专题13代数式规律型：数字变化类（解析版）_北师大初中数学_7上-北师大版初中数学_7上-初中数学北师大（旧版）赠送_06专项讲练

专题13 代数式规律型：数字变化类 1．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请接着写出后面的3个数 （1）1， ，1， ，1， ，1， ， 1 ， ， ， ； （2）1， ，3， ，5， ，7， ， ， ， ， ； （3） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解答】解：（1）1， ，1， ，1， ，1， ， 规律为第一个数是正1，第二个数时 ，一次类推，第奇数个数时1，第偶数个数时 ； （2）1， ，3， ，5， ，7， ， 规律为第一个数是1，第二个数是 ，以此类推，第 （奇数）是 ，第 （偶数）为 ， （3）已知1， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：（1）1； ；1； （2）9； ；11 （3） ； ； ． 2．（1）观察如图寻找规律，在“？”处填上的数字是 16 2 ； （2）一组按规律排列的式子： ， ，其中第7个式子是 ，第 个 式子是 为正整数） 【解答】解：（1） ， ， ， ， ， ？ ．（2） 这一列数的分母 的指数分别是1、2、3、 ，与这列数的项数相同， 第7个式子的分母是 ，第 个式子的分母是 ； 这一列数的分子 的指数分别是2、5、8、11， ， 即：第一个数是 ， 第二个数是 ， 第三个数是 ， 第四个数是 ， ， 每个数都比项数的3倍少1， 第7个式子的分子是 ，第 个式子的分子是 ； 它们符号的规律是奇数项为负，偶数项为正， 第7个式子的符号为负，第 个式子的符号为 ． 第7个式子是 ，第 个式子是 ． 故答案为：（1）162；（2） ， ． 3．观察下列各等式，并回答问题： ， ， ， ， ． （1）填空： ； 为整数）； （2）计算： ； （3）计算： ． 【解答】解：（1） ； ； 故答案为： ， ； （2） ；（3） ． 4．按下列程序计算，把答案填写在表格里，然后看看有什么规律，想想为什么会有这个规律？ （1）填写表内空格： 输入 3 2 输出答案 （2）你发现的规律是 ． （3）用简要过程说明你发现的规律的正确性． 【解答】解：（1）根据程序计算得， ； ； ； 故答案为： ， ， ； （2）发现的规律是输入如何数的结果都是 ， 故答案为：输入如何数的结果都是 ； （3） ． 5．若 表示一个整数，我们可以用 表示一个奇数．下面我们来探究连续奇数的和的问题． （1）计算： 9 ； ； （2）请用含 的代数式表示 的值为 ； （3）请用上述规律计算 的值． 【解答】解：（1） ； ； 故答案为：9；25； （2） 或 ；故答案为： 或 ； （3）原式 ． 6．如图，将一串有理数按一定规律排列，探索下列问题： （1）在 处的数是正数还是负数？ （2）负数排在 ， ， ， 中的什么位置？ （3）第2020个数排在对应于 ， ， ， 中的什么位置？ 【解答】解：（1） 是向上箭头的上方对应的数，与4的符号相同，在 处的数是正数； （2）观察发现，向下箭头的上边的数是负数，下方是正数，向上箭头的下方是负数，上方是正数， 所以， 和 的位置是负数； （3） ， 第2020个数排在 的位置，是正数． 7 ． 已 知 ， 是 有 理 数 ， 且 ． 求 的值． 【解答】解：由 知： ， ． 所以原式 ．8．如我们把从1开始的几个连接自然数的立方和记作 ，那么有： ， ， ， 观察上面的规律，完成下面各问题： （1）依规律，求 的值； （2）依规律，求 的值； （3）依规律，求 的值． 【解答】解：（1） ， （2） ， （ 3 ） ． 9．观察下列三行数： ，4， ，16， ， ① 0，6， ，18， ， ② ，2， ，8， ， ③ （1）第①行的第2020个数为： ； （2）第②、③行数的第2021个数分别是 ， ； （3）取每行第7个数，计算这三个数的和． 【解答】解：（1） ① ，4， ，16， ， 第一行的数是： ， ， ， ， ， 第 个数是 ，第①行的第2020个数为： ， 故答案为： ； （2）观察三列数可知： 第①行数和第②行数的关系式是： 第①行的数字加2即可得到对应的第②行的数字， 第①行数和第③行数的关系式是： 第①行的数字除以2即可得到对应的第③行的数字， 第①行的第2021个数是： ； 第②、③行数的第2021个数分别是： ， ， 故答案为： ； ； （3）设 、 、 分别表示第①②③行数的第7个数字， ， ， ， ， ． 10．阅读材料：求 的值． 解：设 ① 则 ② ② ①得， ，即 ．以上方法我们成为“错位相减法”，请利用上述材料，解决下列问题： （1）计算： （仿照材料写出求解过程）； （2）化简： ． 【解答】解：（1）设 ①， 则 ②， 则② ①，得： ； （2） ①， ②， ② ①，得： ， ， ． 11．观察下列等式： ， ， ． 将以上三个等式两边分别相加得： ． （1）猜想并写出： ；（2）直接写出下列各式的计算结果： ； （ 3 ） 已 知 与 互 为 相 反 数 ， 试 求 代 数 式 的值． 【解答】解：（1）观察已知等式可知： ； 故答案为： ； （2）原式 ； 故答案为： ； （3） 与 互为相反数， ， 解得 ， ， 原式 ． 12．观察图形，解答问题：（1）按如表已填写的形式填写表中的空格 图① 图② 图③ 三个角上三个数的积 三个角上三个数的和 积与和的商 （2）请用你发现的规律求出图④中的数 和图⑤中的数 ． 【解答】解：（1）如表格中数据． 故答案为 ， ， ， ． （2）根据三个角上三个数的积除以三个角上三个数的和是中间的数，得 ④ ， ⑤ ，解得 ． 答：图④中的数 ，图⑤中的数 ． 13．阅读材料：大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题： ？经过研究，这个问题的一般性结论是 ，其中 是 正整数．现在我们来研究一个类似的问题： ？ 观察下面三个特殊的等式： ； ； ．将这三个等式的两边相加，可以得到 读完这段材料，请你思考 后回答： （1） 308 0 ； （2） ； （3） ． （只需写出结果，不必写中间的过程） 【解答】解：（1） ， 故答案为：3080； （2） ， 故答案为： ； （3） ， 故答案为： ． 14．观察算式： ； ； ； ， 请根据 你发现的规律填空： （1） ； （2）用含 的等式表示上面的规律： ； （3）用找到的规律解决下面的问题，计算： ． 【解答】解：（1） ；故答案为： ； （2） 为正整数）； 故答案为： 为正整数）； （3）原式 ． 15．阅读与探究 请阅读下列材料，并解答相应的问题： 幻方 将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等，则具有这种 性质的数字方阵为“幻方”，中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等． 例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到 的方格中得到的， 其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． （1）现要用9个数3，4，5，6，7，8，9，10，11构造一个三阶幻方，请将构造的幻方填写在下 面 的方格中． （2）若设（1）题幻方中9个数的和为 ，则 与中间的数字 之间的数量关系为： ． 【解答】解：（1）幻方如图所示： （2）三阶幻方如图所示：设（1）题幻方中9个数的和为 ， 则 与中间的数字 之间的数量关系为： ． 故答案为 ． 16．如下，从左到右依次在每个小方格中填入一个数，使得其中任意三个相邻方格中所填数之和 都相等． 6 （1）可求得 6 ，第2021个格子中的数为 ； （2）若前 个格子中所填数之和为2019，求 的值； （3）如果 ， 为前三个格子中的任意两个数，那么所有的 的和可以通过计算 得到．若 ， 为前8个格子中的任意两个数， 求所有的 的和． 【解答】解：（1） 任意三个相邻方格中所填数之和都相等， ， ， 同理， ，第9个数与第3个数相同， ， 每3个数6、 、 为一个循环组依次循环， ， 第2021个格子中的数与第2个数相同， 第2021个格子中的数为 ； 故答案为：6， ； （2）根据题意可知，每三个数一组，且它们的和为3， ， 格子中的数依次为：6， ， ，6， ， ，6， ，， 或 ； （3）由于是三个数重复出现，那么前8个格子中， 这三个数中， 出现了2次，6和 都出现了3次． 故 代 入 式 子 可 得 ： ． 17．读一读：式子“ ”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式 子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“ ”表示为 ， 这里“ ”是求和符号．例如： ，即从1开始的100以内的连续奇数的和， 可表示为 ；又如 可表示为 ．通过对上以 材料的阅读，请解答下列问题． （1） （即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符合可表示为 ； （2）计算 ． 【解答】解：（1） （即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符 合可表示为： ． （2） ．故答案为： ． 18．观察下列各式： ， ， ， （1）根据上述规律写出第5个等式是： ． （2）用以上的规律计算： ． 【解答】解：（1）观察已知各式可知： 第5个等式为： ； 故答案为： ； （2）原式 ． 19．已知数轴上，一动点 从原点 出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移动，其移动 的方式是：先向右移动1个单位，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移 动4个单位长度 ， （1）求出3秒钟时，动点 所在的位置；（2）若5秒时，动点 激活所在位置 点， 点立即以0.1个单位长度 秒的速度沿数轴运动， 试求点 激活后第一次与继续运动的点 相遇时所在的位置； （3）如图，在数轴上的 、 、 、 ，这4个点所表示的数分别为 、 、 、 ，若 ，且 ， ， ①求 值； ②在（2）的条件下，若 点激活后仍以0.1个单位长度 秒向右运动，当 点到达数 的点处，则 点所对应的数是 128. 9 或 571. 3 ． 【解答】解：（1） 数轴上，一动点 从原点 出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度来回移 动，其移动的方式是：先向右移动1个单位，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度， 再向右移动4个单位长度 ， 秒动点 所在的位置为1， 1.5秒动点 所在的位置为 ， 3秒动点 所在的位置为2； （2） 秒动点 所在的位置为2， 秒时，动点 所在位置为 ， ①若 点向左运动，动点 先向右运动5个单位长度到数轴3的位置，再向左运动6个单位长度， 在数轴3位置向左运动时， ， 设点 从数轴上3的位置开始运动到点 相遇时用的时间为 秒则 ， 解得： ， 点 激活后第一次与继续运动的点 相遇时所在的位置为： ； ②若 点向右运动，动点 先向右运动5个单位长度到数轴3的位置，再向左运动6个单位长度， 在数轴3位置向左运动时， ， 若 点向右运动，动点 先向右运动5个单位长度到数轴3的位置，设点 激活后第一次与继续 运动的点 相遇时用的时间为 ，则 ， 解得： ， 点 激活后第一次与继续运动的点 相遇时所在的位置为： ； （3）① ， ， ， ， ， ， ， ， 或 ； ②当 时， 若 5 秒时，动点 激活所在位置 点，当 点到达数 的点处时所走的路程为：（单位长度）， 用的时间为： ， 点所对应的数是： ； 当 时，动点 激活所在位置 点，当 点到达数 的点处时所走的路程为： （单位长度）， 用的时间为： ， 点所对应的数是： 故答案为：128.9或571.3． 20．已知 ， ， ， 都是不等于0的有理数，请探究以下问题： （1） ，则 ． （2） ，则 ． （3） ，则 ． （4）由以上探究可以知道： ，共有 种不同的值，在 这 些不同的值中，最大值与最小值的差值等于 ， 的这些不同的值的绝对值的和等于 ． 【解答】解：（1） 时， ， 时， ，则 ； （2）若 ， 时， ， ， 时， ，， 时， ， ， 时， ． 综上所述， 或 ； （3） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 综上所述， 或0； （4）由以上探究可知， ，则 共有2018个不同的值； 在 这些不同的值中，最大值与最小值的差值等于 ， 的这些所有的不同的值的绝对值的和等于 ． 故答案为： ；3或 ； 或0；2018，4034，2036162．