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专题 25 概率客观题
一、单选题
1．（2024届贵州省贵阳市六校高三上学期联合考试）2023年8月31日贵南高铁实现全线贯通运营，我国
西南和华南地区新增一条交通大动脉，黔桂两地间交通出行更加便捷、西南与华南地区联系将更加紧密.贵
南高铁线路全长482公里，设计时速350公里，南宁东到贵阳东旅行时间由原来的5个多小时缩短至最快2
小时53分.贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，
了解到其中有 的人喜欢吃肠旺面，有 的人喜欢吃丝娃娃，还有 的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃
丝娃娃.在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设喜欢吃肠旺面设为 事件，喜欢吃丝娃娃设为 事件，喜欢肠旺面或丝娃娃为事件 ，既
喜欢肠旺面又喜欢丝娃娃为 ，由题意知， ，
从而 ，因此由条件概率的公式得
.故选B.
2．（2024届天域全国名校协作体高三上学期10月联考）小明先后投掷两枚骰子，已知有一次投掷时朝上
的点数为偶数，则两次投掷时至少有一次朝上的点数为4的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记“有一次投掷时朝上的点数为偶数”为事件A，包含27种情况，“两次投掷时至少有一次朝上
的点数为4”为事件B，包含11种情况.则 ， ，所以， .故选B.
3．（2024届河南省高三上学期摸底测试）如图，A，B，C三个开关控制着1，2，3，4号四盏灯，其中开
关A控制着2，3，4号灯，开关B控制着1，3，4号灯，开关C控制着1，2，4号灯.开始时，四盏灯都亮
着.现先后按动A，B，C这三个开关中的两个不同的开关，则其中1号灯或2号灯亮的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】先后按动A，B，C中的两个不同的开关，有 种方法，若要1号灯亮，则按第一个开关时，
1号灯灭，按第二个开关时，1号灯亮，此时对应的方法有2种： ， ；若要2号灯亮，同理可
得有以下2种方法： ， ；可知：要1号灯或2号灯亮有 种方法，故所求的概率为
.故选D.
4．（2024届河北省邢台市四校质检联盟高三上学期月考）将甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，
B，C，D四个社区做环保宣传，每个志愿者只能去其中一个社区且每个社区只能安排一名志愿者，则甲不
被分到A社区的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】甲、乙、丙、丁四名志愿者随机分配到A，B，C，D四个社区，共有 种情况，其中甲不被分到A社区，则从乙、丙、丁中选择一个分到A社区，剩余3人分配到3个社区，故共有 种情况，故甲
不被分到A社区的概率是 ．故选C
5．（2023届河北省保定市高三二模）三位同学参加某项体育测试，每人要从 跑、引体向上、跳远、
铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】三个同学选择两个项目的试验的基本事件数有 个，它们等可能，
有且仅有两人选择的项目完全相同的事件 含有的基本事件数有 个，
所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率 .故选C
6．（2023届江西省南昌市八一中学高三三模）某同学口袋中共有 个大小相同､质地均匀的小球 其中 个
编号为 ， 个编号为 ，现从中取出 个小球，编号之和恰为 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】编号之和恰为 ,则需要3个球中 个编号为 , 个编号为 ，设 个编号为 的小球为ABC，
个编号为 的小球为ab，则从5个球中取出3个，共有：
，共10种，
其中满足题意得情况有： 共6种，
则编号之和恰为 的概率为 .故选D.
7．（2024届四川省乐山市高三上学期9月月考）某冷饮店有“桃喜芒芒”“草莓啵啵”“蜜桃四季春”
“芋圆葡萄”四种饮品可供选择，现有四位同学到店每人购买一杯饮品，则恰有两种饮品没人购买的概率
为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解决该问题，可以将四位同学先分为2，2或3，1两堆，共有 种分堆方法，再从4种饮品
中选出2种，分配给两堆人，故共有 种方法.
所以恰有两种饮品没人购买的概率为 .故选A
8．（2023届河北省秦皇岛市青龙县实验中学等2校高三冲刺模拟）根据某机构对失踪飞机的调查得知：
失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失
踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可
以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 “失踪的飞机后来被找到”， “失踪的飞机后来未被找到”， “安装有紧急定位
传送器”，则 ， ，
安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为
.故选C.
9．（2024届重庆市第一中学高三上学期开学考试）已知 为
中不同数字的种类，如 ，记“ ”为事件 ，则事
件 发生的概率 （ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知， 的排列共有 种.当 时，即排列中有2个不同的数字：
若有3个数字相同，有 种情况；若有2个数字相同，有 种情况，此时共有
种情况，所以事件A的概率为： .
故选B.
10．（2024届江西省抚州市黎川县第二中学高三上学期开学考试）袋中装有标号为 且大小相同
的 个小球，从袋子中一次性摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和不是 的倍数，则获奖，
若有 人参与摸球，则恰好 人获奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】从袋子中一次性摸出两个球，共有 种情况，其中两个号码的和为 的倍数的有 ，
， ， ， ，共 种情况， 一个人摸球，能够获奖的概率为 ， 人参与摸球，
恰好 人获奖的概率 .故选D.
11．（2024届重庆市第一中学校高三上学期入学考试）某同学进行一项投篮测试，若该同学连续三次投篮
成功，则通过测试；若出现连续两次失败，则不通过测试.已知该同学每次投篮的成功率为 ，则该同学通
过测试的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设投篮只成功一次后通过，概率为 ，那么投篮只失败过一次后，下一次若投篮失败，则不通过，故投篮只失败过一次后通过概率为 ，故 ，解得： ，故通过的概率
为 .故选D
12．某公司员工食堂每天都有米饭和面食两种套餐，已知员工甲每天中午都会在这两种套餐中选择一种，
米饭套餐的价格是每份18元，面食套餐的价格是每份12元，如果甲当天选择了某种套餐，他第二天会有
60%的可能性换另一种类型的套餐，假如第1天甲选择了米饭套餐，第n天选择米饭套餐的概率为 ，给
出以下论述：
① ；
② ；
③
④前 天甲午餐总费用的数学期望为 .
其中正确的是（ ）
A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③
【答案】B
【解析】若甲在第 天选择了米饭套餐，那么在第 天有 的可能性选择米饭套餐，甲在第
天选择了面食套餐，那么在第 天有 的可能性选择米饭套餐，
所以第 天选择米饭套餐的概率 ，故②正确；
因为 ，所以甲在第1天选择了米饭套餐，所以 ，故①正确；由②得，
，所以 ，
又由题意得， ， 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，所以 ，故③错误；
前 天甲午餐总费用的数学期望为
，故④正确.故选B.
二、多选题
13．（2024届皖豫名校联盟高中高三上学期10月大联考）已知某地区秋季的昼夜温差 ，且
，该地区某班级秋季每天感冒的人数y关于昼夜温差 的经验回归方程为 ，秋季
某天该班级感冒的学生有9人，其中有4位男生，5位女生，则下列结论正确的是（ ）
（参考数据： ， ）
A．若 ，则
B．从这9人中随机抽取2人，其中至少有一位女生的概率为
C．从这9人中随机抽取2人，其中男生人数 的期望为
D．昼夜温差每提高 ，该班级感冒的学生大约增加2人
【答案】ABD
【解析】由 ，可得 ， ，所以
，故A正确；
因为 ，故B正确； 服从超几何分布，其中 ， ， ，所以 ，故C
错误；因为 ， ，所以 ，所以 ，故D正确．故选ABD
14．（2024届吉林省通化市梅河口市高三上学期9月月考）连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的
点数小于3”记为 事件，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”记为 事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为 事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为 事件，则下列叙述中正确
的是（ ）
A． 与 互斥 B．
C． 与 相互独立 D． 与 不相互独立
【答案】ABC
【解析】因为抛掷一次骰子，包含 个基本事件，事件 表示结果向上的点数为 、 ，所以 ；事
件 表示第二次抛掷结果向上的点数为 、 ，所以 ；
事件 表示结果向上的点数为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，共18种情况，而抛掷两次骰子共出现
种情况，所以 ；
事件 表示结果向上的点数为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ，共18种情况，而抛掷两次骰子共出现
种情况，所以 ；
对于A：由上述事件 与事件 表示的结果可知， ，所以事件 与事件 互斥且对立，故A正
确；
对于B：因为 ， 表示两次抛掷结果向上的点数之和为奇数且第一次抛掷结果向上的点数小
于 的概率，
其中 有 ， ， ， ， ， 共6种情况，
所以 ，所以 ，故B正确；对于C：因为 ， ，
表示两次抛掷结果向上的点数之和为偶数且第一次抛掷结果向上的点数小于3的概率，
其中 有 ， ， ， ， ， ，共6种情况，
所以 ，所以 与 相互独立，故C正确；
对于D：因为 ， ，
而 表示两次抛掷结果向上的点数之和为奇数且第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数的概率，
其中 有 ， ， ， ， ， ，共6种情况，
所以 ，所以 与 相互独立，故D错误；故选ABC
15．（2024届新疆乌鲁木齐市第六十一中学高三上学期月考）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加
工的次品率为6%，第2台加工的次品率为5%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起.
已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，则
下列结论正确的是（ ）
A．该零件是第1台车床加工出来的次品的概率为0.06
B．该零件是次品的概率为0.036
C．如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为0.98
D．如果该零件是次品，那么它不是第1台车床加工出来的概率为
【答案】BC
【解析】记事件 ：车床加工的零件为次品，记事件 ：第 台车床加工的零件，
对于A，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为 ，故A错误；
对于B，任取一个零件是次品的概率为
，故B正确；
对于C，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它是次品的概率为 ，则如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为 ，故C正确；
对于D，如果该零件是次品，那么它是第1台车床加工出来的概率为 ，
则如果该零件是次品，那么它不是第1台车床加工出来的概率为 ，故D错误．
故选BC.
16．（2024届广西桂林市等3地高三上学期跨市训练检测）山东东阿盛产阿胶，阿胶与人参、鹿茸并称
“中药三宝”．阿胶的主要原料是驴皮，配以冰糖、绍酒、豆油等十几种辅料，用东阿特有的含多种矿物
质的井水、采取传统的制作工艺熬制而成．已知每盒某阿胶产品的质量 （单位： ）服从正态分布
，且 ， ．（ ）
A．若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量大于 的概率为0.75
B．若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量在 内的概率为0.15
C．若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量大于 的盒数的方差为47.5
D．若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量在 内的盒数的数学期望为200
【答案】ACD
【解析】对于选项A，因为 ，所以 ，A正确．对于选项
B，因为 ，所以
，
所以 ，B错误．
对于选项C，因为 ，所以 ，
若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量大于 的盒数 ，所以 ，C正确．
对于选项D， ，若从该阿胶产品中随机选取1000盒，
则质量在 内的盒数 ，所以 ，D正确．故选ACD
17．（2024届广东省佛山市南海区高三上学期8月摸底）设A，B是一个随机试验中的两个事件，且
， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由 可知 ，
又 可得 ，
由 可得 ，所以A错误；
由 可知， ，所以B正确；
由条件概率公式可得 ，即C正确；
又 可得 ，同理 ，即D错误.
故选BC
三、填空题
18．（2024届吉林省长春博硕学校2高三上学期9月月考）依次抛掷两枚质地均匀的骰子，并记录正面向
上的点数，记事件 为“第一次的点数大于第二次的点数”，记事件 为“两次点数之和为偶数”，则
的值为 ．【答案】 /0.4
【解析】依据题意事件 包含的基本事件：
共有 个，事件 包含基本事件： 共有 个，
则
19．（2024届广东实验中学高三上学期第一次阶段考试）某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共
享单车的概率分别为 ， ， ，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为 ， ， ，结果
这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是 ．
【答案】
【解析】设小明迟到为事件A，小明自驾为事件B，则 ，
.则在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为 .
20．（2024届山西省山西大学附属中学高三上学期10月月考）新冠病毒肺炎疫情防控难度极大，某地防
疫防控部门决定进行全面入户排查4类人员：新冠患者、疑似患者、普通感冒发热者和新冠密切接触者，
过程中排查到一户6口之家被确认为新冠肺炎密切接触者，按要求进一步对该6名成员逐一进行核糖核酸
检测，若出现阳性，则该家庭定义为“感染高危户”，设该家庭每个成员检测呈阳性的概率相同均为
，且相互独立，该家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”的概率为 ，当
时， 最大，此时 ．
【答案】
【解析】由题意可得，该家庭至少检测了5人才能确定为“感染高危户”，
则前4人检测为阴性，第5人为阳性或前5人检测为阴性，第6人为阳性，由相互独立事件同时发生的概率公式，得
令 ，即 ，
解得 （舍）或 （舍）或 .
当 时， ；当 时， ；
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，函数 取得极大值，也是最大值.所以 .
21．给如图所示的1~9号方格进行涂色，规则是：任选一个格子开始涂色，之后每次随机选一个未涂色且
与上次所涂方格不相邻（即没有公共边）的格子进行涂色，当5号格子被涂色后停止涂色，记此时已被涂
色的格子数为X，则 .
【答案】
【解析】由题意知“ ”等价于“第3次涂5号格子”，
若第一次涂的是四个角上的格子，以1号格子为例，
第二次可以涂 ，要想第三次涂5号，第二次必须选涂 号中的一个，
第三次需从5个格子里选取5号格子，这种情况的概率为 ；若第一次涂的是四边中间的格子，以2号格子为例，
第二次可以涂 ，要想第三次涂5号，第二次必须涂 号中的一个，
第三次需从5个格子里选取5号格子，这种情况的概率为 ；
故
22．如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，并规定从平
地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两人都上一个台阶．如果一方连续
赢两次，那么他将额外获得上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶
时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为 ．
【答案】
【解析】设事件“第 次划拳甲赢”为 ，事件“第 次划拳甲平局”为 ，
事件“第 次划拳甲输”为 ，
则 ；
故
