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专题 13 分式化简求值——拔高练习
题型一 化简求值基本题型
1．已知 ， ，那么分式 的值等于 ．
2．先化简，再求值： ，其中 是不等式组 的一个
整数解．
3．先化简： ，再从 中选择一个整数代入求值．
4．（1）当 取何值时，方程 的解为正数？
（2）先化简代数式 ，再从 ，2，0三个数中选一个恰当的数作为 的值代入求值．
5．先将 化简，再选取一个你认为合适的 的值代入求值．
6．先化简，后求值： ，其中 ．7．先化简再求值，代数式 ，从如下0， ， ，2中选择你喜欢的数代入计算．
题型二 裂项
8．阅读理解： ，
阅读以上信息，完成下列问题：
（1） ；（填最后结果）
（2） ；（填最后结果）
（3）求 的值．
9．先阅读，再答题：
由于 ， ，
一般地有 ．
请根据上面的结论，计算： ．
10．观察下面的变形规律：
， ， ，
解答下面问题：
（1）若 为正整数请你猜想 ；
（2）证明你猜想的结论；（3）利用这一规律化简： ．
（ 4 ） 尝 试 完 成 ． （ 直 接 写 答 案 ）
．
11．阅读下列规律，并解题：
；
；
；
根据以上规律解下列方程 ．
题型三 整体代入法
12．若 ，且 ，则 的值为 ．
13．已知 ，求 的值．
14．当 时，代数式 的值是 ．
15．已知 ，则分式 的值等于 ．
16．已知 ，则代数式 的值等于 ．17．先化简，后求值： ，其中 是方程 的根．
18．（1）计算： ．
（2）先化简，再求值： ，其中 ．题型四 利用取倒数的方法化简求值
19．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一．所谓倒数法，即把式子变成其倒数形
式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知： ，求代数式 的值．
解：因为 ，所以 即 ，所以 ．
根据材料回答问题（直接写出答案）
（1） ，则 ．
（2）解分式方程组 ，解得方程组的解为 ．
20．已知， ，则 ．
21．已知： ，则 ．
22．若 ， ， ，则 ．
23．已知 ， ，求 的值．
题型五 降次法
24．已知 ，求下列式子的值：
（1） ； （2） ； （3） ．25．已知 ，那么代数式 的值为 ．
26．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：
已知实数 ， 同时满足 ， ，求代数式 的值．
结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当 时， 的值是 ．
（2）当 时，代数式 的值是 ．
27．若 且 ，则 ．
题型六 分离系数（常数）法
28．若 取整数，则使分式 的值为整数的 值有
A．3 个 B．4 个 C．6 个 D．8个
29．已知 ，其中 ， 为常数，则
30．若 取整数，则使分式 的值为整数的 值有 个．
31．请阅读下列材料：
我们知道，分式类比分数，分数中有真分数、假分数、带分数、类似的，在分式中，也规定真分式、假分
式、带分式；在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．
例如，分式 是假分式，一个假分式可以化为带分式，即化为一个整式与一个真分式的和，例如，
．（注意带分式中整式与真分式之间的符号不能省略）
请根据以上方法，解决下列问题；（1）请根据以上信息，任写一个真分式 ．
（2）已知： ， ；
①当 时，若 与 都为正整数，求 的值；
②计算 ，设 ，探索 是否有最小值，若有，请求出 的值；若没有，请说明理由．
32．请仔细阅读下面材料，然后解决问题：
在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”．
例如： ， ；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： ， ．
我们知道，假分数可以化为带分数，例如： ，类似的，假分式也可以化为“带
分式”（整式与真分式和的形式），例如： ．
（1）将分式 化为带分式；
（2）当 取哪些整数值时，分式 的值也是整数？
（3）当 的值变化时，分式 的最大值为 ．
题型七 设“k”法化简求值
33．已知 、 、 是互不相等的实数，且 ，则 的值为
A． B．0 C．1 D．2
34．已知 ，且 ，则 ．
35．已知 ，则 的值为 ．
36．已知 ，则 ．
37．阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知 、 、 互不相等），求 的值．
解：设 ，则 ， ， ，
， ．
依照上述方法解答下列问题：
已知： ，其中 ，求 的值．
38．若 ，则 的值是 ．
39．设互不相等的非零实数 ， ， 满足 ，求 的值．
40．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，
从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知： ，求代数式 的值．
解： ， 即
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“ ”，将连等式变成几个值为 的等式，这样就
可以通过适当变形解决问题．
例：若 ，且 ，求 的值．
解：令 则 ， ， ，
根据材料回答问题：
（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，求 的值．（3）若 ， ， ， ，且 ，求 的值．
41．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题．
材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，
从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：已知： ，求代数式 的值．
解： ，
即
材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“ ”，将连等式变成几个值为 的等式，这样就
可以通过适当变形解决问题．
例：若 ，且 ，求 的值．
解：令
则 ， ， ，
根据材料回答问题：
（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ， ，求 的值．
（3）若 ， ， ， ，且 ，求 的值．
42．阅读下列解题过程，然后解题：
题目：已知 、 、 互不相等），求 的值．
解：设 ，则 ， ， ，， ．
依照上述方法解答下列问题：
， ， 为非零实数，且 ，当 时，求 的值．
