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专题 2.14 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像与性质（专项练习
1）
一、单选题
1．二次函数 的图像顶点坐标为（ ）
A．（1，1） B．（1，-1） C．（-1，1） D．（-1，-1）
2．把二次函数y=x2﹣4x+3化成y=a（x+h）2+k的形式是（ ）
A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2+7 C．y=（x﹣2）2﹣1 D．y=（x+2）2﹣7
3．将二次函数y＝x2﹣4x+1的右边进行配方，正确的结果是（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣4）2+1 C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x+2）2﹣3
4．有x人结伴去旅游共需支出y元，若y与x之间满足解式 ，要使总支出
最少，此时人数x为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．函数 的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
6．将函数y=kx2与y=kx+k的图像画在同一个直角坐标系中，可能的是（ ）
A． B． C． D．
7．若正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，则它和二次函数y=mx2+m的图像大致是
（ ）A． B． C． D．
8．如果在二次函数的表达式y=ax2+bx+c中，a＞0，b＜0，c＜0，那么这个二次函数的图像可能
是（ ）
A． B．
C． D．
9．关于二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图像与 轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在 轴的右侧
C．当 时， 的值随 值的增大而减小 D． 的最小值为-3
10．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，对称轴是x=－1．有以下结论：①abc>0，
②4ac2，其中正确的结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图像如图所示，下列关于此函数图像的描述中，错误的是（ ）
A．对称轴是直线x＝1 B．当x＜0时，函数y随x增大而增大
C．图像的顶点坐标是（1，4） D．图像与x轴的另一个交点是（4，0）
12．若二次函数y=|a|x2+bx+c的图像经过A(m,n)、B(0,y)、C(3－m,n)、D( , y )、E(2,y)，则
1 2 3
y、y、y 的大小关系是( ).
1 2 3
A．y< y < y B．y < y < y C．y< y < y D．y< y < y
1 2 3 1 3 2 3 2 1 2 3 1
13．函数y=x2+bx+c与y=x的图像如图所示，有以下结论：
①b2﹣4c＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0．
其中正确的个数为
A．1 B．2 C．3 D．4
14．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图像如图所示，下列判断中：
①abc＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③9a﹣3b+c=0；
④若点（﹣0.5，y），（﹣2，y）均在抛物线上，则y＞y；
1 2 1 2
⑤5a﹣2b+c＜0．
其中正确的个数有（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
15．二次函数 （ 是常数， ）的自变量 与函数值 的部分对应值如
下表：
… 0 1 2 …
… …
且当 时，与其对应的函数值 ．有下列结论：① ；② 和3是关于 的方程
的两个根；③ ．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．如图，是二次函数 图像的一部分，下列结论中：
① ；② ；③ 有两个相等的实数根；④ .其
中正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④二、填空题
17．已知二次函数 ，a，b为常数，当y达到最小值时，x的值为
_____
18．用配方法将二次函数 化成 的形式，则y=______．
19．二次函数y＝2x2－4x＋5通过配方化为顶点式为y＝____，其对称轴是_____，顶点坐标为
_____．
20．函数y=（x﹣1）2+4的对称轴是_____，顶点坐标是_____，最小值是_____．
21．如图，这是二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图像，根据图像可知，函数值小于0时x的取值范围为
_____．
22．抛物线 的部分图像如图所示，则当 时， 的取值范围是
________________．
23．抛物线的图像如图，当x____________时，y 0．24．如图，在平面直角坐标系中，函数yx22x3（0x4）的图像记为G，将图像G 沿直线x
1 1
＝4翻折得到图像G．过点A(10，-4)的直线ykxb(k0，k、b是常数)与图像G、图像G 都相
2 1 2
交，且只有两个交点，则b的取值范围是_______．
25．已知点A（4，y），B（ ，y），C（-2，y）都在二次函数y=（x-2）2-1的图像上，则
1 2 3
y，y，y 的大小关系是_________.
1 2 3
26．已知二次函数 ， 与 的部分对应值如下表所示：
… -1 0 1 2 3 4 …
… 6 1 -2 -3 -2 m …
下面有四个论断：
①抛物线 的顶点为 ；
② ；
③关于 的方程 的解为 ；
④ ．
其中，正确的有___________________．27．若 ， ， 为二次函数 的图像上的三点，则 ，
， 的大小关系是______．
28．已知二次函数 （ 是常数， ）的 与 的部分对应值如下表：
0 2
6 0 6
下列结论：
① ；
②当 时，函数最小值为 ；
③若点 ，点 在二次函数图像上，则 ；
④方程 有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
29．已知抛物线 的对称轴是直线 ，其部分图像如图所示，下列说法中：
① ；② ；③ ；④当 时， ，正确的是_____（填写
序号）．
30．如图，抛物线 的对称轴是 ．且过点（ ，0），有下列结论：①abc＞0；②a﹣2b+4c=0；③25a﹣10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b）；其中所有正确的
结论是_________．（填写正确结论的序号）
31．如图，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)经过点A（-3，0），对称轴为直线x= -1，则(a+b)(4a-2b+1)的
值为____________．
32．如图，二次函数 的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，
且 ，则下列结论： ； ； ；
其中正确结论的序号是______．
三、解答题
33．已知抛物线 经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的顶点坐标．
34．已知二次函数y＝x2﹣4x+3．
（1）求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点；
（2）在所给坐标系中画出该二次函数的大致图像，并写出当y＜0时，x的取值范围．
35．如图，已知二次函数 的图像经过点 .（1）求 的值和图像的顶点坐标．
（2）点 在该二次函数图像上.
①当 时，求 的值；
②若 到 轴的距离小于2，请根据图像直接写出 的取值范围.
36．已知抛物线y=ax2+bx+c 如图所示，直线x=-1是其对称轴，
（1）确定a，b，c， Δ=b2-4ac的符号，
（2）求证：a-b+c>0，
（3）当x取何值时，y>0；当x取何值时y<0.参考答案
1．A
【分析】
直接利用配方法得出函数顶点式进而得出其顶点坐标．
解：
，
则二次函数 图像顶点坐标是（1，1）．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了二次函数的性质，正确进行配方法将原式变形是解题关键．注意：二次
函数的顶点式为 ，则抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为( ， ) ．
2．C【分析】
用配方法化成顶点式即可．
解：y=x2﹣4x+3，
y=x2﹣4x+4-4+3，
y=（x-2）2﹣1，
故选：C．
【点拨】本题考查了用配方法把二次函数化成顶点式，解题关键是熟练运用配方法化顶点式，注
意配方法的步骤．
3．A
【分析】
加上一次项系数一半的平方，即得出顶点式的形式．
解：y＝x2﹣4x+1＝（x2﹣4x+4）﹣4+1＝（x﹣2）2﹣3．
故选：A．
【点拨】本题主要考查二次函数一般式化为顶点式，熟练掌握利用配方法进行化为顶点式是解题
的关键．
4．C
【分析】
先将 化为顶点式，再利用二次函数求最值的方法求解即可．
解：由 = 且a=2＞0知：
当x=5时，y取得最小值，
即要使总支出最少，此时人数x为5，
故选：C．
【点拨】本题考查了求二次函数的最值，熟练掌握利用二次函数求最值的方法，将解析式化为顶
点式是解答的关键．
5．B
【分析】
利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图像找出答案即可．
函数的二次项系数为-1，所以开口向下，抛物线与y轴的交点为（0，1）.
符合条件的图像是B．
故选B．【点拨】此题考查二次函数的图像，掌握二次函数的性质，图像的开口方向和顶点坐标是解决问
题的关键．
6．C
【解析】
【分析】
根据题意，利用分类讨论的方法，讨论k＞0和k＜0，函数y=kx2与y=kx+k的图像，从而可以解
答本题．
当k＞0时，
函数y=kx2的图像是开口向上，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图像经过第一、二、三象限，是
一条直线，故选项A、B均错误，
当k＜0时，
函数y=kx2的图像是开口向下，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图像经过第二、三、四象限，是
一条直线，故选项C正确，选项D错误，
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的图像、一次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结
合的思想解答．
7．A
∵正比例函数y=mx（m≠0），y随x的增大而减小，
∴该正比例函数图像经过第一、三象限，且m＜0，
∴二次函数y=mx2+m的图像开口方向向下，且与y轴交于负半轴，
综上所述，符合题意的只有A选项，
故选A.
8．C
【分析】
由a＞0，b＜0，c＜0，推出﹣ ＞0，可知抛物线的图像开口向上，对称轴在y轴的右边，交y
轴于负半轴，由此即可判断．
解：∵a＞0，b＜0，c＜0，
∴﹣ ＞0，∴抛物线的图像开口向上，对称轴在y轴的右边，交y轴于负半轴，
故选C．
【点评】
本题考查二次函数的图像，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于
中考常考题型．
9．D
分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故选D．
点拨：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数
的性质解答．
10．C
①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为直线x= =﹣1，∴b=2a＜0，∵抛物线与y
轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＞0，所以①正确；
②∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2-4ac＞0，∴4ac -1，则当x=-1时，y＞0，
则
则②错误；
③由图可知c=-1
△=b2—4a(c+1)=b2,且b≠0
∴③错误
④由图可知，对称轴x=
且1＜ ＜2
∴
故④正确；
故选D.
【点拨】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键.
17．
【分析】
把解析式化成顶点式即可求得．
解：根据二次函数
因此当x＝ 时，y达到最小值．
故答案为 ．
【点拨】本题考查了用配方法化简二次函数的一般形式为顶点式；关键在于能熟练应用配方法．
18．【解析】
分析：利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般
式转化为顶点式．
详解：y=- x2+x-1，
=- （x2-2x+1）-1- ，
=- （x-1）2- ，
即y=- （x-1）2- ，
故答案是：- （x-1）2- ．
点拨：本题考查了二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为
常数）；（2）顶点式：y=a（x-h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x-x）（x-x）．
1 2
19． 2(x－1)2＋3 x=1 (1，3)
【解析】【分析】可通过将二次函数y＝2x2－4x＋5化为顶点式，再依次判断对称轴、顶点坐标．
【详解】二次函数y＝2x2－4x＋5化为顶点式为2(x－1)2＋3，所以，其对称轴是x=1，顶点坐标
为(1，3)．
故答案为：
【点拨】本题全面考查了二次函数的性质，涉及面广，关键应掌握配方方法．
20． 直线x=1 （1，4） y=4
【解析】
【分析】
根据题目中的函数解析式可以解答本题．
函数y=（x-1）2+4的对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，4），最小值是y=4，
故答案为：直线x=1，（1，4），y=4．
【点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函
数的性质解答．21．﹣1＜x＜3．
【分析】
根据图像直接可以得出答案
如图，从二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图像中可以看出
函数值小于0时x的取值范围为：﹣1＜x＜3
【点拨】此题重点考察学生对二次函数图像的理解，抓住图像性质是解题的关键
22．
【分析】
由抛物线图像可得，对称轴是x=－1，抛物线与x轴的一个交点为(－3,0)，则抛物线与x轴的另
一个交点是(1,0)，根据二次函数的图像写出当 时，x的取值范围即可．
由题意可得：对称轴是x=－1，抛物线与x轴的一个交点为(－3,0)，
抛物线与x轴的另一个交点是(1,0)，
当 时， ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像与性质，根据二次函数图像的对称性求出抛物线与x轴的
另一个交点坐标是解题关键．
23．
【分析】
由图观察得出y=0时所对的x的值，再根据开口方向，从而确定y 0时，x的取值范围.
由图观察得出y=0时，x=1或x=3，又知开口向上，则 y 0时， .
【点拨】本题是对二次函数图像的考查，准确找到而从函数零点位置是解决本题的关键，难度较
小.24．1＜b＜11或b=-4．
【分析】
如下图所示，根据m、l、n都是直线y=kx+b与图像P、Q都相交，且只有两个交点的临界点，即
可求解．
如下图所示，直线m、l、n都是直线y=kx+b与图像P、Q都相交，且只有两个交点的临界点，
点E、R、C′坐标分别为（4，5）、（10，-4）、（8，-3），
直线l的表达式：把点E、R的坐标代入直线y=kx+b得：
，解得： ，
同理可得直线m的表达式为： ，
直线n的表达式为：y=-4，
故：b的取值范围为：1＜b＜11或b=-4．
【点拨】本题考查的是二次函数知识的综合运用，本题的难点是通过作图的方式，通过数形结合
的方法即可解决问题．
25．y>y>y.
3 1 2
【解析】试题分析：将A,B,C三点坐标分别代入解析式，得：y=3,y=5-4 ,y=15,∴y >y>y.
1 2 3 3 1 2
考点：二次函数的函数值比较大小.
26．①③．
【解析】
【分析】
根据图表求出函数对称轴，再根据图表信息和二次函数性质逐一判断即可.
由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），y与x的部分对应值可知：
该函数图像是开口向上的抛物线，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-3）；与x轴有两个交点，
一个在0与1之间，另一个在3与4之间；当y=-2时，x=1或x=3；由抛物线的对称性可知，
m=1；
①抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（2，-3），结论正确；
②b2﹣4ac＝0，结论错误，应该是b2﹣4ac>0；
③关于x的方程ax2+bx+c＝﹣2的解为x＝1，x＝3，结论正确；
1 2
④m＝﹣3，结论错误，
其中，正确的有. ①③
故答案为：①③
【点拨】本题考查了二次函数的图像，结合图表信息是解题的关键.
27．
【分析】
分别将点的坐标代入二次函数解析式，然后进行判断即可．
，
，
，
，
．
故答案为 ．【点拨】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析
式．
28．①③④
【分析】
先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质
可判断②；把点 和点 代入解析式求出y、y 即可③；当y=﹣5时，利用一元二次
1 2
方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案．
解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：
，解得： ，
∴二次函数的解析式是 ，
∴a=1＞0，故①正确；
当 时，y有最小值 ，故②错误；
若点 ，点 在二次函数图像上，则 ， ，∴ ，故③正确；
当y=﹣5时，方程 即 ，∵ ，∴方程
有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论是：①③④．
故答案为：①③④．
【点拨】本题以表格的形式考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质以及一元二
次方程的根的判别式等知识，属于常考题型，熟练掌握二次函数与一元二次方程的基本知识是解
题的关键．
29．①③④．
【分析】
首先根据二次函数图像开口方向可得 ，根据图像与y轴交点可得 ，再根据二次函数的对称轴 ，结合a的取值可判定出b>0，根据a,b,c的正负即可判断出①的正误；把
代入函数关系式 ，再根据对称性判断出②的正误；把
中即可判断出③的正误；利用图像可以直接看出④的正误．
解：根据图像可得： ，
对称轴：
，
故①正确；
把 代入函数关系式
由抛物线的对称轴是直线 ，可得当
故②错误；
即： 故③正确；
由图形可以直接看出④正确．
故答案为①③④．
【点拨】此题主要考查了二次函数图像与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛
物线的开口方向，当 时，抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即 ），对称轴在y轴左
侧； 当a与b异号时（即 ），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）；③常数项c
决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于 ．
30．①③⑤．
【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号，及运用一些特殊点解答问题．
由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＜0，
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
直线 抛物线 的对称轴，所以 ，可得b=2a，a﹣2b+4c=a﹣4a+2=
﹣3a+4c，
∵a＜0，
∴﹣3a＞0，
∴﹣3a+4c＞0，即a﹣2b+4c＞0，故②错误；
∵抛物线 的对称轴是 ．且过点（ ，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（ ，0），
当x= 时，y=0，即 ，整理得：25a﹣10b+4c=0，故③正确；
∵b=2a，a+b+c＜0，
∴ ，即3b+2c＜0，故④错误；
∵x=﹣1时，函数值最大，
∴ （m≠1），
∴a﹣b＞m（am﹣b），所以⑤正确；故答案为①③⑤．
31．-1
【解析】
【分析】由“对称轴是直线x=-1，且经过点P（-3，0）”可知抛物线与x轴的另一个交点是
（1，0），代入抛物线方程即可解得．
【详解】因为抛物线对称轴x=-1且经过点P（-3，0），
所以抛物线与x轴的另一个交点是（1，0），
代入抛物线解析式y=ax2+bx+1中，得a+b+1=0．
所以a+b=-1，
又因为 ，
所以2a-b=0,
所以(a+b)(4a-2b+1)=-1(0+1)=-1
故正确答案为：-1
【点拨】本题考核知识点：二次函数的对称轴. 解题关键：利用抛物线的对称性，找出抛物线与
x轴的另一个交点.
32．①③④
【解析】
（1）∵抛物线开口向下，
∴ ，
又∵对称轴在 轴的右侧，
∴ ，
∵抛物线与 轴交于正半轴，
∴ ，
∴ ，即①正确；
（2）∵抛物线与 轴有两个交点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，即②错误；（3）∵点C的坐标为 ，且OA=OC，
∴点A的坐标为 ，
把点A的坐标代入解析式得： ，
∵ ，
∴ ，即③正确；
（4）设点A、B的坐标分别为 ，则OA= ，OB= ，
∵抛物线与 轴交于A、B两点，
∴ 是方程 的两根，
∴ ，
∴OA·OB= .即④正确；
综上所述，正确的结论是：①③④.
33．（1） （2）（1，4）
【解析】
解：（1）∵抛物线 经过点A（3，0），B（－1，0），
∴抛物线的解析式为； ，即 ，
（2）∵抛物线的解析式为 ，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．
（1）根据抛物线 经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接由交点式得出抛物线
的解析式．
（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．34．（1）二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0），抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）图见详解；当y＜0时，1＜x＜3．
【分析】
（1）令y=0，可求出x的值，即为与x轴的交点坐标；将二次函数化为顶点式即可得出顶点坐标
（2）根据与x轴的交点坐标，顶点坐标，与y轴的交点即可画出图像，再根据图像信息即可得
出x的取值范围.
（1）当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得x＝1，x＝3，
1 2
所以该二次函数与x轴的交点坐标为（1，0）（3，0）；
因为y＝x2﹣4x+3＝x2﹣4x+4﹣1＝（x﹣2）2﹣1，
所以抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）；
（2）函数图像如图：
由图像可知，当y＜0时，1＜x＜3．
【点拨】本题考查了二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键.
35．（1） ；（2）① 11；② .
【分析】
（1）把点P（-2，3）代入y=x2+ax+3中，即可求出a；
（2）①把m=2代入解析式即可求n的值；
②由点Q到y轴的距离小于2，可得-2＜m＜2，在此范围内求n即可.
（1）解：把 代入 ，得 ，
解得 .∵ ，
∴顶点坐标为 .
（2）①当m=2时，n=11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴-2＜m＜2，
∴2≤n＜11.
【点拨】本题考查二次函数的图像及性质；熟练掌握二次函数图像上点的特征是解题的关键．
36．（1）a<0，b<0，c>0，b2-4ac>0；
（2）a-b+c>0；
（3）当-30 ，∴当x<-3或x>1时，y<0.
【解析】
思路点拨：（1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与y
轴的交点确定c的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定b2-4ac的符号；
（2）根据图像和x=-1的函数值确定a-b+c与0的关系；
（3）抛物线在x轴上方时y＞0；抛物线在x轴下方时y＜0．
试题分析：
由抛物线的开口向下，得a<0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方，得c>0，
又由 <0，∴ >0，
∴a、b同号，由a<0得b<0.
由抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴Δ=b2-4ac>0
（2）由抛物线的顶点在x 轴上方，对称轴为x=-1.
∴当x=-1时，y=a-b+c>0
（3）由图像可知：当-30 ，
∴当x<-3或x>1时，y<0
考点：二次函数的图像与系数的关系
