文档内容
专题 25 椭圆
目录
01 思维导图
02 知识清单
03 核心素养分析
04 方法归纳
一、椭圆
平面内与两个定点 的距离之和等于常数 （ ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭
圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作 ，定义用集合语言表示为：
注意：当 时，点的轨迹是线段；当 时，点的轨迹不存在．
二、椭圆的性质
焦点的位
焦点在 轴上 焦点在 轴上
置
图形标准方程
统一方程
参数方程
第一定义 到两定点 的距离之和等于常数2 ，即 （ ）
范围 且 且
、 、
顶点
、 、
轴长 长轴长 ，短轴长 长轴长 ，短轴长
对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称
焦点
、 、
焦距
离心率
对于过椭圆上一点 的切线方程，只需将椭圆方程中 换为 ， 换为
可得
焦半径最大值 ，最小值
常用结论
椭圆的焦点三角形
椭圆上的点P(x，y)与两焦点构成的 PFF 叫做焦点三角形．如图所示，设 FPF＝θ.
0 0 1 2 1 2
△ ∠
(1)当P为短轴端点时，θ最大， 最大．
(2) ＝ |PF||PF|sin θ＝b2tan ＝c|y|.
1 2 0
(3)|PF| ＝a＋c，|PF| ＝a－c.
1max 1min
(4)|PF|·|PF|≤ 2＝a2.
1 2
(5)4c2＝|PF|2＋|PF|2－2|PF||PF|cos θ.
1 2 1 2
三、直线与椭圆
1．直线与椭圆的位置判断
将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交 Δ>0；
⇔直线与椭圆相切 Δ＝0；直线与椭圆相离 Δ<0.
2．弦长公式
⇔ ⇔
设直线与椭圆的交点坐标为A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则|AB|＝ |x－x|＝
1 2
或|AB|＝ |y－y|＝ ，k为直线斜率且k≠0.
1 2
常用结论
已知椭圆 ＋ ＝1(a＞b＞0)．
(1)通径的长度为 .
(2)过左焦点的弦AB，A(x ，y)，B(x ，y)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x ＋x)；过右焦点弦CD，C(x ，y)，
1 1 2 2 1 2 3 3
D(x，y)，则焦点弦|CD|＝2a－e(x＋x)．(e为椭圆的离心率)
4 4 3 4
(3)A，A 为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A，A 的任一点，则 .
1 2 1 2
(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M 为AB的中点，则k ·k ＝－ .
OM AB
(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则k ·k ＝－ .
PA PB
(6)点P(x，y)在椭圆上，过点P的切线方程为 ＋ ＝1.
0 0
椭圆是高考考查的重点和热点，其中椭圆的方程、几何性质等常以选择题、填空题形式出现；直线与
椭圆的综合问题如弦长问题等常常以解答题形式出现。
Ⅰ、椭圆及其性质
题型一 椭圆的定义及其应用
例1 设定点 ， ，动点 满足条件 ，则点 的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段
【答案】D
【分析】利用基本不等式求出 的范围，根据椭圆的定义可得答案.
【解析】因为 ，所以 ，
当且仅当 时等号成立，
当 时， ，而 ，此时点 的轨迹是线段 ；
当 时， ，
此时点 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆．综上所述，点 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆或线段 .
故选：D.
方法归纳： 椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率
等．
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．
题型二 椭圆的标准方程
命题点1 定义法
例2 已知椭圆的两个焦点坐标分别是 ，椭圆上一点 到两个焦点的距离之和为26，则该椭
圆方程为 .
【答案】
【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程.
【解析】由题意，椭圆的两个焦点坐标分别是 ，则椭圆的焦点在y轴上，且 ，
又椭圆上一点 到两个焦点的距离之和为26，所以 ，即 ，
所以 ，所以该椭圆方程为 .
故答案为：
命题点2 待定系数法
例3 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P( ，1)，P(－ ，－ )，则该椭圆的
1 2
方程为________．
答案 ＋ ＝1
解析 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．
因为椭圆经过P，P 两点，
1 2
所以点P，P 的坐标满足椭圆方程，
1 2
则Error!
解得Error!
所以所求椭圆的方程为 ＋ ＝1.
方法归纳： 根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的 a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求
椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．
题型三 椭圆的几何性质
命题点1 离心率
例4 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，经过点 且垂直于x轴的直线与椭圆C交于A，B两点，且 ，则椭圆C的离心率为
【答案】 /0.5
【分析】根据题意利用勾股定理求出 ，再由椭圆定义求出 即可得解.
【解析】由题意知 ，
所以 ，即 ，
又 ，即 ，
所以 ，
故答案为：
命题点2 与椭圆有关的范围(最值)
例5 已知椭圆 的中心，右焦点，右顶点分别为O，F，A，右准线与x轴的交点为
H，则 的最大值为 .
【答案】 /
【分析】根据椭圆方程，结合焦点坐标和准线方程得出 ，所以
，最后由 得出最大值.
【解析】因为椭圆方程为 ，所以椭圆的右焦点 ，右顶点为 ，右准线方
程为 ，其中 ，
由此可得 ， ，所以 ，
因为 ，所以当且仅当 时， 的最大值为 .
故答案为： .
Ⅱ、直线与椭圆
题型一 直线与椭圆的位置关系
例1直线 与椭圆 恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据直线过定点，只要在椭圆的内部或在椭圆上即可保证直线与椭圆总是有交点的.
【解析】由于直线 恒过点 ，
要使直线 与椭圆 恒有公共点，
则只要 在椭圆的内部或在椭圆上即可，
即 ，解可得 且 ，
故实数m的取值范围为 .
故选：C．
命题点1 弦长问题
例2 已知椭圆 的左焦点为 ，过 的直线 与 交于 ， 两点，则下列说法正确的是
（ ）
A．若直线 垂直于 轴，则
B．
C．若 ，则直线 的斜率为
D．若 ，则
【答案】B
【分析】依题意设出直线方程，结合弦长公式分别判断ABC选项，再结合向量及焦半径长度公式可判断
D选项.
【解析】依题意，椭圆 的左焦点为 ，设 ， ，
对于A选项， 轴，直线 ，由 ，得： ，则 ，A选项错误；
对于B选项， 不垂直于 轴时，设 的方程为 ，
由 ，消去 并整理可得： ，
则 ， ，，
显然 ， ，
于是得 ，
由选项A知，当 轴时， ，因此 ，B选项正确；
对于C，当 时，由选项B得 ，解得 ，C选项错误；
对于D，因 ，有 ，则 ，即 ，
而 ， ，
同理 ，则有 ，即 ，
于是得 ，
因此 ，D选项错误；
故选：B.
命题点2 中点弦问题
例3 已知 为坐标原点，椭圆 ，圆 ，圆 ，点
，射线 交圆 ，椭圆 ，圆 分别于点 ，若圆 与圆 围成的图形的面积大于圆 的
面积，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由圆的性质，椭圆的性质结合题意画出图形，再点 同时在椭圆与射线上，求出 ，最
后令 ，利用导数分析取值范围即可；
【解析】由题意可得 的半径为 ， 的半径为 ，其位置关系如下：由图可得 ，
设 ，
因为点 同时在椭圆与射线上，
所以 ， ，
解得 ，
则 ，
若圆 与圆 围成的图形的面积大于圆 的面积，
即 ，可得
所以 ，
设 ， ，
则 ，设此式等于 ，
求导可得 ，
因为 ，所以导数恒大于零，故 在 时为增函数，
所以取值范围为 .
故答案为： .
方法归纳： 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路题型三 直线与椭圆的综合问题
例4 已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为 ，点 在 上.
(1)求 的方程；
(2)已知 为坐标原点，点 在直线 上，若直线 与 相切，且 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率定义和椭圆上的点以及 的关系式列出方程组，解之即得；
（2）将直线与椭圆方程联立，消元，根据题意，由 推得 ，又由 ，写出直线 的
方程，与直线 联立，求得点 坐标，计算 ，将前式代入化简即得.
【解析】（1）设 ，依题意，
解得
故 的方程为 .
（2）如图，依题意 ，联立 消去 ，可得 ，
依题意，需使 ，整理得 （*）.
因为 ，则直线 的斜率为 ，则其方程为 ，
联立 解得 即
故 ，
将（*）代入得， 故 .
方法归纳： (1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，
消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求
解．
(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
