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专题 22 二项式定理必刷小题 100 题
任务一:善良模式(基础)1-30题
一、单选题
1． 的展开式中的常数项为（ ）
A．8 B．28 C．56 D．70
【答案】B
【分析】
先得出 的展开式的通项公式，从而得出常数项.
【详解】
的展开式的通项公式为
令 ，得
所以 的展开式中的常数项为
故选：B
2．在 的二项展开式中， 的系数为（ ）
A．40 B．20 C．-40 D．-20
【答案】A
【分析】
由二项式得到展开式通项，进而确定 的系数.
【详解】
的展开式的通项 ，令 ，解得 ，故 的系数为 ，
故选：A.
3． 的展开式中 的系数为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】B
【分析】
利用乘法运算律进行展开可得 ，再分别求 得系数即可得解.
【详解】
因为 ，
所以 的系数为 展开式中 ， 的系数之和，
由于 ，（ ），
对于 项， 需取 ，系数为 ，
对于 项， 需取 ，系数为 ，
所以 的系数为 ，
故选：B．
4．对任意实数 ，有 .则下列结论不成立的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】
令 ， ，利用展开式通项可判断A选项的正误，利用赋值
法可判断BCD选项的正误.
【详解】
令 ，则 ，令 .
对于A选项， 的展开式通项为 ，
令 ，可得 ，则 ，A对；
对于B选项， ，B错；
对于C选项， ，C对；
对于D选项， ，D对.
故选：B.
5．已知 ， 的二展开式中，常数项等于60，则 （ ）
A．3 B．2 C．6 D．4
【答案】B
【分析】
先写出展开式的通项，然后令 的指数部分为零，求解出 的值，则常数项可求.
【详解】
展开式的通项为 ，
令 ，所以 ，所以常数项为 ，
所以 ，所以 ，
故选：B.6．在 的展开式中， 的系数为（ ）
A．70 B．35 C． D．
【答案】D
【分析】
利用二项展开式的通项公式即可求出 的系数.
【详解】
对于 的展开式中，通项为： ，
则 ，所以 的系数为：
.
故选：D
7．若n为正奇数，则 被9除所得余数是（ ）
A．0 B．3 C．-1 D．8
【答案】D
【分析】
利用二项式定理可得结论.
【详解】
解：因为 是正奇数，则
又n正奇数，
倒数第一项 而从第一项到倒数第二项，每项都能被9整除，
被9除所得余数是8.
故选：D.
8．二项式 的展开式中有理项的个数为（ ）A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】
根据二项式定理展开： ，要为有理项，则 为整数即可.
【详解】
由题可得：展开式的通项为 ，
要为有理项，则 为整数，故r可取0,2,4,6,8,10共有6项有理数.
故选：B.
9．若 的展开式中所有项系数和为81，则该展开式的常数项为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】B
【分析】
由给定条件求出幂指数n值，再求出展开式的通项即可作答.
【详解】
在 的二项展开式中，令 得所有项的系数和为 ，解得 ，
于是得 展开式的通项为 ，
令 ，得 ，常数项为 .
故选：B
10．已知正整数n≥7，若 的展开式中不含x5的项，则n的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】
结合二项式的展开式，求出 的项的系数，根据题意建立方程，解方程即可求出结果.【详解】
的二项展开式中第k+1项为
又因为 的展开式不含 的项
所以
即
所以 ，
故选：D.
11． 展开式中的各二项式系数之和为1024，则 的系数是（ ）
A．-210 B．-960 C．960 D．210
【答案】B
【分析】
由二项式系数和等于 ，求得n的值，写出通项公式，再按指定项计算可得.
【详解】
依题意得： ，解得 ，
于是得 展开式的通项为 ，
由 ，解得 ，从而有 ，
所以 的系数是-960.
故选：B
12．已知 的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是（ ）
A． B． C．9 D．10
【答案】C
【分析】根据 的展开式中各项系数之和为0，令 可得参数 ，再根据通项公式可求解.
【详解】
的展开式中各项系数之和为0.
令 得 ，解得 .
.
则 展开式的通项公式为：
则 展开式的常数满足：
则 或 ，
则该展开式的常数项是 .
故选：C.
13．已知 (a，b为有理数)，则a＝（ ）
A．0 B．2 C．66 D．76
【答案】D
【分析】
根据二项式定理将 展开，根据a，b为有理数对应相等求得a的值.
【详解】
因为 ，
所以 ，
因为 ，且a，b为有理数，所以a＝76，故选：D
14．(x2+2ax-a)5的展开式中各项的系数和为1024，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
赋值 即可.
【详解】
赋值法：令x=1可知道展开式中各项系数和为(a+1)5=1024，所以a=3.
故选：C
15． ，则 （ ）
A．5 B．3 C．0 D．
【答案】C
【分析】
根据展开式，利用赋值法取 求值即可.
【详解】
令 ， .
故选：C
16． 的展开式中 的系数为（ ）
A．-80 B．-180 C．180 D．80
【答案】C
【分析】
先求得 展开式的通项公式，分别令 和 ，计算整理，即可得答案.
【详解】
展开式的通项公式为： ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，所以原式展开中含 的系数为
故选：C.
17． 的展开式中 的系数为（ ）
A．15 B．-15 C．10 D．-10
【答案】D
【分析】
根据二项展开式通项公式 ，解方程 即可得解.
【详解】
，
令 解得 ，
所以展开式中 的系数为 ．
故选：D．
18．在多项式 的展开式中，含 项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
求出 中 和 的系数，然后由多项式乘法法则计算可得．
【详解】
，展开式通项为 ，
所求 的系数为 ．
故选：C．二、多选题
19．已知二项式 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则展开式的常数为60
B．展开式中有理项的个数为3
C．若展开式中各项系数之和为64，则
D．展开式中二项式系数最大为第4项
【答案】AD
【分析】
写出二项式展开式的通项公式，对4个选项进行分析
【详解】
A选项：当 时， ，其中 为整数，且 ，令 ，
解得： ，此时 ，故常数项为60；A正确；
B选项： ，其中 为整数，且 ，
当 时， ，当 时， ，，当 时， ，，当 时， ，满
足有理项要求，故有4项，故B错误；
C选项：令 中的 得： ，所以 或 ，故C错误；
D选项：展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，所以展开式中二项式系数最
大为第4项，D正确
故选：AD
20．已知 的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是（ ）
A．2，n，10成等差数列
B．各项系数之和为64C．展开式中二项式系数最大的项是第3项
D．展开式中第5项为常数项
【答案】ABD
【分析】
先根据二项式系数之和求出n的值，再令 可求系数和，根据展开式的总项数可得二项式系数最大项，
利用展开式的通项公式求第5项.
【详解】
由 的二项式系数之和为 ，得 ，得2，6，10成等差数列，A正确；
令 ， ，则 的各项系数之和为64，B正确；
的展开式共有7项，则二项式系数最大的项是第4项，C不正确；
的展开式中的第5项为 为常数项，D正确.
故选:ABD
21．已知 的二项展开式中二项式系数之和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．二项展开式中无常数项
B．二项展开式中第 项为
C．二项展开式中各项系数之和为
D．二项展开式中第 项的二项式系数最大
【答案】BCD
【分析】
根据二项式定理展开式验证选项即可得出答案.
【详解】由题意可知， ，解得 ，所以二项展开式的通式为 ，
当 时，解得 ，所以展开式的第 项为常数项，选项A错误；
二项展开式中第 项为 ， 选项B正确；
令 ，则 ，即二项展开式中各项系数之和为 ，选项C正确；
，则二项展开式中第 项的二项式系数最大，选项D正确.
故选：BCD．
22．若 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】
设 ，利用赋值法可判断各选项的正误.
【详解】
设 ，
对于A选项， ，A对；
对于BC选项， ，
所以， ，，B错，C对；
对于D选项，
，D对.
故选：ACD.
23．已知 ，设 的展开式的二项式系数之和为 ，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C． 为奇数时， ； 为偶数时， ．
D．
【答案】BC
【分析】
根据二项式系数之和公式，结合赋值法进行判断即可.
【详解】
设 的展开式的二项式系数之和为 ，所以有： ，
在 中，令 ，得 ，当 为偶数时， ，
当 为奇数时， ，所以A说法不正确；
在 中，令 ，所以有 ，
而 ，所以 ，因此选项B说法正确；
当 为偶数时， ，即 ，当 为奇数时， ，即 ，因此选项C说法正确，选项D说法不正确，
故选：BC
24．已知 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】
令 即可求得 可判断选项A；令 ，求得 ，进而求得 可判断选项
C；根据二项式定理写出该二项展开式的通项，即可得 可判断选项B；利用导数即可得 ，
可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】
因为
令 ，得 ，故选项A正确；
令 ，得 ，
所以 ，故选项C正确；
易知该二项展开式的通项 ，所以 ，故选项B正确；
对 两边同时求导，得 ，
令 ，得 ，故选项D错误.
故选:：ABC第II卷（非选择题）
三、填空题
25．已知 的展开式中x的系数等于8，则a等于___________．
【答案】
【分析】
把 和 展开，根据展开式中 的系数等于8，求出 的值．
【详解】
解： ，
所以展开式中 的系数等于 ，解得 或 ，
因为 ，所以 ．
故答案为： ．
26．杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.如图所示的杨辉三角
中，第15行第15个数是___________.（用数字作答）
【答案】15
【分析】
根据杨辉三角得到规律是第n行，第r( )个数为 求解.
【详解】
由杨辉三角知：
第1行： ，
第2行： ，
第3行： ，第4行： ，
由此可得第n行，第r( )个数为 ，
所以第15行第15个数是 ，
故答案为：15
27．若 的展开式中各项系数的和为 ，则该展开式的常数项为___________.
【答案】
【分析】
根据 的展开式中各项系数的和为0，令 求得a，再利用通项公式求解.
【详解】
因为 的展开式中各项系数的和为0，
令 得 ，
解得 ，
所以 的常数项为 .
故答案为：-120
28．如果 ，则 ______.
【答案】127
【分析】
依题意可得 ，计算 ，然后计算 即可.
【详解】
由题可知: ，所以
所以 ，由 ，所以结果为127故答案为：127
29．二项式 的展开式中，奇数项的系数和为___________（用数字表示结果）.
【答案】
【分析】
根据二项展开式，分别令 和 ，两式相加，即可求解.
【详解】
由题意，二项式的展开式为
令 ，则 ，
令 ，则 ，
两式相加，可得 ，所以 .
故答案为： .
30．已知 ，则 _____________．
【答案】180
【分析】
将 改写成 ，利用二项式的展开式的通项公式即可求出结果.
【详解】
因为 ，
其展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，
故答案为为：180.任务二:中立模式(中档)1-40题
一、单选题
1．已知随机变量 ，且 ，则 的展开式中的常数项为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先由正态分布的概率情况求出 ，然后由二项式定理展开式的通项公式可得答案【详解】
由随机变量 ，且 ，则
则
由 的展开式的通项公式为：
令 ，解得 ，令 ，解得
所以 的展开式中的常数项为：
故选：B.
2． 的展开式中 项的系数为（ ）
A．140 B． C． D．1120
【答案】B
【分析】
利用二项式定理求 的展开式中 ， 和 项的系数，从而可求 的展开式中 项的系
数.
【详解】
，
的展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，所以 ；
令 ，得 ，所以 ；
令 ，得 ，所以 ，
所以 的展开式中 项的系数 .
故选：B.3．若二项式 的展开式中所有项的系数的绝对值的和为 ，则展开式中二项式系数最大的项为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
令 ，根据展开式中系数的绝对值的和得到 ．再判断二项式系数最大的项为第4项，根据二项式
定理计算得到答案.
【详解】
令 ，可得展开式中系数的绝对值的和为 ，解得 ．
展开式有 项，
二项式 展开式中二项式系数最大的为第 项， .
故选 ．
4．设 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】
分别令x为1和-1得到两个等式，进而将 因式分解即可解出答案.
【详解】
令 得 ，
令 得 ，
.故选：A.
5．在二项式 的展开式中各项系数之和为 ，各项二项式系数之和为 ，且 ，则展开
式中含 项的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
令 得到 ，再结合二项式系数的性质得到 ，利用 可以求出 的值，进而结合二
项式展开式的通项公式即可求出结果.
【详解】
令 ，则 ，即 ，
而 ，
由 ，则 ，令 ，则 ，解得 ，即 ，故 ，
则 的二项式的展开式的通项公式为 ，
令 ，则展开式中含 项的系数为 ，
故选：A.
6．在 的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（ ）
A． B． C． D．28
【答案】B
【分析】
根据题意可得： ，求展开式的常数项，要先写出展开式的通项，令 的指数为0，则为常数项，求出
的值代入展开式，可以求得常数项的值
【详解】
展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以 ，展开式的通项为：，若为常数项，则 ，所以， ，得常数项
为：
故选：B
7． 的展开式中有理项的项数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
先化简原二项式为 ，再由二项式的展开式的通项公式可得选项.
【详解】
解： .
又 的展开式的通项 ，所以 .
当x的指数是整数时，该项为有理项，所以当 ，2，4，6，8时，该项为有理项，即有理项的项数为5.
故选：C.
8．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
令 ，可得 ，可得出 ，利用展开式通项可知当 为奇数
时， ，当 为偶数时， ，然后令 可得出 的值.
【详解】令 ，可得 ，则 ，
二项式 的展开式通项为 ，则 .
当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
因此， .
故选：A.
9． 的展开式中 项的系数为（ ）
A．96 B． C．120 D．
【答案】A
【分析】
题意 通项公式为 ,接着讨论当 时；当 时，求出相应的
，即可求出对应系数.
【详解】
解:依题意 的展开式的通项公式为 ，
当 时，得 ；当 时，得 ，
故可得展开式中含 的项为 ，
即展开式中 项的系数为96.
故选:A
10．设随机变量 ，若二项式 ，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】
利用二项式的通项公式，建立方程组，解出 ，代入公式得到结果.【详解】
二项式展开式的通项公式为 ，
又 ，
∴ ， ，
即 ，解得： ，
此时， ，
经检验可得， ，
∴ ， ，
故选：C
11．已知 ，当 时， ，则当 时，
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题首先可令 ，求出 ，然后令 ， ，通过 求出 ，最后通过
二项展开式求出 、 、 ，即可求出结果.
【详解】
，
令 ，则 ；
令 ， ，则 ，因为 ，
所以 ， ， ，
当 时，
，
则 ， ， ， ，
故选：B.
12．设 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
设 ，计算可得 ，即可得解.
【详解】
设 ，则 ，
，
所以， .
故选：B.
13．在 的展开式中，除常数项外，其余各项系数的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
令 求出各项系数和，然后利用展开式通项求出常数项，两者相减可得结果.【详解】
在 的展开式中，令 ，可得展开式中各项系数和为 ，
的展开式通项为 ，
的展开式通项为 ，
所以， 的展开式通项可表示为 ，
令 ，可得 或 或 ，
所以，展开式中常数项为 ，
因此，展开式中除常数项外，其余各项系数的和为 .
故选：D.
14．在 的展开式中，除 项外，其余各项的系数之和为（ ）
A．230 B．231 C．232 D．233
【答案】C
【分析】
令 ，求得 的展开式各项的系数之和，然后求得 的通项公式
，再分 ， ， ， ， ， 求解.
【详解】
令 ，则 的展开式各项的系数之和为 ，的通项公式为： ,
当 时， ，无 项出现，
当 时， 无 项出现，
当 时， ，当 时， 项的系数为
，
当 时， ，无 项出现，
当 时， ，当 时， 项的系数为 ，
当 时， ，无 项出现，
所以除 项外，其余各项的系数之和为32-（-40-160）=232，
故选：C
15．已知 ， 其中 为 展开式中 项的系数，
，则下列说法不正确的有（ ）
A． ， B．
C． D． 是 中的最大项
【答案】C
【分析】
依题意 ，写出 的展开式，再一一判断即可；
【详解】
解：依题意所以
由上式可知，选项 ， 正确；
展开式中 ， ， 的 的系数和为：
，而 ，
故 ，故 正确；
由式子可得， ，故选项 不正确．
故选： ．
16．若 ， 则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
A．令 可计算出 的值；
B．令 结合 的结果可计算出 的值；
C．分别令 ，然后根据展开式的通项公式判断取值的正负即可计算出 的值；
D．将原式求导，然后令 即可得 的值，再根据展开式的通项公式即可求解
出 的值，则 的值可求.
【详解】
A．令 ，所以 ，故错误；B．令 ，所以 ，所以 ，故错误；
C．令 ，所以 ，又 ，
所以 ， ，
又因为 的展开式通项为 ，所以当 为奇数时，项的系数为负数，
所以 ，故正确；
D．因为 ，所以求导可得： ，
令 ，所以 ，
又因为展开式通项为 ，当 时， ，
所以 ，故错误；
故选：C.
17．若 的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数 的取值为（ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】B
【分析】
首先写出二项展开式的通项公式 ，由条件可知 为整数，然后观察选项，
通过列举的方法，求得正整数 的值.
【详解】
的通项公式是
设其有理项为第 项，则 的乘方指数为 ，依题意 为整数，注意到 ，对照选择项知 、 、 ，
逐一检验： 时， ，不满足条件；
时， 、 、 ，成立；
时， 、5、8，成立
故选：B.
18．已知(1－2x)2 019＝a＋a(x－2)＋a(x－2)2＋…＋a (x－2)2 018＋a (x－2)2 019(x∈R)，则a－2a＋3a
0 1 2 2 018 2 019 1 2 3
－…－2 018a ＋2 019a ＝（ ）
2 018 2 019
A．－2019 B．2019
C．－4038 D．0
【答案】C
【分析】
先对展开式求导，再将x＝1代入计算即可.
【详解】
因为(1－2x)2 019＝a＋a(x－2)＋a(x－2)2＋…＋a (x－2)2 018＋a (x－2)2 019(x∈R)，两边分别对x求导可得
0 1 2 2 018 2 019
－2 019×2×(2x－1)2 018＝a＋2a(x－2)＋…＋2 018a (x－2)2 017＋2 019a (x－2)2 018(x∈R)，令x＝1得－4
1 2 2 018 2 019
038＝a－2a＋…－2 018a ＋2 019a ，
1 2 2 018 2 019
故选:C.
19．下列命题中不正确命题的个数是（ ）
①已知a，b是实数，则“ ”是“ ”的充分而不必要条件；
② ，使 ；
③若 ，则 ；
④若角 的终边在第一象限，则 的取值集合为 .
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由 ， 可判断出①错误，由当 时， 可判断出②错
误，
由 可求出 ，可得到③正确，
由 可得 ，然后可判断出④正确.
【详解】
因为 ，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故①错误
因为当 时， ，即 ，不存在 使 ，故②错误
因为 ，
所以 ，故③正确
因为角 的终边在第一象限，即 ，
所以
当 为奇数时， 在第三象限，
当 为偶数时， 在第一象限，
所以 的取值集合为 ，故④正确综上：不正确命题的个数是2
故选：B
20．设 ，那么 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
令 和 得到 ， ，再整体代入可得；
【详解】
解：因为 ，
令 得 ，
令 得 ，
所以
故选：C
二、多选题
21．在 的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．所有项的系数和为0 B．所有项的系数绝对值和为64
C．常数项为20 D．系数最大的项为第4项
【答案】AB
【分析】赋值法求二项展开式的所有项的系数和可判断A；利用二项式系数和公式可判断B；写出二项展开式的通
项，令x的次数为0求出r可判断C；写出所有项的系数可判断D.
【详解】
令 可得 的展开式中所有项的系数和为 ，A正确；
因为 ，所以展开式中所有项的系数绝对值和为
，B正确；
通项为 ，令 ，解得 ，所以 的展开式中常数项为 ，C错误；
因为 ，各项的系数分别为 ，展
开式系数最大的为 、 ，
是第3项或第5项，D错误.
故选：AB.
22．已知 ，则下列结论正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
通过赋值根据选项一一判断即可得结果.
【详解】
取 得 ，A正确；
由 展开式中第7项为 所以 ，B错误；由 取 得
，C正确；
由
取 得
取 得
所以 ，D正确.
故选：ACD
23．关于 及其展开式，下列说法正确的是（ ）
A．该二项展开式中二项式系数和是 B．该二项展开式中第七项为
C．该二项展开式中不含有理项 D．当 时， 除以100的余数是1
【答案】BD
【分析】
求出二项式系数和判断A；求出二项展开式中第七项判断B；根据最后一项是有理项判断C；利用二项展开
式的应用和整除问题的应用判断D．
【详解】
对于A，该二项展开式中二项式系数和是 ，故错误；
对于B，由于 ，即该二项展开式中第七项为 ，故正确．
对于C，该二项展开式中，最后一项为 ，是有理项，故错误．
对于D，当 时， ，除了最后一项（最后一项等于1），前面的所有项都能被100整除，即当 时， 除以100的余数是1，故
正确．
故选：BD.
24．二项展开式 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】
对A、D选项，给 赋特值即可判断；对于C选项则需要根据二项式系数的公式即可得出；对于B选项求
导以后赋特值即可求出.
【详解】
对A：令 ，可得 ，故A正确；
对B：左右两边分别求导得： ，令 ，得
，故B正确；
对C： ，故C正确；
对D：令 ，可得 ，而 ，所以 ，故D错误.
故选：ABC.
25．已知 ， ，其中 为 展开式中 项系数，
，则下列说法正确的有（ ）
A． ，
B．C．
D． 是 ， ， ，…， 是最大值
【答案】ACD
【分析】
由三项式系数塔与杨辉三角构造相似可得A，D正确，根据计算可得 ， ，所以C
正确.
【详解】
由题意知，三项式系数塔与杨辉三角构造相似，其第二行为三个数，且下行对应的数是上一行三个数之和，
故 ， 是 ， ， ，…， 的中间项，故 最大，所以A，D正确；令 可知：
；
当 时， ， ，
， ，所以 .
令 可知， ，即 ；
又因为 .
故 ，C正确.
故选：ACD
26．已知 ，则下列结论正确的是（
）A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
利用赋值法可判断AC选项的正误，利用二项展开式的通项可判断B选项的正误，求导后再利用赋值法可
判断D选项的正误.
【详解】
令 .
对于A选项， ， ，
所以 ，故A正确；
对于B选项，令 ，可得 ，
则有 ，
， 的展开式通项为 ，
所以， 的展开式通项为 ，
由 ，解得 ，所以， ，故B错误；
对于C选项， ，因此， ，故C正确；
对于D选项， ，
因此， ，故D正确.
故选：ACD.
27．若 （ ），则（ ）A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
利用赋值法解决，
对于A：通过给 赋值 即可作出判断；
对于B和C：通过给 赋值 和 ，得到两个等式作差得到结果，进而作出判断；
对于D： ，通过给 赋值 得到结果即可作出判断.
【详解】
由题意，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 ， ，
，
当 时， ，
所以 .
故选：ACD.
28．已知在 的展开式中，前3项的系数成等差数列，则下列结论正确的是（ ）A．展开式中所有项的系数之和为 B．展开式中系数最大项为第 项
C．展开式中有 项有理项 D．展开式中不含 的一次项
【答案】CD
【分析】
根据题意列关于 的方程，求出 值，然后根据二项展开式的通项公式以及赋值法，结合组合数的性质可
解答此题．
【详解】
在 的展开式中，前3项的系数成等差数列， ，解得： 或1（舍
去）．
当 时，所有项的系数和为： ， 错；
通项为：
展开式中第3项与第4项系数最大， 错，
当 ，6时为有理项，共2项， 对；
由上面通项可令 ，解得 不为整数，
展开式不含 一次项， 对．
故选： ．29．关于 及其展开式，下列说法正确的是（ ）
A．该二项式展开式中二项式系数和是
B．该二项式展开式中第8项为
C．当 时， 除以100的余数是9
D．该二项式展开式中不含有理项
【答案】BC
【分析】
由二项式系数和与各项系数和可判断A；由展开式通项可判断B和D，变形展开式可判断C.
【详解】
对于选项A：令 得展开式各项系数和为 ，但其二项式系数和为 ，故A错误；
对于选项B：展开式中第8项为 ，故B正确；
对于选项C：当 时，
，
能被100整除，
而 ，除以100的余数是9，
当 时， 除以100的余数是9，故 正确；
对于选项D： 的展开式的通项 ，
当 为整数，即 ，3， ，2021时， 为有理项，故D错误.
故选：BC.
30．若二项式 展开式中二项式系数之和为 ，展开式的各项系数之和为 ，各项系数的绝对值之和为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．存在 ，使得
C． 的最小值为2
D．
【答案】AB
【分析】
依题意可得 ， ， ，即可判断A、D，再利用作商法判断B，利用基本不等式判断
C；
【详解】
解：依题意可得 ， ， ，
因为 ，所以A正确.
因为 ，所以B正确.
因为 在 上单调递增且 在定义域上单调递增，所以 在 上单调递增，所
以 ，当且仅当 时取等号，所以 不正确.
因为 ，当 时， ，所以D不正确.故选：AB
第II卷（非选择题）
三、填空题
31．已知 ，则 ___________.
【答案】
【分析】
由 ，应用二项式定理求展开式通项，结合题设确定 对应的r值，即可求 .
【详解】
，则展开式通项为 ，
∴ 时，
故答案为：
32．在 的展开式中，二项式系数之和为256，则展开式中 项的系数为___________.
【答案】1120
【分析】
根据二项式展开式的二项式系数和为 ,求出n的值,再写出二项式的通项公式为
,当 时,即可求出 的系数
【详解】
展开式的二项式系数之和为
展开式的通项公式当 时, ,即
则展开式中 的系数为1120
故答案为：1120
33． 的展开式中第4项的二项式系数为______．
【答案】120
【分析】
已知的式子变形为 ，由二项式展开式可求得答案.
【详解】
解：因为 ，所以展开式中第4项的二项式系数为
．
故答案为：120.
34．已知 的展开式中，唯有 的系数最大，则 的系数和为______．
【答案】64
【分析】
由题意，列出不等式组 ，可解得 ，利用赋值法求系数和，即得解
【详解】
由题意知 ，则 ，
解得 ，又 ，因此 ，
则令 ，可得 的系数和为 ．
故答案为：6435．若 ，则A的小数部分是____________．
【答案】
【分析】
分析得到 的奇数数项相同，偶数项相反，且绝对值相同，再得到
的小数部分的和为1，求出 的小数部分就是 即得解.
【详解】
，
,
所以 的奇数数项相同，偶数项相反，且绝对值相同，
所以 的结果是整数.
所以 的小数部分的和为1.
下面求 的小数部分：
因为
所以 的小数部分就是 .
所以 的小数部分为 .
故答案为：
36．已知 的展开式中各项系数的和为2，则下列结论正确的有___________
① ；
②展开式中常数项为160；③展开式中各项系数的绝对值的和1458；
④若 为偶数，则展开式中 和 的系数相等
【答案】①③④
【分析】
由题意令 为1，可求得a得值，即可判断①；再根据二项展开式得通项即可求得展开式中常数项，即可
判断②；展开式中各项系数的绝对值的和即为 展开式系数的绝对值的和，从而可判断③；
根据二项展开式得通项即可判断④.
【详解】
对于①， ，令二项式中的 为1得到展开式的各项系数和为 ，
，故①正确；
对于②， ，
展开式的通项为 ，
当 展开式是中常数项为：令 ，得 ，
可得展开式中常数项为： ，
当 展开式是中常数项为： ，
令 ，得 （舍去），
故 的展开式中常数项为-160.故②错误；
对于③，求其展开式系数的绝对值的和与 展开式系数的绝对值的和相等，，令 ，可得：
展开式系数的绝对值的和为：1458，故③正确；
对于④，
展开式的通项为 ，
当 为偶数，保证展开式中 和 的系数相等，
① 和 的系数相等，
展开式系数中 系数为：
展开式系数中 系数为： ，此时 和 的系数相等，
② 和 的系数相等，
展开式系数中 系数为：
展开式系数中 系数为： ，此时 和 的系数相等，
③ 和 的系数相等，
展开式系数中 系数为： ，
展开式系数中 系数为： ，此时 和 的系数相等，故④正确.
故答案为：①③④.
37．若 ，则 的值为________.
【答案】-1【分析】
对二项展开式用 “赋值法”： 可得
令 可得： ，
即可求出 的值
【详解】
因为 ，
令 可得 ；令 可得： ；
故 ．
故答案为：-1
38．数列 中， ， （ ），则 ________
【答案】454
【分析】
由 ，结合等比数列的定义和通项公式可求出 ，结合二项式定理可求出
的值.
【详解】
解：因为 ，所以 以 为首项，
为公比的等比数列，所以 ，所以 ，
则
又，
，所以原式 ，
故答案为：454.
39．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现
出来，是一种离散型的数与形的结合.如图所示的杨辉三角中，从第3行开始，每一行除1以外，其他每一
个数字都是其上一行的左、右两个数字之和.若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之
比为 ，则这一行是第________行.
【答案】98
【分析】
根据二项式系数表示出相邻的三个数字的关系： ， ，由此求解出n的值，则行数可求.
【详解】
三角形数阵中，第n行的数由二项式系数 （ ， ， ）组成，
如果第n行中有 ， ，
那么 ，解得 .
故答案为：98.
40．若对任意 ，都有 ，（ 为正整数），则 的值
等于 _______ .
【答案】4【分析】
将式子变形后，重新组合，变为关于按 的升幂排列的等式，再根据等式左右两边相等，可得到系数之间
的关系，推出 ，即可求得结果.
【详解】
,解得： ，
即 .
故答案为：4.
任务三:邪恶模式(困难)1-30题
一、单选题
1．已知 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项 ，再借助二项式性质即可得
解.
【详解】依题意， ，
当 时，
，
于是得
.
故选：B
2．已知数列 为有穷数列，共95项，且满足 ，则数列 中的整数项的个数为（
）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】C
【分析】
根据题意有 均为整数，转化为 ，不难发现当 时
均为非负整数，验证当 、 时 和 是否为整数.
【详解】
解：由 得 ，
要使 为整数，必有 均为整数，
所以 ，
当 时 均为非负整数，
所以 为整数，共有14个，当 时， ，
在 中 因数2的个数为
，
同理计算可得 因数2的个数为82， 因数2的个数为110，
故 中因数2的个数为 ，
从而 是整数，
当 时， ，
同理 中因数2的个数小于10，
从而 不是整数，
因此，整数项的个数为 ，
故选：C.
3．已知 是数列 的前n项和，若 ，数列 的首项
，则 （ ）
A． B． C．2021 D．
【答案】A
【分析】
通过对二项展开式赋值 求解出 的值，然后通过所给的条件变形得到 为等差数列，从而求解出
的通项公式，即可求解出 的值.
【详解】
令 ，得 .又因为 ，所以 .
由 ，得 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，所以 ，
所以 ，所以 .
故选：A.
4．设 是常数，对于 ，都有
，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先令 ，求得 的值，再将给定的恒等式两边求关于 的导数，然后令 ，从而可得所求的值.
【详解】
因为 ，
则令 可得 .
又对 两边求导可得：
，
令 ，
则 ，所以 ，
所以
故 ，
所以 .
故选：A.
5．已知当 时，有 ，根据以上信息，若对任意 都有
，则 （ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】
,分别根据
展开 与 ,
再根据二项式定理的方法求解即可.
【详解】
,要得出 的系数 ,可取
(1)①式中的 乘以②式中的 ；
(2)①式中的 乘以②式中的 ；
(3)①式中的 乘以②式中的 ；
(4)①式中的 乘以②式中的 ；那么
故选B
6． 展开式中常数项为（ ）.
A．11 B． C．8 D．
【答案】B
【分析】
将 看成一个整体，得到 ，再展开 得到
，分别取值得到答案.
【详解】
将 看成一个整体，展开得到：
的展开式为：
取
当 时， 系数为：
当 时， 系数为：
常数项为
故答案选B
7．已知 展开式中 的系数小于90，则 的取值范围为．
A． B．
C． D．【答案】B
【分析】
先将 当做一项，写出 的展开通项，结合题意分析，要想得到展开式中的 项，只能是
， 和 ，然后分别讨论三种情况产生的 的系数，将三种情况的系数相加即为原展开式中
的系数，列出不等式，解出 即可.
【详解】
解：因为 展开式为
要想得到展开式中的 项，只能是 ， 和
当 时，
二项式 的展开通项
要想得到 项，只能 ，此时 的系数为
当 时，
二项式 的展开通项
要想得到 项，只能 ，此时 的系数为
当 时，
二项式 的展开通项
要想得到 项，只能 ，此时 的系数为
所以 展开式中 的系数为
所以 ，解得
故选B.
8． 的展开式中， 的系数为
A． B． C． D．【答案】B
【详解】
分析：题中 为独立项，所以 展开式中含 的为
，其中 中 的系数为 展
开式中 与 的系数差．最后再将两部分系数相乘即得所求．
详解：由 ，
得含 的项为 ，
中 的项为
系数为
故选B.
9．已知 （ ），设 展开式的二项式系数和为 ，
（ ）， 与 的大小关系是
A．
B．
C． 为奇数时， ， 为偶数时，
D．
【答案】C
【详解】
试题分析：由可令 得；
可令 得； ，
，而二项式系数和
则比较易得； 为奇数时， ， 为偶数时，
10．若 ,则
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
试题分析：因为 ，
所以 ，
令 ，则 ， ；
所以
，选D.
11．已知 展开式的常数项的取值范围为 ，且 恒成立.则 的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【分析】
由二项展开式通项结合已知条件可求得实数 的取值范围，再由 恒成立结合参变量分
离法可求得实数 的取值范围，综合可得出结果.
【详解】
展开式的通项为 ，
令 ，可得 ，所以，展开式中的常数项为 ，
解得 或 ，
令 ，其中 ，可得 .
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， ，
由 可得 ，其中 ，
构造函数 ，其中 ，
则 ，
令 ，其中 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增.
所以， .
所以，当 时， ，此时函数 单调递减当 时， ，此时函数 单调递增.
所以， ， .
综上所述，实数 的取值范围是 .
故选：D.
12． 的展开式中的 系数为（ ）
A． B． C．120 D．200
【答案】A
【分析】
由题意首先确定 展开式的通项公式，再采用分类讨论法即可确定 的系数.
【详解】
展开式的通项公式为 ，
当 时， ，此时只需乘以第一个因式 中的 即可，得到 ；
当 时， ，此时只需乘以第一个因式 中的 即可，得到
；
据此可得： 的系数为 .
故选：A.
13．已知二项式 ，则展开式的常数项为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
分析：首先将式子中的三项中将后两项看作一个整体，之后借助于二项式定理将其展开，对式子进行分析，
得到常数项所出现的位置，合并求得结果.详解：因为 ，
因为 和 的展开式中没有常数项，
展开式中的常数项是 ， 展开式中的常数项是 ，
所以二项式 展开式的常数项为 ，故选D.
14．已知 为满足 （ ）能被 整除的正数 的最小值，则 的展
开式中，系数最大的项为
A．第 项 B．第 项 C．第 项 D．第 项和第 项
【答案】B
【详解】
试题分析：由于
，所以 ，从而 的展开式
中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第 项，其系数为负，则第
项系数最大．
15．已知 ， ，其中 为 展开式中 项系数，
，则下列说法不正确的有（ ）
A． ，
B．
C．
D． 是 ， ， ，…， 是最大值
【答案】B【分析】
由三项式系数塔与杨辉三角构造相似可得A，D正确，根据计算可得 ， ，所以C
正确.
【详解】
由题意知，三项式系数塔与杨辉三角构造相似，其第二行为三个数，且下行对应的数是上一行三个数之和，
当 时，
故 ， 是 ， ， ，…， 的中间项，故 最大，所以A，D正确；令 可知：
；
当 时， ， ，
， ，所以 ，所以B不正确；
令 可知， ，即 ；
又因为 .故 ，C正确.
故选：B.
二、多选题
16．甲､乙两人进行围棋比赛，共比赛 局，且每局甲获胜的概率和乙获胜的概率均为 .如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为 ，则（ ）
A． B．
C． D． 的最大值为
【答案】BC
【分析】
由题设可得 ，又 ，可得
，结合各选项即可判断正误.
【详解】
由题意知：要使甲赢得比赛，则甲至少赢 局， ，而
，
∴ ，故C正确；
A： ，错误；
B： ，正确；
D：当 时， ，由A知 ，显然 的最大值不是 ，错误.
故选：BC
17．对于二项式 ，以下判断正确的有（ ）
A．存在 ，展开式中有常数项
B．对任意 ，展开式中没有常数项C．对任意 ，展开式中没有 的一次项
D．存在 ，展开式中有 的一次项
【答案】AD
【分析】
求得二项式 和 的通项公式，得到二项式 ，展开式的通项为
，
分别考察 的指数为0，1的情况，进而判定常数项和一次项的系数的存在性.
【详解】
解：对于二项式 的展开式的通项公式为 ， ，
而 的通项公式为 ， .
对于二项式 ，展开式的通项为 ，
未知数的次数为
当 时，即 ，当 ， ， 是其中一组解，由于 的
各项的系数都是正数，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误，
当 时，即 ，当 ， ， 是其中一组解，由于
的各项的系数都是正数，故展开式中有一次项，且一次项的系数不为0，展开式中有一次项，故D正确，C
错误，
故选：AD.
第II卷（非选择题）
三、填空题18．设整数 ， 的展开式中 与xy两项的系数相等，则n的值为____________ .
【答案】51
【分析】
由题意可得 的二项展开式，令r=4可得 项系数，令r=n-1可得xy项的系数，列出方程可
得n的值.
【详解】
解：由题意得： .
其中 项，仅出现在求和指标r=4时的展开式 中，
其 项系数为 ；
而xy项仅出现在求和指标r=n-1时的展开式 中，
其xy项系数为 .
因此有 .
注意到n>4，化简得 ，故只能是n为奇数且n-3=48，解得n=51，
故答案为：51.
19．若 的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母 且 的次数为1的项的
系数为___________.
【答案】
【分析】
取 ，计算得到 ，再利用二项式定理计算系数得到答案.
【详解】
取 ，则 的展开式中各项系数的和为： .
故 ，则 ，的展开式： ； 的展开式：
取 得到： ，取 得到系数为 ；
取 得到： ，取 得到系数为 ；
综上所述：该展开式中含字母 且 的次数为1的项的系数为 。
故答案为： 。
20．某年数学竞赛邀请了一位来自 星球的选手参加填空题比赛，共10道题目，这位选手做题有一个古
怪的习惯：先从最后一题（第10题）开始往前看，凡是遇到会的题目就作答，遇到不会的题目先跳过（允
许跳过所有的题目），一直看到第1题，然后从第1题开始往后看，凡是遇到先前未答的题目就随便写个
答案，遇到先前已答得题目则跳过（例如，他可以按照9、8、7、4、3、2、1、5、6、10的次序答题），
这样所有题目均有作答，则这位选手可能的答题次序有______种.
【答案】512
【分析】
按照规则，相当于将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10按照规则排序，要求放在1左侧的数字从大到小，右侧从小到大
（1可以在两端），可以设1左侧 个数字，不同的排序方法 种，一共有 种.
【详解】
设从最后一题（第10题）开始往前看直到第2题（含第2题），做了 道题，这 道题的顺序
只能从大到小或者不答题（ ），则不同的答题情况 种，
按照规则：接下来无论他是否会第一题，都必须做第一题，剩下的题目只有一种做题顺序.
则剩下的 道题只能一种答法，
所以可能的答题次序一共有 种.
故答案为：512
21．已知数列 、 的通项公式分别是 ， ，把数列 、 的公共项从小到大排列
成新数列 ，那么数列 的第 项是 中的第________项【答案】
【分析】
设 ，利用二项式定理得到 为奇数时，满足 ，即 ，计算得到答案.
【详解】
设 即
当 为奇数时，满足 即
故答案为：
22．已知 展开式的二项式系数的最大值为 ，系数的最大值为 ，则 ___________.
【答案】12
【分析】
由 的二项展开式的通项 ，可知 展开式的二项式系数为 ，当
时，二项式系数的最大值为 ， 展开式的系数为 ，当满足
时，系数的最大值为 ，求解即可.
【详解】
由题意可知
展开式的二项式系数为 ，
当 时，取得最大值
展开式的系数为 ，
当满足 时，系数最大.即
，即 解得
又
时，系数的最大值为
则
故答案为：12
23．若多项式 ，则 ________.
【答案】46
【分析】
把 化为 ，按照二项式定理展开，可得 的系数 的值.
【详解】
,
,
故答案为46
1
24．若 展开式中含 项的系数与含
x4
项的系数之比为-4，则 _____．
【答案】8
【解析】
【分析】
1
先由题意得到二项展开式的通项，进而得到含 项与含 项的系数，然后根据题意得到关于 的方程，
x4解方程可得所求．
【详解】
二项式 的展开式的通项为 ，
令 ，得 ，所以含 项的系数为 ；
1
令 ，得 ，所以含 项的系数为 ．
x4
由题意得 ，
整理得 ，
∴ ，
解得 ．
故答案为： ．
25．设 ，则 __________．
【答案】
【解析】
, ，故 .
26． 的展开式中不含 的项的系数和为________（结果化成最简形式）．
【答案】
【详解】
试题分析：
展开式中不
含 的项的系数和为 .
27．设 （ ， ）是 的展开式中x的一次项系数，则 _____．【答案】17
【解析】
试题分析：∵ （ ， ）是 的展开式中x的一次项系数，∴ ，
∴
，
故答案为17
28．若n是正整数，则 除以9的余数是____________.
【答案】0或7
【分析】
根据二项式定理可知， ，又
，分n为偶数和奇数两种情况讨论余数即可.
【详解】
根据二项式定理可知， ，
又
所以当n为偶数时，除以9的余数为0；当n为奇数时，除以9的余数为7.
故答案为：0或7
29．已知等差数列 ，对任意 都有 成立，则数列
的前 项和 __________．
【答案】
【分析】根据二项式的性质化简可得 ，求出通项公式，再由裂项相消法即可求出.
【详解】
设等差数列的公差为 ，则 ，因为 ，
所以
，
所以 ，所以 对 恒成立，
所以 ， ，所以等差数列 的通项公式 ，
所以 ，
所以数列 的前 项和 ．
故答案为： .
30．“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，
去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前46项和为_____.
【答案】
【分析】
根据“杨辉三角”的特点可知 次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第 行，从而得到第
行去掉所有为 的项的各项之和为： ；根据每一行去掉所有为 的项的数字个数成等差数列的特点可求得至第 行结束，数列共有 项，则第 项为 ，从而加和可得结果.
【详解】
由题意可知， 次二项式的二项式系数对应“杨辉三角”中的第 行
则“杨辉三角”第 行各项之和为：
第 行去掉所有为 的项的各项之和为：
从第 行开始每一行去掉所有为 的项的数字个数为：
则： ，即至第 行结束，数列共有 项
第 项为第 行第 个不为 的数，即为：
前 项的和为：
本题正确结果：
