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专题 25 排列组合二项式定理归类
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题型一：有顺序模型：书架插书法.....................................................................................................................................1
题型二：先分组再排列：球放盒子模型.............................................................................................................................2
题型三：不相邻与相邻型：人坐座位模型.........................................................................................................................2
题型四：多重限制模型.........................................................................................................................................................3
题型五：相同元素模型：数字化法.....................................................................................................................................4
题型六：平均分配型.............................................................................................................................................................6
题型七：空车位型.................................................................................................................................................................6
题型八：地图染色.................................................................................................................................................................7
题型九：走楼梯型.................................................................................................................................................................8
题型十：挡板法.....................................................................................................................................................................9
题型十一：公交车与电梯型.................................................................................................................................................9
题型十二：立体几何空间型...............................................................................................................................................10
题型十三：跳棋模型...........................................................................................................................................................11
题型十四：不定方程模型...................................................................................................................................................12
题型十五：二项式：赋值法...............................................................................................................................................12
题型十六：换元型赋值.......................................................................................................................................................13
题型十七：系数最大...........................................................................................................................................................14
题型十八：三项式展开.......................................................................................................................................................15
题型一：有顺序模型：书架插书法
“书架插书”模型
书架插书法：
（1）、书架上原有书的顺序不变；
（2）、新书要一本一本插；
（3）、也可以把有顺序的“书”最后放，先放没顺序得，但是得从“总座位”中选（百分比
法）
1．（22-23高二下·云南·期中）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.
如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
A．42 B．30 C．20 D．12
2．（21-22高二上·黑龙江鹤岗·期末）有10本不同的书紧贴着依次立放在书架上，摆成上层3本下层7本，
现要从下层7本中任取2本再随机分别调整到上层，若其他书本的相对顺序不变，则上层新增的2本书不
相邻的概率为
A． B． C． D．
3．（21-22高二·全国·课后作业）书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来
5本书的顺序不变，则不同的插法种数为（ ）.
A．60 B．120 C．336 D．5044．（22-23高二下·上海浦东新·期中）书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，
则有 种不同的插法（具体数字作答）
5．（23-24高二下·四川广安·期中）班会课上原定有3位同学依次发言，现临时加入甲、乙2位同学也发言，
若保持原来3位同学发言的相对顺序不变，且甲、乙的发言顺序不能相邻，则不同的发言顺序种数为
（用数字作答）
题型二：先分组再排列：球放盒子模型
先分组后排列模型：又称“球放盒子”
基础型：幂指数型
如四个不同的球放三个不同的盒子，有多少种方法？
特征：
1.先分组再排列（尽量遵循这个，否则容易出现重复）
2.分组时候要注意是否存在“平均分配”的情况
1．（2023·广西南宁·一模）将红、黑、蓝、黄 个不同的小球放入 个不同的盒子，每个盒子至少放一个
球，且红球和蓝球不能放在同一个盒子，则不同的放法的种数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三·全国·专题练习）将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子
中至少放一个球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法种数为（ ）
A．15 B．30 C．20 D．42
3．（20-21高二下·广东深圳·阶段练习）设有编号为1，2，3，4，5的5个小球和编号为1，2，3，4，5的
5个盒子，现将这5个小球放入5个盒子中．每个盒子内投入1个球，并且至多有1个球的编号与盒子的编
号是相同的，则有（ ）投放方法
A．45种 B．53种 C．96种 D．89种
4．（22-23高三上·河北·阶段练习）桌子上有5个除颜色外完全相同的球，其中3个红球，2个白球，随机
拿起两个球放入一个盒子中，则放入的球均是红球的概率为 ．
5．（22-23高二下·浙江温州·期中）4个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子中球的
个数不大于盒子的编号，则共有 种方法（用数字作答）．
题型三：不相邻与相邻型：人坐座位模型座位拆迁
1、一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来；5、必要时， ，剩余座位随人排列
特征：
小排列
1、相邻：捆绑法------捆绑的新的“大人”内部有排列（ ）
2、不相邻：插空法，一般不相邻插入别的空隙
“主次”
3. 限制条件较多。特多的限制条件，称为“多重限制型题”，要有 。属于超难题
1．（22-23高二下·湖南长沙·期末）雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到
2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪
式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三
人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·浙江·期中）已知3名教师和4名学生排成一排照相，每位教师互不相邻，且教师甲和学
生乙必须相邻，一共有多少种不同的排法？（ ）
A．144 B．288 C．576 D．720
3．（21-22高二下·福建泉州·期中）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十
四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众．衡阳市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制
作出“立春”、“惊蛰”、“雨水”、“春分”、“清明”、“谷雨”六张知识展板分别放置在六个并排
的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同
的放置方式有多少种？（ ）
A．24 B．48 C．144 D．244
4．（24-25高三·上海·课堂例题） 、 、 、 、 五人排成一排，如果 必须站在 的右边，且 、
不相邻，则不同的排法共有 种．
5．（23-24高二下·浙江·期中）甲乙丙丁戊5个人排成一排拍照，要求甲不站在最左端，且甲乙不相邻，
则共有 种不同的排法.
题型四：多重限制模型
多重限制型，属于“人坐座位”模型
特征：
1. 一人一位；
2. 有顺序；
3、座位可能空；
4、人是否都来；
座位拆迁
5、要时， ，剩余座位随人排列
难题特征：
3、相邻：捆绑法------捆绑的新的“大人”内部有排列（小排列）
4、不相邻：插空法
4. 限制条件较多。特多的限制条件，称为“多重限制型题”，属于超难题
1．（22-23高二下·河南开封·期中）三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女
生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有
A．72种 B．108种 C．36种 D．144种2．（21-22高三上·北京通州·期中）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．“礼”主
要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指
数学．某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次．讲座次序要求“射”不在第
一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．408种 B．240种 C．192种 D．120种
3．（22-23高二下·湖南·期末）弘扬国学经典，传承中华文化，国学乃我中华民族五千年留下的智慧精髓，
其中“五经”是国学经典著作，“五经”指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》．小明准备学习
“五经”，现安排连续四天进行学习且每天学习一种，每天学习的书都不一样，其中《诗经》与《礼记》
不能安排在相邻两天学习，《周易》不能安排在第一天学习，则不同安排的方式有（ ）
A．32种 B．48种
C．56种 D．68种
4．（2024高三下·江苏·专题练习）阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3
名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾
孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不
排最后面.则不同的排法种数共有 种（用数字作答）.
5．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某校高二年级共有10个班级，5位教学教师，每位教师教两个班级，
其中姜老师一定教1班，张老师一定教3班，王老师一定教8班，秋老师至少教9班和10班中的一个班，
曲老师不教2班和6班，王老师不教5班，则不同的排课方法种数 ．
题型五：相同元素模型：数字化法
数字化法：
标记元素为数字或字母，重新组合。
特别适用于“相同元素”
1．（2022·新疆·一模）如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上
或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”
到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者
浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开
那段维修的路，如图，假设夏老师家在 处，学校在 处， 段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校
的最短路径有（ ）条．A．23 B．24 C．25 D．26
3．（2016·全国·高考真题）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老
年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24 B．18 C．12 D．9
4．（2023·安徽亳州·模拟预测）如图，小明从街道的 出发，选择一条最短路径到达 处，但 处正在维
修不通，则不同的路线有（ ）种
A．66 B．86 C．106 D．126
5．（21-22高二下·黑龙江双鸭山·阶段练习）2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加
志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正
确的个数是（ ）
①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事
件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型六：平均分配型
平均分成几组，就除以几组数的阶乘，如果既有平均分组又有不平均分组的，也要除以相同组的组数
的阶乘
1．（【全国校级联考】山西省临汾一中、忻州一中、长治二中、康杰中学2016-2017学校高二4月联考数
学（理）试题）某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、
“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社
团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为
A．4680 B．4770 C．5040 D．5200
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）将3个相同的红球和3个相同的黑球装入三个不同的袋中，每袋均装2个
球，则不同的装法种数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（20-21高二·全国·单元测试）《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，该书介绍了我国古
代14种算法，其中积算（即筹算）､太乙算､两仪算､三才算､五行算､八卦算､九宫算､运筹算､了知算､成数
算､把头算､龟算､珠算13种均需要计算器械.某研究性学习小组3人分工搜集整理这13种计算器械的相关
资料，其中一人搜集5种，另两人每人搜集4种，则不同的分配方法种数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、
3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（ ）
A．150 B．240 C．390 D．1440
5．（2024高三·全国·模拟） 3名医生和6名护士分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护
士，有 种分配方法.
题型七：空车位型
1．（21-22北京模拟）一个停车场有5个排成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好
后恰有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有
A．6种 B．12种 C．36种 D．72种
2．（22-23高二下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）某电影院第一排共有9个座位，现有3名观众前来就座，若
他们每两人都不能相邻，且要求每人左右至多两个空位，则不同的坐法共有
A．36种 B．42种 C．48种 D．96种
3．（22-23高二下·河北·期末）一条长椅上有6个座位，3个人坐．要求3个空位中恰有2个空位相邻，则
坐法的种数为（ ）A．36 B．48 C．72 D．96
4．（16-17高二下·陕西西安·期中）某公共汽车站有6个候车位排成一排，甲、乙、丙三个乘客在该汽车
站等候228路公交车的到来，由于市内堵车，228路公交车一直没到站，三人决定在座位上候车，且每人
只能坐一个位置，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是
A．48 B．54 C．72 D．84
5．（20-21高二·全国·课后作业）地面上有并排的七个汽车位，现有红、白、黄、黑四辆不同的汽车同时
倒车入库.当停车完毕后，恰有两个连续的空车位，且红、白两车互不相邻的情况有 种.
题型八：地图染色
染色问题，要从“颜色用了几种”，“地图有没有公用区域”方向考虑：
1.用了几种颜色。如果颜色没有全部用完，就要有选色的步骤
2.尽量先从公共相邻区域开始。所以要观察“地图”是否可以“拓扑”转化
染色的地图，还要从“拓扑结构”来转化
以下这俩图，就是“拓扑”一致的结构
1．（2022·浙江·模拟预测）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相
邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.
A．96 B．144 C．240 D．360
2．（22-23高二下·上海嘉定·阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时
验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜
色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）
A．120 B．420 C．300 D．以上都不对
3．（23-24高二下·湖南·阶段练习）给如图所示的5块区域A，B，C，D，E涂色，要求同一区域用同一种
颜色，有公共边的区域使用不同的颜色，现有红、黄、蓝、绿、橙5种颜色可供选择，则不同的涂色方法
有（ ）A．120种 B．720种 C．840种 D．960种
4．（22-23高三浙江·模拟）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同色，
若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（ ）
A．72 B．96 C．108 D．144
5．（23-24高二下·山西临汾·期中）如图，这是一面含A，B，C，D，E，F六块区域的墙，现有含甲的五
种不同颜色的油漆，一位工人要对这面墙涂色，相邻的区域不同色，则共有 种不同的涂色方法；若区
域D 不能涂甲油漆，则共有 种不同的涂色方法.
题型九：走楼梯型
走楼梯模型，可以转化为“数字化”模型：
一步一阶设为数字1，一步两阶设为数字2，一步n阶，记为数字n，则把n
阶台阶，变为数字“和”形式。
要注意数字的奇偶时是否能取到
1．（20-21高二·全国·单元测试）某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级
台阶时有f（1）种走法，从平地上到第二级台阶时有f（2）种走法……则他从平地上到第n级(n≥3)台阶时
的走法f(n)等于（ ）
A．f(n-1)+1 B．f(n-2)+2
C．f(n-2)+1 D．f(n-1)+f(n-2)
2．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也
可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有（ ）
A．45种 B．36种 C．28种 D．25种
3．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是
钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，
13，21…，这个数列前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和，请你结合斐波那契数列，尝
试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共6级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走
法种数是（ ）A．20 B．13 C．12 D．15
4．（22-23高三下·重庆渝中·阶段练习）某楼梯一共有8个台阶，甲同学每步可以登一个或两个台阶，一
共用6步登上该楼梯，则甲同学登上该楼梯的不同方法数是（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
5．（22-23·江西·阶段练习）某幢楼从二楼到三楼的楼梯共11级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两
级，若规定从二楼到三楼用7步走完，则上楼梯的方法有______种．
题型十：挡板法
挡板法，适用于“相同元素”分配。如三好学生指标，相同小球，各种指标名额等等
1．（20-21高二·全国·单元测试）将20个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求
每个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为（ ）
A．1615 B．1716
C．286 D．364
2．（22-23高二下·安徽合肥·期末）将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数
为（ ）
A．840 B．35 C．20 D．15
3．（21-22高三上·山东·期中）将10个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个
盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
4．（2023高三·全国·模拟）把1995个不加区别的小球分别放在10个不同的盒子里，使得第 个盒子中至
少有 个球（ ），则不同放法的总数是
A． B． C． D．
5．（21-22高二下·重庆万州·期中）将 个完全相同的小球放入编号分别为 的四个盒子中，要求每
个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为 .
题型十一：公交车与电梯型
公交车与电梯模型，可以转化为球放盒子，然后先分组后排列。
要注意是否需要剔除掉“空”盒子
1．（22-23高二下·陕西咸阳·阶段练习）车上有6名乘客，沿途有3个车站，每名乘客可任选1个车站下车，
则乘客不同的下车方法数为（ ）
A． B． C．120 D．20
2．（20-21高二上·全国·单元测试）某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有（）
A．510种 B．105种
C．50种 D．3 024种
3．（2020·四川达州·三模）有3人同时从底楼进入同一电梯，他们各自随机在第2至第7楼的任一楼走出
电梯．如果电梯正常运行，那么恰有两人在第4楼走出电梯的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二下·浙江宁波·学业考试）通苏嘉甬高速铁路起自南通西站， 经苏州市、嘉兴市后跨越杭州
湾进入宁波市， 全线正线运营长度 ， 其中新建线路长度 ， 是《中长期铁路网规
划》中 “八纵八横”高速铁路主通道之一的沿海通道的重要组成部分， 是长江三角洲城市群的重要城际
通道， 沿途共设南通西、张家港、常熟西、 苏州北、汾湖、嘉兴北、嘉兴南、海盐西、慈溪、庄桥等
10 座车站.假设甲、乙两人从首发站（南通西） 同时上车， 在沿途剩余9站中随机下车， 两人互不影响，
则甲、乙两人在同一站下车的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（20-21高三上·陕西西安·阶段练习）汽车上有5名乘客，沿途有3个车站，每人在3个车站中随机任选
一个下车，直到乘客全部下车，不同的下站方法有 种．（用数字作答）
题型十二：立体几何空间型
立体型结构，可以“拍扁了”，“拓扑”为平面型染色，这是几何体染色的一个小技巧
所以注意这类图形之间的互相转化
1．（21-22高二下·安徽安庆·期中）如图所示，将四棱锥 的每一个顶点染上一种颜色，并使同一
条棱上的两端异色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法种数为（ ）
A．120 B．96 C．72 D．48
2．（20-21高二下·福建莆田·期中）正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不
同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（ ）种.
A．420 B．600 C．720 D．780
3．（23-24·安徽·练习）如图所示的几何体是由一个正三棱锥P－ABC与正三棱柱ABC－A B C 组合而成，现
1 1 1
用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案
1 1 1
共有A．24种 B．18种 C．16种 D．12种
4．（2022·江西抚州·模拟）已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化
工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的 现用编号为
1，2，3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为( )
A．12 B．24 C．36 D．48
5．（22-23高二下·山东·阶段练习）现准备给每面刻有不同点数的骰子涂色，每个面涂一种颜色，相邻两
个面所涂颜色不能相同.若有5种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．720种 B．780种 C．600种 D．660种
题型十三：跳棋模型
1．（22-23·全国·模拟）一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位
或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的
点处，则小青蛙不同的跳动方式共有种.
A．105 B．95 C．85 D．75
2．（23-24高三上·河南漯河·期末）一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右
飞行一个单位或者两个单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位.若小蜜蜂经过4次飞行后，停在位于数
轴上实数3的点处，则小蜜蜂不同的飞行方式有（ ）
A．22 B．24 C．26 D．28
3．（19-20高三上·北京大兴·期末）动点M位于数轴上的原点处，M每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，
每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M在数轴上
可能位置的个数为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
4．（2023全国阶段练习） 一个质点从原点出发,每秒末必须向右、或向左、或向上、或向下跳一个单位
长度,则此质点在第 秒末到达点 的跳法共有（ ）A． B． C． D．
5．（2021·湖北黄冈·模拟） 点从原点出发，每步走一个单位，方向为向上或向右，则走10步时，所有
可能终点的横坐标的和为
A．66 B．45 C．55 D．72
题型十四：不定方程模型
1．（22-23高二下·江苏徐州·期中）已知空间直角坐标系中， ，三棱锥
内部整数点（所有坐标均为整数的点，不包括边界）的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏盐城·模拟预测）设集合 ，其中 为自然数且 ，则符合条件的
集合A的个数为（ ）
A．833 B．884 C．5050 D．5151
3．（22-23全国模拟）已知 ，则满足 的有序数
组 共有（ ）个
A． B． C． D．
4．（·北京·强基计划）满足不等式 的有序整数组 的数目为（ ）
A．228 B．229 C．230 D．231
5．（2018高三·全国·竞赛） 是一个正整数， 的整数组解的数目是
A．4的倍数 B．6的倍数
C．2的倍数 D．8的倍数
题型十五：二项式：赋值法
赋值法原理：
1．（2024高三·全国·专题练习）若 ，则
的值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2．（23-24高二下·湖南益阳·期末）已知 ，那么 的
值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·广东广州·期中）已知 ，其中 ，则
（ ）
A．16 B．32 C．24 D．48
4．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）已知 ，若
，则 （ ）
A．240 B．－240
C．280 D．－280
5．（2024全国·模拟）若 ，则
（ ）．
A． B． C． D．
题型十六：换元型赋值
换元赋值法原理
可以通过令x+1=t，化为简单形式
1．（2024·湖南常德·三模）已知 ，则
=（ ）
A．9 B．10 C．18 D．19
2．（2024·全国·模拟预测）已知 ，若
，且 ，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·山东泰安·期中）已知对任意实数x， ，
则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．
D．
4．（2024·山东潍坊·三模）已知 (x+3)(x+2) 8=a +a (x+1)+a (x+1) 2+⋯+a (x+1) 8+a (x+1) 9 ，
0 1 2 8 9
则 a =（ ）
8
A．8 B．10 C．28 D．29
5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知 ，则
（ ）
A． B．14 C． D．7
题型十七：系数最大
1．（23-24高二下·江苏泰州·期末）已知 的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中
系数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知 的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则展开式中
系数最大的项是第（ ）项
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（23-24河北模拟）若 的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，
则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高三下·江苏连云港·阶段练习） 的展开式中，二项式系数最大且系数较大的项的系数为
（ ）
A．40 B． C．80 D．
5．（2024·浙江·模拟预测）已知 的展开式中 的系数是 ，则各项系
数最大的是
A． B． C． D．
题型十八：三项式展开三项展开式的通项公式：
1．（2024·河北沧州·二模）在 的展开式中， 项的系数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏苏州·三模）记 “ 的不同正因数的个数”， “ 的展开式中 项的
系数”，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·贵州贵阳·开学考试） 的展开式中 的系数是（ ）
A．5 B．10 C．20 D．60
4．（24-25高二下·全国·课后作业） 的展开式中 项的系数为（ ）
A．280 B． C．448 D．
5．（2024·江苏南京·模拟预测） 的展开式中， 的系数为（ ）
A．60 B． C．120 D．
