，1）．
故选A．
点拨：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关
键．
2．D
【分析】把函数解析式整理成顶点式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答．
解：∵y＝x2−4x＋2＝（x−2）2−2，
∴在−1≤x≤3的取值范围内，当x＝2时，有最小值−2，
当x＝−1时，有最大值为y＝9−2＝7．
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式是解题的关键．
3．A
解：∵抛物线
∴a＜0，∴开口向下，
∴顶点坐标（5，3）．
故选A．
4．C
解：二次函数图像中a的符号决定了抛物线的开口方向，故选C．
5．D
【分析】本题的三个抛物线解析式都符合y=ax2形式，可以从顶点坐标和对称轴找相同点．
解：因为y=ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点，
所以它们的共同特点是：关于y轴对称的抛物线，有公共的顶点．
故选D．
【点拨】要掌握y=ax2形式的二次函数对称轴都是y轴，且顶点都在原点．
6．D
解：由图像，根据二次函数的性质，有A．若 ，则 ，原说法错误；
B．若 ，则 ，原说法错误；
C．若 ，则 ，原说法错误；
D．若 ，则 ，原说法正确．
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的图像和性质．
7．B
【分析】先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可．
解：抛物线 的对称轴为 ，
∵ ，
∴ 是y随x的增大而增大，
是y随x的增大而减小，
又∵(﹣3， )比(1， )距离对称轴较近，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，找到对称轴，注意二次函数的增减性是解题的关键．
8．C
解：∵抛物线
关于 轴对称点的坐标为 ．
又
．
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．9．D
【分析】用顶点式表达式，按照抛物线平移的公式即可求解．
解：将抛物线 先向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度后，函数的表达式为：
．
故选：D．
【点拨】主要考查了函数图像的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的
规律：左加右减，上加下减．
10．C
【分析】根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项．
解：抛物线 的顶点坐标是 ，抛物线线 的顶点坐标是 ，
所以将顶点 向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到顶点 ，
即将函数 的图像向右平移 个单位，再向上平移 个单位得到函数 的图
像．
故选C．
【点拨】主要考查了函数图像的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规
律求函数解析式．
11．A
【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后
所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位
长度所得对应点的坐标为（-2，-3），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3．
故选A．
12．C
【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．
解：A、平移后的解析式为y=（x+2）2﹣2，当x=2时，y=14，本选项不符合题意．
B、平移后的解析式为y=（x+1）2+2，当x=2时，y=11，本选项不符合题意．
C、平移后的解析式为y=（x﹣1）2﹣1，当x=2时，y=0，函数图像经过（2，0），本选项符合题
意．D、平移后的解析式为y=（x﹣2）2+1，当x=2时，y=1，本选项不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数的平移问题，掌握二次函数的平移特征是解题的关键．
13．D
【分析】根据x=1时的函数值最小判断出抛物线的开口方向; 根据函数的对称性可知当x=2时的
函数值与x=0时的函数值相同, 并求出对称轴直线方程可得答案.
解：A、由图表数据可知x=1时, y的值最小, 所以抛物线开口向上. 所以该抛物线与x轴有两个
交点.故本选项正确;
B、根据图表知, 当x≥2时y随x的增大而增大.故本选项正确;
C、抛物线的开口方向向上, 抛物线与y轴的交点坐标是(0, ),对称轴是x=1,所以二次
函数图像与x轴交点横坐标一个在-1~0之间, 另一个在2~3之间. 故本选项正确;
D、因为x=0和x=2 时的函数值相等,则抛物线的对称轴为直线x=1. 故本选项错误;
故选:D.
【点拨】本题主要考查二次函数性质与二次函数的最值.
14．B
【分析】根据抛物线的对称性进行分析作答．
解：由点A（ ，m），B （ l，m），可得：抛物线的对称轴为y轴，
∵C （2，1），
∴点C关于y轴的对称点为（－2，1），
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的图像和性质，找到抛物线的对称轴是本题的关键．
15．B
【分析】根据表格中的数据可以写出该函数的对称轴，本题得以解决．
解：由表格可得，
该函数的对称轴是：直线x＝ ，
故选：B．
【点拨】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型．
16．A
【解析】
【分析】把P点坐标代入二次函数解析式可求得a的值，则可求得二次函数解析式，再把选项中所给点的坐标代入判断即可；
解：∵二次函数 的图像经过点P(-1，4)，
∴ ，
解得a=4，
∴二次函数解析式为 ；
当x=1或x=-1时，y=4；
当x=4或x=-4时，y=64；
故点(1，4)在抛物线上；
故选A.
【点拨】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，掌握二次函数图像上点的坐标特征是解
题的关键.
17．B
【分析】先根据图像的开口确定a的符号，利用对称轴知b的符号，与y轴的交点确定c的符号．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴左侧，
∴x=- ＜0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
故选B．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a
决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一
次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴
左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线
与y轴交于（0，c）；
18．A
【分析】根据二次函数的图像与性质即可求出答案．解：①由图像可知：c＞0，a＜0，
∴ac＜0，故①错误；
②由于对称轴可知： ,
∴2a＋b<0，故②错误；
③由于抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝b2−4ac＞0，故③正确；
④由图像可知：x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，
故④错误；
⑤当0＜x＜ 时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；
故选：A.
【点拨】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质，本题属于基础题型．
19．D
【分析】由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1；函数与x轴有两个不同的交点；当x
＝﹣1时，y＞0；
解：由图可知a＞0，与y轴的交点c＜0，对称轴x＝1，
∴b＝﹣2a＜0；
∴abc＞0，A错误；
由图像可知，函数与x轴有两个不同的交点，∴△＞0，B错误；
当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，C错误；
∵b＝﹣2a，D正确；
故选D．
【点拨】本题考查二次函数的图像及性质；熟练掌握二次函数的图像及性质，能够从给出的图像
上获取信息确定a，b，c，△，对称轴之间的关系是解题的关键．
20．D
【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y轴的交点位置可判断a、b、c
的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断
各选项．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴ ，即b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
则abc＞0，故A正确；
当x=-1时，y取最大值为 ，故B正确；
由于开口向上，对称轴为直线x=-1，
则点（1，0）关于直线x=-1对称的点为（-3，0），
即抛物线与x轴交于（1，0），（-3，0），
∴当 时， ，故C正确；
由图像可知：当x=-2时，y＞0，
即 ，故D错误；
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a
决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b
和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a
与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于
（0，c）．
21．C
【分析】首先根据二次函数图像与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称
轴在y轴右边可得a、b异号，故b＞0，再根据反比例函数的性质与一次函数图像与系数的关系
画出图像可得答案．
解：根据二次函数图像与y轴的交点可得c＞0，根据抛物线开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴
右边可得a、b异号，故b＞0，
则反比例函数 的图像在第二、四象限，
一次函数 经过第一、二、四象限，
故选：C．【点拨】此题主要考查了二次函数图像，一次函数图像，反比例函数图像，关键是根据二次函数
图像确定出a、b、c的符号．
22．B
解：试题解析：由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＜0，
∴一次函数y=ax+b的图像经过第一、三、四象限，
反比例函数y= 的图像在第二、四象限，
故选B．
考点：1．二次函数的图像；2．一次函数的图像；3．反比例函数的图像．
23．D
【分析】可先根据二次函数的图像判断a、b的符号，再判断一次函数图像与实际是否相符，判
断正误．
解：由二次函数图像，得出a＜0， ，b＜0，
A、一次函数图像，得a＞0，b＞0，故A错误；
B、一次函数图像，得a＜0，b＞0，故B错误；
C、一次函数图像，得a＞0，b＜0，故C错误；
D、一次函数图像，得a＜0，b＜0，故D正确；
故选D．
【点拨】本题考查了二次函数图像，应该熟记一次函数 在不同情况下所在的象限，以及
熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
24．D
【分析】根据二次函数 与一次函数 的图像可知 ， ， ，从而判断出
二次函数 的图像．
解：∵二次函数 的图像开口向上，
∴ ，
∵次函数 的图像经过一、三、四象限，
∴ ， ，
对于二次函数 的图像，∵ ，开口向上，排除A、B选项；
∵ ， ，
∴对称轴 ，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查了一次函数的图像以及二次函数的图像，根据二次函数的图像和一次函数图像
经过的象限，找出 ， ， 是解题的关键．
25．(-1,4)
【分析】把二次函数解析式配方转化为顶点式解析式，即可得到顶点坐标．
解：∵ =-(x+1)2+4，
∴顶点坐标为(-1,4)．
故答案为(-1,4)．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，把解析式配方写成顶点式解析式是解题的关键．
26．-4
【分析】根据对称轴方程，列出关于b的方程即可解答．
解：∵二次函数y=2x2﹣+bx+3的对称轴是直线x=1，∴x=﹣ =1，∴b=﹣4．
故答案为﹣4．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解答本题的关键．
27．m＞1．
【分析】直接利用二次函数的性质得出m－1的取值范围进而得出答案．
解：∵抛物线y=（m－1）x2有最低点，∴m－1＞0，解得：m＞1．
故答案为：m＞1．
【点拨】本题考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．
28．下 直线x=1 （1，1） 1
解：y=-4x2+8x-3=-4（x2-2x+1）+1=-4（x-1）2+1，
∴开口方向向下，对称轴是直线x=1，最高点的坐标是（1，1），函数值的最大值是1．
故答案为下；直线x=1；（1，1）；1．
点睛：函数y=ax2+bx+c=a(x+ )2+ ，其对称轴为直线x=- ，最高点坐标为（- ，），函数的最值为 （a>0时是最小值，a<0时是最大值）.
29． .
【分析】利用抛物线的对称性写出抛物线与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方
所对应的自变量的范围即可．
解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），
而抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．
故答案为﹣1＜x＜3．
【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的
性质．
30．
【分析】由已知等式表示出y2，代入s中利用二次函数最值即可确定出s范围．
解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，
∴x≤3，
代入得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，
当x＝3时，s＝（3﹣4）2+8＝9，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查二次函数的性质，关键是根据题意进行代入消元，然后利用二次函数的性
质进行求解即可．
31．y＞y＞y
1 2 3
【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增
减性可判断y值的大小．
解：∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a，
∴对称轴是x=-1，
∴点A（﹣2，y）关于对称轴的点A′是（0，y），
1 1
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是y＞y＞y．
1 2 3故答案为y＞y＞y．
1 2 3
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征和二次函数的性质，掌握二次函数图像的增减
性是解题的关键．
32．
【分析】分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可．
解： ，
，
，
，
．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析
式．
33．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”进行计算即可．
解：抛物线 向左平移1个单位长度，
再向下平移3个单位长度，
得到的抛物线的解析式为： ，
即：
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查函数图像的平移，熟记函数图像的平移方式“上加下减，左加右减”是解
题的关键．
34． ．【分析】直接利用二次函数的平移规律进而得出答案．
解：将抛物线 的图像，向左平移1个单位，再向下平移2个单位，
所得图像的解析式为： ．
故答案为 ．
【点拨】此题主要考查了二次函数图像与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
35．(0，3) y轴 x≤0 0 小 3 上 3
【分析】根据二次函数的性质求解可得．
解：抛物线y＝2x2＋3的顶点坐标为(0，3)，对称轴为y轴，
∵抛物线的开口向上，
∴当x≤0时，y随x的增大而减小；
当x=0时，y有最小值，这个值是3．
它可以由抛物线y＝2x2向上平移两个单位得到．
故答案为：((0，3)；；y轴 ；x≤0； 0 ；小； 3 ；上 ；3
【点拨】本题考查了二次函数的性质，a＞0时，图像开口向上，函数有最小值，在对称轴的左侧，
y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．
36．
【分析】沿直线y=x向上平移，平移距离为 则相当于抛物线y=ax2 (a≠0)向右平移1个单位，
向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式．
解：解:∵抛物线 沿直线 向上平移，平移距离为 ，相当于抛物线 向右
平移1个单位，向上平移1个单位，
∴根据平移的规律得到:“同簇抛物线”的表达式是 ．
故答案为: ．
【点拨】本题考查了二次函数的几何变换:由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移
后的抛物线解析式只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
37．直线
【分析】由抛物线对称性质可知，抛物线与横轴的交点到对称轴的距离相等，可知其对称轴为与横轴两交点的和的一半．
解： 二次函数 的图像与 轴相交于 和 两点，
其对称轴为：直线 ．
故答案为：直线 ．
【点拨】本题考查了抛物线与 轴的交点，解题的关键是知道关于对称轴对称的两点到原点的
距离相等．
38．(3，0)
【分析】根据表格中的数据可以得到该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，可以得到
该函数与x轴的另一个交点的坐标．
解：由表格可知，
二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝ ＝1，
∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），
∴它与x的轴的另一个交点为（3，0），
故答案为：（3，0）．
【点拨】本题考查二次函数对称性质,关键在于理解对称的性质.
39．4
【分析】通过A、B两点得出对称轴,再根据对称轴公式算出b,由此可得出二次函数表达式,从而算
出最小值即可推出n的最小值．
解：∵A、B的纵坐标一样,
∴A、B是对称的两点,
∴对称轴 ,即 ,
∴b=﹣4．
．
∴抛物线顶点(2,﹣3)．
满足题意n得最小值为4,
故答案为4．
【点拨】本题考查二次函数对称轴的性质及顶点式的变形,关键在于根据对称轴的性质从题意中
判断出对称轴．40．①③
【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，从而得到抛物线在
轴上截得的线段的长，利用 和对称轴方程不能确定顶点的纵坐标和 的值.
解： 二次函数 的图像过点 ，对称轴为直线 ，
抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
抛物线在 轴上截得的线段的长是 .
故答案为：①③.
【点拨】本题考查了抛物线与 轴的交点：把求二次函数 （ ， ， 是常数，
）与 轴的交点坐标问题转化解.关于 的一元二次方程即可求得交点横坐标.
41．（2）（3）
解：略
42．①②④
【分析】利用抛物线开口方向对①进行判断；利用抛物线的对称轴的位置对②进行判断；利用抛
物线与y轴的交点位置对③进行判断；利用抛物线与x轴的交点个数对④进行判断．
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0；所以①正确；
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴b＞0，所以②正确；
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，所以③错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，所以④正确．
故答案为①②④．
【点拨】本题考查了二次函数图像与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系
数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在
y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴
有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有
交点．
43．①②③⑤
【分析】根据图像可判断①②③④⑤，由x=1时，y＜0，可判断⑥
解：由图像可得，a＞0，c＜0，b＜0，△=b2﹣4ac＞0，对称轴为x=
∴abc＞0，4ac＜b2，当 时，y随x的增大而减小．故①②⑤正确,
∵
∴2a+b＞0,
故③正确,
由图像可得顶点纵坐标小于﹣2，则④错误,
当x=1时，y=a+b+c＜0,故⑥错误
故答案为:①②③⑤
【点拨】本题考查的是二次函数图像与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物
线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
44．①②③④⑤．
【分析】①根据 对应的函数值即可判断①的正误；
②根据抛物线与x轴交点情况可判断②的正误；
③由对称轴的位置可判断ab的正负，由抛物线与y轴的交点判断c的正负，从而可判断③的正误；
④根据 对应的函数值即可判断④的正误；
⑤根据c的值及a的正负即可判断⑤的正误．
解：① x＝1时，y＝a+b+c＜0，正确，符合题意；
② 抛物线与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0正确，符合题意；
③ 对称轴在y轴左侧，则ab＞0，而抛物线与y轴的交点为 ，所以c＞0，故abc＞0正确，
符合题意；
④ 由函数的对称性知，x＝﹣2和x＝0对称，故x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝1＞0，正确，符合题
意；
⑤ 抛物线与y轴的交点为 ，所以c＝1，抛物线开口向下，所以a＜0，故c﹣a＞1，正确，符合题意．
故答案为：① ② ③ ④ ⑤．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
45．0＜x＜1．
【分析】首先将两函数解析式联立得出其交点横坐标，进而得出当y＜y 时x的取值范围．
1 2
解：由题意可得：x2+c＝x+c，
解得：x＝0，x＝1，
1 2
则当y＜y 时x的取值范围：0＜x＜1．
1 2
故答案为0＜x＜1．
【点拨】此题主要考查了二次函数与一次函数，正确得出两函数的交点横坐标是解题关键．
46．四
【分析】根据二次函数的图像求出a的取值，再根据一次函数的图像与性质即可求解．
解：∵二次函数 的图像开口向下，
∴ ．
又∵直线 ，
直线 经过第一、二、三象限，即不经过第四象限．
故答案为：四．
【点拨】此题主要考查二次函数与一次函数综合，解题的关键是熟知其图像与性质．
47．﹣1≤x≤2．
【分析】根据图像可以直接回答，使得y≥y 的自变量x的取值范围就是直线y=kx+m落在二次
1 2 1
函数y=ax2+bx+c的图像上方的部分对应的自变量x的取值范围．
2
解：根据图像可得出：当y≥y 时，x的取值范围是：﹣1≤x≤2．
1 2
故答案为：﹣1≤x≤2．
【点拨】本题考查了二次函数的性质．本题采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得更形象、
直观，降低了题的难度．
48．④⑤
【分析】根据函数y＝x2+bx+c的图像得出a、b、c的符号，对①进行判断；利用判别式的意义对
②进行判断；利用x＝1，y＝1可对③进行判断；利用x＝3，y＝3对④进行判断；根据1＜x＜3
时，x2+bx+c＜x可对⑤进行判断．
解：由图像开口向上，则a＞0，对称轴在y轴右侧，则a，b异号，故b＜0，图像与y轴交在正半轴，故c＞0，
则bc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴没有公共点，
∴△＝b2﹣4c＜0，所以②错误；
∵x＝1，y＝1，
∴1+b+c＝1，
即b+c＝0，所以③错误；
∵x＝3，y＝3，
∴9+3b+c＝3，
∴3b+c+6＝0，所以④正确；
∵1＜x＜3时，x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0的解集为1＜x＜3，所以⑤正确．
故答案为：④⑤．
【点拨】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数与不等式（组）：利用两个函数图像在
直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数
解析式列成不等式求解．
49．（1）见解析，直线与两抛物线始终有两个交点；B点在C点上方；（2）BC长与k之间是
正比例函数关系，见解析；（3）x≤3．
【解析】
【分析】（1）当k=1时，分别求出它们的解析式，画出图像；
（2）求出B与C的坐标，求出BC=2k，可知BC与k是正比例函数；
（3）构造矩形求△BDE的面积，利用面积求k的值，进而求出y 的函数解析式，从而求解．
2
解：（1）当k＝1时，y＝x+3，y＝（x﹣1）2+1和y＝（x+1）2﹣1．
1 2 3
如图，
直线与两抛物线始终有两个交点；B点在C点上方；（2）B（0，k2+k），C（0，k2﹣k），
∴BC＝（k2+k）﹣（k2﹣k）＝2k，
∴BC长与k之间是正比例函数关系；
（3）由表达式可知：D（k，k），E（﹣k，﹣k），
过D，E分别向x轴作垂线，过A，E分别向y轴作垂线，交点为O，P，E，N，
则由OPEN构造长方形，
∴S ＝S ﹣S ﹣S ﹣S ＝2k（3+k）﹣ k•（3+k）﹣ 2k•2k﹣ k•（3﹣k）＝3k，
△ADE PONE △APE △AOD △EDN
∵△ADE的面积等于9，
∴3k＝9，
∴k＝3，
∴y＝（x﹣k）2+k＝（x﹣3）2+3，
2
∴对称轴是x＝3，
当y 随x的增大而减小时，x≤3．
2
故答案为（1）见解析，直线与两抛物线始终有两个交点；B点在C点上方；（2）BC长与k之
间是正比例函数关系，见解析；（3）x≤3．
【点拨】本题考查二次函数与一次函数的图像；正比例函数的判别；二次函数顶点，对称轴；三
角形面积．能够将一次函数，正比例函数，二次函数三个函数的图像与解析式结合解题，同时数
形结合思想的运用起到关键作用．
50．（1）3；（2）x＞1；（3）-1＜x＜3；（4）-5≤y≤4
【分析】根据函数的图像和性质即可求解．
解：（1）将（0，3）代入y＝﹣x2+（m﹣1）x+m得，3＝m，
故答案为3；
（2）m＝3时，抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，函数的对称轴为直线x＝ ＝1，
∵﹣1＜0，故抛物线开口向下，
当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，
故答案为x＞1；
（3）令y＝﹣x2+2x+3，解得x＝﹣1或3，
从图像看，当﹣1＜x＜3时，抛物线在x轴上方；
故答案为﹣1＜x＜3；
（4）当x＝0时，y＝3；当x＝4时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣5，
而抛物线的顶点坐标为（1，4），
故当x满足0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4，
故答案为﹣5≤y≤4．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质及系数的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及
系数的关系是解题的关键．
51．（1）①1；② 或 ；（2） 或 ．
【分析】（1）①根据抛物线对称轴公式解题即可；
②根据抛物线的增减性解题，分两种情况讨论；
（2）先解得抛物线与x轴的交点坐标M，再根据题意解得A、B两点的坐标，将这三个点分别
代入抛物线解析式中，解得 的值，结合图像解题即可．
解：（1）①抛物线 的对称轴为： ，
故答案为：1；
（2）根据抛物线图像特征，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的
增大而减小，故在抛物线 上有两点 ， ，且 ，则 的取值范围是 或
，
故答案为： 或 ；
（2） 抛物线 的对称轴为： ，且对称轴与x轴交于点M，
点 与点 关于 轴对称，M向右平移3个单位得到点 ，
，
依题意，抛物线G与线段AB恰有一个公共点，
把点 代入抛物线 ，可得 ，
把点 代入抛物线 ，可得 ，
把点 代入抛物线 ，可得 ，
根据所画图像可知抛物线G与线段AB的交点恰有一个时， 或 ．
【点拨】本题考查二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征、二次函数图像与
几何变换等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
