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专题2.15 《一元一次不等式和一元一次不等式组》全章复习与巩
固（真题专练）
一、单选题
1．（2021·山东淄博·中考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江丽水·中考真题）若 ，两边都除以 ，得（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·四川南充·中考真题）满足 的最大整数 是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2021·辽宁朝阳·中考真题）不等式﹣4x﹣1≥﹣2x＋1的解集，在数轴上表示正确的是
（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·贵州遵义·中考真题）小明用30元购买铅笔和签字笔，已知铅笔和签字笔的单
价分别是2元和5元，他买了2支铅笔后，最多还能买几支签字笔？设小明还能买x支签字
笔，则下列不等关系正确的是（ ）
A．5×2+2x≥30 B．5×2+2x≤30 C．2×2+2x≥30 D．2×2+5x≤30
6．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终
点、同方向匀速跑步，先到终点的人原地休息．已知甲先出发3秒，在跑步过程中甲、乙
两人之间的距离 (米)与乙出发的时间x(秒)之间的函数关系如图所示，正确的个数为（
）
①乙的速度为5米/秒；
②离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点12米；
③甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是 ；
④乙到达终点时，甲距离终点还有68米．A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2021·内蒙古·中考真题）定义新运算“ ”，规定： ．若关于x的不等
式 的解集为 ，则m的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
8．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知点 在直线 上，且 （
）
A． B． C． D．
9．（2021·湖北鄂州·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线
与直线 相交于点 ．根据图象可知，关于 的不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知关于x的不等式组 无实数解，则
a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．11．（2021·湖南永州·中考真题）一元一次不等式组 的解集中，整数解的个数是
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
12．（2021·江苏南通·中考真题）若关于x的不等式组 恰有3个整数解，则实数
a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·山东聊城·中考真题）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（
）
A．﹣1≤x＜5 B．﹣1＜x≤1 C．﹣1≤x＜1 D．﹣1＜x≤5
14．（2021·山东日照·中考真题）若不等式组 的解集是 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2021·湖南常德·中考真题）刘凯有蓝、红、绿、黑四种颜色的弹珠，总数不超过50
个，其中 为红珠， 为绿珠，有8个黑珠．问刘凯的蓝珠最多有_________个．
16．（2021·黑龙江绥化·中考真题）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买
奖品．已知购买2个 种奖品和4个 种奖品共需100元；购买5个 种奖品和2个 种奖
品共需130元．学校准备购买 两种奖品共20个，且 种奖品的数量不小于 种奖品数
量的 ，则在购买方案中最少费用是_____元．
17．（2021·四川泸州·中考真题）关于x的不等式组 恰好有2个整数解，则实数a
的取值范围是_________．18．（2021·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，若点 在第二象限，
则整数m的值为_________．
19．（2021·黑龙江·中考真题）关于 的一元一次不等式组 有解，则 的取值范
围是______．
20．（2021·辽宁丹东·中考真题）不等式组 无解，则m的取值范围_________．
21．（2021·青海·中考真题）已知点 在第四象限，则 的取值范围是
______．
22．（2021·辽宁盘锦·中考真题）从不等式组 的所有整数解中任取一个数，
它是偶数的概率是________
23．（2021·湖南张家界·中考真题）不等式 的正整数解为______．
三、解答题
24．（2021·天津·中考真题）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得_______________；
（Ⅱ）解不等式②，得_______________；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为___________．25．（2021·四川凉山·中考真题）解不等式 ．
26．（2021·贵州毕节·中考真题） 取哪些正整数值时，不等式 与
都成立?
27．（2021·四川成都·中考真题）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》
（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾
920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点
位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，
同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计
划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活
垃圾？
28．（2021·湖南长沙·中考真题）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，
传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党
史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．
（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答
对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小
达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？
参考答案
1．A
【分析】
根据无理数的估算可直接进行求解．
【详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选A．
【点拨】本题主要考查无理数的估算及一元一次不等式的性质，熟练掌握无理数的估算及
一元一次不等式的性质是解题的关键．
2．A
【分析】
利用不等式的性质即可解决问题．
【详解】
解： ，
两边都除以 ，得 ，故选：A．
【点拨】本题考查了解简单不等式，解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
3．C
【分析】
逐项分析，求出满足题意的最大整数即可．
【详解】
A选项， ，但不是满足 的最大整数，故该选项不符合题意，
B选项， ，但不是满足 的最大整数，故该选项不符合题意，
C选项， ，满足 的最大整数，故该选项符合题意，
D选项， ，不满足 ，故该选项不符合题意，
故选：C．
【点拨】本题较为简单，主要是对不等式的理解和最大整数的理解．
4．D
【分析】
不等式移项，合并，把x系数化为1，求出解集，表示在数轴上即可．
【详解】
解：不等式﹣4x﹣1≥﹣2x＋1，
移项得：﹣4x＋2x≥1＋1，
合并得：﹣2x≥2，
解得：x≤﹣1，
数轴表示，如图所示：
故选：D．
【点拨】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等
式的解法是解本题的关键．
5．D【分析】
设小明还能买x支签字笔，则小明购物的总数为 元，再列不等式即可.
【详解】
解：设小明还能买x支签字笔，
则：
故选：
【点拨】本题考查的是一元一次不等式的应用，确定购物的总金额不大于所带钱的数额这
个不等关系是解题的关键.
6．B
【分析】
利用乙用80秒跑完400米求速度可判断①；利用甲先走3秒和12米求出甲速度，根据乙
追甲相差12米求时间=12秒再求距起点的距离可判断②；利用两人间距离列不等式5
（t-12）-4(t-12) 32，和乙到终点，甲距终点列不等式4 t+12 400-32解不等式可判断③；
根据乙到达终点时间，求甲距终点距离可判断④即可
【详解】
解：①∵乙用80秒跑完400米
∴乙的速度为 =5米/秒；
故①正确；
②∵乙出发时，甲先走12米，用3秒钟，
∴甲的速度为 米/秒，
∴乙追上甲所用时间为t秒，
5t-4t=12，
∴t=12秒，
∴12×5=60米，
∴离开起点后，甲、乙两人第一次相遇时，距离起点60米；
故②不正确；
③甲乙两人之间的距离超过32米设时间为t秒，
∴5（t-12）-4(t-12) 32，
∴t 44，当乙到达终点停止运动后，
4 t+12 400-32，
∴t 89，
甲、乙两人之间的距离超过32米的时间范围是 ；
故③正确；
④乙到达终点时，
甲距终点距离为：400-12-4×80=400-332=68米，
甲距离终点还有68米．
故④正确；
正确的个数为3个．
故选择B．
【点拨】本题考查一次函数的图像应用问题，仔细阅读题目，认真观察图像，从图像中获
取信息，掌握一次函数的图像应用，列不等式与解不等式，关键是抓住图像纵轴是表示两
人之间的距离，横坐标表示乙出发时间，拐点的意义是解题关键．
7．B
【分析】
题中定义一种新运算，仿照示例可转化为熟悉的一般不等式，求出解集，由于题中给出解
集为 ，所以与化简所求解集相同，可得出等式 ，即可求得m．
【详解】
解：由 ，
∴ ，
得： ，
∵ 解集为 ，
∴
∴ ，
故选：B．
【点拨】题目主要考查对新运算的理解、不等式的解集、一元一次方程的解等，难点是将
运算转化为所熟悉的不等式．
8．D
【分析】
根据点 在直线 上，且 ，先算出 的范围，再对不等式变形整理时，需要注意不等号方向的变化．
【详解】
解： 点 在直线 上，
，
将上式代入 中，
得： ，
解得： ，
由 ，得： ，
（两边同时乘上一个负数，不等号的方向要发生改变），
故选：D．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是：要注意在变形的时候，不等号的
方向的变化情况．
9．C
【分析】
根据一次函数图像的交点直接判断即可．
【详解】
解：由题意可知，
当 时，
直线 的图像位于直线 图像的上方，
即关于 的不等式 的解集为： ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查一次函数与不等式的关系，明确函数图像上各交点坐标代表的意义
是解决本题的关键．
10．D
【分析】
首先解出两个不等式，根据题目该不等式组无实数解，那么两个解集没有公共部分，列出
关于a的不等式，即可求解．
【详解】
解：解不等式 得，，
解不等式 得，
，
∵该不等式组无实数解，
∴ ，
解得： ，
故选：D．
【点拨】本题考查了不等式的解法和不等式组解集的确定，解题关键是熟练掌握不等式解
集的确定，即“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”．
11．C
【详解】
∵解不等式 得： ，
解不等式 ，得：x≤5，
∴不等式组的解集是 ，
整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，
故选C．
考点：一元一次不等式组的整数解．
12．C
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀不等式组的整数解个数即可得出答案．
【详解】
解：解不等式 ，得： ，
解不等式 ，得： ，
∵不等式组只有3个整数解，即5，6，7，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次
不等式，并根据不等式组整数解的个数得出关于 的不等式组．13．A
【分析】
先求出方程的解，再根据﹣3＜a≤3的范围，即可求解．
【详解】
解：由x＋a＝2，得：x＝2-a，
∵﹣3＜a≤3，
∴﹣1≤2-a＜5，即：﹣1≤x＜5，
故选A．
【点拨】本题主要考查解一元一次方程以及不等式的性质，用含a的代数式表示x，是解题
的关键．
14．C
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大
小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】
解：解不等式 ，得： ，
且不等式组的解集为 ，
，
故选：C．
【点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．20
【分析】
设弹珠的总数为x个, 蓝珠有y个，根据总数不超过50个列出不等式求解即可．
【详解】
解：设弹珠的总数为x个, 蓝珠有y个，根据题意得，
，
由①得， ，结合②得，
解得， ，
又因为总的弹珠数量、红珠数量和绿珠数量都是整数，
所以，刘凯的蓝珠最多有20个．
故答案为：20．
【点拨】此题主要考查了一元一次不等式的应用，能够找出不等关系是解答此题的关键．
16．330
【分析】
设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个 种奖
品共需100元；购买5个A种奖品和2个 种奖品共需130元”，即可得出关于A，B的二
元一次方程组，在设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(20-m)个，根据购买A种奖品的
数量不少于B种奖品数量的 ，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出
一次函数，根据一次函数性质得出结果．
【详解】
解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，
依题意，得： ，
解得：
∴A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元．
设购买A种奖品m个，则购买B种奖品 个，根据题意得到不等式：
m≥ (20-m)，解得：m≥ ，
∴ ≤m≤20，
设总费用为W，根据题意得：
W=20m+15(20-m)=5m+300，
∵k=5>0，∴W随m的减小而减小，
∴当m=6时，W有最小值，
∴W=5×6+300=330元
则在购买方案中最少费用是330元．
故答案为：330．
【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，
解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确
列出一元一次不等式与一次函数．
17．
【分析】
首先解每个不等式，根据不等式组只有2个整数解，确定整数解的值，进而求得a的范围．
【详解】
解：
解①得 ，
解②得 ，
不等式组的解集是 ．
∵不等式组只有2个整数解，
∴整数解是2，3．
则 ,
∴
故答案是：
【点拨】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据x的取值范围，得出x的整数解．
求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大
小小解不了．
18．2
【分析】
根据第二象限的点的横坐标小于0，纵坐标大于0列出不等式组，然后求解即可．【详解】
解：由题意得： ，
解得： ，
∴整数m的值为2，
故答案为：2．
【点拨】本题考查了点的坐标及解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解
决的关键．
19．
【分析】
先求出一元一次不等式组的解集，然后再根据题意列出含参数的不等式即可求解．
【详解】
解：由关于 的一元一次不等式组 可得： ，
∵不等式组有解，
∴ ，
解得： ；
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解
题的关键．
20．
【分析】
先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】
解：
解不等式①得：
由②式知：
∵不等式组无解∴
故答案为：
【点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，能够根据不等式的解集和已知得出关于m
的不等式是解题的关键．
21．
【分析】
根据直角坐标系、一元一次不等式组的性质计算，即可得到答案．
【详解】
∵点 在第四象限
∴
∴
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查了直角坐标系、一元一次不等式组的知识；解题的关键是熟练掌握象限、
一元一次不等式组的性质，从而完成求解．
22．
【分析】
首先求得不等式组 的所有整数解，然后由概率公式求得答案．
【详解】
解：∵ ，
由①得：x≥1，
由②得：x≤5，∴不等式组的解集为：1≤x≤5，
∴整数解有：1，2，3，4，5；
∴它是偶数的概率是 ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集．用到的知识点为：概率＝所求
情况数与总情况数之比．
23．3
【分析】
直接解出各个不等式的解集，再取公共部分，再找正整数解即可．
【详解】
解：由 ，
解得： ，
由 ，
原不等式的解集是： ．
故不等式 的正整数解为： ，
故答案是： ．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组的解集和求不等式组的正整数解，解题的关键是：
掌握解不等式组的基本运算法则，求出解集后，找出满足条件的正整数解即可．
24．（Ⅰ） ；（Ⅱ） ；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示见解析；
（Ⅳ） ．
【分析】
根据解一元一次不等式组的步骤和不等式组的解集在数轴上的表示方法即可解答．
【详解】
（Ⅰ）解不等式 ，得： ．
故答案为： ；
（Ⅱ）解不等式 ，得： ．
故答案为： ；
（Ⅲ）在数轴上表示为：；
（Ⅳ）原不等式的解集为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集．掌握解一元一次
不等式组的步骤是解答本题的关键．
25．
【分析】
不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
【详解】
解： ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化成1，得 ．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，解此题的关键点是能正确根据不等式的性质进行
变形，注意：移项要变号．
26．1、2、3
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大
小小无解了确定不等式组的解集，从而得出满足条件的x的整数．
【详解】
解不等式 得：解不等式 得：
∴
∴符合条件的正整数值有1、2、3
【点拨】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，
熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关
键．
27．（1）38吨；（2）3个
【分析】
（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x，则A型为x+7，由每天需要处理生活
垃圾920吨列出方程求解即可；
（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y，根据两
种需要处理的生活垃圾和不低于910吨列不等式求解即可．
【详解】
解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x，则A型为x+7，
由题意得：10x+12（x+7）=920，
解得：x=38，
答：每个B型点位每天处理生活垃圾为38吨数；
（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y．
由题意得（12+y）(38+7-8)+（10+5-y）（38-8）≥920-10
解得：y≥ ，
∵y为整数
∴至少需要增设3个A型点位，
答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
【点拨】本题考查一元一次方程以及一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学
思想联系起来，读懂题列出关系式是解题关键．
28．（1）一共答对了22道题；（2）至少需答对23道题．【分析】
（1）设该参赛同学一共答对了 道题，从而可得该参赛同学一共答错了 道题，
再根据“每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分”、“他的总得分为86分”建立方
程，解方程即可得；
（2）设参赛者需答对 道题才能被评为“学党史小达人”，从而可得参赛者答错了
道题，再根据“总得分大于或等于90分”建立不等式，解不等式即可得．
【详解】
解：（1）设该参赛同学一共答对了 道题，则该参赛同学一共答错了 道题，
由题意得： ，
解得 ，
答：该参赛同学一共答对了22道题；
（2）设参赛者需答对 道题才能被评为“学党史小达人”，则参赛者答错了 道题，
由题意得： ，
解得 ，
答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．
【点拨】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确列出方程和不等式
是解题关键．
